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정 답

1	①	2	②	3	②	4	④	5	③
6	③	7	⑤	8	①	9	⑤	10	③
11	④	12	①	13	②	14	②	15	④
16	⑤	17	④	18	①	19	④	20	③
21	⑤	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 7]	25	[eqn: 20]
26	[eqn: 15]	27	[eqn: 110]	28	[eqn: 55]	29	[eqn: 60]	30	[eqn: 21]

해 설

1. [출제의도] 제곱근의 성질을 이해하고 식의 값을 계산한다.

[eqn: LEFT(root5 +2 RIGHT)LEFT(root5 -2RIGHT )`][eqn: =LEFT ( root5 RIGHT )`^2 -2`^2`][eqn: =5-4`][eqn: =1`]

2. [출제의도] 일차방정식의 해를 구한다.

[eqn: 7x+3=5x+1`]에서

[eqn: 7x-5x=1-3`]

[eqn: 2x=-2`]

따라서 [eqn: x=-1`]

3. [출제의도] 함수의 뜻을 이해하고 상수의 값을 구한다.

함수 [eqn: y= 6 overx`]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 3,``a RIGHT )`]를 지나므로

[eqn: x=3], [eqn: y=a`]를 대입하면

[eqn: a`][eqn: = 6 over3`][eqn: =2`]

4. [출제의도] 인수분해 공식을 이용하여 상수의 값을 구한다.

[eqn: x ^{2} +6x+8`]을 인수분해하면

[eqn: x ^{2} +6x+8`][eqn: =LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+4 RIGHT )`][eqn: =LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) `]

따라서 [eqn: a=4`]

5. [출제의도] 곱셈 공식을 알고 이를 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.

[eqn: LEFT ( x+y RIGHT )`^2 `][eqn: =x^2 +2xy +y^2`]에서

[eqn: x+y`][eqn: =6], [eqn: x`^2 +y`^2 `][eqn: =22`]를 대입하면

[eqn: 2xy`][eqn: = LEFT ( x+y RIGHT )`^2 - LEFT ( x`^2 +y`^2` RIGHT )`]
[eqn: =6`^2 -22`]
[eqn: =14`]

따라서 [eqn: xy`][eqn: =7`]

6. [출제의도] 지수의 성질을 이해하고 주어진 식의 값을 구한다.

[eqn: LEFT ( 7`^3 times `9`RIGHT ) `^3`][eqn: =LEFT ( 7`^3 times 3`^2 RIGHT )`^3`]
[eqn: =7`^3times3`times3`^2times3`]
[eqn: =7`^9 times `3`^6`]

[eqn: 7` ^{9} TIMES` 3` ^{6} `][eqn: =7`^a times `3`^b`]이고 [eqn: a], [eqn: b`]는 자연수이므로

[eqn: a=9], [eqn: b=6`]

따라서 [eqn: a+b`][eqn: =9+6`][eqn: =15`]

7. [출제의도] 일차함수의 그래프의 평행이동을 이해하고 조건을 만족시키는 값을 구한다.

일차함수 [eqn: y=ax+b`]의 그래프는 일차함수 [eqn: y=2x`]의 그래프와 평행하므로 두 직선의 기울기는 서로 같다.

따라서 [eqn: a=2`]

일차함수 [eqn: y=2x+b`]의 그래프의 [eqn: x`]절편이 [eqn: 3`]이므로

[eqn: x=3], [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: 0`][eqn: =2 times3 +b], [eqn: b=-6`]

따라서 [eqn: a+b`][eqn: =2+ LEFT ( -6 RIGHT )`][eqn: =-4`]

8. [출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이해하고 이차함수의 최솟값을 구한다.

주어진 식을 변형하면

[eqn: y`][eqn: =2x`^2 -4x+5`]
[eqn: =2` LEFT ( x`^2 -2x` RIGHT )`+5`]
[eqn: =2 `LEFT ( x`^2 -2x+1-1` RIGHT )+5`]
[eqn: =2` LEFT ( x`^2 -2x+1` RIGHT )-2+5`]
[eqn: =2` LEFT ( x-1 RIGHT )`^2 +3`]

이므로 이차함수 [eqn: y=2x`^2 -4x+5`]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 이차함수 [eqn: y=2x`^2 -4x+5`]의 최솟값은 [eqn: x=1`]일 때 [eqn: 3`]이다.

9. [출제의도] 연립부등식의 정수인 해의 개수를 구한다.

주어진 연립부등식

[eqn: {cases{`2x`<`x+9 _{`}#` ^{`} x+5` LEQ `5x-3}} `]

에서 부등식 [eqn: 2x<x+9`]를 풀면

[eqn: 2x-x<`9`]

[eqn: x<9`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

마찬가지로 부등식 [eqn: x+5` LEQ `5x-3`]을 풀면

[eqn: x-5x LEQ-3-5`]

[eqn: -4x LEQ-8`]

[eqn: x GEQ2`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

두 부등식 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x`]의 값의 범위를 수직선에 나타내면 다음과 같다.

위 그림에서 구하는 [eqn: x`]의 값의 범위는

[eqn: 2LEQ`x` < `9`]

이 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8`]이다.

따라서 구하는 정수의 개수는 [eqn: 7`]이다.

10. [출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 선분의 길이를 구한다.

두 삼각형 [eqn: rmABD], [eqn: rmDBC`]에 대하여

대각선 [eqn: rmBD`]가 [eqn: rm angle B`]의 이등분선이므로

[eqn: rm angle ABD= angleDBC`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

주어진 조건에서

[eqn: rm angle BDA= angle BCD`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: rm TRIANGLE ABD`□` TRIANGLE `DBC`]

[eqn: rm bar AB`:`barDB`=`barDB`:`barCB`]에서

[eqn: rmbarDB `^2 `][eqn: rm= barAB`times barCB`]
[eqn: =4 times9`]
[eqn: =36`]

따라서 [eqn: rm bar DB`=6`]

[eqn: rm bar AB`:`barAD`=`barDB`:`barDC`]에서

[eqn: rm bar AB`times`barDC`][eqn: rm=barAD`times`barDB`]

[eqn: 4 `times `rmbarDC`][eqn: =3 times6`]

따라서 [eqn: rmbarDC`][eqn: = 18 over4`][eqn: = 9 over2`]

11. [출제의도] 히스토그램을 이해하여 자료의 평균을 구한다.

[eqn: 25`]세 이상 [eqn: 35`]세 미만인 계급의 도수를 [eqn: a`]라 하고 위 히스토그램을 이용하여 도수분포표를 만들면 다음과 같다.

나이(세)	도수(명)
[eqn: 15]이상~[eqn: 25]미만	[eqn: 4]
[eqn: 25]이상~[eqn: 35]미만	[eqn: a]
[eqn: 35]이상~[eqn: 45]미만	[eqn: 6]
[eqn: 45]이상~[eqn: 55]미만	[eqn: 4]
합계	[eqn: 25]

도수의 합계가 [eqn: 25`]이므로

[eqn: 4+a+6+4`][eqn: =25`]에서 [eqn: a=11`]

도수분포표에서 [eqn: 15`]세 이상 [eqn: 25`]세 미만인 계급의 계급값은 [eqn: 20`](세)이므로

(계급값)[eqn: times](도수)[eqn: =20 times4`][eqn: =80`]

다른 계급에 대해서도 마찬가지 방법으로 계산하여 표로 나타내면 다음과 같다.

나이(세)	계급값(세)	도수(명)	(계급값)[eqn: times](도수)
[eqn: 15]이상~[eqn: 25]미만	[eqn: 20]	[eqn: 4]	[eqn: 20 times4`][eqn: =80`]
[eqn: 25]이상~[eqn: 35]미만	[eqn: 30]	[eqn: 11]	[eqn: 30 times11`][eqn: =330`]
[eqn: 35]이상~[eqn: 45]미만	[eqn: 40]	[eqn: 6]	[eqn: 40 times6`][eqn: =240`]
[eqn: 45]이상~[eqn: 55]미만	[eqn: 50]	[eqn: 4]	[eqn: 50 times4`][eqn: =200`]
합계		[eqn: 25]	[eqn: 850`]

위의 표를 이용하여 평균을 구하면

[eqn: (평균)`][eqn: = {LEFT{(계급값)times(도수) RIGHT } 의~총합}over{(도수)의 ~총합}`]
[eqn: ={80+330+240+200}over25`]
[eqn: = 850 over25`][eqn: =34`](세)

12. [출제의도] 삼각형의 내심과 외심의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

위의 그림과 같이 내접원의 중심에서 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 세 변에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: rm bar AE`=itx`]라 놓으면 내접원의 성질에 의해

[eqn: rm bar CD`][eqn: rm= `barCE`][eqn: =2`]

[eqn: rm barBD`][eqn: rm=`barBF`][eqn: rm=10`]

[eqn: rm bar AF`][eqn: rm=`barAE`][eqn: =x`]

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2`]이므로 이것을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하면

[eqn: rm triangleABC`][eqn: rm= 1over2 times 2times LEFT ( ` barAB` +` barBC `+` barCA `RIGHT )`]
[eqn: = 1over2 times 2 times LEFT{(x+10)+12+(2+x) RIGHT }`]
[eqn: =2x+24`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

다른 방법으로 넓이를 구하면

[eqn: rm triangleABC`][eqn: = 1over2 times rm` barBC` times` barAC`]
[eqn: = 1over2 times 12 times LEFT ( `x+2` RIGHT )`]
[eqn: =6x+12`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡이 서로 같으므로

[eqn: 2x+24=6x+12`]에서 [eqn: x=3`]

따라서 직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 빗변 [eqn: rmAB`]의 길이는 [eqn: 13`]이다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 빗변 [eqn: rmAB`]는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원의 지름이다. 그러므로 직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원의 둘레의 길이는 [eqn: 13 pi`]이다.

[다른 풀이]

위의 그림과 같이 내접원의 중심에서 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 세 변에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: rm bar AE`=itx`]라 놓으면 내접원의 성질에 의해

[eqn: rm bar CD`][eqn: rm= `barCE`][eqn: =2], [eqn: rm barBD`][eqn: rm=`barBF`][eqn: rm=10], [eqn: rm bar AF`][eqn: rm=`barAE`][eqn: =x`]

삼각형 [eqn: rm ABC`]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm{ barAB}`^2 ={ barBC}`^2 +{ barCA}`^2 `]

[eqn: LEFT ( x+10 RIGHT )`^2`][eqn: =12`^2 + LEFT ( 2+x RIGHT )`^2 `]

[eqn: x`^2 +20x+100=144+4+4x+x`^2]

[eqn: 16x=48`]에서 [eqn: x=3`]

따라서 직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 빗변 [eqn: rmAB`]의 길이는 [eqn: 13`]이다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 빗변 [eqn: rmAB`]는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원의 지름이다. 그러므로 직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원의 둘레의 길이는 [eqn: 13 pi`]이다.

13. [출제의도] 주어진 상황을 이해하여 확률을 구한다.

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져 나오는 모든 경우의 수는 [eqn: 6 times6`][eqn: =36`]이다. 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하고 이것을 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT ) `]으로 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: a`] [eqn: b]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: 1]	[eqn: (1,``1)]	[eqn: (1,``2)]	[eqn: (1,``3)]	[eqn: (1,``4)]	[eqn: (1,``5)]	[eqn: (1,``6)]
[eqn: 2]	[eqn: (2,``1)]	[eqn: (2,``2)]	[eqn: (2,``3)]	[eqn: (2,``4)]	[eqn: (2,``5)]	[eqn: (2,``6)]
[eqn: 3]	[eqn: (3,``1)]	[eqn: (3,``2)]	[eqn: (3,``3)]	[eqn: (3,``4)]	[eqn: (3,``5)]	[eqn: (3,``6)]
[eqn: 4]	[eqn: (4,``1)]	[eqn: (4,``2)]	[eqn: (4,``3)]	[eqn: (4,``4)]	[eqn: (4,``5)]	[eqn: (4,``6)]
[eqn: 5]	[eqn: (5,``1)]	[eqn: (5,``2)]	[eqn: (5,``3)]	[eqn: (5,``4)]	[eqn: (5,``5)]	[eqn: (5,``6)]
[eqn: 6]	[eqn: (6,``1)]	[eqn: (6,``2)]	[eqn: (6,``3)]	[eqn: (6,``4)]	[eqn: (6,``5)]	[eqn: (6,``6)]

이 중에서 두 눈의 수의 합이 [eqn: rm8`]보다 큰 경우는 다음과 같다.

ⅰ) 두 눈의 수의 합이 [eqn: 9`]인 경우

[eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)]

ⅱ) 두 눈의 수의 합이 [eqn: 10`]인 경우

[eqn: (4,``6)], [eqn: (5,``5)], [eqn: (6,``4)]

ⅲ) 두 눈의 수의 합이 [eqn: 11`]인 경우

[eqn: (5,``6)], [eqn: (6,``5)]

ⅳ) 두 눈의 수의 합이 [eqn: 12`]인 경우

[eqn: (6,``6)]

이상에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 10`]이다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: 10 over36`][eqn: = 5 over18`]이다.

14. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

호 [eqn: rmAB`]를 포함한 원을 그리면 아래와 같다. 원의 중심을 [eqn: rmO`]라 하면 반지름 [eqn: rmON`]은 현 [eqn: rmAB`]를 수직이등분 하므로 삼각형 [eqn: rmOBM`]은 [eqn: rm angleBMO=`90`°`]인 직각삼각형이다.

직각삼각형 [eqn: rmOBM`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{OB}} ` ^{2} = `{bar{OM}} ` ^{2} + `{bar{MB}} ` ^{2} `]이므로

[eqn: 6`^2 =rm`{ barOM}` ^2 +4`^2`]

[eqn: rm{ barOM}` ^2 `][eqn: = 36-16`]
[eqn: =20`]

[eqn: rmbarOM`>0`]이므로 [eqn: rmbarOM`=2root5`]

[eqn: rmbarMN`][eqn: =rm`barON` - `barOM`]
[eqn: =6-2root5`]([eqn: rmm`])

따라서 [eqn: a=6-2root5`]

[다른 풀이]

호 [eqn: rmAB`]를 포함한 원을 그리면 아래와 같다.

선분 [eqn: RMMN`]의 연장선과 이 원의 교점을 [eqn: RMC`]라 하면 원주각의 성질에 의해

[eqn: angle RMCNA=ANGLECBA], [eqn: ANGLERMNAB=ANGLENCB`]이므로
[eqn: TRIANGLE{rm AMN `□`TRIANGLE{rm CMB`]

따라서 [eqn: BAR{RMAM}`: `BAR{RMMN}`= `BAR{RMCM}`:`BAR{RMMB}`]

[eqn: BAR{RMMN} `TIMES`BAR{RMCM}`=BAR{RMAM}`TIMES`BAR{RMMB}`]

[eqn: a left(12-a right)`][eqn: =4times4`]
[eqn: 12a-a`^2 =16`]
[eqn: a`^2 -12a+16=0`]
[eqn: a=6+-2sqrt5`]

[eqn: a<6`]이므로 [eqn: a=6-2root5`]

15. [출제의도] 삼각비를 알고 삼각형의 넓이를 이용하여 선분의 길이의 비를 구한다.

높이가 같은 두 삼각형에서 밑변의 길이의 비는 넓이의 비와 같다.

점 [eqn: rmA`]에서 선분 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자. [eqn: rmtriangle ABD`][eqn: = 1over2 times rm bar BD `times`barAH`]

[eqn: rm triangle ADC`][eqn: =rm 1over2 times` barDC`times` barAH`]이므로

[eqn: rm barBD overbarDC`][eqn: = rm triangleABD overtriangleADC`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: rm triangle ABD`][eqn: = 1over2 times rm` barAB `times`barAD` times` sin 45 `°`]
[eqn: = 1over2 times 12 times rm`barAD` times root2 over2`]
[eqn: =3root2`times`rm `bar AD`]

[eqn: rm triangle ADC`][eqn: = 1over2 times rm `barAD `times`barAC` times` sin 30 `°`]
[eqn: = 1over2 times rm`barAD` times`8 root2 ` times` 1 over2`]
[eqn: =2root2`times`rm` bar AD`]

따라서 ㉠에 의해

[eqn: rm barBD overbarDC`][eqn: = rm triangleABD overtriangleADC`]
[eqn: ={3root2 `times rm`barAD}over{2root2 `times rm`barAD}`]
[eqn: = 3 over2`]

[다른 풀이]

높이가 같은 두 삼각형에서 밑변의 길이의 비는 넓이의 비와 같다.

점 [eqn: rmA`]에서 선분 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자. [eqn: rmtriangle ABD`][eqn: = 1over2 times rm` bar BD `times`barAH`]

[eqn: rm triangle ADC`][eqn: =rm 1over2 times` barDC`times` barAH`]이므로

[eqn: rm barBD overbarDC`][eqn: = rm triangleABD overtriangleADC`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

점 [eqn: rm D`]에서 두 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하자.

[eqn: rm bar{DQ}`=it a`]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm ADQ`]에서

[eqn: sin 30`°`][eqn: =rm {bar{DQ} over bar{AD}}`][eqn: =it {a} over bar{rm AD}`][eqn: ={1 over 2}`]이므로

[eqn: rm {bar{AD}`=`it 2a`]

직각삼각형 [eqn: rm ADP`]에서

[eqn: sin 45`°`][eqn: =rm {bar{DP} over bar{AD}}`][eqn: =bar{rm DP} over{it {2a}}`][eqn: ={root2 over 2`]이므로

[eqn: rm {bar{DP}`=it sqrt2 a`]

[eqn: rm triangle ABD`][eqn: = 1over2 times rm `barAB `times`barDP`]
[eqn: = {1} over {2} TIMES` 12 `TIMES sqrt {2} a`]
[eqn: =`6 sqrt {2} a`]

[eqn: rm triangle ADC`][eqn: = 1over2 times rm` barAC `times`barDQ`]
[eqn: = {1} over {2} TIMES` 8 sqrt {2} `TIMES` a`]
[eqn: =`4 sqrt {2} a`]

따라서 ㉠에 의해

[eqn: rm barBD overbarDC`][eqn: = rm triangleABD overtriangleADC`]
[eqn: {={6sqrt2 a}over{4sqrt2 a`]
[eqn: = 3 over2`]

16. [출제의도] 삼각형의 닮음과 이차방정식을 이용하여 선분의 길이를 구한다.

[eqn: rm {bar{PQ}} `□` {bar{BE}} `]이므로 [eqn: TRIANGLE{rm APQ `□`TRIANGLE{rm ABE`]

두 선분 [eqn: rm AH], [eqn: rm PQ`]가 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: rm {bar{PQ}} `= it x`]라 하면

[eqn: rm bar AR ` : `bar PQ` = bar AH `: ` bar BE`]

[eqn: rm bar AR ` : `it x = 3 `: ` 8`]

[eqn: rm bar AR ` = 3 over 8 it x`]

따라서 사다리꼴 [eqn: rm PCDQ`]의 높이는

[eqn: LEFT ( 3- {3} over {8} x RIGHT ) +4=7- {3} over {8} x`]

사다리꼴 [eqn: rm PCDQ`]의 넓이는 직사각형 [eqn: rmBCDE`]의 넓이와 같으므로

[eqn: {1} over {2} LEFT ( x+8 RIGHT ) LEFT ( 7- {3} over {8} x RIGHT )` =32`]

[eqn: LEFT ( x+8 RIGHT ) LEFT ( 56-3x RIGHT )` =512`]

[eqn: -3x^2 + 32x +448 -512=0`]

[eqn: 3x^2 -32x + 64`][eqn: =0`]

[eqn: LEFT ( x-8 RIGHT ) LEFT ( 3x-8 RIGHT )`][eqn: =0`]

[eqn: x<8`]이므로 [eqn: x= {8} over {3}`]

17. [출제의도] 원의 접선의 성질과 삼각형의 닮음을 이용하여 선분의 길이를 구한다.

[eqn: rm {bar{BF}} `=itx`]라 하자. 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmH`]가 점 [eqn: rmF`]에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로 [eqn: rmbarBF`][eqn: = `rm {bar{FH}} `]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmH`]가 점 [eqn: rmD`]에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로 [eqn: rm {bar{AD}} `][eqn: =` rm {bar{DH}} `][eqn: =3`]

직각삼각형 [eqn: rm DFC`]에서

[eqn: rm {bar{DF}} `= it x+3]

[eqn: rmbarFC`=3-itx]

[eqn: rm {bar{DC}} `=2 sqrt {3} `]

이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{DF}} `^2 = `{bar{FC}} `^2 +{bar{DC}} `^2`]

[eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) `^{2} = LEFT ( 3-x RIGHT ) `^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT )` ^{2}`]

[eqn: x `^{2} +6x+9=9-6x+x` ^{2} +12`]

[eqn: 12x=12]

[eqn: x=1`]

따라서 [eqn: rmbarBF`][eqn: =` rm {bar{FH}} `][eqn: =1`]

같은 방법으로 나머지 변의 길이를 구하면

[eqn: rm {bar{AE}} `][eqn: =` rm {bar{EG}} `][eqn: =1]

[eqn: rm {bar{ED}} `][eqn: =` rm {bar{FC}} `][eqn: =2`]

그러므로 사각형 [eqn: rmEFCD`]는 직사각형이다. 직사각형 [eqn: rmEFCD`]의 대각선의 교점을 [eqn: rmI`]라 하면 직사각형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로

[eqn: rm {bar{DF}} `][eqn: =` rm {bar{EC}} `][eqn: =4`]에서 [eqn: rm {bar{EI}} `][eqn: = `rm {bar{FI}} `][eqn: =2`]

[eqn: rm {bar{EG}} `][eqn: = `rm {bar{FH}} `][eqn: =1`]에서

[eqn: rm {bar{IG}} `][eqn: =` rm {bar{IH}} `][eqn: =1`]

두 삼각형 [eqn: rmIGH], [eqn: rmIEF`]에서

[eqn: rmangleHIG`]는 공통인 각 [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: rmbarIG`:`barIE`=1`:`2`]이고 [eqn: rmbarIH`:`barIF`=`1`:`2`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 두 삼각형 [eqn: rmIGH], [eqn: rmIEF`]는 닮음비가 [eqn: 1:`2`]인 도형이다.

[eqn: rmbarEF `=`2 sqrt {3} `]이고 [eqn: rmbarGH`:`barEF `=`1:`2`]이므로

[eqn: 2`rmbarGH`=2 sqrt {3}]

[eqn: rmbarGH`= sqrt {3}`]

[다른 풀이]

[eqn: rm {bar{BF}} `=itx`]라 하자. 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmH`]가 점 [eqn: rmF`]에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로

[eqn: rmbarBF`][eqn: =` rm {bar{FH}} `]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmH`]가 점 [eqn: rmD`]에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로

[eqn: rm {bar{AD}} `][eqn: = rm {bar{DH}} `][eqn: =3`]

직각삼각형 [eqn: rm DFC`]에서

[eqn: rm {bar{DF}} `= it x+3]

[eqn: rmbarFC`=3-itx]

[eqn: rmbarCD`=2 sqrt {3} `]

이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{DF}} `^2 = {bar{FC}} `^2 +{bar{CD}} `^2`]

[eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 3-x RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}`]

[eqn: x `^{2} +6x+9=9-6x+x` ^{2} +12`]

[eqn: 12x=12], [eqn: x=1`]

따라서 [eqn: rmbarBF`][eqn: = rm {bar{FH}} `][eqn: =1`]

선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 반원의 중심을 [eqn: rmO`]라 하면

[eqn: rm {bar{OB}} `][eqn: rm = {bar{OH}} `][eqn: = sqrt {3}], [eqn: rm ANGLE OBF`][eqn: rm = ANGLE OHF`][eqn: =90`°`]이므로

[eqn: rm tan LEFT ( ANGLE BOF RIGHT ) `][eqn: rm= {{bar{BF}}} over {{bar{OB}}} `][eqn: = {root3} over { {3}} `]에서 [eqn: rm ANGLE BOF`][eqn: =30`°`]

같은 방법으로 나머지 각을 구하면

[eqn: rm ANGLE HOF`][eqn: rm = ANGLE EOG`][eqn: rm = ANGLE AOE`][eqn: =30`°`]

그러므로 [eqn: rm ANGLE GOH`=60`°`]이고 [eqn: rm {bar{OG}} `][eqn: rm= {bar{OH}} `]이므로 삼각형 [eqn: rmGOH`]는 정삼각형이다.

따라서 [eqn: rm {bar{GH}} `][eqn: = sqrt {3} `]

18. [출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.

선분 [eqn: rmAB`]는 [eqn: x`]축과 평행하고 [eqn: rm {bar{AP}} `][eqn: rm= {bar{PQ}}][eqn: rm`= {bar{QB}} `][eqn: =2`]이므로 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]의 좌표는

[eqn: rm P LEFT ( 4,``2 RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( 6,``2 RIGHT ) `]

이차함수 [eqn: y= a x`^2 +bx+c`]의 그래프는 축에 대해서 대칭이므로 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 5`]이다. 조건에서 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 4`]이므로

[eqn: y=a LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} +4`]

이차함수 [eqn: y=a LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} +4`]의 그래프가 점 [eqn: rm P LEFT ( 4,``2 RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: 2][eqn: =a LEFT ( 4-5 RIGHT ) ^{2} +4`][eqn: =a+4], [eqn: a=-2]

따라서

[eqn: y`][eqn: =-2 LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} +4`]
[eqn: =-2 LEFT ( x ^{2} -10x+25 RIGHT ) +4`]
[eqn: =-2x ^{2} +20x-46`]

이므로 [eqn: a=-2], [eqn: b=20], [eqn: c=-46]

따라서 [eqn: a+b+c`=-28`]

19. [출제의도] 삼각비와 피타고라스 정리를 이용하여 삼각형에서 성립하는 내용을 추측한다.

직각삼각형 [eqn: rmABC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ` ^{2} = rm {bar{AB}} ` ^{2} + rm {bar{AC}} ` ^{2}]이므로

[eqn: rm {bar{BC}} ` ^{2} =`3` ^{2} +4` ^{2} =25], [eqn: rm {bar{BC}} `=5`]

ㄱ. 삼각형 [eqn: rmABC`]에서
[eqn: rm triangleABC`][eqn: = 1over2 times rm barAB `times barAC`][eqn: = 1over2 times rm` barBC` times `barAH`]
[eqn: {1} over {2} times3times4`= {1} over {2} times5timesrmbarAH]
[eqn: rm{bar{{AH}}}} `= `{12} over {5} `] (참)

ㄴ. [eqn: tan LEFT ( rm ANGLE ADH RIGHT ) `= {barAH} over {barDH}` =2`]이므로
[eqn: rm {bar{DH}} `= {1} over {2} times`rm {bar{AH}} `]
ㄱ에서 [eqn: rm bar AH ` = 12 over 5 `]이므로
[eqn: rm {bar{DH}} `= {1} over {2} times rm {bar{AH}} `][eqn: = {1} over {2} `TIMES {12} over {5} `][eqn: = {6} over {5} `]
직각삼각형 [eqn: rmABH`]에서 피타고라스 정리에 의해
[eqn: rm {bar{AB}} ` ^{2} `=rm {bar{BH}} ` ^{2} + rm {bar{AH}} ` ^{2} `]이므로
[eqn: rm {bar{BH}} ` ^{2} =` rm 9- {144} over {25} `][eqn: = {81} over {25} `][eqn: = LEFT ( {9} over {5} RIGHT ) ^{2} `]
[eqn: rm barBH`= {9} over {5} `]
따라서 [eqn: rm {bar{BD}} `= {bar{BH}} `+ {bar{DH}} `][eqn: = {9} over {5} + {6} over {5} `][eqn: =3`] (거짓)

ㄷ. [eqn: rmbarAB`=barBD`=3`]에서 삼각형 [eqn: rmABD`]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rmangleBAD`=rmangleADH`]
따라서 [eqn: `tan LEFT ( rm ANGLE BAD RIGHT ) `][eqn: =tan LEFT ( rm ANGLE ADH RIGHT ) `][eqn: =2`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄴ. [eqn: tan LEFT ( rm ANGLE ADH RIGHT ) `= {barAH} over {barDH}` =2`]이므로
[eqn: rm {bar{DH}} `= {1} over {2} times`rm {bar{AH}} `]
ㄱ에서 [eqn: rm bar AH ` = 12 over 5 `]이므로
[eqn: rm {bar{DH}} `][eqn: rm = {1} over {2} TIMES rm {bar{AH}} `]
[eqn: = {1} over {2} `TIMES {12} over {5} `]
[eqn: = {6} over {5} `]
두 삼각형 [eqn: rm ABH], [eqn: rmCBA`]에서
[eqn: anglermABH`]는 공통인 각,
[eqn: rmangleAHB`=angleCAB`=90`°`]
따라서 [eqn: rm triangle ABH `□` triangle CBA`]이므로
[eqn: rmbarAB`:`barBH`=`barCB`:`barBA`]
[eqn: rm 3`:` {bar{BH}} `=`5`:`3`]
[eqn: 5times rm {bar{BH}} `=9], [eqn: rm barBH`= {9} over {5} `]
[eqn: rm {bar{BD}}`= {bar{BH}} `+ {bar{DH}} `][eqn: = {9} over {5} + {6} over {5} `][eqn: =3`] (거짓)

20. [출제의도] 원의 성질과 삼각형의 닮음을 이용하여 각의 크기를 구하는 과정을 추론한다.

먼저 두 삼각형 [eqn: rm DFB], [eqn: rm DHB`]가 합동임을 보이자.

점 [eqn: rmA`]에서 원 [eqn: O`'`]에 그은 두 접선에 대해 [eqn: rm {bar{AD}} `= {bar{AE}} ``]

점 [eqn: rm I`]는 원 [eqn: O`'`]의 중심이므로 [eqn: rm {bar{DI}} `= {bar{EI}} ``]

선분 [eqn: rm {{AI`}} `]는 공통인 변이므로

[eqn: rm triangle ADI `==` TRIANGLE rm AEI`] ([eqn: rmS`S`S`]합동)

따라서 [eqn: rm ANGLE IAD= ANGLE IAE`]이고 선분 [eqn: rm AH]는 공통인 변

[eqn: rm triangleADH`==`triangleAEH`] ([eqn: rmS`A`S`]합동)

따라서 [eqn: rm ANGLE DHA=90 `°`]이므로

[eqn: rm angle DFB}=angle DHB = 90 `°`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

선분 [eqn: rm{DB}`]는 공통인 변 [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

삼각형 [eqn: rm IDB`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE IDB`= ANGLE IBD`]

삼각형의 외각의 성질에 의해

[eqn: rm ANGLE IDB`+ ANGLE IBD= ANGLE DIH`]

따라서 [eqn: rm ANGLE DIH= {BOX{`````2`````}} ` TIMES rm ANGLE DBH`]이고

원의 접선의 성질에 의해

[eqn: rm ANGLE ADI`=90 `°`]

선분 [eqn: rmAB`]가 지름이므로

[eqn: rm ANGLE AFB`=90 `°`]

따라서 [eqn: rm bar{DI} `□`bar {FB}`]에서 [eqn: rm ANGLE IDB`= ANGLE DBF`] (엇각)

[eqn: rm ANGLE DBF rm `= ANGLE DBH `] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의해 [eqn: triangle `rm DFB==triangle` rm DHB`]이다.

한편, [eqn: rm barAD`= `barAE`]이므로 [eqn: rm ANGLE ADH`= ANGLE AEH`]

[eqn: rmtriangleADE`]에서 삼각형의 내각의 합은 [eqn: 180`°`]이므로

[eqn: rm ANGLE DAE`+angleADH`+angleAEH`=180`°`]

[eqn: rm 40 `° +2 ANGLE ADH`=180`°`]

[eqn: rm 2 ANGLE ADH`=140 `°`]

따라서 [eqn: rm ANGLE ADH= {BOX{`````70`````}} `°`]

위에서 [eqn: triangle `rm DFB==triangle` rm DHB`]이므로 [eqn: rmbarDF`=barDH`]에서 삼각형 [eqn: rmDFH`]는 이등변삼각형이다. 두 밑각의 크기는 같으므로

[eqn: rmangleDFH`=angleDHF`]에서

[eqn: rmangleDFH`+angleDHF`=angleADH`=70 `°`]

[eqn: 2rmangleDHF`=70 `°]

[eqn: rm ANGLE DHF`= {1} over {2} TIMES ` {BOX{`````70`````}} `°`][eqn: =35`°`]

[eqn: rmangleDHB`=90`°`]이고

[eqn: rmangleDHB`=angleDHF`+angleFHB`]에서

[eqn: 90`°`]=[eqn: 35`°+rmangleFHB]

[eqn: rmangleFHB=55 `°`]

같은 방법으로 [eqn: rm ANGLE GHB`]를 구하면

[eqn: rmangleGHB`=55 `°`]

[eqn: rm ANGLE FHG`][eqn: rm= ANGLE FHB`+ ANGLE GHB`]
[eqn: =55`°+55`°`]
[eqn: =110 `°`]

따라서 [eqn: rm ANGLE FHG= {BOX{`````110`````}} `°`]이다.

그러므로 [eqn: a=2], [eqn: b=70], [eqn: c=110`]에서

[eqn: {ac} over {b} = {2times110} over {70} = {22} over {7} `]

[다른 풀이]

[eqn: rm {bar{ID}}`= `{bar{IB}} ``]에서 삼각형 [eqn: rm IDB`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE IDB`= ANGLE IBD]

[eqn: rm ANGLE IDB`+ ANGLE IBD= ANGLE DIH`]

따라서 [eqn: rm ANGLE DIH= {BOX{`````2`````}} ` TIMES rm ANGLE DBH`]

두 삼각형 [eqn: rm DFB], [eqn: rm DHB`]가 합동임을 보이자.

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 현과 그 각의 안에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로

[eqn: rm ANGLE BDF`= ANGLE BED`]

삼각형 [eqn: rmBED`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rmangleBDE`=`angleBED`]

그러므로 [eqn: rm ANGLE BDF`= ANGLE BDH`]

선분 [eqn: rmBD`]는 공통인 변, [eqn: rm ANGLE DFB`= ANGLE DHB`=90`°`]이므로

[eqn: triangle `rm DFB==triangle` rm DHB`]

따라서 [eqn: rmbarDF`=`barDH`]이므로 삼각형 [eqn: rmDFH`]는 이등변삼각형이다.

[eqn: rmangleDFH`=angleDHF`]이고

[eqn: rmangleDFH`+angleDHF`=angleADH`={BOX{`````70`````}} `°`]

[eqn: 2rmangleDHF`=70 `°`]이므로

[eqn: rm ANGLE DHF`= {1} over {2} TIMES ` {BOX{`````70`````}} `°`][eqn: =35`°`]

[eqn: rmangleDHB`=90`°`]이고

[eqn: rmangleDHB`=angleDHF`+angleFHB`]이므로

[eqn: 90`°]=[eqn: 35`°+rmangleFHB], [eqn: rmangleFHB=55`°`]

같은 방법으로 구하면 [eqn: rmangleGHB`=55`°`]

[eqn: rm ANGLE FHG`][eqn: rm = ANGLE FHB`+ ANGLE GHB`]
[eqn: =55`°+55`°`][eqn: =110`°`]

따라서 [eqn: rm ANGLE FHG= {BOX{`````110`````}} `°`]이다.

그러므로 [eqn: a=2], [eqn: b=70], [eqn: c=110`]에서

[eqn: {ac} over {b} = {2times110} over {70} = {22} over {7} `]

21. [출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

그림은 접은 종이를 다시 펼쳐 접힌 부분을 실선으로 나타낸 것이다.

종이가 접혀진 모양에서

[eqn: TRIANGLE ` rm BPE == TRIANGLE ` rm BPG`]

[eqn: TRIANGLE ` rm BQG == TRIANGLE ` rm BQF`]

두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmD`]에 일치하도록 접어서 만들어진 선이 선분 [eqn: rmPQ`]이므로 선분 [eqn: rmPQ`]는 대각선 [eqn: rmAC`]의 일부이고, 정사각형의 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.

두 삼각형 [eqn: rm BPG], [eqn: rm BQG`]에서

선분 [eqn: rm {{BG}} `]는 공통인 변이고 [eqn: rm ANGLE PGB`= ANGLE QGB`=90`°],

[eqn: rm ANGLE PBG`= ANGLE QBG`=22.5 `°`]이므로

[eqn: TRIANGLE ` rm BPG == TRIANGLE ` rm BQG`] ([eqn: rm ASA`]합동)

따라서 [eqn: TRIANGLE ` rm BPE == TRIANGLE ` rm BPG`][eqn: == TRIANGLE ` rm BQG == TRIANGLE ` rm BQF`]

[eqn: rm {bar{EP}} `][eqn: rm= {bar{PG}} `][eqn: rm= {bar{GQ}} `][eqn: rm= {bar{QF}} `][eqn: = x`]라 하자.

점 [eqn: rmQ`]는 대각선 [eqn: rm AC] 위의 점이므로

[eqn: rmangleQCF`=45`°`]

따라서 삼각형 [eqn: rm QFC`]가 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm {bar{AP}} `][eqn: rm= {bar{CQ}} `][eqn: rm= sqrt {2} TIMES {bar{QF}} `][eqn: = sqrt {2} it x `]

선분 [eqn: rmAC`]는 정사각형 [eqn: rmABCD`]의 대각선이므로

[eqn: rmbarAC`=10 sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{AC}} `][eqn: rm = {bar{AP}} `+ {bar{PG}} `+ {bar{GQ}} `+ {bar{QC}} `]

[eqn: 10 sqrt {2} `= sqrt {2} it x+ it x+x+ sqrt {2} it x`]

[eqn: LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) x=5 sqrt {2} `]

[eqn: x`][eqn: = {5 sqrt {2}} over {sqrt {2} +1} `]
[eqn: =5 sqrt {2} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) `]
[eqn: =10-5 sqrt {2} `]

[eqn: rm {bar{PQ}} `=2 it x`][eqn: =20-10 sqrt {2} `]

따라서 [eqn: a=20], [eqn: b=-10`]에서 [eqn: a+b=10`]

22. [출제의도] 두 수의 최대공약수를 구한다.

두 수 [eqn: 2 ^{2} TIMES 3 ^{3}], [eqn: 2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5 ^{4} `]의 최대공약수는 두 수의 공통인 소인수 [eqn: 2 ^{2} `]과 [eqn: 3`]을 곱한 수 [eqn: 2 ^{2} TIMES 3`]이므로 최대공약수는 [eqn: 12`]이다.

23. [출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이해하여 상수의 값을 구한다.

이차함수 [eqn: y=(x-4) ^{2} +k`]의 그래프는 이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 이차함수 [eqn: y=(x-4) ^{2} +k`]의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 [eqn: LEFT ( `4,``k` RIGHT ) `]이다.

이때 꼭짓점 [eqn: LEFT ( `4,``k` RIGHT ) `]는 일차함수 [eqn: y=3x-1`]의 그래프 위에 있으므로 [eqn: x=4], [eqn: y=k`]를 대입하면

[eqn: k=3 TIMES 4-1`][eqn: =11`]

24. [출제의도] 제곱근과 부등식의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다.

부등식 [eqn: 2< sqrt {3x} <root26`]에서

[eqn: root4 < sqrt {3x} <root26`]이므로 제곱근의 대소 관계에 의해

[eqn: 4<3x<26`]

이 부등식의 양변을 [eqn: 3`]으로 나누면

[eqn: {4} over {3} <x< {26} over {3} `]

이 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x`]는

[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8`]이다.

따라서 구하는 자연수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 7`]이다.

25. [출제의도] 주어진 상황에 맞는 연립방정식을 세워 식의 값을 구한다.

직사각형 [eqn: rmABCD`]에서 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 [eqn: 2`]개를 연결하여 만든 변 [eqn: rmAD`]의 길이와 한 변의 길이가 [eqn: b`]인 정사각형 [eqn: 3`]개를 연결하여 만든 변 [eqn: rmBC`]의 길이가 같다.

따라서 [eqn: 2a=3b`] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

또 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 둘레의 길이가 [eqn: 88`]이다.

따라서 [eqn: 4a+5b=88`] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

㉠에서 [eqn: 4a=6b`]를 ㉡에 대입하면

[eqn: 6b+5b=88`]

[eqn: 11b=88]

[eqn: b=8`]

[eqn: b=8`]을 ㉠에 대입하면

[eqn: a=12`]

따라서 [eqn: a+b`][eqn: =12+8`][eqn: =20`]

26. [출제의도] 삼각형의 닮음과 이차방정식을 이용하여 원뿔대의 높이를 구한다.

주어진 원뿔대의 두 밑면의 넓이가 각각 [eqn: 4x], [eqn: x`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 4`:1`]이다. 그러므로

[eqn: rm {bar{CD}} ` ^2 `: ` bar AB `^2 = 4`:1`]에서

[eqn: rm bar CD ` : bar AB `= `2`:1`]

[eqn: rm {bar{CD}} `: {bar{AB}} `=`][eqn: rm {bar{PC}} `:` {bar{PA}} `]이므로

[eqn: rm bar PC `:` {bar{PA}} `=` 2`:`1 `]

따라서 [eqn: rmbar PA `= ` bar AC `= it x+5`]

(원뿔의 부피)[eqn: = 1over 3 times](밑면의 넓이)[eqn: times](높이)이고 원뿔대의 부피는 원뿔의 부피에서 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔의 부피를 빼면 되므로

[eqn: {1} over {3} TIMES 4 it x TIMES (2x+10)][eqn: - {1} over {3} TIMES it x TIMES (x+5)=700`]

[eqn: {4} over {3} x(2x+10)- {1} over {3} x(x+5)`=700`]

양변에 [eqn: 3`]을 곱하면

[eqn: 4x(2x+10)-x(x+5)=2100]

[eqn: 8x^2 +40x-x^2 -5x=2100]

[eqn: 7x^2 +35x -2100=0]

[eqn: x^2 +5x-300=0]

[eqn: (x+20)(x-15)=0]

[eqn: x=-20`] 또는 [eqn: x=15]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=15]

27. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 조건을 만족시키는 자료를 완성하고 그 분산을 구한다.

받은 점수(점)	학생 수(명)
[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 4]	[eqn: a]
[eqn: 6]	[eqn: b]
[eqn: 8]	[eqn: 1]
합계	[eqn: 6]

모두 [eqn: 6`]명의 학생이 [eqn: 15`]번의 시합에서 받은 점수의 총합은 [eqn: 15 times 2 = 30`]이므로

[eqn: (평균)][eqn: = {(받은``점수)의``총합} over {(도수)의``총합}]
[eqn: ={30 over 6][eqn: =5](점)

학생 수는 모두 [eqn: 6`]명이므로

[eqn: 1+a+b+1=6]

[eqn: a+b=4] …… ㉠

학생들이 받은 점수를 모두 더하면

[eqn: (2 TIMES 1)+(4 TIMES a)+(6 TIMES b)+(8 TIMES 1)=30`]

[eqn: 2a+3b =10] …… ㉡

㉠에서 [eqn: b=4-a`]를 ㉡에 대입하면

[eqn: 2a+3 LEFT ( 4-a RIGHT ) =10`]

[eqn: a=2], [eqn: b=2]

받은 점수에 대한 편차와 편차의 제곱을 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.

받은 점수(점)	도수(명)	편차	[eqn: (편차)^2 times (도수)]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: (-3)^2 times 1 =9]
[eqn: 4]	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: (-1)^2 times 2 =2]
[eqn: 6]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1^2 times 2 =2]
[eqn: 8]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 3^2 times 1 =9]
합계	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 22]

분산 [eqn: V`]는

[eqn: V`][eqn: = {LEFT { (편차) ^{2} TIMES (도수) RIGHT } 의``총합} over {(도수)의``총합} `]
[eqn: = {9+2+2+9} over {6} `]
[eqn: = {11} over {3} `]

따라서 [eqn: 30V`=110`]

28. [출제의도] 제곱근의 값을 추측하여 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구한다.

[eqn: a`]와 [eqn: b`]는 두 자리 자연수이므로

[eqn: 10 le a le 99], [eqn: 10 le b le 99`]가 되어

[eqn: 20 le a+b le 198]

조건 (가)에서 [eqn: a+b`]는 [eqn: 24`]의 배수이므로

[eqn: a+b=24k`]([eqn: k`]는 자연수)라 하면

[eqn: sqrt {a+b} = sqrt {24k} = sqrt {2 ^{3} TIMES 3 TIMES k}`]

이 값이 자연수가 되려면 근호 안의 수 [eqn: 2 `^{3} TIMES 3 TIMES k`]가 어떤 자연수의 제곱이 되어야 한다. [eqn: 2`^3`]과 [eqn: 3`]은 지수가 홀수이므로 [eqn: k=6 n `^{2}`]([eqn: n`]은 자연수)이다.

ⅰ) [eqn: n=1`]일 때

[eqn: a+b=24 times 6 = 144`]이고 [eqn: a], [eqn: b`]는 두 자리의 자연수이므로

[eqn: a=99`]일 때, [eqn: b=45`]

[eqn: a=98`]일 때, [eqn: b=46`]

[eqn: cdots]

[eqn: a=45`]일 때, [eqn: b=99`]

ⅱ) [eqn: n=2`]일 때

[eqn: a+b`=24 times 24` = 576`]이므로 가능한 [eqn: a], [eqn: b`]의 값은 없다.

마찬가지 방법으로 [eqn: n GEQ3`]일 때 가능한 [eqn: a], [eqn: b`]의 값은 없다. 따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )`]는

[eqn: LEFT ( 99,``45 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 98,``46 RIGHT )], [eqn: cdots] , [eqn: LEFT ( 45,``99 RIGHT )`]

이므로 [eqn: 55`]개다.

29. [출제의도] 삼각형의 닮음과 피타고라스 정리를 이용하여 선분의 길이를 구한다.

두 반직선 [eqn: rm AQ], [eqn: rm BC`]이 만나는 점을 [eqn: rm S`]라 하자.

선분 [eqn: rm AR`]는 [eqn: anglerm DAP`]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{AP} `: `bar{AD} `][eqn: =rm`bar{PR}` :`bar{RD}`]에서 [eqn: rm bar{AP} `: `bar{AD} `][eqn: =`17:15]

[eqn: rm bar{AP}`=it 17t], [eqn: rmbar {AD}`=it 15t`]([eqn: t`]는 양수)라 하자.

사각형 [eqn: rm ABCD `]는 정사각형이므로 [eqn: rm bar{AB}`=`bar{AD}`= it 15t`]

직각삼각형 [eqn: rm ABP`]에서

[eqn: rm {bar{BP}} `^{2} `][eqn: rm= {bar{AP}}` ^{2} - {bar{AB}}` ^{2} `]
[eqn: =(17t)^2 -(15t)^2]
[eqn: =64t^2]
[eqn: =(8t)^2]

[eqn: rm bar{BP}`>`0`]이므로 [eqn: rm bar{BP} `=`it 8t`]

[eqn: rm bar{PC}` = `bar{AD}` -`bar{BP}`][eqn: =7t]

[eqn: rm bar{PC}`=1`]이므로 [eqn: t={1 over 7}`]

[eqn: rm bar{AD} □` bar{PS}`]이므로 [eqn: rm angle{DAS}=angle{PSA}`](엇각)

따라서 삼각형 [eqn: rm APS`]는 이등변삼각형이다.

그러므로 [eqn: rm bar{ PS}`=bar{PA}`=it 17t={17} times {1 over 7} = {17 over 7`]

[eqn: rm bar{CS}`=bar{PS}-bar{PC}`={17 over 7}-1={10 over 7`]

두 삼각형 [eqn: rm ABS], [eqn: rm QCS`]에서

[eqn: angle rm S`]는 공통인 각, [eqn: angle rm ABS=angle QCS=90`°`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABS`□ ` TRIANGLE QCS`]

[eqn: rm bar{BS}`=bar{BC}`+`bar{CS}`][eqn: ={15 over 7}+{10 over 7}][eqn: ={25 over 7}]

[eqn: rm bar{AB}`:`bar{QC}`=`bar{BS }`:`bar{CS}`]

[eqn: 15 over 7 `:`l`=`25 over 7 `:`10 over 7]

[eqn: {25 over 7 l = 150 over 49], [eqn: l={6 over 7{]

그러므로 [eqn: 70l=70 times { 6 over 7}= 60]

[다른 풀이]

점 [eqn: rm P`]에서 변 [eqn: rm AD`]에 내린 수선의 발을 점 [eqn: rm S], 두 선분 [eqn: rm {S`P}`], [eqn: rm {AQ}`]가 만나는 점을 [eqn: rm T`]라 하자.

선분 [eqn: rm AR`]는 [eqn: anglerm DAP`]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{AP} `: `bar{AD} `][eqn: =rmbar{PR}` :`bar{RD}`]에서 [eqn: rm bar{AP} `: `bar{AD} `][eqn: =17:15]

[eqn: rm bar{AP}`=it 17t], [eqn: rmbar {AD}`=it 15t`]([eqn: t`]는 양수)라 하자.

사각형 [eqn: rm ABCD `]는 정사각형이므로 [eqn: rm bar{AB}`=`bar{AD}`= it 15t`]

직각삼각형 [eqn: rm ABP`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{BP}} `^{2} `][eqn: rm= {bar{AP}}` ^{2} - {bar{AB}}` ^{2} `]
[eqn: =(17t)^2 -(15t)^2]
[eqn: =64t^2]
[eqn: =(8t)^2]

[eqn: rm bar{BP}`>`0`]이므로 [eqn: rm bar{BP} `=`it 8t`]

[eqn: rm bar{PC}` = `bar{AD}` -`bar{BP}`][eqn: =7t]

[eqn: rm bar{PC}`=1`]이므로 [eqn: t={1 over 7}`]

[eqn: rm bar{AS}`=`bar{BP}`= it 8t = 8 over 7], [eqn: rm bar{AP}`=it 17 over 7`]

선분 [eqn: rm {AT}`]는 [eqn: angle rm SAP`]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{S`T}`:`bar{T`P}`][eqn: rm=bar{AS }`:`bar{AP}`]에서

[eqn: rm bar{S`T}`:`bar{T`P}`][eqn: =8:17]

따라서 [eqn: rm bar{S`T}`={8 over 25} times` bar{S`P}`={8 over 25} times {15 over 7}={24 over 35}]

[eqn: rm bar{S`T}`□ `bar{DQ}`]이므로 [eqn: rm TRIANGLE A ST`□ ` TRIANGLE ADQ`]

[eqn: rm bar{AS}`:bar{S`T}`=`bar{AD }`:`bar{DQ}`]

[eqn: {8 over 7}`:`{24 over 35}`=`{15 over 7}`:`rm bar{DQ}]

[eqn: {8 over 7} times rm {bar{DQ}`={24 over 35` times {15 over 7}], [eqn: rm {bar{DQ}`= 9 over 7`]이므로

[eqn: l rm `=bar{DC} -bar{DQ}`={15 over 7}-{9 over 7}={6 over 7}`]

따라서 [eqn: 70l=70 times { 6 over 7}= 60]

30. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 삼각형을 추측하고 그 개수를 구한다.

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 예각삼각형이 되려면 세 내각이 모두 [eqn: 90`°`]보다 작아야 한다.

[그림 [eqn: 1]]과 같이 [eqn: ANGLE rm PAB=90`°], [eqn: ANGLERMQBA=90`°`]인 모눈종이 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: RMQ`]를 생각한다.

[그림 [eqn: 1]]

[그림 [eqn: 2]]와 같이 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMA`]를 지나는 직선을 [eqn: l],  두 점 [eqn: RMQ], [eqn: RMB`]를 지나는 직선을 [eqn: m`]이라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`] 위의 점 [eqn: RMC`]에 대하여 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 직각삼각형이다.

[그림 [eqn: 2]]

[그림 [eqn: 3]]과 같이 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`] 사이에 있지 않은 점 [eqn: rmC]에 대하여 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 둔각삼각형이다.

[그림 [eqn: 3]]

따라서 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 예각삼각형이 되려면 점 [eqn: RMC]가 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`] 사이에 있어야 한다.

[그림 [eqn: 4]]는 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`] 사이에 있는 점 [eqn: RMC]에 대하여 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 직각삼각형이 되는 경우를 나타낸 것이다.

[그림 [eqn: 4]]

[그림 [eqn: 5]]는 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`] 사이에 있는 점 [eqn: RMC]에 대하여 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 둔각삼각형이 되는 경우를 나타낸 것이다.

[그림 [eqn: 5]]

[그림 [eqn: 6]]은 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`] 사이에 있는 점 [eqn: RMC]에 대하여 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 예각삼각형이 되는 경우를 나타낸 것이다.

[그림 [eqn: 6]]

[그림 [eqn: 4]]와 같이 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형이 직각삼각형이면 반원에 대한 원주각이 [eqn: 90`°`]이므로 세 점 [eqn: RMA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]는 선분 [eqn: RMAB`]를 지름으로 하는 원 위에 있다.

따라서 [그림 [eqn: 7]]과 같이 선분 [eqn: RMAB`]를 지름으로 하는 원을 그리고 점 [eqn: RMC`]가 원의 안에 있는 경우, 점 [eqn: RMC`]가 원 위에 있는 경우, 점 [eqn: RMC`]가 원의 밖에 있는 경우로 나누어 생각해 보자.

[그림 [eqn: 7]]

[그림 [eqn: 8]]과 같이 점 [eqn: RMC`]가 원 위에 있는 경우에는 반원에 대한 원주각이 [eqn: 90`°`]이므로 [eqn: ANGLERMACB =90`°`]이다. 따라서 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 직각삼각형이다.

[그림 [eqn: 8]]

[그림 [eqn: 9]]와 같이 점 [eqn: RMC`]가 원의 안에 있는 경우에는 [eqn: ANGLE rm ACB`]가 반원에 대한 원주각보다 크다. 따라서  [eqn: ANGLERMACB > 90`°`]이므로 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 둔각삼각형이다.

[그림 [eqn: 9]]

[그림 [eqn: 10]]과 같이 점 [eqn: RMC]가 원의 밖에 있는 경우에는 [eqn: ANGLE rm ACB`]가 반원에 대한 원주각보다 작다. 따라서 [eqn: ANGLE rm ACB<90 `°`]이므로 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형은 예각삼각형이다.

[그림 [eqn: 10]]

그러므로 [그림 [eqn: 8]], [그림 [eqn: 9]], [그림 [eqn: 10]]으로부터 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 예각삼각형이 되려면 점 [eqn: RMC]가 선분 [eqn: RMAB`]를 지름으로 하는 원의 밖에 있어야 한다는 것을 알 수 있다.

[그림 [eqn: 11]]은 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`] 사이에 있고 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 원의 밖에 있는 점 [eqn: rmC`]의 위치를 표시한 것이다.

[그림 [eqn: 11]]

따라서 구하는 점 [eqn: ` rm C`]의 개수는 [eqn: 21`]이다.