• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	③	2	④	3	③	4	①	5	③
6	②	7	④	8	⑤	9	②	10	④
11	⑤	12	⑤	13	②	14	③	15	⑤
16	⑤	17	①	18	[eqn: 32]	19	[eqn: 672]	20	[eqn: 55]
21	[eqn: 128]	22	[eqn: 24]	23	[eqn: 310]	24	[eqn: 81]	25	[eqn: 79]
26	①	27	①	28	②	29	④	30	[eqn: 36]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root {3} of {(8 TIMES 27) ^{2}} =][eqn: root {3} of {6 ^{6}} =][eqn: root {3} of {36 ^{3}} =36]

2. [출제의도] 역행렬을 이해하고 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{-1} X`=B`]의 양변의 왼쪽에 행렬 [eqn: A``]를 곱하면

[eqn: AA ^{-1} X`=AB`]

∴ [eqn: X`=AB`][eqn: = pmatrix{2&~~3`#1&-2}][eqn: pmatrix{3&~~2`#1&-2}][eqn: = pmatrix{`9`&``~-2`#`1`&`````````6`}]

따라서 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 14]이다.

3. [출제의도] 이항분포의 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: V(X)=n TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} =20]

∴ [eqn: n=90]

4. [출제의도] 서로 독립인 두 사건의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 사건 [eqn: A,~B]는 서로 독립이므로

[eqn: {\P}(A|B)={\P}(A)], [eqn: {\P}(B`|A)={\P}(B)]

∴ [eqn: {\P}(A)= {\P}(B) = 3over4]

또, [eqn: {\P}(A cap B)= {\P}(A ) {\P}(B)= 9 over 16]

∴ [eqn: {\P}(A cup B)][eqn: ={\P}(A)+{\P}(B) - {\P}( A cap B)]
[eqn: = 3over4 + 3over4 - 9over16 = 15over 16]

5. [출제의도] 연립방정식과 행렬을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

연립방정식 [eqn: LEFT ( matrix{2-k&`````3`#2&`````1-k} RIGHT ) pmatrix{x#y} = LEFT ( pile{0#0} RIGHT )]이

[eqn: x=0,``y=0``] 이외의 해를 가지려면

[eqn: LEFT ( 2-k RIGHT ) LEFT ( 1-k RIGHT ) -3 CDOT 2=0]

즉, [eqn: k ^{2} -3k-4=0````` THEREFORE``` k=-1,`4]

따라서 구하는 실수 [eqn: k``]의 값의 합은 [eqn: 3]이다.

6. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {n ^{2}} < sqrt {n ^{2} +1} < sqrt {(n+1)^2}]

[eqn: n< sqrt {n ^{2} +1} <n+1]

∴ [eqn: a _{n} =n]

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -a _{n} RIGHT ) = lim _{n -> INF } {}` n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}} = lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n^2}} +1}} = {1} over {2}]

7. [출제의도] 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 5]는 반드시 포함되어야 하므로 [eqn: 5]를 뽑는 경우의 수는 [eqn: 1](가지)

[eqn: 5]를 제외한 [eqn: 8]개의 자연수 중에서 나머지 두 수를 뽑을 때 적어도 하나의 짝수를 뽑는 경우의 수는

[eqn: \ `_8 C_2 - _4 C_2 =28-6=22](가지)

뽑힌 [eqn: 3]개의 자연수를 이용하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는

[eqn: 3! = 6](개)

따라서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 1×22×6=132](개)

8. [출제의도] 로그의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 0<a<1,`` b>1 ``]이므로 [eqn: log _a b <log_a 1=0]
∴ [eqn: A = 1over 2 `log _a b <0]  (참)

ㄴ. [eqn: 0<a<1,`` b< 1over a ``]이므로 [eqn: log _{a} b>log _{a} {1} over {a} =`-1]
∴ [eqn: A = 1over 2 `log _a b > - 1over2]
따라서 [eqn: - 1over 2 < A < 0 `]이므로 [eqn: B = 1over A < -2`]
∴ [eqn: A>B]  (참)

ㄷ. [eqn: A = 1over B `]이므로 [eqn: `AB`` =1`]
∴ [eqn: log _{ab} LEFT | `A`` RIGHT | +log _{ab} LEFT | `B`` RIGHT | =log _{ab} LEFT | `AB`` RIGHT | =log _{ab} 1=0](참)

9. [출제의도] 등비수열의 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =a+ar+ar ^{2} +ar ^{3} +ar ^{4}]

[eqn: =a(1+r+r ^{2`} +r ^{3`} +r ^{4``} `)= {31} over {2}]

[eqn: a _{1} a _{2} a _{3} a_4 a_5 =a CDOT ar CDOT ar ^{2}CDOT ar ^{3}CDOT ar ^{4} =a ^{5} r ^{10}=32]

∴ [eqn: ar ^{2} =2]

[eqn: {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + {1} over {a _{3}}`+ {1} over {a _{4}} + {1} over {a _{5}} `]

[eqn: = {1} over {a} + {1} over {ar} + {1} over {ar ^{2}}+ {1} over {ar ^{3}}+ {1} over {ar ^{4}}]
[eqn: =` {1} over {ar^4} LEFT ( 1+r+r^2 +r^3 +r^4 } RIGHT )]
[eqn: =` {a} over {(ar ^{2})^2} LEFT ( 1+r+r ^{2} +r ^{3} +r ^{4} RIGHT )][eqn: = {31} over {8}]

10. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (a,~ b`) `in` A`], [eqn: (c,~ d`) `in` B`]이므로

[eqn: 3^a = b], [eqn: log_3 c=d]이다.

ㄱ. (반례) [eqn: a=1,```b=3`]일 때 [eqn: (1,```3) IN A`]이지만

[eqn: (1 ^{3} ,```3 CDOT 3) NOTIN A`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: 3^a = b] 즉, [eqn: log _3 b = a]
∴ [eqn: (b`,~a)`in`B] (참)

ㄷ. [eqn: 3^a = b `], [eqn: log_3 c=d] 즉, [eqn: 3^d = c`]가 성립하므로
[eqn: 3^ a+d = bc]
∴ [eqn: (a+d,~ bc` )` IN `A] (참)

11. [출제의도] 수열의 항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a _{6} =a _{3} +1=(a_1 -1)+1=1] (참)

ㄴ. [eqn: n=2 ^{k} `]이면
[eqn: a_ n = a _{2 ^{k}} =a _{2 ^{k-1}} +1=a _{2 ^{k-2}} +2= `CDOTS]
[eqn: `=a _{2 ^{0}} +k=k+1] (참)

ㄷ. [eqn: a _{2n} =a _{n} +1,``a _{2n+1} =a _{n} -1`]이므로
[eqn: a _{2n} -a _{2n+1} =2]가 성립한다.
∴ [eqn: a _{2 ^{k}} -a _{2 ^{k} +1} =2]
따라서 [eqn: n= 2^k +1`]일 때, ㄴ을 이용하면
[eqn: a _{n} =a _{2 ^{k} +1} =a _{2 ^{k}} -2=(k+1)-2 = k-1] (참)

12. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: N _{15`} =1515` CDOTS 15``]는 [eqn: 2 TIMES 15]자리의 수이므로
[eqn: log`N_15 ``]의 지표는 [eqn: 30-1=29]이다.
∴ [eqn: p(15)=29] (거짓)

ㄴ. [eqn: q(n)=0]이면 [eqn: log`N _{n} =p(n)`](정수)
즉, [eqn: N _{n} =10 ^{p(n)}]이다.
한편, [eqn: q(1)=0]이고, [eqn: n != 1]이면 [eqn: N _{n}]은 [eqn: 10 ^{k}]의 꼴이 될 수 없다. 즉, [eqn: q(n) != 0]
따라서 [eqn: n]은 [eqn: 1]뿐이다. (참)

ㄷ. [eqn: n=10 ^{k}]은 [eqn: (k+1)]자리의 수이고
[eqn: N _{n}]은 [eqn: n(k+1)]자리의 수이므로
[eqn: p(n)=nk+n-1]
이때 [eqn: n-1=10 ^{k} -1]은 [eqn: k]자리의 수이고
[eqn: N _{n-1}]은 [eqn: (n-1)k]자리의 수이므로
[eqn: p(n-1)=nk-k-1]
∴ [eqn: p(n)-p(n-1)=n+k] (참)

13. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가) : [eqn: 1]

(나) : [eqn: (k+1)a_k -k`]

(다) : [eqn: 1 over k+1`]

14. [출제의도] 이산확률변수의 평균과 분산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: {rm P}(Y=k)= {rm P}(X=10-k)]이므로
[eqn: {rm P}(5<=Y<=7)= {rm P}(3<=X<=5)] (참)

ㄴ. 확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: \ B left( 10,`` 1over2 right) `]을 따르므로
[eqn: {rmE}(X)= 1over 2 cdot 10 = 5]
[eqn: Y= 10-X`]에서
[eqn: {rmE}(Y)= {rmE}(10-X) = 10 -{rm E}(X) = 5`]
∴ [eqn: {rmE}(Y)={rmE}(X)] (참)

ㄷ. [eqn: Y= 10-X`]에서
[eqn: {rmV}(Y)= {rmV}(10-X) = {rmV}(X)`]
∴ [eqn: {rmV}(Y)= {rmV}(X)`] (거짓)

15. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

임의의 두 점을 [eqn: {rm P}(a,`b),``{rm Q}(c,`d)]라 하면,
[eqn: M _{rmP} = LEFT ( ` matrix{```````a```&`b`#-b```&`a`} RIGHT )], [eqn: M _{rm Q} = LEFT ( matrix{````````c```&```d`#`-d```&```c`} RIGHT )]

ㄱ. [eqn: M _{rmP} M _{rm Q} = LEFT ( ` matrix{````````a`&``b`#`-b`&```a`} RIGHT ) LEFT ( matrix{```````c`&`d`#`-d`&`c`} RIGHT )= LEFT ( matrix{``````ac-bd`&```ad+bc`#`-ad-bc`&```ac-bd`} RIGHT )]에 대응하는 점 [eqn: rm`R``][eqn: (ac-bd,```ad+bc)``]가 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: M _{rm Q it} M _{rm P it} = LEFT ( matrix{``````c``&d#-d``&c} RIGHT ) LEFT ( matrix{`````a&`b#-b&```a} RIGHT ) = LEFT ( matrix{```````ac-bd```&`ad+bc`#`-ad-bc```&``ac-bd`} RIGHT )]
∴ [eqn: M _{rm P it} M _{rm Q it} =M _{rm Q it} M _{rm P it}] (참)

ㄷ. 점 [eqn: rm P``]가 원점이 아니면 [eqn: a^2 +b^2 !=0``]이므로
[eqn: LEFT ( ` matrix{```````a``&``b`#`-b``&```a`} RIGHT )^-1 = {1} over {a ^{2} +b ^{2}} LEFT ( matrix{`a``&`-b`#`b``&````````a`} RIGHT )]
따라서 [eqn: M _{rmP} M _{rm S} =E``]인 점 [eqn: rm S` it LEFT ( {a} over {a ^{2} +b ^{2}} ,```- {b} over {a ^{2} +b ^{2}} RIGHT )]가 존재한다. (참)

16. [출제의도] 등비수열의 합을 이해하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: \A]지역의 연간 휘발유 소비량이 전년도의 [eqn: r`]배로 감소한다고 하면

[eqn: 2007]년의 휘발유 소비량은 [eqn: a]톤,

[eqn: 2008]년의 휘발유 소비량은 [eqn: ar`]톤, [eqn: CDOTS` ,]

[eqn: 2015]년의 휘발유 소비량은 [eqn: ar ^{8} `]톤으로 놓을 수 있다.

이때 [eqn: 2015]년의 휘발유 소비량은 [eqn: 1 over 3 a]톤이므로

[eqn: ar ^{8}][eqn: =][eqn: 1 over 3 a],[eqn: ```r ^{8} `= {1} over {3}]

∴ [eqn: r= root {8} of {{1} over {3}} = {1} over {root {8} of {3}} = {1} over {1.15}= 20 over23]

따라서 [eqn: 16]년 동안 사용되는 휘발유 전체의 양은

[eqn: a+ar+ar ^{2} `+ CDOTS +ar ^{15} `]
[eqn: = {a(1- r ^{16}) } over {1-r} `][eqn: ={ a left({1-{1} over {9}}right)} over {1- 20 over 23 }= {184} over {27} a](톤)

17. [출제의도] 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S_1 = pi - left{ 1over 2 × pi over 2 + left( pi over 4 - 1over2 right) right}][eqn: = pi+1 over 2]

원 [eqn: rmC _{it n } `]의 지름의 길이를 [eqn: l_n]이라 하면

[eqn: l_n+1 = root2 over 2 l_n]이므로

[eqn: S_n+1 = left( root2 over 2 right)^2 S_n = 1over 2 S_n]

∴ [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } S _n `][eqn: = {pi+1 over 2} over {1- 1 over 2 }= pi+1]

18. [출제의도] 로그방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log_2 x -6=t]로 치환하면 [eqn: log_2 x =t +6 `]이므로

[eqn: (log_2 x-6)^2 +log_2 x ^2 -11=t^2 +2(t+6)-11=0]

[eqn: t^2 +2t+1 = (t+1)^2 = 0]

∴ [eqn: t=-1]

이때 [eqn: log_2 x =5]이므로

[eqn: x=2^5 = 32]

19. [출제의도] 이항계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: left(2x- 1over x right)^7 `]의 전개식의 일반항은

[eqn: `_ 7{ rmC} _r (2x)^r left( - 1over x right) ^7-r = `_ 7{ rmC} _r times 2^r times (-1)^7-r times x^2r-7 `]

이므로 [eqn: 2r-7=3]에서 [eqn: r=5]

따라서 [eqn: x^3 `]의 계수는 [eqn: `_ 7{ rmC} _5 times 2^5 times (-1)^2 = 672`]

20. [출제의도] 등차수열의 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT { a_n RIGHT },``LEFT { b_n RIGHT }`]이 등차수열이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} b _{k}]
[eqn: = {10(a _{1} +a _{10} `)} over {2} + {10(b _{1} +b _{10} `)} over {2}]
[eqn: =5 LEFT { (a _{1} +b _{1} `)+(a _{10} +b _{10} `) RIGHT }=500]
∴ [eqn: a _{10} +b _{10} `=55`]

21. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4 ^{a} >0,``2 ^{b} >0`]이므로

[eqn: 4 ^{a} +2 ^{b} >= 2 sqrt {4 ^{a} CDOT 2 ^{b}}][eqn: =2 sqrt {2 ^{2a+b}} =2 sqrt {2 ^{12}} =128]
(단, 등호는 [eqn: a=3,```b=6`]일 때 성립한다.)

22. [출제의도] 상용로그의 값과 [eqn: sum _{} ^{}]의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

정의에 따라 [eqn: LEFT [ log_10`S _{n} RIGHT ] `]는 [eqn: log_10`S _{n} `]의 지표와 같다.

[eqn: S _{1} =1,``S _{2} =1+2=3,``S _{3} =1+2+3=6`]이므로

[eqn: LEFT [ log_10`S _{1} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{2} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{3} RIGHT ] =0]

[eqn: S _{4} =1+2+3+4=10],[eqn: S _{13} =1+2+3+` CDOTS `+13=91]이므로

[eqn: LEFT [ log_10`S _{4} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{5} RIGHT ] =` CDOTS `= LEFT [ log_10`S _{13} RIGHT ] =1]

[eqn: S _{14} =1+2+3+`cdots`+14=105],

[eqn: S _{20} =1+2+3+` CDOTS `+20=210]이므로

[eqn: LEFT [ log_10`S _{14} RIGHT ] = LEFT [ log_10`S _{15} RIGHT ] =` CDOTS `= LEFT [ log_10`S _{20} RIGHT ] =2]

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{20} LEFT [ log_10`S _{n} RIGHT ]=0 times 3 +1times10+2times 7 =24]

23. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 100<=A<1000], [eqn: 900<B<1000]이고,

[eqn: log`B`]의 가수가 [eqn: log`A`]의 가수의 [eqn: 2`]배이므로

[eqn: logA=2+ alpha], [eqn: logB=2+2 alpha `` LEFT ( 0 <= alpha < {1} over {2} RIGHT )]

[eqn: 2log`A-logB=log {A ^{2}} over {B}=2] 이므로 [eqn: {A ^{2}} over {B} =100`]

∴ [eqn: 100B=A ^{2}]

[eqn: A]는 [eqn: 10]의 배수이므로 [eqn: A=10C] ([eqn: C`]는 자연수)라
하면 [eqn: 100B=(10C)^2 =100C^2]  ∴ [eqn: B`=`C ^{2`}]

따라서 [eqn: B]는 [eqn: 900]보다 큰 세 자리의 수이면서 완전제곱수이다.

[eqn: 30^2 =900, ~~31^2 =961, ~~32^2 =1024]이므로

[eqn: B=31^2], [eqn: A^2 =100B=10^2 cdot31^2 =(310)^2]

∴ [eqn: A=310]

24. [출제의도] 연립방정식을 행렬을 이용하여 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x], [eqn: y]에 관한 연립방정식을 만들면

[eqn: cases{ 0.6x +0.3y=45 # 0.5x+0.4y=42 }]

[eqn: cases{ 6x +3y=450 # 5x+4y=420}]

이것을 행렬을 이용하여 나타내면

[eqn: pmatrix { 6~&3 #5~ &4 } pmatrix { x # y }=pmatrix { 450 # 420}]

[eqn: pmatrix { x # y }={pmatrix { 6~&3 #5~ &4 }} ^-1 pmatrix { 450# 420 }]
[eqn: = 1over 9{pmatrix {`````4`&`-3 `#-`5``` &````````6`}} pmatrix {` 450 # `420` }]

∴ [eqn: a=4,``b=-5]

∴ [eqn: (a-b)^2 = (4+5)^2 =81]

25. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4]개의 동전을 던질 때, 앞면과 뒷면이 각각 [eqn: 2]개씩 나올 확률은

[eqn: \`_4 C_2 left( 1over 2 right)^2 left( 1over2 right)^2 = 3over 8]

따라서 구하는 확률은

[eqn: left( 1- 3over8 right) times 3 over 8 = 15 over 64]

∴ [eqn: p+q=79]

26. [출제의도] 무한급수의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n>=2]일 때 [eqn: S_n - a_n = S_n-1]이므로

[eqn: S_n - a_n =S_n-1 = n+3 over n+2] ([eqn: n>=2])

∴ [eqn: sum_n=1^inf a_n][eqn: =lim_n->inf S_n = lim_n->inf S_n-1 = 1]

27. [출제의도] 조건부확률을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

진서가 던진 주사위가 홀수인 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], 진서가 이기는 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은 [eqn: {rmP}(B`|A)]이다.

[eqn: {rmP}(A)= 1over2]

[eqn: {rmP}(A ∩B)= 1over 6 × 0 + 1over 6 × 2over6 + 1over6 × 4over6][eqn: = 1over6]

∴ [eqn: {rmP}(B`|A)= {{rmP}(A cap B)} over{ {rmP}(A)}][eqn: ={1over6} over{1 over2} = 1over 3]

28. [출제의도] 지수함수의 그래프와 관련된 내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

곡선 [eqn: y`=`3^x `]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: b_k `]만큼 평행이동시킨 곡선 [eqn: y`=3^x-b_k `]이 점 [eqn: (k,``2)`]를 지난다고 하면
[eqn: 2`=`3^k-b_k `]이다.

∴ [eqn: 3^-b_k `=`2 over {3^k }]

이때 곡선 [eqn: y`=`3^x-b_k `]의 [eqn: y`]절편은 [eqn: 3^-b_k `]이므로
[eqn: a_k `=`3^-b_k `=`2 over {3^k }]이다.

∴ [eqn: SUM from { { k`}=`1} to inf`a_k `=`SUM from { { k`}=`1} to inf`2 over {3^k } `=`2 SUM from { { k`}=`1} to inf `left( 1 over 3 right) ^k]

[eqn: `=` 2over3 over {1- 1 over 3 } `=`1]

29. [출제의도] 표본평균의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

제품 [eqn: A`]의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면

[eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}`(120,``10^2 `)`]을 따르므로

[eqn: p_1 =][eqn: {rmP}`(`X`≧`130)``][eqn: =`{rmP}left(Z`≧`130-120 over 10 right)]

[eqn: =`{rmP}(Z`≧1)`=`0.5-{rmP}(0<=Z`<=1)`]
[eqn: =0.1587]

한편, 크기가 [eqn: 4]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포
[eqn: {rmN}`(120,``5^2 `)`]을 따르므로

[eqn: p_2 =][eqn: {rmP}`(`bar {X``}≧`130)``][eqn: =`{rmP}left(Z`≧`130-120 over 5 right)]

[eqn: =`{rmP}(Z`≧2)`=`0.5-{rmP}(0<=Z`<=2)`]
[eqn: =0.0228]

∴ [eqn: p_1 - p_2][eqn: =0.1359]

30. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(i) [eqn: \A], [eqn: \B]가 [eqn: 2]인용 소파에 앉는 경우의 수는
[eqn: 2! TIMES 3! = 2 TIMES 6=12](가지)

(ii) [eqn: \A], [eqn: \B]가 [eqn: 3]인용 소파에 앉는 경우의 수는
[eqn: rm 2 TIMES 2! TIMES 3!`=24`](가지)

(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 12+24=36](가지)

수리‘나’형 정답

1	③	2	④	3	②	4	①	5	③
6	②	7	①	8	④	9	②	10	①
11	⑤	12	⑤	13	②	14	①	15	⑤
16	⑤	17	④	18	[eqn: 48]	19	[eqn: 52]	20	[eqn: 55]
21	[eqn: 128]	22	[eqn: 24]	23	[eqn: 310]	24	[eqn: 81]	25	[eqn: 60]
26	④	27	④	28	③	29	③	30	[eqn: 650]

해 설

1. ‘가’형과 동일

2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 무리식이 포함된 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}} over {sqrt {n+1} + sqrt {n-1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {2+ 1overn} + sqrt {2- 1 overn}} over {sqrt {1+ 1over n } + sqrt {1- 1overn }} = {2root2 } over 2 = root2]

4. [출제의도] 로그의 정의를 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4 ^{a} = 3-2 sqrt {2}], [eqn: 2 ^{a} = sqrt {3-2 sqrt {2}}][eqn: = sqrt {2} -1]

[eqn: 2 ^{-a} = {1} over {2 ^{a}} = {1} over {sqrt {2} -1} = sqrt {2} +1]

∴ [eqn: 2 ^{a} +2 ^{-a} =( sqrt {2} -1)+( sqrt {2} +1)=2 sqrt {2}]

5. ‘가’형과 동일

6. ‘가’형과 동일

7. [출제의도] 역행렬의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A(A+2E)=E]에서 [eqn: A ^{2} +2A=E]이므로

[eqn: (A-E)(A+3E)=-2E]

[eqn: - 1over2 (A+3E)(A-E)=E]

∴ [eqn: (A-E) ^{-1} =- {1} over {2} A- {3} over {2} E]

∴ [eqn: p+q= - 1over2 - 3over 2 = -2]

8. [출제의도] 행렬의 연산과 역행렬의 뜻을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례) [eqn: A = pmatrix { ````````1``& ```````1`# -1&-1` },``B = pmatrix { ````````2``& ``1`# -1&``0` }`]이라 하면
[eqn: AB = A`]가 성립하지만 [eqn: B!=E`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: A^2 -A+E=O`]의 양변에 [eqn: A+E`]를 곱하면
[eqn: (A+E)(A^2 -A+E)=O`], [eqn: A^3 +E=O``]
∴ [eqn: A^3 =-E`] (참)

ㄷ. [eqn: A^2`]의 역행렬 [eqn: B`]가 존재하면 [eqn: A^2`B=E`]이므로
[eqn: A ^{3} LEFT ( AB ^{2} RIGHT )]

[eqn: =A ^{4} B ^{2} =A ^{2} `(A ^{2} B)B=A ^{2} `E`B=A ^{2} `B=E]

∴ [eqn: (A ^{3})^-1 = AB^2]

따라서 [eqn: A^3 `]의 역행렬이 존재한다. (참)

9. ‘가’형과 동일

10. [출제의도] 자연수의 합을 이용하여 주어진 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 수열은 [eqn: 3]의 배수를 함께 생각하면

[eqn: 1], [eqn: 2], ❸, [eqn: 4], [eqn: 5], ❻, [eqn: cdots], [eqn: 44],

[eqn: sum _{k=1} ^{30} a _{k} = sum _{k=1} ^{45} k- sum _{k=1} ^{15} 3k][eqn: = {45 TIMES 46} over {2} -3 TIMES {15 TIMES 16} over {2}][eqn: =675]

11. ‘가’형과 동일

12. ‘가’형과 동일

13. ‘가’형과 동일

14. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( ` matrix{`x-2&``-y#y-2&```x+2} RIGHT )]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (x-2)(x+2)+y(y-2)=0]

∴ [eqn: x ^{2`}+(y-1) ^{2`}=5]

따라서 점 [eqn: (x,``y)`]가 나타내는 도형은 중심이 (0,1)이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {5}]인 원이다.

15. ‘가’형과 동일

16. ‘가’형과 동일

17. [출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

도형 [eqn: S _{1}]의 넓이는 [eqn: 12`]개의 합동인 작은 정삼각형의 넓이의 합과 같고, 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: 2]이므로 [eqn: S _{1}]의 넓이는

[eqn: 12cdot{root {3}} over {4}cdot2 ^{2} =12 sqrt {3}]

또한, [eqn: S _{n}]과 [eqn: S _{n+1}]은 닮은 도형이고 닮음비가 [eqn: 2`]:[eqn: 1]이므로 넓이의 비는 [eqn: 4]:[eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: S_10 `]의 넓이는

[eqn: 12 sqrt {3}cdot LEFT ( { 1} over { 4} RIGHT )^9 = 3 sqrt { 3}cdot LEFT ( { 1} over { 4} RIGHT )^8 = { 3 sqrt { 3} } over {2^16 }]이다.

18. [출제의도] 등비수열의 일반항과 지수법칙을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라고 하면

[eqn: a_1 a_2 =6`]에서 [eqn: a^2 r=6] … ㉠

[eqn: a_3 a_4 =12`]에서 [eqn: a^2 r^5 =12] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r^4 =2`]

∴ [eqn: a_7 a_8 = ar^6 cdot ar^7 =a^2 r^13 =a^2 r^5 cdot (r^4 )^2`]

[eqn: =12 TIMES2 ^2 =48]

19. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A+B)^2`=`(A^2 +B^2 )+(AB+BA)`]
[eqn: =pmatrix{`5```&``0`#`3over2```&1`}`+`pmatrix{`-4```&``0`#``- 1over2```&`0`}`=`pmatrix{`1```&`0`#`1```&`1`}]

[eqn: (A+B)^100`={`pmatrix{`1```&`0`#`1```&`1`}}^50 `=pmatrix{`1```&`0`#`50```&`1`}]

행렬 [eqn: (A+B)^100`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 52]이다.

[참고] [eqn: A= pmatrix{`2```&`0`#` {1} over {2} ```&`1`} `,~``B= pmatrix{`-1```&`0`#``````0`&`0`}]인 경우 성립.

20. ‘가’형과 동일

21. ‘가’형과 동일

22. ‘가’형과 동일

23. ‘가’형과 동일

24. ‘가’형과 동일

25. [출제의도] 등차수열의 일반항과 합을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 5`]개의 부채꼴의 넓이를 작은 것부터 차례로

[eqn: a-2d,``a-d,``a,``a+d,``a+2d``]([eqn: d>0`])라 하면
[eqn: 5]개의 부채꼴의 넓이의 합은 원의 넓이이므로

[eqn: 5a=15^2 pi ``] ∴ [eqn: a= 45 pi]

또, 주어진 조건으로부터

[eqn: (a+2d)=2(a-2d)``]에서 [eqn: `d= {a} over {6} = {15pi } over {2}]

따라서 가장 큰 부채꼴의 넓이는

[eqn: a+2d=45 pi +2 cdot {15} over {2`} `pi=60 pi] ∴ [eqn: k=60]

26. [출제의도] 무한등비수열의 수렴　조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 수열이 수렴할 조건은

[eqn: -1 < -sin {k pi } over {4} <= 1], [eqn: -1 <= sin {k pi } over {4} <1]

따라서 [eqn: sin {k pi } over {4} =1``]인 [eqn: 10]이하의 자연수 [eqn: k``]는 [eqn: 2,``10`]이므로 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 8](개)이다.

27. [출제의도] 지수법칙을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3^x+1 - 3^x = 2 cdot3^x = a``]   ∴ [eqn: 3^x = { a} over {2 } ``]

[eqn: 2^x+1 + 2^x = 3 cdot2^x = b`]   ∴ [eqn: 2^x = { b} over {3} ``]

∴ [eqn: 12^x =2^2x TIMES3^x][eqn: ={ ab^2} over {18 }]

28. [출제의도] 등비수열과 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: S_1 =a_1]이므로 [eqn: pa_1 +1=a_1]
∴ [eqn: a_1 = 1 over 1-p] (참)

ㄴ. [eqn: n>=2`]일 때,
[eqn: a_n =S_n -S_n-1]
[eqn: = (pa_n +1)-(pa_n-1 +1)][eqn: = pa_n -pa_n-1]
∴ [eqn: a_n = p over p-1 a_n-1] ([eqn: p!=1])
따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 등비수열이다. (참)

ㄷ. [eqn: p= 2over3 `]이면 [eqn: p over p-1 = -2 < -1]이므로
등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 발산한다. (거짓)

29. [출제의도] 등비수열의 합과 수열의 극한을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정사각형의 넓이를 [eqn: a ^{2}]이라 하면 정삼각형의 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {4} a ^{2}]이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} = LEFT ( 1- {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) LEFT ( 1+3+3 ^{2} + CDOTS +3 ^{n-1} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 1- {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) CDOT {3 ^{n} -1} over {3-1} = {4- sqrt {3}} over {8} ` LEFT ( 3 ^{n} -1 RIGHT )]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{8 LEFT ( a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} RIGHT )} over {3 ^{n}} &]

[eqn: = lim _{n -> INF `} {`(4- sqrt {3} `)` CDOT {3 ^{n} -1} over {3 ^{n}}}} =4- sqrt {3}]

30. [출제의도] 주어진 수열의 특징을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

나머지 빈 칸을 주어진 규칙에 따라 채워보면 각 행의 수들은 다음과 같은 규칙대로 나열됨을 알 수 있다.

제 [eqn: 2]행: [eqn: (1,`1),`(2,`2),`(3,`3),`(4,`4),` CDOTS ,`(50,`50)]

제 [eqn: 3]행: [eqn: (1,`0),`(2,`0),`(3,`0),`(4,`0),` CDOTS ,`(50,`0)]

제 [eqn: 4]행: [eqn: (1,1,1,1),(2,2,2,2), CDOTS ,(25,25,25,25)]

제 [eqn: 5]행: [eqn: (1,0,1,0),(2,0,2,0), CDOTS ,(25,0,25,0)]

따라서 구하는 제 [eqn: 5]행의 [eqn: 100]개의 수들의 합은

[eqn: sum _{n=1} ^{25} 2n=25 TIMES 26=650]