Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1997년 11월 19일
대상	고3 인문, 예체능 A형

1998학년도 수능《인문, 예체능계》

[eqn: LEFT { LEFT ( {4} over {9} RIGHT ) ^{- {2} over {3}} RIGHT }]의 값은?

정답 ④

[eqn: left{ left( 4 over 9 right)^{ - 2 over 3 } right}^{9 over 4}][eqn: = left{ left( 2 over 3 right)^{ - 4 over 3 } right}^{9 over 4}][eqn: = left( 2 over 3 right)^{{ - 4 over 3 }․{9 over 4}}]	[eqn: = left( 2 over 3 right)^-3][eqn: = left(3 over 2 right)^3]

[eqn: = 27 over 8]

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 8 over 27]	②　[eqn: 16 over 61]	③　[eqn: 81 over 16]

④　[eqn: 27 over 8]	⑤　[eqn: 64 over 81]

[eqn: SQRT { 4+2 SQRT { 3} } - SQRT { 4-2 SQRT { 3} }]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: sqrt {4+ 2sqrt 3} - sqrt {4-sqrt 3} ``][eqn: = (sqrt 3 +1) - (sqrt 3 -1)][eqn: =2]

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: - SQRT { 3}]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: SQRT { 3}]	⑤　[eqn: 2]

다항식 [eqn: { 2x}^{3 } + { x}^{2 } + 3x]를 [eqn: { x}^{2 } +1]로 나눈 나머지는?

정답 ①

[eqn: 2x^3 + x^2 + 3x ``][eqn: = (x^2 +1 )(2x+1) + x-1]

따라서, 구하는 나머지는 [eqn: x-1]

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: x-1]	②　[eqn: x]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: x+3]	⑤　[eqn: 3x-1]

정적분 [eqn: INT _{ 1}^{0 } x(1-x)dx]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: int_0 ^1 x (1-x) `dx``][eqn: = int _0 ^1 (x-x^2 )` dx ``][eqn: = left[ x^2 over 2 - x^3 over 3 right]_0 ^1]

[eqn: = 1 over 2 - 1 over 3][eqn: = 1 over 6]

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: 1 over 3]

④　[eqn: 1 over 4]	⑤　[eqn: 1 over 6]

다음 벤 다이어그램에서 어두운 부분을 나타내는

집합은?

정답 ②

① [eqn: A SMALLINTER (B SMALLINTER C) ^{c}]	② [eqn: A SMALLINTER (B CUP C) ^{c}]

③ [eqn: A SMALLINTER (B ^{2} SMALLINTER C) ^{c}]      ④ [eqn: A SMALLINTER (B ^{c} SMALLINTER C ^{c} ) ^{c} =A SMALLINTER (B CUP C)]

⑤ [eqn: A SMALLINTER (B ^{c} CUP C ^{c} ) ^{c} =A SMALLINTER (B SMALLINTER C)]

(단, U는 전체집합, [eqn: rm {X it}^{ c}]는 X의 여집합을 나타낸다.)

[2점][1998학년도 수능]

① [eqn: RM A∩(B∩C it )^c]	② [eqn: rm A∩(B∪C it )^c]

③ [eqn: rm A∩({B it}^c} rm ∩C it )^c]	④ [eqn: rm A∩({B it}^c rm ∩{C it}^c )^c]

⑤ [eqn: rm A∩({B it}^c rm ∪C ^c it )^c]

좌표평면에서, 다음 함수 중 그 그래프가 임의의

직선과 항상 만나는 것은?

정답 ④

①

②

③

④

⑤

④번 그림 [eqn: y=x ^{3}]과 임의의 직선과는 적어도 한 점에서

만난다.

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: y= vert x vert]	②　[eqn: y= { x}^{2 }]	③　[eqn: y= SQRT { x}]

④　[eqn: y= { x}^{3 }]	⑤　[eqn: y= 1 over x]

이차방정식 [eqn: x^2 -mx+2m+1=0]의 한 근이 [eqn: 1]일

때 다른 한 근은? (단, [eqn: m]은 상수)

정답 ⑤

[eqn: x^2 - m `x + 2m +1=0]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1-m+2m+1=0]

[eqn: THEREFORE ```m=-2]

[eqn: x ^{2} +2x-3=0] [eqn: RARROW ```(x+1)(x-1)=0]

[eqn: THEREFORE ```x=-3,```1]

따라서 서로 다른 근은 [eqn: -3]

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: -1]	⑤　[eqn: -3]

다음은 어떤 정육면체의 전개도이다.

원래의 정육면체에서 ∠ABC의 크기는?

정답 ③

두 점 [eqn: A,```B]를 포함하는 면을

밑면으로 하여 정육면체를 만들

면 점 [eqn: C``]는 그림과 같은 꼭지점

이 된다.

[eqn: △ABC``]는 정삼각형이므로

[eqn: ∠ABC`` = 60^circ]

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 30°]	②　[eqn: 45°]	③　[eqn: 60°]

④　[eqn: 90°]	⑤　[eqn: 120°]

포물선 [eqn: y=- 1 over 4 x^2]의 점 [eqn: (2,```-1)]에서의 접선과

[eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?

정답 ①

[eqn: y =- 1 over 4 x^2 ``]에서 [eqn: y ``' = - 1 over 2 x ``]이므로

점 [eqn: (2,```-1)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -1]이다.

따라서, 접선의 방정식은 [eqn: y+1 = -1 (x-2)]

[eqn: y = -x+1 `]

따라서 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: S = 1 over 2 × 1×1][eqn: = 1 over 2]

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 1 over 2]	②　[eqn: 1 over 4]	③　[eqn: 3 over 4]

④　[eqn: 3 over 2]	⑤　[eqn: 5 over 4]

함수 [eqn: y=f`(x)]의 도함수 [eqn: y=f``'(x)]의 그래프가

아래 그림과 같다. 다음 중 옳은 것은?

정답 ③

[eqn: 4<x<5]에서 [eqn: f``'(x)>0]이므로

[eqn: 4<x<5]에서 [eqn: f``(x)]는 증가한다.

[eqn: y = f``(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: f`(x)]는 구간 [eqn: (-2,```1)]에서 증가한다.

②　[eqn: f`(x)]는 구간 [eqn: (1,```3)]에서 감소한다.

③　[eqn: f`(x)]는 구간 [eqn: (4,```5)]에서 증가한다.

④　[eqn: f`(x)]는 [eqn: x=2]에서 극소이다.

⑤　[eqn: f`(x)]는 [eqn: x=3]에서 극소이다.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지

숫자가 쓰여진 표적이 있다. [eqn: 5]명의

사격선수 [eqn: rmA,```B,```C,```D,```E]가 [eqn: 10]발씩

사격하여 맞춘 [eqn: 10]개의 수의 평균이

모두 [eqn: 5]가 되었다. [eqn: 5]명이 사격한 결과

는 다음과 같다.

[eqn: 5]명 중 맞춘 [eqn: 10]개 수의 표준편차가 가장 작은 사람

은?

정답 ②

[eqn: 5]명의 사격 결과는 다음과 같다.

[eqn: A```:```2,```2,```3,```4,```5,```5,```6,```7,```8,```9]

[eqn: B```:```2,```3,```4,```4,```5,```5,```6,```6,```7,```8]

[eqn: C```:```1,```1,```2,```4,```5,```5,```6,```8,```9,```9]

[eqn: D```:```1,```2,```3,```4,```5,```5,```6,```7,```8,```9]

[eqn: E```:```1,```2,```2,```4,```5,```5,```6,```8,```8,```9]

분산 [eqn: σ^2 = sum_i=1 ^n {(x_i - m )} over n][eqn: = sum_i=1 ^n {(x_i - 5 )} over 10]

즉, 표준편차가 가장 작은 사람은 [eqn: B``]이다.

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: rmA]	②　[eqn: rmB]	③　[eqn: rmC]

④　[eqn: rmD]	⑤　[eqn: rmE]

[eqn: LEFT ( {1+i} over {1-i} RIGHT ) ^{1998}]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt-1]이다.)

정답 ①

[eqn: 1+i over 1-i][eqn: = {(1+i`)^2 } over {(1-i`)(1+i`)}] [eqn: = {1+2i + (i)^2 } over 2][eqn: = i ``]

[eqn: left(1+i over 1-i right)^1998 ``][eqn: = (i)^1998][eqn: (i^4 )^499 ` i^2][eqn: =-1]

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: -1]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: -i]

④　[eqn: i]	⑤　[eqn: 1998]

방정식 [eqn: LEFT | x sup 2 +(a-2)x-2 RIGHT |=1]의 모든 근의 합이

[eqn: 0]일 때 상수 [eqn: a]의 값은?

정답 ②

[eqn: f``(x) = x^2 + (a-2) x -2 ``]라 놓으면 [eqn: y``]절편이 [eqn: -2]이므로

방정식 [eqn: |`f``(x)`| =1]의 근을 [eqn: alpha ,``` beta ,``` gamma ,``` delta]라 할 때,

[eqn: alpha + beta + gamma + delta]이기 위해서는 [eqn: y = |` f``(x)`|]의 그래프는

다음 그림과 같이 [eqn: y ``]축에 대칭이다.(우함수)

[eqn: THEREFORE ```a-2=0]  [eqn: THEREFORE ```a=2]

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ④

Ⅰ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때, 앞면이 [eqn: k``]회 나타날 확률을

[eqn: P_k ``]라 하면

[eqn: P_4 = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^4 left( 1 over 2 right)^6][eqn: = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^10]

[eqn: P_6 = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^6 left( 1 over 2 right)^4][eqn: = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^10]

그런데 [eqn: `_10 C_4 = _10 C _6]이므로 [eqn: P_4 = P_6 ``]  <참>

Ⅱ. [eqn: P_5 = _10 C _5 left( 1 over 2 right)^5 left( 1 over 2 right)^5][eqn: = _10 C _5 left( 1 over 2 right)^10]

동전을 [eqn: 20]회 던질 때, 앞면이 [eqn: 10]회 나타날 확률을

[eqn: Q _{10}]이라 하면

[eqn: Q_4 = _20 C _10 left( 1 over 2 right)^10 left( 1 over 2 right)^10][eqn: = _20 C _10 left( 1 over 2 right)^20 ``]

[eqn: ∴P_5 != Q_10 ``]  <거짓>

Ⅲ. [eqn: P_0 + P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 ``]

[eqn: = _10 C _0 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _1 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _2 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _3 left( 1 over 2 right)^10]

[eqn: + _10 C _4 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _5 left( 1 over 2 right)^10]

[eqn: =(1+10+45+120+210+252) LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}][eqn: = 638 over 1024][eqn: >0.5]

<참>

(단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 같다.)

[2점][1998학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때 앞면이 [eqn: 4]회 나타날 확률 과 앞면이 [eqn: 6]회 나타날 확률은 같다. ㄴ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때 앞면이 [eqn: 5]회 나타날 확률 과 [eqn: 20]회 던질 때 앞면이 [eqn: 10]회 나타날 확률은 같다. ㄷ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때 앞면이 나타날 횟수가 [eqn: 5]회 이하일 확률은 [eqn: 0.5]보다 크다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a sub n RIGHT }]은 처음 [eqn: 6]개 항 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} ,```a _{6}]

이 서로 다르고, [eqn: a _{n+6} =a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]을 만족시

킨다.

다음과 같이 정의된 수열 [eqn: left{b subn right}] 중 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} ,```a _{6}]

의 값이 모두 나타나는 것은?

정답 ④

수열 [eqn: left{ a_n ` right}]은 [eqn: a _{n+6} =a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]에서

주기가 [eqn: 6]인 수열을 이룬다.

① [eqn: b_n = a_2n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ``a _{3} , & ```a _{5} , & ```a _{7} , & ```a _{9} , & ```a _{11} , & ```a _{13} ,``` CDOTS # ` & ``□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ``a _{3} , & ```a _{5} , & ```a _{1} , & ```a _{3} , & ```a _{5} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

② [eqn: b_n = a_3n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{4} , & ```a _{7} , & ```a _{10} , & ```a _{13} , & ```a _{16} , & ```a _{19} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{4} , & ```a _{1} , & ```a _{4} , & ```a _{1} , & ```a _{4} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

③ [eqn: b_n = a_4n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{5} , & ```a _{9} , & ```a _{13} , & ```a _{17} , & ```a _{21} , & ```a _{25} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{5} , & ```a _{3} , & ```a _{1} , & ```a _{5} , & ```a _{3} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

④ [eqn: b_n = a_5n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{6} , & ```a _{11} , & ```a _{16} , & ```a _{21} , & ```a _{26} , & ```a _{31} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{6} , & ```a _{5} , & ```a _{4} , & ```a _{3} , & ```a _{2} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

⑤ [eqn: b_n = a_6n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{7} , & ```a _{13} , & ```a _{19} , & ```a _{25} , & ```a _{31} , & ```a _{37} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

수열 [eqn: left{ b_n ` right}]중 [eqn: n]의 값이 모두 나타나는 것은 ④이다.

<참고>에서 [eqn: a_5n+1]의 계수 [eqn: 5]는 [eqn: 6]과 서로소이다.

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: b subn = a sub2n+1]	②　[eqn: b subn= a sub 3n+1]

③　[eqn: b subn = a sub4n+1]	④　[eqn: b subn = a sub5n+1]

⑤　[eqn: b subn = a sub6n+1]

임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: n]의 양의 약수들의

총합을 [eqn: f`(n)]이라 하자. 예를 들면, [eqn: f`(3)=4], [eqn: f`(4)=7]

이다. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ③

Ⅰ. [eqn: 10]의 약수 : [eqn: 1,```2,```5,```10]

[eqn: f``(10) = 1+2 +5 +10 =18] <참>

Ⅱ. [eqn: f``(n) = n+1]이면 [eqn: n``]의 약수가 [eqn: 1,```n]뿐이므로

[eqn: n``]은 소수이다. <참>

Ⅲ. <반례>

[eqn: m= n =3]일 때,

[eqn: f`(3)=4,```f`(9)=1+3+9=13]

[eqn: THEREFORE ```f`(9) != f`(3)f`(3)]  <거짓>

[2점][1998학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: f`(10)=18] ㄴ. [eqn: f`(n)=n+1]이면 [eqn: n]은 소수이다. ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: m,```n]에 대하여 [eqn: f`(mn)=f`(m)f`(n)]이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 명제 ‘[eqn: 3m sup2 -n sup2 =1]을 만족하는 [eqn: BOX{~~㈎~~}]’에

대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

	[ 증 명 ]
…(생략)… [eqn: m,```n]이 정수이고, [eqn: 3m ^{2} =n ^{2} +1]이므로 [eqn: n sup2 +1]은 [eqn: 3]의 배수이다. 한편, 정수 [eqn: n]이 어떤 정수 [eqn: k]에 대하여, [eqn: n=3k]이면 [eqn: n sup2 =(3k) sup2 =9k sup2 =3(3k sup2 ),] [eqn: n=3k+1]이면 [eqn: n sup2 =(3k+1)sup2 =9k sup2 +6k+1=3(3k sup2 +2k) +1,] [eqn: n=3k+2]이면 [eqn: n ^{2} =(3k+2) ^{2} =9k ^{2} +12k+4] [eqn: =3(3k ^{2} +4k+1)~+1]이므로 [eqn: n sup2]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다. 따라서 [eqn: n sup2 +1]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다. …(생략)…

다음 중 위의 [eqn: BOX{~~㈎~~}]에 가장 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: 3m^2 - n^2 =1]을 만족하는 [eqn: m,```n]이 정수인 해는 없다.

<증명>귀류법을 쓰면 [eqn: m,```n]이 정수이고

[eqn: 3m^2 = n^2 +1]이므로 [eqn: n^2 +1]은 [eqn: 3]의 배수이다.[eqn: CDOTS CDOTS ```①]

한편, 정수 [eqn: n``]이 어떤 정수 [eqn: k``]에 대하여

[eqn: n= 3k ``]이면 [eqn: n^2 = (3k)^2 = 9 k^2 = 3(3k^2 `)]

[eqn: n= 3k+1]이면

[eqn: n^2 = (3k+1 )^2][eqn: = 9 k^2 + 6k +1][eqn: = 3(3k^2 + 2k `)+1]

[eqn: n= 3k+2]이면

[eqn: n^2 = (3k+2 )^2 ``][eqn: = 9 k^2 + 12k +4][eqn: = 3(3k^2 + 4k +1 `)+1]

이므로 [eqn: n^2 ``]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.

따라서, [eqn: n^2 +1]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다.

[eqn: CDOTS CDOTS ```②]

그러므로 ①, ②에 의하여 모순이다.

따라서, [eqn: 3m^2 - n^2 = 1]을 만족하는 [eqn: m,```n]이 모두 정수인

해는 없다.

[2점][1998학년도 수능]

①　[eqn: m,```n] 중 적어도 하나는 정수이다.

②　[eqn: m,```n] 중 어느 것도 정수가 아니다.

③　[eqn: m,```n]이 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.

④　[eqn: m,```n]이 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.

⑤　[eqn: m,```n]이 모두 정수인 해는 없다.

좌표평면에서 각 좌표축에

평행하지 않은 직선 [eqn: l]이 있다.

[eqn: l] 밖의 한 점 [eqn: rmP(itx _{1} ,```y _{1} )]에서

[eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH(itx _{2} ,```y _{2} )]

라 할 때, 선분 [eqn: rmPH]의 길이를

구하는 과정은 다음과 같다.

직선 [eqn: l]의 방정식을

[eqn: ax+by+c=0``` CDOTS CDOTS ```(1)]이라 하면

가정에서 [eqn: a≠0]이고 [eqn: b≠0]이다.

[eqn: l]의 기울기가 [eqn: -{a}over{b}]이므로 직선 PH의 방정식은

[eqn: y-y _{1} = BOX{~~㈎~~} ``` CDOTS CDOTS ```(2)]이다.

(1)과 (2)를 이용하면

[eqn: x_2 -x_2 ={-a(ax_1 +by_1 +c)}over{a^2 +b^2 }]

[eqn: y_2 -y_1 ={-b(ax_1 +by_1 +c)}over{a^2 +b^2 }]이다.

따라서 구하는 선분 PH의 길이는

[eqn: bar{rmPH} = BOX{~~㈏~~} = {vert ax _{1} +by _{1} +c vert } over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}}]이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 순서대로

적으면?

정답 ④

직선 [eqn: l]과 직선 [eqn: PH]는 수직이므로

직선 [eqn: PH]의 기울기는 [eqn: {b} over {a}]이다.

따라서, 직선 [eqn: PH]의 방정식은

[eqn: y-y _{1} = LEFT [ {b} over {a} (x-x _{1} ) RIGHT ] ``` CDOTS CDOTS ```①]

두 점 [eqn: P`(x _{1} ,```y _{1} )]와 [eqn: H(x _{2} ,```y _{2} )] 사이의 거리 [eqn: bar{PH}]는

[eqn: bar{PH} = LEFT [ sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ^{2} )} RIGHT ] ``` CDOTS CDOTS ```②]

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: {a} over {b} (x-x _{1} ),``` vert x _{2} -x _{1} vert + vert y _{2} +y _{1} vert]

②　[eqn: {b} over {a} (x-x _{1} ),```(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2}]

③　[eqn: - {b} over {a} (x-x _{1} ),``` sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2}}]

④　[eqn: {b} over {a} (x-x _{1} ),``` sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2}}]

⑤　[eqn: - {a} over {b} (x-x _{1} ),``` vert x _{2} +x _{1} vert + vert y _{2} -y _{1} vert]

다음과 같이 1부터 연속된 자연수가 규칙적으로

나열되어 있다.

[eqn: 1]행	[eqn: 1]

[eqn: 2]행	[eqn: 2]	[eqn: 3]

[eqn: 3]행	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]

[eqn: 4]행	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]

[eqn: 5]행	[eqn: 11]	[eqn: 12]	[eqn: 13]	[eqn: 14]	[eqn: 15]

[eqn: CDOTS CDOTS]

[eqn: 10]행	․	․	․	[eqn: CDOTS CDOTS]․	․	․	[eqn: BOX{~~~}]

[eqn: 10]행의 마지막에 들어갈 수는?

정답 ③

[eqn: 1]행에는 [eqn: 1]개, [eqn: 2]행에는 [eqn: 2]개, [eqn: 3]행에는 [eqn: 3]개,[eqn: CDOTS], [eqn: 10]행에는

[eqn: 10]개의 수가 차례로 나열되어 있으므로

[eqn: 1]행부터 [eqn: 10]행까지의 항의 개수는 [eqn: 55]개이다.

따라서, [eqn: 10]행의 마지막에 들어갈 수는 [eqn: 55]이다.

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 45]	②　[eqn: 50]	③　[eqn: 55]

④　[eqn: 60]	⑤　[eqn: 65]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이

[eqn: a _{1} =1,```a _{2} =2,```a _{n+2} =a _{n+1} +a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]을

만족시킨다. 무한급수[eqn: SUM from { { n}=1} to inf {a_n}over{a_n+1 a_n+2}]의 합은?

정답 ①

[eqn: a_n+1 = a_n+1 + a_n ``] [eqn: ~Rarrow~a_n = a_n+2 - a_n+1 ``]에서

[eqn: a_n over {a_n+1 a_n+2 }][eqn: = {a_n+2 - a_n+1 } over {a_n+1 a_n+2 }][eqn: = 1 over a_n+1 - 1 over a_n+2]이므로

[eqn: sum_n=1^n a_k over {a_k+1 `a_k+2 }][eqn: = sum_k=1 ^n left( 1 over a_k+1 - 1 over a_k+2 right)]

[eqn: = LEFT ( {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{3}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{3}} - {1} over {a _{4}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{4}} - {1} over {a _{5}} RIGHT ) + CDOTS]

[eqn: + left( 1 over a_n+1 - 1 over a_n+2 right)]

[eqn: = 1 over a_2 - 1 over a_n+2][eqn: = 1 over 2 - 1 over a_n+2]

수열 [eqn: left{ a_n ` right}]은 [eqn: a _{n+1} =a _{n+1} +a _{n}]을 만족하므로

증가하는 수열이고

따라서 [eqn: lim_n->inf 1 over a_n =0]이다.

[eqn: sum_n=1^inf a_n over {a_n+1 `a_n+2 }= 1 over 2]

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 1 over 2]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 3 over 2]

④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 3]

다음은 인공적인 핵분열을 가상적으로 모형화시

킨 것이다.

모든 불안정한 원자핵은 두 개의 핵으로 분열하

고, 이 때 생긴 핵은 안정할 수도 있고 불안정할

수도 있다. 불안정한 핵은 다시 두 개의 핵으로

분열하고, 이 과정은 안정한 핵들만 남을 때까지

계속된다. 또한 불안정한 핵이 불안정할 때마다

[eqn: 100rmMeV]의 에너지가 생성된다.

어떤 불안정한 원자핵 하나가 위와 같은 핵분열을 거듭

한 결과 [eqn: 8]개의 안정한 핵들만 남았다면, 이 핵분열

과정에서 생성되는 총 에너지는 몇 [eqn: rmMeV]인가?

정답 ②

위의 경우와 같이 [eqn: 8]개의 안정한 핵이 남기 위해서는

불안정한 핵이 [eqn: 7]번의 분열을 해야 하므로

핵분열과정에서 생성되는 총 에너지는

[eqn: 7× 100 rmMeV `= 700 rm MeV ``]

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 800]	②　[eqn: 700]	③　[eqn: 600]

④　[eqn: 500]	⑤　[eqn: 400]

수질오염의 정도를 수치로 나타내는 한 방법으로

생물학적 지표가 사용된다. 이 지표는 유색생물의 수가

X, 무색생물의 수가 Y일 때, [eqn: rm {Y}over{X+Y} TIMES 100(%)]로 정의

된다.

지난 달 수질검사에서 어떤 호수의 생물학적 지표는

[eqn: 10(%)]이었다. 이번 달에 이 호수의 수질을 검사한

결과, 지난달에 비해 유색생물의 수는 [eqn: 2]배, 무색생물의

수는 [eqn: 3]배가 되었다. 이번 달 이 호수의 생물학적 지표

는 몇 퍼센트[eqn: (%)]인가?

정답 ①

지난 달의 유색 생물의 수를 [eqn: X``,] 무색 생물의 수는

[eqn: Y``]라 하면 [eqn: Y over X+Y × 100 = 10]

따라서, [eqn: Y over X+Y = 1 over 10]에서 [eqn: X = 9Y ``]

한편, 이달의 유색 생물의 수는 [eqn: 2X ``,] 무색 생물의 수는

[eqn: 3Y ``]이므로

이번 달의 생물학적 지표는

[eqn: 3Y over 2X+3Y ×100][eqn: = 3Y over {2․9Y + 3Y } ×100][eqn: = 1 over 7 × 100][eqn: ≒14.3%]

[3점][1998학년도 수능]

①　약 [eqn: 14.3%]	②　약 [eqn: 15.2%]	③　약 [eqn: 16.4%]

④　약 [eqn: 17.1%]	⑤　약 [eqn: 18.5%]

정부가 통일 이후 필요한 통일비용을 마련하기

위해 예산의 일부를 [eqn: 2001]년부터 매년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일 적립한

다고 하자. 적립할 금액은 경제성장률을 감안하여 매년

전년도보다 [eqn: 6%]씩 증액한다.

[eqn: 2001]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일부터 [eqn: 10]조 원을 적립하기 시작한다면,

[eqn: 2010]년 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지 적립된 금액의 원리합계는

몇 조원인가?

정답 ③

적립된 금액의 원리합계는

[eqn: 10조 × (1.06)^10 + left{ 10조 ×(1.06)^1 right} ×(1.06)^9]

[eqn: + LEFT { 10조 TIMES (1.06) ^{2} RIGHT } TIMES (1.06) ^{8} + CDOTS]

[eqn: + LEFT { 10조 TIMES (1.06) ^{10} RIGHT } TIMES (1.06) ^{1}]

[eqn: = left{ 10조 ×(1.06)^10 right} ×10]

[eqn: = 10조 ×1.8×10 =180조(원)]

(단, 연이율 [eqn: 6%], [eqn: 1]년마다의 복리로 계산하고, [eqn: (1.06)^10]

은 [eqn: 1.8]로 계산한다.)

[4점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 160]	②　[eqn: 162]	③　[eqn: 180]

④　[eqn: 198]	⑤　[eqn: 220]

어떤 야구 선수가 상대팀의 투수 [eqn: rmA]와 대결할 때

안타를 칠 확률은 [eqn: 0.2]이고, 투수 [eqn: rmB]와 대결할 때 안타를

칠 확률은 [eqn: 0.25]이다. 한 경기에서 이 선수가 투수 [eqn: rmA]와

[eqn: 2]회 대결한 후 투수 [eqn: rmB]와 [eqn: 1]회 대결한다면, [eqn: 3]회의 대결

중 [eqn: 2]회 이상 안타를 칠 확률은?

정답 ②

A투수	B투수
○ × ○ ○ × ○	○ × ○

ⅰ) [eqn: 2]회 안타를 칠 확률

[eqn: P_1 = left(2 over 10 × 8 over 10 × 25 over 100 right)+ left(2 over 10 × 2 over 10 × 75 over 100 right)]

[eqn: + left(8 over 10 × 2 over 10 × 25 over 100 right)][eqn: = 11 over 100]

ⅱ) [eqn: 3]회 안타를 칠 확률

[eqn: P_2 = 2 over 10 × 2 over 10 × 25 over 100][eqn: = 1 over 100]

따라서, 구하는 확률은

[eqn: P= P_1 + P_2 ``][eqn: = 11 over 100 + 1 over 10][eqn: = 12 over 100][eqn: = 0.12]

[3점][1998학년도 수능]

①　[eqn: 0.10]	②　[eqn: 0.12]	③　[eqn: 0.14]

④　[eqn: 0.15]	⑤　[eqn: 0.16]

주관식 문항(25～30)

행렬 [eqn: A= {pmatrix{0&&1#2&&3}}]에 대하여 [eqn: A^2]의 모든 성분의

합을 구하시오.

정답 [eqn: 22]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{0&&1#2&&3}} {pmatrix{0&&1#2&&3}} = {pmatrix{2&&3#6&&11}}]

[eqn: THEREFORE ```2+3+6+11=22]

[2점][1998학년도 수능]

△ABC에서 [eqn: b=8], [eqn: c=7], [eqn: rm ANGLE A=120 DEG]일 때, [eqn: a]의

값을 구하시오.

정답 [eqn: 13]

[eqn: △ABC``]에서 제이코사인 법칙에 따라

[eqn: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA ``][eqn: = 8^2 + 7^2 - 2×8×7 × cos120^circ]

[eqn: = 64 + 49 - 2× 56 ×left( - 1 over 2 right)]	[eqn: = 169]

[eqn: THEREFORE ```a=13]

[3점][1998학년도 수능]

오른쪽 그림과 같이 좌표

평면의 제 [eqn: 1]사분면에서 두 곡선

[eqn: y=3- {1} over {2} x ^{2} ,```x ^{2} +y ^{2} =9]와 [eqn: x]축

으로 둘러싸인 부분을 [eqn: y]축 둘레

로 회전시킨 회전체의 부피를

[eqn: V]라 할 때, [eqn: {1}over{ pi }V]의 값을 구하시

오. (단, π는 원주율을 나타낸다.)

정답 [eqn: 9]

위의 그림에서 어두운 부분을 [eqn: y ``]축 둘레로 회전시킨

회전체의 부피[eqn: V``]는

[eqn: V = pi `` int _0 ^3 left{ (9-y^2 `) - (6-2y `) right} d y ``]

[eqn: = pi `` int _0 ^3 (-y^2 + 2y +3 )`` d y ``]

[eqn: = pi ``left[ - y^2 over 3 + y^2 + 3y right]_0^3][eqn: = 9 pi ``]

[eqn: THEREFORE ``` {1} over {pi } V= {1} over {pi } TIMES 9 pi][eqn: =9]

[3점][1998학년도 수능]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 4]개의

섬이 있다. [eqn: 3]개의 다리를 건설하

여 [eqn: 4]개의 섬 모두를 연결하는

방법의 수를 구하시오.

정답 [eqn: 16]

ⅰ) 한 섬에 다리를 [eqn: 1]개 또는 [eqn: 2]개를 건설하는 경우는

[eqn: A→B→C→D``,]

[eqn: A→C→D→B``,]

[eqn: CDOTS]

[eqn: D→C→B→A``,]

[eqn: B→D→C→A``,] [eqn: CDOTS]

[eqn: 4×3×2×1 = 24(가지)]

[eqn: A→B→C→D``]와 [eqn: D→C→B→A``,]

[eqn: A→C→D→B``]와 [eqn: B→D→C→A``]와 같은 것이

[eqn: 2]가지씩 있으므로 [eqn: 24 over 2 =12 (가지)]

ⅱ) 아래의 그림과 같이 한 섬에 세 개의 다리를 건설

하는 경우는 [eqn: 4]가지이다.

[eqn: THEREFORE ```12+4=16(가지)]

[3점][1998학년도 수능]

다음 그림은 함수 [eqn: y=1]과 함수 [eqn: y=0]의 그래프의

일부이다. 두 점 [eqn: rmA(0,```1)], [eqn: rmB(1,```0)] 사이를 [eqn: 0≦x≦1]에

서 정의된 함수 [eqn: y=a { x}^{3 } + b { x}^{2 } + c { x} + 1]의 그래프를 이용

하여 연결하였다. 이렇게 연결된 그래프 전체를 나타내

는 함수가 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,``` INF RIGHT )]에서 미분가능하도록 상수

[eqn: a,```b,```c]의 값을 정할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 13]

[eqn: (- INF ,``` INF )]에서 미분가능하려면 [eqn: x=0,```1]에서 연속이고

미분가능이어야 한다.

함수 [eqn: y=ax ^{3} +bx ^{2} +c`x+1]는 점 [eqn: (0,```6)]을 지나므로

[eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: x=1]에서 연속이려면 [eqn: 0 = a+b+c+1]

[eqn: THEREFORE ```a+b+c=-1]

[eqn: y``' = 3ax ^2 + 2bx +c ``]

ⅰ) [eqn: x=0]에서 미분가능하려면 [eqn: 0=c``]

ⅱ) [eqn: x=1]에서 미분가능하려면 [eqn: 3a+2b+c =0]

[eqn: THEREFORE ``` {cases{a+b=-1#3a+2b=0}}]

[eqn: THEREFORE ```a=2,```b=-3]

[eqn: THEREFORE ```a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =13]

따라서 [eqn: a^2 + b^2 =13]

[4점][1998학년도 수능]

수직선 위에 두 점 [eqn: rm P _{1} (0)]과 [eqn: rm P _{2} (80)]이 있다.

선분 [eqn: rm P_1 P_2]의 중점을 [eqn: rm P_3 it (x_3 )], 선분 [eqn: rm P_2 P_3]의 중점을

[eqn: rm P _{4} it (x _{4} ),``` CDOTS], 선분 [eqn: rmP _{itn} P _{itn+1}]의 중점을 [eqn: rmP _{itn+2} (itx _{n+2} )]라 할

때, [eqn: lim from { n -> inf } x_n]의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림

하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.

정답 [eqn: 53.33]

[eqn: x_n+1 = {x_n + x_n+1 } over 2], [eqn: x_n+1 = 1 over 2 x_n+1 + 1 over 2 x_n]

[eqn: x _{n+2} - alpha x _{n} = beta (x _{n+1} - alpha x _{n} `)]에서

[eqn: x _{n+2} -x _{n+1} =- {1} over {2} (x _{n+1} -x _{n} ``)]

[eqn: x _{n} =x _{1} + sum _{k=1} ^{n} 80 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1}][eqn: = 0+ 80 {left{ 1- left( - 1 over 2 right)^n-1 right}} over {1-left( - 1 over 2 right)}]

[eqn: = 160 over 3 left{ 1- left(- 1 over 2 right)^n-1 right}]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} x _{n} = {160} over {3}][eqn: ≒53.33]

[3점][1998학년도 수능]

정답과 해설