수학 영역

1	③	2	①	3	④	4	⑤	5	④
6	②	7	③	8	⑤	9	③	10	⑤
11	①	12	②	13	②	14	④	15	①
16	②	17	④	18	②	19	③	20	⑤
21	①	22	[eqn: 53]	23	[eqn: 40`]	24	[eqn: 32]	25	[eqn: 2]
26	[eqn: 6]	27	[eqn: 240]	28	[eqn: 27]	29	[eqn: 33]	30	[eqn: 25]

수학 영역

해 설

1. [출제의도] 교집합 원소의 개수 구하기

[eqn: A smallinterB=left{1,```2,```4right}`]이므로 원소의 개수는 [eqn: 3`]

2. [출제의도] 다항식의 연산 계산하기

[eqn: A+2B`=5x^{2}-9x+1+4x^{2}+6x-8#~~~~~~```=9x^{2}-3x-7`]

3. [출제의도] 다항식의 인수분해 계산하기

[eqn: x^{3}-2^{3}= LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x^{2}+2x+4 RIGHT )`]이므로

[eqn: a=2`], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a+b=4`]

4. [출제의도] 연립방정식 계산하기

	[eqn: y=2x+3`]	[eqn: cdots㉠`]
[eqn: {cases{`&`#`&`}}]
	[eqn: x ^{2} +y=2]	[eqn: cdots㉡`]

[eqn: ㉠`]을 [eqn: ㉡`]에 대입하면

[eqn: x^{2}+2x+`1=0`], [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT )^{2}=0`]

따라서 [eqn: x=`-1`], [eqn: y=1`]이므로 [eqn: a+3b=`2`]

5. [출제의도] 절댓값이 있는 부등식 이해하기

[eqn: LEFT |x+a RIGHT | LEQ 8`]을 풀면

[eqn: -8-{a} LEQ x LEQ 8-a`]

이때 주어진 부등식의 해가 [eqn: b LEQ x LEQ 2`]이므로

[eqn: a=6`], [eqn: b=`-14`]

따라서 [eqn: a-b=20`]

6. [출제의도] 조건과 진리집합 이해하기

조건 [eqn: p`]의 진리집합 [eqn: P=left{1,```2,```3,```4,```6,```8right}`]

조건 [eqn: ∼p`]의 진리집합 [eqn: P ^{C} `=left{5,```7right}`]

따라서 모든 원소의 합은 [eqn: 12`]

7. [출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: a^{ 2}`]이 최솟값이고 [eqn: bc`]가 최댓값일 때

[eqn: a^{ 2}-bc`]는 최솟값을 갖는다.

[eqn: a^{ 2}`]의 최솟값은 [eqn: a=5i`]일 때 [eqn: -25`],

[eqn: bc`]의 최댓값은 [eqn: b=`-4i,```c=5i`] 또는

[eqn: b=`5i`], [eqn: c=`-4i`]일 때 [eqn: 20`]

따라서 [eqn: a^{ 2}-bc`]의 최솟값은 [eqn: -45`]

8. [출제의도] 곱셈공식 이해하기

[eqn: 2ab= LEFT ( a+b RIGHT )^{2}- LEFT ( a^{2}+b^{2} RIGHT )=3^{2}-7`]이므로 [eqn: ab=1`]

[eqn: a^{4}+b^{4}= LEFT ( a^{2}+b^{2} RIGHT )^{2}-2 LEFT ( ab right)^{2}=7^{2}-2times1^{2}`]

따라서 [eqn: a^{4}+b^{4}=47`]

9. [출제의도] 허근의 성질 이해하기

[eqn: x^{3}+x^{2}+x-3=LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+3 RIGHT ) =0`]이므로

[eqn: z _{1} `], [eqn: z_{2}`]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2x+3=0`]의 두 허근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: z_{1}z_{2}=3`]이고 [eqn: z _{1} =bar{z _{2} }`,```z _{2} =bar{z _{1} }`]
따라서 [eqn: {z _{1}}bar{ z _{1}} + z _{2} bar{z _{2}} =2z _{1} z _{2} =6`]

10. [출제의도] 세 점을 지나는 원의 방정식 이해하기

원의 방정식 [eqn: x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0`]에 주어진 세 점의 좌표를 대입하면

[eqn: {cases{eqalign{`# `# `}&`#`&`}}]	[eqn: 4-2a+c=0`]
	[eqn: 16+4a+c=0`]
	[eqn: 5+a+2b+c=0`]

위 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=`-2`], [eqn: b= { 5} over { 2}`], [eqn: c=`-8`]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x+ {5} over {2} y-8=0`]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+ {5} over {4} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {13} over {4} RIGHT ) ^{2} `]

따라서 [eqn: p=1`], [eqn: q=`- {5} over {4}]이므로  [eqn: p+q=`- { 1} over {4 }`]

11. [출제의도] 원의 성질 이해하기

선분 [eqn: rmAB`]의 수직이등분선을 [eqn: l`]이라 하면 직선 [eqn: l`]은 선분 [eqn: rmAB`]의 중점 [eqn: rmM LEFT ( 2`,``` { ita+1} over { 2} `RIGHT )`]을 지나고, 주어진 원의 넓이를 이등분하므로 원의 중심[eqn: LEFT ( -2,```5 RIGHT )`]를 지난다.

직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: {a-9} over {8} `]

직선 [eqn: rmAB`]의 기울기는 [eqn: {a-1} over {2} `]

두 직선이 서로 수직이므로 [eqn: {a-9} over {8} TIMES {a-1} over {2} =`-1`]

따라서 [eqn: a=5`]

12. [출제의도] 미지수가 [eqn: 3`]개인 방정식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

포도 [eqn: 1]송이의 가격을 [eqn: x`]원, 사과 [eqn: 1]개의 가격을 [eqn: y`]원, 바나나 [eqn: 1]송이의 가격을 [eqn: z`]원이라 하면

[eqn: {cases{eqalign{`# `# `}&`#`&`}}]	[eqn: 2x+y=5500`]
	[eqn: 2y+z=6000`]
	[eqn: 2z+x=8000`]

위 식을 연립하여 풀면

[eqn: x=2000`], [eqn: y=1500`], [eqn: z=3000`]

따라서 D세트의 가격은 [eqn: 11,000`]원

13. [출제의도] 도형의 이동을 이용하여 추론하기

방정식 [eqn: f left(x+1,```- LEFT ( y-2 RIGHT ) right)=0`]이 나타내는 도형은 방정식 [eqn: f(x,~y)=0`]이 나타내는 도형을 [eqn: x`]축에

대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`], [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 도형이므로 그림과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

(별해) 방정식 [eqn: f LEFT ( x+1,```-y+2 RIGHT ) =0`]이 나타내는 도형은 방정식 [eqn: f(x,~y)=0`]이 나타내는 도형을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`], [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동한 후 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 도형이다.

14. [출제의도] 필요조건을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면

[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q SUBSET P`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO`]

[eqn: a]

[eqn: 3x-4y+5=0`]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( y-a RIGHT ) ^{2} =a ^{2} `]

[eqn: {5} over {4} `]

[eqn: a]

원의 중심 [eqn: LEFT ( 0,```a RIGHT ) `]와 직선 [eqn: 3x-4y+5=0`]사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 [eqn: a`]이상이 되어야 하므로 [eqn: {left|-4a+5right|} over {sqrt {9+16}} geq a `]

[eqn: -4a+5>0`]이므로 식을 정리하면 [eqn: -4a+5 geq5a`]

따라서 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되기 위한 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: { 5} over { 9}`]

15. [출제의도] 도형의 이동을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: y=`- {1} over {2} x-3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼  평행이동한 직선은 [eqn: y=`- {1} over {2} LEFT ( x-a RIGHT ) -3]이고 이를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직선 [eqn: l`]은 [eqn: x=`- {1} over {2} LEFT ( y-a RIGHT ) -3`], 즉 [eqn: 2x+y-a+6=0`]

직선 [eqn: l`]이 원에 접하므로 원의 중심 [eqn: LEFT ( -1,```3 RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: l`]까지의 거리 [eqn: d= {LEFT | -2+3-a+6 RIGHT |} over {sqrt {5}} = sqrt {5}]

따라서 [eqn: a=2,```12`]이므로 모든 [eqn: a`]값의 합은 [eqn: 14]

16. [출제의도] 점과 직선사이의 거리를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

레이더의 위치를 원점으로 하고 동서를 [eqn: x`]축, 남북을 [eqn: y`]축으로 하면 본부는 [eqn: LEFT ( -30,```20 RIGHT ) `],

[eqn: A`]지점은 [eqn: LEFT ( -30,```-40 RIGHT )`], [eqn: B`]지점은 [eqn: LEFT ( 50,```0 RIGHT ) `]

물체가 지나간 경로의 직선의 방정식은

[eqn: x-2y-50=0`]이므로

이 물체가 본부와 가장 가까워졌을 때의 거리는

[eqn: {LEFT | -30-40-50 RIGHT |} over {sqrt {5}}=24 sqrt { 5}`]

17. [출제의도] 다항식의 연산을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: LEFT { f LEFT ( x+1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =(x-1)(x+1)(x ^{2} +5)+9]에서

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} & =x(x-2)(x ^{2} -2x+6)+9# & = LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+6 RIGHT ) +9# & = LEFT ( x ^{2} -2x+3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `<0`]이므로 [eqn: f(x)=`-x ^{2} +2x-3]

[eqn: f LEFT ( x+a RIGHT ) `=`- LEFT ( x+a RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x+a RIGHT ) -3]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x+a RIGHT ) `=g LEFT ( x RIGHT )]라 하면 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: -6`]이 되기 위해서는

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) `=`- LEFT ( 2+a RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( 2+a RIGHT ) -3=`-6]

따라서 [eqn: a ^{2} +2a-3=0]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 모든 상수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: -3]

18. [출제의도] 이차함수와 직선의 위치관계를 이용하여 추론하기

	두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha`], [eqn: beta`][eqn: LEFT ( alpha<0<beta RIGHT )`]라 하면 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]는 이차방정식 [eqn: `- {x ^{2}} over {2} `+k`=mx`]의 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha + beta `=`-2m`], [eqn: alpha beta `=`-2k`] 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]는 직선 [eqn: y=mx`]위의 점이므로 [eqn: rm A it ( alpha ,``m alpha )`], [eqn: rm B it ( beta ,```m beta )`] [eqn: bar{rm OA it} =`- alphatimes box sqrt {1+m ^{2}}`], [eqn: bar{rm OB it} = betatimes box sqrt {1+m ^{2}}`] [eqn: {1} over {{bar{rm `OA it}}} + {1} over {{bar{rm `OB it}}}] [eqn: = {1} over {- alpha timesbox sqrt {1+m ^{2}}} + {1} over {beta timesbox sqrt {1+m ^{2}} `} `] [eqn: = {alpha `-` beta } over {alpha beta timesbox sqrt {1+m ^{2}} `} `] [eqn: = {-sqrt {4m ^{2} +`` {BOX{``8k``}} `}} over {-2k TIMES {BOX{sqrt {1+m ^{2}}}}}`] 실수 [eqn: m`]의 값에 관계없이 [eqn: {1} over {rm {bar{OA}} it} + {1} over {rm {bar{OB}} it}`]이 갖는 일정한 값을 [eqn: t`]라 하자. [eqn: t ^{2} = {4m ^{2} +`` {BOX{`````````8k````````}}} over {LEFT ( 2k` TIMES ` {BOX{` sqrt {1+m ^{2}} ``}} `` RIGHT ) ^{2}} `]이므로 이를 정리하면 [eqn: 4 LEFT ( 1-k ^{2} t ^{2} RIGHT ) m ^{2} +4 LEFT ( 2k-k ^{2} t ^{2} RIGHT ) =0`][eqn: cdots CDOTS ㉠] 따라서 [eqn: ㉠`]이 [eqn: m`]에 대한 항등식이므로 [eqn: k=` {BOX{` { 1} over { 2} `}} `]이다. 이때 [eqn: {1} over {{bar{rm OA it}} it} + {1} over {{bar{rm OB it}} it} = {1} over {k} `]이다.

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )= sqrt { 1+m^{2}}`], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )=8k`], [eqn: p= { 1} over {2 }`] 이므로

[eqn: f left(p right)timesg LEFT ( p RIGHT )= sqrt { 1+ left({ 1} over {2 }right)^{2} }times4=2 sqrt { 5}`]

19. [출제의도] 나머지 정리를 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: LEFT { f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT }^{3}=1`]이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1`] (참)

ㄴ. [eqn: f`LEFT ( x RIGHT )]의 차수를 [eqn: n`]이라 하면 좌변의 차수는 [eqn: 3n`], 우변의 차수는 [eqn: n+2`]이므로 [eqn: n=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )=ax+b`]라 하면 좌변의 최고차항의 계수는 [eqn: a^{3}`], 우변의 최고차항의 계수는 [eqn: 4a`]이므로 [eqn: a^{3}=4a`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 최고차항의 계수는 [eqn: 2`] (거짓)

ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=2x+1`]이므로 [eqn: LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT }^{3}`]을 [eqn: x^{2}-1`]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)`], 나머지를 [eqn: cx+d`]라 하면

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }^{3}= LEFT ( x^{2}-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )+cx+d`]이므로

[eqn: LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }^{3}=c+d=27]

[eqn: LEFT { f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT }^{3}=`-c+d=`-1`]

이를 연립하여 풀면 [eqn: c=14`], [eqn: d=13`]

따라서 [eqn: LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT }^{3}`]을 [eqn: x^{2}-1`]로 나눈 나머지는

[eqn: 14x+13`] (참)

20. [출제의도] 원의 방정식과 삼각형 무게중심의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( it a,```b RIGHT )`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAB`]의 무게중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( x,```y RIGHT )`]라 하면

[eqn: x= {a+4+1} over {3} `], [eqn: y= {b+3+7} over {3} `]

[eqn: a=3x-5`], [eqn: b=3y-10`] [eqn: cdots㉠`]

점 [eqn: rmP`]는 원 [eqn: C`] 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-2 RIGHT ) ^{2} =4`] [eqn: cdots㉡`]

[eqn: ㉠`]을 [eqn: ㉡`]에 대입하면

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT )^{2}+ LEFT ( y-4 RIGHT )^{2}= LEFT ( { 2} over { 3} RIGHT )^{2}`]

직선 [eqn: rmAB`]의 방정식은 [eqn: 4x+3y-25=0`]이므로 삼각형 [eqn: rmPAB`]의 무게중심이 그리는 원의 중심 [eqn: LEFT ( 2,```4 RIGHT )`]와 직선 [eqn: rmAB`]사이의 거리는 [eqn: 1`]

구하고자 하는 거리의 최솟값은 삼각형 [eqn: rmPAB`]의 무게중심이 그리는 원과 직선 [eqn: rmAB`]사이의 최단거리이므로 [eqn: 1- { 2} over { 3}= { 1} over { 3}`]

21. [출제의도] 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: rmD LEFT ( 0,```0 RIGHT )`], 점 [eqn: rmB LEFT ( -1,```0 RIGHT )`], 점 [eqn: rmC LEFT ( 1,```0 RIGHT )`],

점 [eqn: rmA itLEFT ( a,```b RIGHT )`]라 하면 [eqn: rmbar{AB}=2 sqrt { 3}`], [eqn: bar{rm AD}= sqrt { 7}`]이므로

[eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} +b ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT )^{2}`], [eqn: a^{2}+b^{2}= LEFT ( sqrt { 7} RIGHT )^{2}`]을 연립하여 풀면 점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,``` sqrt {3} RIGHT ) `]

[eqn: bar{rmAC}=2`]이므로 삼각형 [eqn: rmABC`]는 이등변삼각형이다. 이등변삼각형의 성질에 의해 선분 [eqn: rmCE`]는 선분 [eqn: rmAB`]의 수직이등분선이다. 따라서 [eqn: LEFT . {bar{rm CE it}} RIGHT . =1`]이고 점 [eqn: rmP`]는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 무게중심이다.

[eqn: LEFT . {bar{rm AP it}}: {bar{rm PD it}} RIGHT . =2:1`]이므로 [eqn: LEFT . {bar{rm AP it}} RIGHT . = {2 sqrt {7}} over {3}`], [eqn: LEFT . {bar{rm PD it}} RIGHT . = {sqrt {7}} over {3}`] [eqn: LEFT . {bar{rm CP it}}: {bar{rm PE it}} RIGHT . =2:1`]이므로 [eqn: LEFT . {bar{rm CP it}} RIGHT . = {2} over {3}`], [eqn: LEFT . {bar{rm PE it}} RIGHT . = {1} over {3}`]

삼각형 [eqn: rmEPA`]에서 선분 [eqn: rmPR`]이 각 [eqn: rmAPE`]의 이등분선이므로 각의 이등분선의 성질에 의해
[eqn: LEFT . {bar{rm PA it}}` :` {bar{rm PE it}} = {bar{rm AR it}}` :` {bar{rm ER it}} RIGHT . = {2 sqrt {7}}` :` {1}`]
삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이를 [eqn: S`]라 하면 삼각형 [eqn: rm EPA`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이의 [eqn: 1over6`]이므로

[eqn: S _{1} = S times { 1} over { 6}times { 1} over { 2 sqrt { 7}+1 }`]
같은 방법으로 삼각형 [eqn: rmCPD`]에서

[eqn: LEFT . {bar{rm PD it}} : {bar{rm PC it}} = {bar{rm DQ it}} : {bar{rm CQ it}} RIGHT . = {sqrt {7}} : {2}`]

삼각형 [eqn: rm CPD`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이의 [eqn: 1over6`]이므로 [eqn: S _{2} = S times{1} over {6} TIMES {2} over {sqrt {7} +2}`]

[eqn: {S _{2}} over {S _{1}} =8-2 sqrt {7}`]이므로 [eqn: a=8`], [eqn: b=`-2`]

따라서 [eqn: ab=`-16`]

(별해) 점 [eqn: rm D`]가 선분 [eqn: rm BC`]의 중점이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} ^{2} + {bar{rm AC it}} ^{2} =2 LEFT ( {bar{rm AD it}} ^{2} + {bar{rm CD it}} ^{2} RIGHT )`]이 성립한다. 따라서 [eqn: bar{rmAC}=2`]이고 삼각형 [eqn: rmABC`]는 이등변삼각형이다.

22. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: LEFT ( 7+2i RIGHT ) LEFT ( 7-2i RIGHT )=49+4=53`]

23. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: 2 ^{3} +5times2 ^{2} +4times2+4=40`]

24. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 추론하기

[eqn: U`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: 1`]

[eqn: 2`]

[eqn: 3]

[eqn: 4`]

[eqn: 5`]

[eqn: 6`]

[eqn: 7`]

[eqn: 8`]

[eqn: 9`]

[eqn: 10`]

따라서 [eqn: n LEFT ( A RIGHT )=5`]이므로 부분집합의 개수는 [eqn: 2^{5}=32`]

25. [출제의도] 이차함수의 성질 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(a-4)x+a ^{2}+a-1=0`]의

판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D/4`=` LEFT ( a-4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a ^{2} +a-1 RIGHT ) <0`]

[eqn: -9a+17<0], [eqn: a> { 17} over { 9}`]

따라서 정수 [eqn: a]의 최솟값은 2

26. [출제의도] 부등식의 영역 이해하기

연립부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: 2`]

[eqn: 3]

[eqn: y=4x-12`]

[eqn: -4`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO`]

[eqn: y=`-2x`]

따라서 넓이는 [eqn: { 1} over {2 }times 3 TIMES 4 =6`]

27. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

처음 상자에 담은 통조림통의 밑면의 중심을 [eqn: rmO _ { it1}`]이라 하고 상자의 남은 공간에 담을 수 있는 원기둥 모양 통조림통 밑면의 중심을 [eqn: rmO_{it 2}]라 하자. 상자의 밑면의 한 꼭짓점이 원점에 오도록 좌표평면에 두면, 그림과 같이 두 원의 중심은 각각 [eqn: rmO _{it 1}][eqn: LEFT ( 16,```9 RIGHT ) `], [eqn: {rmO} _{ it2}(r,```r)`]

[eqn: rmO_{1}`]

[eqn: rmO_{2}`]

[eqn: 9]

[eqn: r`]

[eqn: 25]

[eqn: x`]

[eqn: 18]

[eqn: y`]

[eqn: rmO`]

[eqn: 9]

[eqn: 16]

[eqn: r`]

[eqn: r`]

[eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}} ^{2} = it LEFT ( 16-r RIGHT ) ^{2} +(9-r) ^{2} = LEFT ( 9+r RIGHT ) ^{2} `]
[eqn: r ^{2} -68r+256=0], [eqn: r=4`] 또는 [eqn: r=64`]

[eqn: r LEQ 9]이므로 [eqn: r=4]

따라서 부피의 최댓값은 [eqn: pi TIMES 16 TIMES 15=240 pi `]

28. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: y=2x(x-a)=2 LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {2} `]이므로
점 [eqn: rm A it LEFT ( {a} over {2} ,```- {a ^{2}} over {2} RIGHT ) `], 점 [eqn: rm B it (a,```0)`]

함수 [eqn: f(x)=`- LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-a-3 RIGHT ) `]이고
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: {rm A}`]를 지나므로

[eqn: - {a ^{2}} over {2} =`- LEFT ( - {a} over {2} RIGHT ) LEFT ( - {a} over {2} -3 RIGHT ) `]

[eqn: a ^{2} -6a=0`], [eqn: a`]는 양수이므로 [eqn: a=6`]

따라서 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 3 TIMES 18=27`]

29. [출제의도] 이차함수와 직선을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 2 LEQ x LEQ 4]에서 이차함수 [eqn: y=(x-2a) ^{2} +b`]는

그래프의 축 [eqn: x=2a`]의 위치에 따라 최솟값을 갖는 [eqn: x`]의 좌표가 달라진다.
(ⅰ) [eqn: a<1`]인 경우, 함수의 최솟값은 [eqn: x=2`]일 때 [eqn: LEFT ( 2-2a RIGHT ) ^{2}+b=4`]이므로 [eqn: b=`-4(a-1) ^{2} +4`]
(ⅱ) [eqn: 1LEQa<2`]인 경우, 함수의 최솟값은 꼭짓점의 [eqn: y`]좌표이므로 [eqn: b=4`]
(ⅲ) [eqn: a GEQ 2`]인 경우, 함수의 최솟값은 [eqn: x=4`]일 때 [eqn: LEFT ( 4-2a RIGHT )^{2}+b =4`]이므로 [eqn: b=`-4(a-2) ^{2} +4`]

그러므로

	[eqn: -4(a-1) ^{2} +4`]	[eqn: left(a < 1right)`]
[eqn: b={cases{eqalign{`# `# `}&`#`&`}}]
	[eqn: 4`]	[eqn: left(1LEQa<2right)`]
	[eqn: -4(a-2) ^{2} +4`]	[eqn: left(a GEQ 2right)`]

[eqn: 2a+b=k`]라 두면

[eqn: 1`]

[eqn: 4`]

[eqn: 2`]

[eqn: b=`-2a+k`]

[eqn: a`]

[eqn: b`]

[eqn: rmO`]

[eqn: b=`-4(a-2) ^{2} +4`]와 [eqn: b=`-2a+k`]가 접할 때 [eqn: k]는 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: M=` {33} over {4}`]이고 [eqn: 4M=33`]

30. [출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

주어진 조건 (가)에 의해 [eqn: x_{2}=`-2x_{1}+6`]이므로 점 [eqn: rmQ LEFT (it -2x_{1}+6,```y_{2} RIGHT )`]라 하고 이를 원 [eqn: C_{2}`]에 대입하면 [eqn: LEFT ( -2x _{1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y _{2} -4+6 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} =16``` CDOTS ㉠`]

점 [eqn: rmP LEFT (itx_{1},```y_{1} RIGHT )`]가 원 [eqn: C_{1}`]위의 점이므로 대입하면

[eqn: x_{1}`^{2}+ LEFT ( y_{1}-4 RIGHT )^{2}=4```cdots㉡`]

[eqn: ㉠`]과 [eqn: ㉡`]을 연립하여 정리하면

[eqn: LEFT ( y_{1}-4 RIGHT )^{2}= LEFT ( { y_{2}} over {2 }-2+3 sqrt { 3} RIGHT )^{2}`]

조건 (나)에 의해

[eqn: y_{1}-4leq0`], [eqn: {y _{2}} over {2} -2+3 sqrt {3} geq0`]이므로

[eqn: -y_{1}+4= { y_{2}} over {2 }-2+3 sqrt { 3}`]

이를 정리하면 [eqn: 2y_{1}+y_{2}=12-6 sqrt { 3`}`]

양변을 [eqn: 3`]으로 나누면 [eqn: { 2y_{1}+y_{2}} over { 3}=4-2 sqrt { 3}`]

그러므로 점[eqn: LEFT ( 2,```4-2 sqrt { 3} RIGHT )`]은 선분 [eqn: rmPQ`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점이다.

[eqn: x_{1}=0`]일 때,

[eqn: rm P LEFT ( 0,```2 RIGHT ) `], [eqn: rm Q LEFT ( 6,```8-6 sqrt {3} RIGHT ) `]

[eqn: x_{1}=1`]일 때,

[eqn: rm P LEFT ( 1,```4- sqrt {3} RIGHT ) `], [eqn: rm Q LEFT ( 4,```4-4 sqrt {3} RIGHT ) `]이고

이때 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은 [eqn: y=`- sqrt {3} x+4`]이므로 두 원 [eqn: C _{1} `], [eqn: C _{2} `]의 중심을 지난다.

[eqn: 0leqx_{1}leq1`]이므로 선분 [eqn: rmPQ`]가 지나간 부분은 그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: S_{1}`]

[eqn: rmO _{1}]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rmB`]

[eqn: rmA`]

[eqn: rmC`]

[eqn: rmD`]

[eqn: S_{2}`]

[eqn: rmH`]

[eqn: 2`]

[eqn: 1`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO`]

[eqn: 4`]

원 [eqn: C_{1}`]의 중심을 [eqn: rmO_{1} LEFT ( 0,```4 RIGHT ) `], 원 [eqn: C _{2} `]의 중심을 [eqn: rm O _{2} LEFT ( 6,```4-6 sqrt {3} RIGHT ) `], [eqn: rmA LEFT ( 0,```2 RIGHT ) `],  [eqn: rmB LEFT ( 1,``4- sqrt {3} RIGHT ) `], [eqn: rmC LEFT ( 2,```4-2 sqrt {3} RIGHT ) `], [eqn: rmD LEFT ( 6,```8-6 sqrt {3} RIGHT ) `]이라 하자. 점 [eqn: rmB`]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 삼각형 [eqn: rm O _{1} HB`]는 직각삼각형이고 [eqn: bar{rmBH}=1`], [eqn: bar{rmO _{1} H}= sqrt {3} `]

그러므로 [eqn: anglermHO _{1} B=30DEG`]

[eqn: S _{1} `]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmO _{1} AC``]의 넓이에서 부채꼴 [eqn: rmO_{1}AB`]의 넓이를 뺀 값과 같다. 삼각형 [eqn: rmO _{1} AC``]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2=2} `]이고 부채꼴 [eqn: rmO_{1}AB`]의 넓이는 [eqn: pitimes2^{2}times { 30DEG} over {360 DEG}= { pi} over { 3}`]

즉, [eqn: S _{1} `]의 넓이는 [eqn: 2- {pi } over {3} `]

삼각형 [eqn: rmO_{1}AC`]와 삼각형 [eqn: rmO_{2}DC`]는 닮음이다.

닮음비가 [eqn: 1:2`]이므로 [eqn: S _{1} `]과 [eqn: S _{2} `]의 넓이의 비는 [eqn: 1:4`]

그러므로 [eqn: S_{2}`]의 넓이는 [eqn: 8- { 4} over {3 }pi`]

선분 [eqn: rmPQ`]가 그리는 도형의 넓이는 [eqn: 10- { 5} over { 3}pi`]

따라서 [eqn: a=10`], [eqn: b= {5} over {3} `]이므로 [eqn: a+9b=25`]