Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1995년 11월 22일
대상	고3 자연계 A형

1996학년도 수능《자연계》

[eqn: x=2- sqrt {3} ,```y=2+ sqrt {3}]일 때, [eqn: {y} over {x} + {x} over {y}]의 값은?

정답 ④

[eqn: x=2- sqrt {3} ,```y=2= sqrt {3}]에서 [eqn: x+y=4,```xy=1]

[eqn: y over x + x over y ``][eqn: ={x^2 + y^2 } over xy][eqn: = {(x+y)^2 - 2xy } over xy][eqn: = 14]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 8]	②　[eqn: 10]	③　[eqn: 12]

④　[eqn: 14]	⑤　[eqn: 16]

다항식 [eqn: x`^4`-`3`x`^2`+`a`x`+`5`]를 [eqn: x`+2`]로 나누면 나머

지가 [eqn: 3`]이다. [eqn: a`]의 값은?

정답 ③

[eqn: f(x) = x^4 - 3x^2 + ax +5]로 놓으면

[eqn: x+2 `]로 나눈 나머지는 나머지 정리에서

[eqn: f``(-2) =16 -12 -2a+5][eqn: = 9-2a``]

[eqn: 9-2a``= 3]   [eqn: ∴a=3]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: -2]	⑤　[eqn: -3]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&&-1#0&&1}}]일 때, [eqn: A`^3`]은?

정답 ①

[eqn: A= {pmatrix{1&&-1#0&&1}}]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{1&&-1#0&&1}} {pmatrix{1&&-1#0&&1}} = {pmatrix{1&&-2#0&&1}}]

[eqn: THEREFORE ```A ^{3} = {pmatrix{1&&-2#0&&1}} {pmatrix{1&&-1#0&&1}} = {pmatrix{1&&-3#0&&1}}]

[1점][1996학년도 수능]

① [eqn: {pmatrix{1&&-3#0&&1}}]	② [eqn: {pmatrix{1&&0#-3&&1}}]	③ [eqn: {pmatrix{1&&-1#-1&&1}}]

④ [eqn: {pmatrix{-1&&1#1&&-1}}]	⑤ [eqn: {pmatrix{3&&-3#0&&3}}]

정적분 [eqn: int_-1^1 |`x`|`e^x``d`x`]의 값은?

정답 ②

[eqn: int _{-1} ^{1} {} |``x``|`e ^{x} `dx``][eqn: = int _{-1} ^{0} {} -x`e ^{x} `dx``+ int _{0} ^{1} {} x`e ^{x} `dx``]

[eqn: = LEFT [ -x`e ^{x} RIGHT ] _{-1} ^{0} - int _{-1} ^{0} {} (-1`e ^{x} `)dx``][eqn: + LEFT [ x`e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {} (1`e ^{x} `)dx``]

[eqn: =0-e ^{-1} +[e ^{x} ] _{-1} ^{0} +e-0-[e ^{x} ] _{0} ^{1}]

[eqn: =2-2e ^{-1}][eqn: = 2(1-e^-1 `)]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 2(e+1)]	②　[eqn: 2(1-e^-1 )]	③　[eqn: 2(1-e-e^-1 )]

④　[eqn: 2(e^-1 -e)]	⑤　[eqn: 2(e+e^-1 )]

방정식 [eqn: cos ^{2} x-sin ^{2} 2x=0]을 만족하는 [eqn: 0 <= x <= 2 pi]

인 서로 다른 실근의 개수는?

정답 ④

[eqn: cos^2 x - sin^2 2x =0][eqn: (0<= x <= 2 pi `)]에서

[eqn: RARROW ```cos ^{2} x-4sin ^{2} x`cos ^{2} x=0]

[eqn: RARROW ```cos ^{2} x(1-4sin ^{2} x)=0]

[eqn: cosx=0```또는```sin ^{2} x= {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE ```x= {pi } over {2} ,``` {3} over {2} pi] 또는 [eqn: x= {pi } over {6} ,``` {5} over {6} pi ,``` {7} over {6} pi ,``` {11} over {6} pi]

∴ 모두 [eqn: 6]개

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 5]

④　[eqn: 6]	⑤　[eqn: 7]

삼각형 [eqn: rm AB`C`]에 대한 명제

[eqn: ‘ rm barAB`=`barAC`]이면 [eqn: ∠rmB`=`∠rmC`]이다’ 의 역, 이, 대우 중

참인 명제를 모두 적은 것은?

정답 ⑤

[eqn: barAB = barAC `] ⇒ [eqn: ∠B =∠C `]

역 : [eqn: ∠B =∠C `] ⇒ [eqn: barAB = barAC `]

이 : [eqn: barAB != barAC `] ⇒ [eqn: ∠B !=∠C `]

대우 : [eqn: ∠B !=∠C `] ⇒ [eqn: barAB != barAC `]

[1점][1996학년도 수능]

①　대우	②　역, 이	③　이, 대우

④　역, 대우	⑤　역, 이, 대우

오른쪽 그림은 미분가능한

함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]와 [eqn: y`=`x`]의 그래

프이다. [eqn: 0＜a＜b]일 때 다음

<보기> 중 옳은 것을 모두

고르면?

정답 ③

Ⅰ) [eqn: f(a) over a]는 원점과 점 [eqn: (a,```f(a))]를 잇는 직선의 기울기

[eqn: f(b) over b]는 원점과 점 [eqn: (b,```f(b))]를 잇는 직선의 기울기

따라서 [eqn: f(a) over a > f(b) over b]

Ⅱ) [eqn: A(a,```f(a)),```B(b,```f(b))]일 때, 직선 [eqn: AB ``]의 기울기는

[eqn: 1]보다 작으므로 [eqn: {f(b)-f(a)} over b-a <1]

[eqn: b-a>0]이므로 [eqn: f(b)- f(a) < b-a ``]

Ⅲ) [eqn: y = f(x)]에서 [eqn: f`'(x)]는 접선의 기울기이므로

점 [eqn: A(a,```f(a))]에서의 접선의 기울기가 점 [eqn: B(b,```f(b))]에

서의 접선의 기울기보다 크다.

[eqn: THEREFORE ```f` prime (a)>f` prime (b)]

[1점][1996학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: scale 90 {f``(a`)} over a scale 100 ＜ scale 90 {f``(b`)} over b`] ㄴ. [eqn: f``(b`)`-`f``(a`)`>`b`-`a`] ㄷ. [eqn: f``'(a`)`＞`f``'(b`)`]

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄴ	⑤　ㄴ, ㄷ

부등식 [eqn: (x`^2`-`4`y`^2`)`(x`^2`-`6`x`+`y`^2`+`8)`<=`0`]의 영역을

좌표평면 위에 검게 나타내면?

정답 ②

ⅰ)

ⅱ)

영역의 경계는 [eqn: x^2 - 4 y^2 =0]에서 [eqn: y = +- 1 over 2 x ``]

[eqn: x^2 - 6x +y^2 +8 =0]에서 [eqn: (x-3)^2 +y^2 =1]

따라서, 경계선의 방정식은

직선 [eqn: y = +- 1 over 2 x ``]와 원[eqn: (x-3)^2 +y^2 =1]

또, 원의 중심 [eqn: (3,```0)]에서 직선 [eqn: x+- 2y =0]에 이르는

거리를 구하면 [eqn: d = 3 over root 5 >1]이므로

원과 직선은 만나지 않는다.

원의 중심 [eqn: (3,```0)]을 주어진 부등식에 대입하면

부등식을 만족하므로 구하는 영역은 아래 그림과 같다.

(단, 검은 부분의 경계선은 포함한다.)

[1점][1996학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]의 그래프가

오른쪽 그림과 같이 주어져

있다. 아래의 그래프로 각각

주어진 함수

[eqn: y`=`g_1`(x`)`], [eqn: y`=`g_2`(x`)`],

[eqn: y`=`g_3`(x`)`] 중에서

[eqn: f``(x`)`]와 곱하여 얻어지는 함수

[eqn: y`=`f``(x`)`g_k`(x`)`][eqn: (k=1,```2,```3)]이 구간 [eqn: [-1,```3]]에서 연속

이 되는 [eqn: g_k`(x`)`]를 모두 고르면?

정답 ⑤

주어진 그래프를 이용하면

[eqn: f(x) = cases{-2x&(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#2x-4&(2<=x<=3)}]

[eqn: g_1 (x) = cases{x&(x<=1)#-x+2 &(x>=1)}],[eqn: g_2 (x) = cases{1&(x<0)#2&(x=0)#3& (x>0 )}]

[eqn: g_3 (x)= cases{1&(x<2) #-x+2 &(x>=2 ) }] 이고

따라서, [eqn: f(x)g_1 (x) = cases{-2x^2 &(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#(2x-4)(-x+2)&(2<=x<=3)}]

이고

[eqn: f(0)g _{1} (0)=0,```f(2)g _{1} (2)=0]이므로 연속이다.

[eqn: f(x)g_2 (x) = cases{-2x &(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#3(2x-4)&(2<=x<=3)}] 이고

[eqn: f(0)g _{2} (0)=0,```f(2)g _{2} (2)=0]이므로 연속이다.

[eqn: f(x)g_3 (x) = cases{-2x &(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#(2x-4)(-x+2)&(2<=x<=3)}]이고

[eqn: f(0)g _{3} (0)=0,```f(2)g _{3} (2)=0]이므로 연속이다.

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: g_1`(x`)`]	②　[eqn: g_2`(x`)`]	③　[eqn: g _{1} `(x),```g _{2} `(x)]

④　[eqn: g _{1} `(x),```g _{3} `(x)]	⑤　[eqn: g _{1} `(x),```g _{2} `(x),```g _{3} `(x)]

[eqn: k=1,```2,```3,```4,``` CDOTS]에 대하여 [eqn: b_k`]가 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이고

[eqn: log _{7} `2`= {b _{1}} over {2} `+` {b _{2}} over {2 ^{2}} `+` {b _{3}} over {2 ^{3}} `+` {b _{4}} over {2 ^{4}} `+` CDOTS `]일 때, [eqn: b _{1} ,```b _{2} ,```b _{3}]의

값을 순서대로 적으면?

정답 ②

[eqn: log _{7} `2= {b _{1}} over {2} + {b _{2}} over {2 ^{2}} + {b _{3}} over {2 ^{3}} + {b _{4}} over {2 ^{4}} + CDOTS]

[eqn: 2log _{7} `2=b _{1} + {b _{2}} over {2} + {b _{3}} over {2 ^{2}} + {b _{4}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

또, [eqn: log _{7} `4=b _{1} + {b _{2}} over {2} + {b _{3}} over {2 ^{2}} + {b _{4}} over {2 ^{3}} + CDOTS]     [eqn: THEREFORE ```b _{1} =0]

[eqn: 2log _{7} `4=b _{2} + {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

[eqn: log _{7} `16=b _{2} + {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]       [eqn: THEREFORE ```b _{2} =1]

[eqn: log _{7} ` {16} over {7} = {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

[eqn: 2log _{7} ` {16} over {7} =b _{3} + {b _{4}} over {2} + {b _{5}} over {2 ^{2}} + CDOTS]

[eqn: log _{7} `( {16} over {7} ) ^{2} =b _{3} + {b _{4}} over {2} + {b _{5}} over {2 ^{2}} + CDOTS]      [eqn: THEREFORE ```b _{3} =0]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0,```0,```0]	②　[eqn: 0,```1,```0]	③　[eqn: 0,```0,```1]

④　[eqn: 0,```1,```1]	⑤　[eqn: 1,```1,```1]

[eqn: rm bar{AB} =2,``` bar{BC} =1,``` ANGLE B=90˚]

인 직각삼각형 [eqn: rm AB`C`]가 있다.

변 [eqn: rm AB`]를 [eqn: n`]등분한 점을 오른쪽

그림과 같이 [eqn: rm B _{1} ,```B _{2} ,```B _{3} ,``` CDOTS],

[eqn: rm B_{itn-1`}]이라 하고, 각 점에서

변 [eqn: bar{rmBC}]에 평행하게 직선을 그어

변 [eqn: rm overline AB`]와 만나는 점을 각각

[eqn: rm C_1`,`~C_2`,`] [eqn: rm C _{3} ,``` CDOTS ,```C _{it n-1}]이라 할

때 [eqn: lim_{n`->`inf}`scale 90 {2`pi} over n scale 100 sum_k=1^n-1`bar{rmB _ k `rmC_k`}``^2`]의

값은?

정답 ④

[eqn: bar{B_k `C_k `^2 } = left( k over n right)^2]이므로

[eqn: lim_n->inf 2pi over n sum_k=1^n-1 bar{B_k `C_k `^2 }][eqn: = lim_n->inf 2pi over n sum_k=0^n-1 left( k over n right)^2]

[eqn: =2pi ` lim_n->inf 1 over n sum_k=0^n-1 left( k over n right)^2]

[eqn: =2pi int_0^1 x^2 dx ``][eqn: = 2pi over 3]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: scale 90 pi over 6`]	②　[eqn: scale 90 pi over 3`]	③　[eqn: scale 90 pi over 2`]

④　[eqn: scale 90 {2`pi} over 3`]	⑤　[eqn: pi`]

다음 자료들 중에서 표준편차가 가장 큰 것은?

정답 ①

표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 1,```5,```1,```5,```1,```5`,``1,```5,```1,```5`]

②　[eqn: 1,```5,```1,```5,```1,```5,```3,```3,```3,```3]

③　[eqn: 2,```4,```2,```4,```2,```4,```2,```4,```2,```4]

④　[eqn: 2,```4,```2,```4,```2,```4,```3,```3,```3,```3]

⑤　[eqn: 4,```4,```4,```4,```4,```4,```4,```4,```4,```4]

오른쪽 그림에서 직사각

형 [eqn: rm AODB]와 [eqn: rm OFGD]는 합동이

고 직사각형 [eqn: rm BDEC]와 [eqn: rm DGHE]

도 합동이다.

어떤 일차변환이 점 [eqn: rm B]를 점 [eqn: rm E]

로, 점 [eqn: rm D]를 점 [eqn: rm A]로 옮길 때,

점 [eqn: rm A]가 옮겨지는 점은?

정답 ⑤

좌표를 그림과 같이 정하고

주어진 일차변환의 행렬을 [eqn: P``]라 하면

[eqn: P {pmatrix{d&&d#a&&0}} = {pmatrix{e&&0#0&&a}}]

[eqn: THEREFORE ```P= {pmatrix{e&&0#0&&a}} {pmatrix{d&&d#a&&0}} ^{-1}][eqn: =- {1} over {ad} {pmatrix{e&&0#0&&a}} {pmatrix{0&&-d#-a&&d}} ^{-1}]

[eqn: =- {1} over {ad} {pmatrix{0&&-de#-a ^{2}&&ad}}][eqn: = {1} over {ad} {pmatrix{0&&de#a ^{2}&&-ad}}]

[eqn: P`` {pmatrix{0#a}} = {1} over {ad} {pmatrix{0&&de#a ^{2}&&-ad}} {pmatrix{0#a}}][eqn: = {1} over {ad} {pmatrix{abd#-a ^{2} d}} = {pmatrix{e#-a}}]

따라서, [eqn: H``]이다.

[1.5점][1996학년도 수능]

① [eqn: rm B]	② [eqn: rm C]

③ [eqn: rm F]	④ [eqn: rm G]	⑤ [eqn: rm H]

실수 전체에서 정의된 함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]의 그래프는

아래와 같다.

[eqn: g``(x`)`=`sin`x`]일 때 합성함수 [eqn: y`=`(g`∘f``)`(x`)`]의 그래프

의 개형은?

정답 ②

[eqn: 0<=x <2pi ``]에서 [eqn: f(x)=x ``]

[eqn: f``(x)]는 [eqn: 2 pi ``]를 주기로 하는 주기함수이므로

[eqn: f``(x) = x- 2n pi ``][eqn: (2n pi <= x<2(n+1) pi ,```n은```정수)]

[eqn: g(x)= sinx ``]에서

[eqn: y = (g circ f ``)(x) = sin(x-2n ``pi`` )= sinx ``]

[1점][1996학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

그림과 같은 자동차 경주

코스를 두 자동차 [eqn: A,`B`]가 같은

방향으로 돌고 있다. 자동차

[eqn: A,`B`]의 속력은 각각 [eqn: a`km]/분과

[eqn: b`km]/분이고, 경주 코스 한 바퀴의 길이는[eqn: c`km`]이다.

[eqn: 3`a`-`3`b`=`2`c`]가 성립한다고 할 때, 다음 중 옳은 것

은?

정답 ①

[eqn: 3a-3b=2c]에서 [eqn: 3(a-b)=2c]

따라서, [eqn: 3]분마다 [eqn: A]가 [eqn: B]보다 두 바퀴 더 돈다.

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 3]분마다 [eqn: A`]는 [eqn: B`]보다 두 바퀴 더 돈다.

②　[eqn: 3]분마다 [eqn: A`]는 [eqn: B`]보다 한 바퀴 더 돈다.

③　[eqn: 2]분마다 [eqn: A`]는 [eqn: B`]보다 세 바퀴 더 돈다.

④　[eqn: 2]분마다 [eqn: B`]는 [eqn: A`]보다 두 바퀴 더 돈다.

⑤　[eqn: 2]분마다 [eqn: B`]는 [eqn: A`]보다 세 바퀴 더 돈다.

반지름의 길이가 [eqn: r``]인 공이

잔잔한 물 위에 떠 있다.

오른쪽 그림과 같이 공의 수면

아래 부분의 깊이가 [eqn: scale 90 r over 3`]일 때,

다음 중에서 수면 위에 있는

부분의 부피를 나타내는 수학적

표현은?

정답 ②

구하는 부피는

원 [eqn: x^2 + y^2 = r^2 ``]을 [eqn: - 2 over 3 r <= r <= r ``]의 범위에서

[eqn: y``]축으로 회전한 입체의 부피와 같다.

[eqn: THEREFORE ```V= pi int _{- {2} over {3} r} ^{2r} {} (r ^{2} -y ^{2} ``)dy]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: pi`int_{r over 3}^{2`r}``(r`^2`-`y`^2`)``d`y``]

②　[eqn: pi`int_{- 2 over 3 r}^r``(r`^2`-`y`^2`)``d`y``]

③　[eqn: pi`int_{- 2 over 3 r}^r``(r`-`y`)^2``d`y``]

④　[eqn: pi`int_{r over 3}^{2`r}``(r`-`sqrt{r`^2`-`y`^2`}`)^2``d`y``]

⑤　[eqn: pi`int_{r over 3}^r``(r`-`sqrt{r`^2`-`y`^2`}`)^2``d`y``]

오른쪽 정육면체에서 임의의

세 꼭지점을 택하여 삼각형을

만들 때, 그림과 같은 정삼각형과

합동인 삼각형을 만들 수 있는

방법의 수는?

정답 ③

정육면체의 꼭지점이 [eqn: 8]개이고, 각 꼭지점마다 하나의

정삼각형을 만들 수 있으므로

[eqn: 8]개의 정삼각형을 만들 수 있다.

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 6]	③　[eqn: 8]

④　[eqn: 12]	⑤　[eqn: 24]

다음은 제품 [eqn: P_n`]을 만드는 방법과 소요시간에

대한 설명이다. (단, [eqn: n=2 ^{k} ,```k=0,```1,```2,```3,``` CDOTS])

가. 제품 [eqn: P_1`]을 한 개 만드는 데 걸리는 시간은

[eqn: 1`]이다.

나. 제품 [eqn: P_1`]을 차례대로 두 개 만든 다음에

이를 연결하면 제품 [eqn: P_2`]가 만들어진다.

다. 제품 [eqn: P_n`]을 차례대로 두 개 만든 다음에

이를 연결하면 제품 [eqn: P_2n`]이 한 개 만들어진다.

이 때 제품 [eqn: P_n`]을 두 개 연결하는데 걸리는 시간

은 [eqn: 2`n`]이다.

이 때, 제품 [eqn: P_16`]을 한 개 만드는 데 걸리는 시간은?

정답 ③

[eqn: n= 2^k ``], [eqn: k=0,```1,```2,```3,``` CDOTS]이고

[eqn: p _{1} ``` -> ```1]시간

[eqn: p _{2} ``` -> ```p _{1} p _{1} `]연결 : [eqn: 1+1+2 =4]시간

[eqn: p _{4} ``` -> ```p _{2} p _{2} `]연결 : [eqn: 4+4+ 2×2 =12]시간

[eqn: p _{8} ``` -> ```p _{4} p _{4} `]연결 : [eqn: 12+ 12+ 2×4 =32]시간

[eqn: p _{16} ``` -> ```p _{8} p _{8} `]연결 : [eqn: 32+32+ 2×8 = 80]시간

따라서, [eqn: p _{16}]을 한 개 만드는 데 [eqn: 80]시간이 걸린다.

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 32]	②　[eqn: 64]	③　[eqn: 80]

④　[eqn: 96]	⑤　[eqn: 112]

아래 그림은 정사각형들을 붙여 놓은 것이다.

정사각형 [eqn: A`]의 한 변의 길이와 [eqn: B`]의 한 변의 길이의 비

는?

정답 ④

[eqn: A]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하고 위 그림과 같이 차례로

정해 가면,

[eqn: B``]의 한 변의 길이는 [eqn: 11 over 6 a × 1 over 2 × 3 over 4 = 11 over 16 a ``]

[eqn: THEREFORE ```a```:``` {11} over {6} a=16```:```11]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 4~:``3`]	②　[eqn: 8~:``5`]	③　[eqn: 15~:``12`]

④　[eqn: 16~:``11`]	⑤　[eqn: 17~:``13`]

오른쪽 그림과 같이

선분 [eqn: rm AB`] 위에 한 점 [eqn: rm C`]를

잡고 선분 [eqn: rm AB`]의 위쪽에

두 정삼각형 [eqn: rm ACD], [eqn: rm BCE]

를 만들었다.

다음은 [eqn: rm barAE`=`barDB`]임을 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
정삼각형 [eqn: rm ACD]에서 [eqn: BOX{~~㈎~~} ``` CDOTS CDOTS ```(1)] 정삼각형 [eqn: rm BCE]에서 [eqn: BOX{~~㈏~~} ``` CDOTS CDOTS ```(2)] 또, [eqn: rm ANGLE ACD= ANGLE ECB=60˚]이므로 [eqn: rm ANGLE ACE=60˚+ ANGLE DCE= ANGLE DCB``` CDOTS CDOTS ```(3)] (1), (2), (3)에서 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로 [eqn: rm △ACE == △DCB] 따라서 [eqn: rm bar{AE} = bar{DB}]이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: △ACD ``]가 정삼각형이므로 [eqn: bar{AC} = bar{DC} ``` CDOTS CDOTS ```㈎]

[eqn: △BCE ``]가 정삼각형이므로 [eqn: bar{CE} = bar{CB} ``` CDOTS CDOTS ```㈏]

[1점][1996학년도 수능]

[가]	[나]

① [eqn: rm barAC`=`barAD`]	[eqn: rm barCE`=`barBE`]

② [eqn: rm barAC`=`barDC`]	[eqn: rm barCE`=`barBE`]

③ [eqn: rm barAD`=`barCD`]	[eqn: rm barCB`=`barBE`]

④ [eqn: rm barAC`=`barAD`]	[eqn: rm barCE`=`barCB`]

⑤ [eqn: rm barAC`=`barDC`]	[eqn: rm barCE`=`barCB`]

다음은  ‘[eqn: p`]가 짝수, [eqn: q`]가 홀수이면 방정식

[eqn: x`^2`+`p`x`-`2`q`=`0`]은 정수근을 갖지 않는다.’는 것을

증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
[eqn: x`]가 [eqn: BOX{~~㈎~~}]이면 [eqn: x`^2`]은 [eqn: BOX{~~㈎~~}]이고 [eqn: p`x`-`2`q`]는 짝수이다. 따라서 [eqn: x`^2`+`p`x`-`2`q`]가 [eqn: BOX{~~㈎~~}]가 되므로 [eqn: BOX{~~㈏~~}]이 될 수 없다. [eqn: x`]가 [eqn: BOX{~~㈐~~}]이면 [eqn: x`^2`+`p`x`]는 [eqn: 4`]의 배수이고 [eqn: 2`q`]는 [eqn: 4`]의 배수가 아니다. 그런데 [eqn: BOX{~~㈑~~}]이므로 모순이다. 따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.

위의 증명에서 (가)～(라)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: x``]가 (홀수)이면 [eqn: x^2]은 (홀수)이고

(∵[eqn: x = 2n -1]일 때, [eqn: x^2 = 4n^2 - 4n +1 `])

[eqn: px - 2q ``]는 짝수이다.

따라서, [eqn: x^2 +px -2q ``]가 (홀수)가 되므로

(0)이 될 수 없다.

(∵ [eqn: x^2 `]은 홀수 [eqn: px-2q ``]는 짝수)

[eqn: x``]가 (짝수)이면 [eqn: x^2 + px ``]는 [eqn: 4]의 배수이고

[eqn: 2q ``]는 반드시 [eqn: 4]의 배수 아니다.

그런데 [eqn: (x^2 +px=2q )]이므로 모순이다.

(∵ 좌변은 [eqn: 4]의 배수, 우변은 반드시 [eqn: 4]의 배수가 아니

다.)

따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.

[1.5점][1996학년도 수능]

(가)	(나)	(다)	(라)

① 짝수,	[eqn: 0],	홀수,	[eqn: x`^2`+`p`x`=`2`q`]

② 짝수,	이차식,	홀수,	[eqn: 2`q`]는 짝수

③ 정수,	[eqn: 0],	짝수,	[eqn: x`^2`+`p`x`=`2`q`]

④ 홀수,	이차식,	짝수,	[eqn: 2`q`]는 짝수

⑤ 홀수,	[eqn: 0],	짝수,	[eqn: x`^2`+`p`x`=`2`q`]

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지 자연수가 하나씩 적힌 열 개의

공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자 안의 공들을 잘

섞은 후에 차례로 두 개의 공을 꺼낼 때, 두 번째 꺼낸

공에 적힌 수가 처음 꺼낸 공에 적힌 수보다 큰 수일

확률은[eqn: scale 90 1 over 2`]이다. 다음은 이에 대한 증명이다.

(단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다)

	[ 증 명 ]
처음 꺼낸 공에 적힌 수를 [eqn: X_1`], 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수를 [eqn: X_2`]라 하고 구하는 확률을 [eqn: p`]라 하자. [eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: X_1`=`n`]인 사건을 [eqn: A_n`]이라 하고, [eqn: X_2`>=`n`+`1`]인 사건을 [eqn: B_n`]이라 하자. 그러면 [eqn: p= sum _{n=1} ^{10} ` BOX{~~㈎~~} `·`P(A _{n} )][eqn: =` sum _{n=1} ^{9} ` {10`-`n} over {9} ․` BOX{~~㈏~~}] [eqn: =scale 90 1 over 2`] 이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: p = sum_n=1^10 P(A_n ∩B_n `)][eqn: = sum_n=1^10 P(A_n `)․P(B_n |A_n `)]

[eqn: = sum_n=1^10 [P(B_n |A_n `)] P(A_n `)][eqn: = sum_n=1^10 1 over 10 ․ 10-n over 9]

[eqn: = sum_n=1^10 10-n over 9 ․ left[ ``1 over 10 right] = 1 over 2]

[1.5점][1996학년도 수능]

(가)	(나)

① [eqn: P`(A_n`∩`B_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 10`]

② [eqn: P`(B_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 10`]

③ [eqn: P`(B_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 9`]

④ [eqn: P`(B_n`|``A_n`)`]	[eqn: scale 90 9 over 10`]

⑤ [eqn: P`(B_n`|``A_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 10`]

함수 [eqn: f``(x`)`=scale 90 {x`^2} over 4 scale 100+`a`][eqn: (x`>=`0)`]의 역함수를 [eqn: g``(x`)`]라

할 때, 방정식 [eqn: f``(x`)`=`g``(x`)`]가 음이 아닌 서로 다른 두

실근을 가질 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

정답 ①

함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 서로 역함수이므로

직선 [eqn: y = x``]와 대칭이다.

따라서, [eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = g(x)]의 교점은 [eqn: y = f(x)]와

[eqn: y = x``]와의 교점과 같다.

곧, [eqn: {x ^{2}} over {4} +a=x]가 서로 다른 두 실근

을 가져야 하므로

[eqn: x^2 -4x +4a =0]에서

[eqn: D/4 = 4-4a >0]   [eqn: ∴~a<1]

그런데 [eqn: x>=0]이므로 음이 아닌 실근을 갖기 위해서는

[eqn: a>=0]이어야 한다.

[eqn: ∴~0<=a<1]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0`≦`a`＜`1`]	②　[eqn: a`≧`0`]	③　[eqn: a`＜`1`]

④　[eqn: 0`＜`a`＜`2`]	⑤　[eqn: a`＜`2`]

복소평면 위의 점 [eqn: P`(1)`]에

서 [eqn: i``]를 지나는 반직선 위의

점들의 집합을 [eqn: A`]라 하자.

[eqn: z`^5`=`1`]을 만족하는 서로 다른

[eqn: 5]개의 복소수 중에서 [eqn: A`]의

적당한 원소와의 곱이 실수가

되는 원소의 개수는?

정답 ④

[eqn: A= LEFT { alpha ` LEFT | `alpha -1=r`` LEFT ( cos {3} over {4} pi +i`sin {3} over {4} pi RIGHT ) RIGHT } RIGHT .]

[eqn: alpha =1+r``cos {3} over {4} pi +i`r``sin {3} over {4} pi ```(r >= 0)]

[eqn: z ^{5} =1,```z=cos {2k pi } over {5} +i`sin {2k pi } over {5}], [eqn: k=0,```1,```2,```3,```4]

[eqn: alpha z= LEFT ( 1+r``cos {3} over {4} pi +i`r``sin {3} over {4} pi `` RIGHT ) LEFT ( cos {2k pi } over {5} +i``sin {2k pi } over {5} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 1+r`cos {3} over {4} pi RIGHT ) cos {2k pi } over {5} -r``sin {3} over {4} pi ``sin {2k pi } over {5}]

[eqn: +i`` LEFT { LEFT ( 1+r`cos {3} over {4} pi RIGHT ) sin {2k pi } over {5} +r``sin {3} over {4} pi ``cos {2k pi } over {5} RIGHT }]

[eqn: ` alpha z IN R``]이려면 허수부가 [eqn: 0]이어야 하므로

[eqn: LEFT ( 1+r`cos {3} over {4} pi RIGHT ) sin {2k pi } over {5} +r``sin {3} over {4} pi ``cos {2k pi } over {5} =0]

[eqn: sin {2k pi } over {5} +r``sin LEFT ( {2k pi } over {5} + {3 pi } over {4} RIGHT ) =0]

ⅰ) [eqn: k=0]이면 [eqn: r =0]이 되어 실수가 된다.

ⅱ) [eqn: k=1]이면 [eqn: sin 2pi over 5 + r ` sin left( 2pi over 5 + 3pi over 4 right)=0]

[eqn: sin {2 pi } over {5} >0,```sin LEFT ( {2 pi } over {5} + {3 pi } over {4} RIGHT ) <0]이므로 실수가 된다.

ⅲ) [eqn: k=2]이면 [eqn: sin 4pi over 5 + r ` sin left( 4pi over 5 + 3pi over 4 right)=0]

[eqn: sin {4 pi } over {5} >0,```sin LEFT ( {4 pi } over {5} + {3 pi } over {4} RIGHT ) <0]이므로 실수가 된다.

ⅳ) [eqn: k=3]이면 [eqn: sin 6pi over 5 + r ` sin left( 6pi over 5 + 3pi over 4 right)=0]

[eqn: sin {6 pi } over {5} <0,```sin LEFT ( {6 pi } over {5} + {3 pi } over {4} RIGHT ) <0]이므로

실수가 되지 않는다.

ⅴ) [eqn: k=4]이면 [eqn: sin 8pi over 5 + r ` sin left( 8pi over 5 + 3pi over 4 right)=0]

[eqn: sin {8 pi } over {5} <0,```sin LEFT ( {8 pi } over {5} + {3 pi } over {4} RIGHT ) <0]이므로 실수가 된다.

[eqn: k=0,```1,```2,```4]의 [eqn: 4]가지이다.

(단, [eqn: i`=`sqrt-1`])

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

좌표평면 위의 세 점

[eqn: rm A(0,```2)], [eqn: rm B(-1,```0),```C(1,```0)]

으로 이루어지는 [eqn: rm △AB`C`]의

내부 또는 변 위의 점 [eqn: rm P`]에서

변 [eqn: rm AB,```BC,```CA]까지의 거리

를 각각 [eqn: a,```b,```c]라 하자.

[eqn: 4b=5(a+c) ^{2}]일 때, 점 [eqn: rm P]의

자취는?

정답 ②

직선 [eqn: AB``]의 방정식은 [eqn: 2x-y+2=0]

직선 [eqn: AC``]의 방정식은 [eqn: 2x+y-2=0]

[eqn: P(X,```Y`)]라 하면 주어진 조건에서

[eqn: Y <= 2x+2,```Y <= -2X+2,```Y >= 0``` CDOTS CDOTS ```ⅰ)]

[eqn: a= |2X-Y+2| over sqrt 5][eqn: = 2X-Y+2 over sqrt 5]

[eqn: b=Y ``]

[eqn: c = |2X+Y-2| over sqrt 5][eqn: = -2X-Y+2 over sqrt 5]

이것을 [eqn: 4b = 5(a+c)^2]에 대입하여 정리하면

[eqn: 4Y= 5 left( -2Y+4 over sqrt 5 right)^2]

[eqn: 4Y = 4Y``^2 -16Y + 16]

[eqn: Y``^2 -5Y+4 =0] [eqn: Rarrow~(Y-1)(Y+4) =0]

[eqn: THEREFORE ```Y=1,```4]

[eqn: Y =4]는 영역ⅰ)에 속하지 않으므로 [eqn: Y =1]

따라서, [eqn: x``]축에 평행인 선분

[2점][1996학년도 수능]

①　한 점	②　[eqn: x`]축에 평행인 선분

③　[eqn: y`]축에 평행인 선분	④　포물선의 일부인 곡선

⑤　원의 일부인 곡선

좌표공간에서 두 개의 구

[eqn: x`^2`+`y`^2`+`z`^2`=`6`], [eqn: (x-1)`^2`+`(y-2)`^2`+`(z-2)`^2`=`9`]

가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자.

평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: x`y`]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라고 할 때,

[eqn: cos`theta`]의 값은? (단, [eqn: 0`<=`theta``<=scale 90 pi over 2`])

정답 ③

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =6``` CDOTS CDOTS ```①]

[eqn: (x-1) ^{2} +(y-2) ^{2} +(z-2) ^{2} =9``` CDOTS CDOTS ```②]

[eqn: ①-②] : [eqn: 2x-1+4y-4+4z-4=-3]

[eqn: THEREFORE ```2x+4y+4z=6]

평면 [eqn: alpha]의 식은 [eqn: x+2y +2z =3]

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: (1,```2,```2)]

[eqn: xy]평면의 법선벡터는 [eqn: (0,```0,```1)]

[eqn: THEREFORE ```cos theta = {(1,```2,```2) BULLET (0,```0,```1)} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} +2 ^{2}} sqrt {0 ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2}}} = {2} over {3}]

[2점][1996학년도 수능]

① [eqn: scale 90 1 over 3`]	② [eqn: scale 90 1 over 2`]	③ [eqn: scale 90 2 over 3`]

④ [eqn: scale 90 sqrt3 over 2`]	⑤ [eqn: scale 90 3 over 4`]

보트가 남쪽에서 북쪽으로 [eqn: 10`m]/초의 등속도로

호수 위를 지나가고 있다. 수면 위 [eqn: 20`m`]의 높이에 동서

로 놓인 다리 위를 자동차가 서쪽에서 동쪽으로

[eqn: 20`m]/초의 등속도로 달리고 있다.

아래 그림과 같이 지금 보트는 수면 위의 점 [eqn: P`]에서

남쪽 [eqn: 40`m`], 자동차는 다리 위의 점 [eqn: rm Q`]에서 서쪽 [eqn: 30`m`]

지점에 각각 위치해 있다. 보트와 자동차 사이의 거리

가 최소가 될 때의 거리는?

정답 ④

[eqn: P``]를 원점 [eqn: O``,] 보트 자동차의 출발점을 각각

[eqn: (40,```0,```0),] [eqn: (0,```-30,```20)]으로 하는 공간좌표를 정하면

[eqn: t``]초 후의 각각의 위치 [eqn: A,```B]는

[eqn: A`(40-10t,```0,```0),] [eqn: B`(0,```-30+20t,```20)]

[eqn: barAB``^2 = (40-10t`)^2 + (-30+20t`)^2 + 20^2]

[eqn: = 100(t^2 -8t+16) + 100(4t^2 -12t +9) +400]

[eqn: = 100(5t`^2 -20t+29)]

[eqn: = 100left{ 5(t-2)^2 +9 right}][eqn: >= 900]

[eqn: THEREFORE ``` bar{AB} `` >= 30]

(단, 자동차와 보트의 크기는 무시하고, 선분 [eqn: rm PQ`]는

보트와 자동차의 경로에 각각 수직이다.)

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 21`m`]	②　[eqn: 24`m`]	③　[eqn: 27`m`]

④　[eqn: 30`m`]	⑤　[eqn: 33`m`]

대학수학능력시험 수리․탐구 영역(Ⅰ)의 문항수는

[eqn: 30]개이고 배점은 [eqn: 40]점이다. 문항별 배점은 [eqn: 1]점, [eqn: 1.5]점,

[eqn: 2]점의 세 종류이다. 각 배점 종류별 문항이 적어도 한

문항씩 포함되도록 하려면 [eqn: 1]점짜리 문항은 최소 몇 문

항이어야 하는가?

정답 ④

[eqn: 1]점짜리 문항을 [eqn: x]개, [eqn: 1.5]점짜리 문항을 [eqn: y]개,

[eqn: 2]점짜리 문항을 [eqn: z]개라고 하면

[eqn: x+1.5y+2z=40``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: x+y+z=30```(x >= 1,```y >= 1,```z >= 1)``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: ㉠×2 - ㉡×3]하면 [eqn: -x+z =-10]

[eqn: ∴~x = z+10]

[eqn: z>=1]이므로 [eqn: x = z+10>11]

이 때 [eqn: y = 18]이고 주어진 조건을 만족하므로

[eqn: x``]의 최소값은 [eqn: 11]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 8]	②　[eqn: 9]	③　[eqn: 10]

④　[eqn: 11]	⑤　[eqn: 12]

가로의 길이가 [eqn: 10], 세로의 길이가 [eqn: 6]인 아래 그림

과 같은 직사각형의 내부에서 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원

이 지나간 자리에는 형광 페인트가 칠해진다고 한다.

원의 중심이 그림과 같이 [eqn: rm A`]부터 [eqn: rm B`]까지 화살표 방향의

경로를 따라 움직일 때, 직사각형의 영역 중 형광 페인

트가 칠해지지 않는 부분의 넓이는?

정답 ③

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이

화살표 방향을 따라 이동할

때 지나지 않는 부분은

오른쪽 아래 그림에서

어두운 부분이다.

따라서, 그 넓이는 한 변의

길이가 [eqn: 2]인 정사각형에서

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을

제외한 부분의 넓이의

[eqn: 2]배와 같다.

[eqn: ∴~2(4-pi ``)]

(단, 경로를 구성하는 모든 선분은 직사각형의 변에

평행하거나 수직이다.)

[2점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 10`-scale 90 5 over 2 scale 100 pi`]	③　[eqn: 8`-`2`pi`]

④　[eqn: 6`-scale 90 3 over 2 scale 100 pi`]	⑤　[eqn: 4`-`pi`]

반지름의 길이 [eqn: 1`rmm]인 원판에 기대어 있는 막대

[eqn: rm bar{OP}]의 한 끝은 아래 그림과 같이 평평한 지면 위의

한 점 [eqn: rm O]에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하는 점을

[eqn: rm Q]라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게

등속도 [eqn: 1.5`rmm]/초로 움직인다. [eqn: rm bar{OQ} =2`m]되는 순간,

막대 [eqn: rm bar{OP}]가 지면과 이루는 각의 크기 [eqn: theta]의 시간에 대한

순간변화율은? (단, 단위는 라디안/초이다)

정답 ①

[eqn: t]초 후의 선분 [eqn: OQ]의 길이는 [eqn: 1.5t]이므로

[eqn: tan {theta } over {2} = {1} over {1.5t} = {2} over {3t} ``]

[eqn: THEREFORE ```tan theta = {2tan {theta } over {2}} over {1-tan ^{2} {theta } over {2}}][eqn: = {{4} over {3t}} over {1- {4} over {9t`` ^{2}}}][eqn: = {12t} over {9t` ^{2} -4}]

양변을 [eqn: t]에 관하여 미분하면

[eqn: sec ^{2} theta ․ {d theta } over {dt} = {12(9t`` ^{2} -4)-12t TIMES 18t`} over {(9t` ^{2} -4) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ``` {d theta } over {dt} = {-12(9t`` ^{2} +4)`} over {(9t` ^{2} -4) ^{2}} BULLET cos ^{2} theta]

그런데 [eqn: barOQ = 2]이면 [eqn: 1.5t =2]에서 [eqn: t = 4 over 3]

이 때 [eqn: tan theta = {4} over {3} ,```cos theta = {3} over {5}]이므로

[eqn: LEFT [ {d theta } over {dt} RIGHT ] _{t= {4} over {3}}][eqn: = {-12 LEFT { 9 TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} +4 RIGHT }} over {LEFT { 9 TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} -4 RIGHT }} TIMES LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2}][eqn: = - 3 over 5]

[2점][1996학년도 수능]

①　[eqn: - scale 90 3 over 5`]	②　[eqn: -scale 90 3 over 2`]	③　[eqn: -scale 90 3 over 10`]

④　[eqn: -scale 90 sqrt5 over 6`]	⑤　[eqn: - scale 90 3 over {2`sqrt5}`]

정답과 해설