제2교시 수리영역

[정답]

1.	⑤	2.	④	3.	④	4.	①	5.	①	6.	⑤	7.	②	8.	③
9.	②	10.	③	11.	②	12.	④	13.	⑤	14.	⑤	15.	①	16.	③
17.	②	18.	①	19.	④	20.	④	21.	④	22.	③	23.	⑤	24.	③
25.	(16)	26.	(-12)			27.	(8)	28.	(11)	29.	(79)	30.	(1.62)

1. [출제 의도] 복소수의 계산을 할 수 있다.

[eqn: ``(`1`+i`)`^2`=1^2`+2`i`+i`^2``]

[eqn: =`1+2`i`-1``]

[eqn: =`2`i`]

2. [출제 의도] 무리식의 계산을 할 수 있다.

[eqn: `x`=` SQRT { 3`+`2 SQRT { 2} }`][eqn: =`SQRT { (2+1)+2 SQRT { 2CDOT1} }`=SQRT { 2} `+`1`]

[eqn: `y`=` SQRT { 3`-`2 SQRT { 2} }`][eqn: =`SQRT { (2+1)-2 SQRT { 2CDOT1} }`=SQRT { 2} `-`1`]

∴ [eqn: x`+`y`=`( root 2 +1)+ (root 2 -1)`=`2 root2`]

3. [출제 의도] 집합의 연산을 할 수 있다.

[eqn: A`-` B = left { 1,``2` right}], [eqn: B-A = left{ 5` right}]이므로

[eqn: (A-B) cup (B-A)][eqn: =`left{ 1,`` 2,`` 5` right}]

따라서, 집합[eqn: (A-B) cup (B-A)]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+5`=`8`]

4. [출제 의도] 식의 변형을 이용하여 식의 값을 구할 수 있다.

[eqn: x^2 + y^2 = ( x+y )^2 - 2 xy] 에서

[eqn: 6 = 16 - 2xy]       ∴[eqn: xy = 5]

5. [출제 의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구할 수 있다.

[eqn: f`(x)`=`x`^3`-x`^2`-`x`+`a`]라 하면

[eqn: `x`^3`-x`^2`-`x`+`a`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는 [eqn: f`(2)`]이므로

[eqn: f``(2)=8-4-2+a`=`1`]      ∴[eqn: a`=`-1`]

6. [출제 의도] 거짓인 명제의 반례를 찾을 수 있다.

주어진 명제가 거짓임을 보이기 위한 예(반례)는

[eqn: x``] 또는 [eqn: y``]가 무리수이지만 [eqn: xy`]는 유리수인 것이다.

따라서, 보기 중 알맞은 예는 [eqn: x=root 2 ,~y=root2] 이다.

7. [출제 의도] 이차방정식이 실근을 가질 조건을 찾을 수 있다.

이차방정식 [eqn: x^2 `-`4x `+`k +5`=`0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D`=(-4`)^2 `-`4 `(k+5)`>`0`]

[eqn: -4`-`4k`>`0`]            ∴ [eqn: k`<`-1`]

8. [출제 의도] 실생활의 문장을 명제화시켜 그 대우를 구할 수 있다.

[eqn: p`]: ‘경기가 좋아진다.’

[eqn: q`]: ‘복사기의 판매실적이 올라간다.’ 라 할 때,

‘[eqn: p`->`q`]’의 대우는 ‘[eqn: ～q`->`～p`]’이므로

주어진 명제의 대우는

‘복사기의 판매실적이 올라가지 않으면 경기가 좋아진 것은 아니다.’

9. [출제 의도] 절대값의 성질을 이해할 수 있다.

0이 아닌 두 실수 [eqn: x,`y``]가

[eqn: vert` x `vert`=`x``]이므로 [eqn: x`>`0`]이고,

[eqn: vert` y `vert =`-y``]이므로 [eqn: y`<`0`]이다.

ㄱ. [eqn: xy`<`0`]이므로 [eqn: vert` xy`vert` =`-xy``]이다.

ㄴ. [eqn: x-y`>`0 ~ (BECAUSE~ x`>`0,```y`<`0)``]이므로

[eqn: vert` x`-`y`vert`=`x`-`y`]

ㄷ. (반례) [eqn: x `=`1`,``y`=`-2`]이면

[eqn: vert`x`+`y`vert`=`1`,~x`+`y`=`-1`]

∴ [eqn: vert`x`+`y`vert`not =`x`+`y`]

따라서 옳은 것은 ㄴ 뿐이다.

10. [출제 의도] 필요충분조건을 이해할 수 있다.

ㄱ. 임의의 실수[eqn: a`,`b``]에 대하여 [eqn: a^2`≧`0`,``b^2`≧`0``]이므로

[eqn: a^2`+b^2`≧`0``] (단, 등호는 [eqn: a=b=0`]일 때 성립)

따라서 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이다.

ㄴ. △ABC에서 두 변의 길이가 같으면 두 각의 크기가 같고, 두 각의 크기가 같으면 두 변의 길이가 같으므로 [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이다.

ㄷ. [eqn: m`,``n`]의 홀수, 짝수인 경우를 모두 조사하면 아래의 표와 같다.

[eqn: m`]	[eqn: n`]	[eqn: m+n`]
홀수	홀수	짝수
홀수	짝수	홀수
짝수	홀수	홀수
짝수	짝수	짝수

즉, [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이 아니다.(충분조건이다.)

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

11. [출제 의도] 이차방정식의 근의 의미를 알고, 이차방정식을 풀 수 있다.

한 근이 [eqn: 1`]이므로 [eqn: 1+k+2`=`0`]      ∴[eqn: k`=`-3`]

따라서, 주어진 방정식은 [eqn: x^2 -3x +2`=`0`]이다.

[eqn: (x-1)(x-2)`=`0`]  ∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: 2]

1이 아닌 다른 한 근은 [eqn: 2]이므로 [eqn: alpha `=`2`]

∴[eqn: k+ alpha `=`-1`]

12. [출제 의도] 주어진 연산의 정의에 따라 연산결과를 추측할 수 있다.

주어진 약속에 의하여 [eqn: bar A ,``bar B ,``bar A △ bar B `]를 나타내면

△

〓

[eqn: bar A`]

[eqn: bar B`]

[eqn: bar A △ bar B]

이므로[eqn: (A △ B )▽ ( bar A △ bar B )`]를 나타내면 아래와 같다.

▽

〓

[eqn: A△B`]

[eqn: bar A △ bar B]

[eqn: (A △ B )▽ ( bar A △ bar B )`]

13. [출제 의도] 연립방정식을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있다.

직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x`rm`cm`],

세로의 길이를 [eqn: y`rm`cm`] 라고 하면

[eqn: cases {2x +2y =34 ~````cdots cdots ``㉠ &# &# x^2 + y^2 = 13^2 `~`cdots cdots ``㉡}]

㉠에서 [eqn: y`=` 17-x`~`cdots```㉢`]

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: x^2 + (17 -x)^2 = 169 `]

[eqn: 2x^2 -34x +120 =0`]

[eqn: x^2 -17x +60 =0`]

[eqn: (x-5)(x-12)=0`]

[eqn: therefore ````cases {x=5 &# y=12}```] 또는 [eqn: cases {x=12 &# y=5`}`]

따라서 가로, 세로 중 긴 변의 길이는 [eqn: rm 12`cm`]이다.

14. [출제 의도] 주어진 사실을 이용하여 추론할 수 있다.

방향	Ⅰ			Ⅱ			Ⅲ
↑ 위 쪽 아 래 쪽 ↓
		파란색
					붉은색			붉은색
		노란색						노란색
		흰색
					검은색

세 가지 사실에 따라 모자를 배치하고, 이웃한 모자를 사각형으로 묶어주면 오른쪽 표와 같다.

따라서 위에서부터 차례로 파란색, 붉은색, 노란색, 흰색, 검은색의 순으로 걸려있으므로 위에서 두 번째에는 붉은색 모자가 걸려 있다.

15. [출제 의도] 원의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

Q

E

F

D

P

R

위의 그림에서[eqn: rm`∠EPF`=`∠ERF`<`∠EQF`]

( ∵[eqn: rm∠EQF`=`∠ERF`+`∠QFR``]) 이므로

E, F를 지나는 원의 반지름의 길이가 커지면

원주각의 크기는  … (가)

작아진다.

따라서 두 점 [eqn: rm E,``F`]를 지나는 원이 변 [eqn: rm CD`]에 접할 때

접점[eqn: rm Q`]에서 골대를 바라 본 각의 크기가 [eqn: rm∠EPF`] 중

가 된다. … (나)

최대

16. [출제 의도] 약수, 배수의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

[eqn: x`in`A_k`]라고 하면 [eqn: x`]는 [eqn: 7`]로 나눈 나머지가 [eqn: k`]이므로

[eqn: ``x`=`]  ([eqn: n`,``k`]는 정수, [eqn: 0`≦`k`≦6``])

[eqn: 7n+k`]

따라서[eqn: a`=`7l+4,``b`=`7m`+`2`,``x`=`7n+k`]를 방정식

[eqn: ``ax`=`b`]에 대입하면

[eqn: (7l+4)(7n+k`)`=`7m+2``]

이 식을 전개하여 정리하면

[eqn: 7`(`][eqn: )`=`2(1-2k`)`]

[eqn: 7 l n+kl+4n-m`]

그런데 [eqn: 2`]와 [eqn: 7`]은 서로소이므로 [eqn: 1-2k`]는 의 배수이다.

[eqn: 7`]

따라서 [eqn: k`=`4``]이다.    ∴ [eqn: x`in`A_4`]

17. [출제 의도] 주어진 조건을 만족하는 방정식을 구할 수 있다.

(처음 원기둥의 부피)[eqn: =` pi `x^2 `times` x `=` pi` x^3 `]

(새로 만든 원기둥의 부피)[eqn: =`pi` (x-1)^2 `(x-2)`]

[eqn: 1 over 2 `pi` `x^3`=` pi `(x-1)^2 `(x-2)`]

[eqn: x^3` =` 2 `(x-1)^2 `(x-2) `]

[eqn: x^3` = `2` (x^3 `-`4x^2 `+`5x` -2)`]

[eqn: x^3 `-`8x^2 `+`10x `-`4 `=`0`]

∴[eqn: a`=`-8,``b`=`10,``c`=`-4`]

∴[eqn: a`+`b`+`c `=`-2`]

18. [출제 의도] 그래프를 보고 두 변수 사이의 관계를 추론할 수 있다.

주어진 그래프에서 [eqn: x,``y`,``z``]  사이의 관계를 식으로 나타내면       [eqn: y`=`ax`] ([eqn: a>1`]), [eqn: z`=`by`] ([eqn: b>1`])

∴ [eqn: z`=`b(`ax`)`=`a b`x``] ([eqn: a b`>`1``])

따라서, [eqn: z`=`a bx``]의 그래프는 보기의 ①과 같다.

19. [출제 의도] 실수의 대소 관계를 추론할 수 있다.

주어진 식 [eqn: 1 over a + 1 over b =1`]을 변형하면,

[eqn: 1 over b` =` 1- 1 over a` =` a-1 over a``]   ∴[eqn: b`= a over a-1`]

ㄱ. [eqn: a`>`1``]이면 [eqn: a`>`a`-`1`>0`]이므로

[eqn: b`= a over a-1`>`1`]           ∴ 참

ㄴ. [eqn: 0`<`a`<`1``]이면 [eqn: `a-1`<`0`<`a`]이므로

[eqn: b`= a over a-1`<`0`]           ∴ 참

ㄷ. [eqn: a`<`0``]이면 [eqn: a-1`<`a`<`0`]이므로

[eqn: b`= a over a-1`>`0`]           ∴ 거짓

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.

20. [출제 의도] 비례식을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있다.

세 면 [eqn: rm A , ``B,``C`]의 넓이의 비가 [eqn: 4``:`3``:`2`]이므로

세 면의 넓이를 각각 [eqn: 4k^2 ,``3k^2 ,``2k^2`]으로 놓으면

[eqn: xy`=`4k^2] … ㉠, [eqn: xz`=`3k^2`] … ㉡, [eqn: yz`=`2k^2`] … ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 곱하면

[eqn: x^2 y^2 z^2 `=`24k^6`]             ∴[eqn: xyz= 2`SQRT { 6} k^3`] … ㉣

㉣을 ㉠, ㉡, ㉢으로 각각 변끼리 나누면

[eqn: z`=` { SQRT { 6} } over {2 }k ,``y`=` { 2`SQRT { 6} } over {3 }k ,``x`=` { SQRT { 6} } k`]

∴[eqn: x``:`y``:`z`=` SQRT { 6}k``:` { 2`SQRT { 6} } over {3 } k``: `{ SQRT { 6} } over {2 } k `]

[eqn: =`1``:` { 2} over {3 } ``: `{1 } over {2 }`=`6``:`4``:`3`]

21. [출제 의도] 연립방정식을 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

글상자의 짧은 변의 길이를 [eqn: x``rm cm`],

글상자의 긴 변의 길이를 [eqn: y``rm cm`],

여백의 간격을 [eqn: z``rm cm`]라 하면,

[eqn: x`+`y`+`3z `=`26`] … ㉠

[eqn: 3x `+` 2z `=`y`]           ∴[eqn: 3x`-`y`+`2z`=`0`] … ㉡

[eqn: y+2z`=`20`] … ㉢

㉡ [eqn: -`] ㉢에서                [eqn: 3x-2y`=`-20`] … ㉣

㉠[eqn: times 2`] [eqn: -`] ㉢[eqn: times `3`]에서        [eqn: 2x-``y`=`-8`] … ㉤

㉣ [eqn: -`] ㉤[eqn: times `2]에서     [eqn: -x`=`-4`]       [eqn: therefore ```x=4`]

㉤에서               [eqn: 8-y`=`-8`]       [eqn: therefore ```y=16`]

(글상자 하나의 넓이) [eqn: = `xy`=`4 times 16 `=`64`(rm cm^2 )`]

22. [출제 의도] 약수, 배수의 성질을 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: 12`]개의 타일을 겹치지 않고 빈틈없이 평면에 붙여 직사각형 모양을 만들었다면,

([eqn: 12`]개의 타일들의 넓이의 합)

[eqn: =`][eqn: 5^2 `times`2`+`5` times `7`+`1 `times`3`=`88`][eqn: (rm cm^2 `)]

[eqn: =`](만들어진 직사각형의 넓이)

넓이가 [eqn: 88`]인 직사각형을 만들 수 있는 경우는

[eqn: 1` TIMES`88`], [eqn: 2 `TIMES`44`], [eqn: 4` times `22`], [eqn: 8` times `11`]

이다. 그런데, 만들어진 직사각형의 각 변의 길이는 모두 [eqn: 5`] 이상이어야 하므로 [eqn: 8` times `11`] 뿐이다.

따라서 직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 38`rm (cm`)]이다.

[오답 피하기]

가로, 세로의 길이가 [eqn: 5`]인 타일의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하면,

([eqn: 5`times`5`]인 타일 [eqn: 2`]개의 넓이의 합)[eqn: =`2x^2 `]

([eqn: 1`times`5`]인 타일 [eqn: 7`]개의 넓이의 합)[eqn: =`7x`]

([eqn: 1`times`1`]인 타일 [eqn: 3`]개의 넓이의 합)[eqn: =`3`]

∴ (타일 [eqn: 12`]개의 넓이의 합)[eqn: =`2x^2 `+`7x`+`3`]

이것을 인수분해하면

[eqn: 2x^2 `+`7x`+`3`=`(2x`+`1)(x`+`3)`] 이므로

가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: 2x+1`]과 [eqn: x+3`]

즉, [eqn: 11`]과 [eqn: 8`]인 직사각형을 만들 수 있다.

11

8

23. [출제 의도] 실생활의 문제를 수학적으로 분석하여 해결할 수 있다.

[eqn: rm A,``B`]후보가 얻을 수 있는 표의 합은 최대

[eqn: 251+200+300 =751`](표)이다.

[eqn: 751 over 2 `=`375.5`]이므로[eqn: rm A`]후보가 [eqn: 376`]표 이상을 얻으면 당선이

확정된다.

[eqn: 376`-`251`=`125`]이므로 [eqn: rm A`]후보가 남은 [eqn: 300`]표 중 [eqn: 125`]표

이상을 얻으면 당선이 확정된다.

[오답 피하기]

1.[eqn: rm A`]후보가 남은 [eqn: 300`]표 중 [eqn: 125`]표 이상을 얻으면, [eqn: rm B`]후보는 [eqn: 175`]표 이하를 얻게 되므로 [eqn: rm A`]후보는 [eqn: 376`]표 이상, [eqn: rm B`]후보는 [eqn: 375`]표 이하를 얻게 되어 [eqn: rm A`]후보의 당선이 확정된다.

2.[eqn: rm C`]후보가 남은 [eqn: 300`]표 중에서 한 표 이상을 얻으면, [eqn: rm A`]후보는 [eqn: 125`]표 이하로도 당선되므로 [eqn: 125`]표를 얻는 것으로 충분하다.

24. [출제 의도] 실생활의 상황을 수학적으로 표현하여 해결할 수 있다.

두 개의 빈 물통 중 [eqn: 5`]갤런의 물통을 가득 채운다.

[eqn: (0,``0`)`] → [eqn: (0,``5`)`]

[eqn: 5`]갤런 물통의 물 중 [eqn: 3`]갤런의 물을 [eqn: 3`]갤런 물통으로 옮긴다.

[eqn: (0,``5`)`] →  … (가)

[eqn: (3,``2`)`]

[eqn: 3`]갤런 물통의 물을 버린다.

[eqn: (3,``2`)`] → [eqn: (0,``2`)`]

[eqn: 5`]갤런 물통에 남아 있는 [eqn: 2`]갤런의 물을 [eqn: 3`]갤런 물통으로 옮긴다.

[eqn: (0,``2`)`] → [eqn: (2,``0`)`]

5갤런 물통을 가득 채운다.

[eqn: (2,``0`)`] →  … (나)

[eqn: (2,``5`)`]

5갤런 물통의 물 중 1갤런의 물을 3갤런 물통으로 옮긴다.

[eqn: (2,``5`)`] → [eqn: (3,``4`)`]

그러면 [eqn: 5`]갤런 물통에 정확하게 [eqn: 4`]갤런의 물이 들어 있다.

(가), (나)에 알맞은 것은 차례로 [eqn: (3,``2`)`], [eqn: (2,``5`)`]이다.

25. [출제 의도] 인수분해를 이용하여 식의 값을 구할 수 있다.

[eqn: a,``b,``c``]가 연속하는 세 자연수이고 [eqn: c^2``-``a^2``>0``]이므로

[eqn: c-a `=` 2`]이다.

[eqn: ``c^2 `-`a^2 `=` (c`-`a)(c`+`a)`=`2(c`+`a)`=`32`]

∴ [eqn: a`+`c`=`16`]

26. [출제 의도] 집합의 연산을 이해할 수 있다.

[eqn: A `CAP` B `=` left { `-2` right }`]이므로, [eqn: a+1`=`-2`]    ∴[eqn: a`=`-3`]

∴[eqn: a-3`=`-6`,~a-1`=`-4`,~a^2 -11`=`-2`]

따라서 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: -6 `+`(-4) `+`(-2)`=` -12`]

27. [출제 의도] 조건을 만족하는 부분집합의 개수를 구할 수 있다.

[eqn: A` CUP `X`=`A`]이므로 [eqn: X` SUBSET ` A`]이고,

[eqn: B`CAP`X`=`B`]이므로 [eqn: B `SUBSET ` X`]이다.

따라서, 집합 [eqn: X`]는 원소 [eqn: 1,```2`]를 반드시 포함하는 [eqn: A`]의 부분  집합이므로 다음과 같이 [eqn: 8`]개가 있다.

[eqn: LEFT { 1,``2` RIGHT } `], [eqn: LEFT { 1,``2,``3` RIGHT } `], [eqn: LEFT { 1,``2,``4` RIGHT } `], [eqn: LEFT { 1,``2,``5` RIGHT } `], [eqn: LEFT { 1,``2,``3,``4` RIGHT } `],

[eqn: LEFT { 1,``2,``3,``5` RIGHT } `], [eqn: LEFT { 1,``2,``4,``5` RIGHT } `], [eqn: LEFT { 1,``2,``3,``4,``5` RIGHT } `]

28. [출제 의도] 삼차방정식의 세 근을 구할 수 있다.

[eqn: f``(x) = x^3 - 9x^2 +13x +23`]으로 놓으면 [eqn: `f``(-1) = 0 `]

따라서, [eqn: f``(x)]는 [eqn: x+1`]을 인수로 갖는다.

[eqn: -1`]	[eqn: 1`]	[eqn: -9`]	[eqn: 13`]	[eqn: 23`]
		[eqn: -1`]	[eqn: 10`]	[eqn: -23`]
	[eqn: 1`]	[eqn: -10`]	[eqn: 23`]	[eqn: 0`]

오른쪽 조립제법에서

[eqn: f``(x) = ( x+1) (x^2 - 10x +23 )`]     이므로, 주어진 방정식은

[eqn: ( x+1) (x^2 - 10x +23 )`=`0`]

∴[eqn: x = -1`]또는 [eqn: x = 5 ± root 2 `]

∴[eqn: vert alpha vert + vert beta vert + vert gamma vert][eqn: =`1+(5 + root 2 )`+`(5-sqrt2`)`][eqn: =`11`]

29. [출제 의도] 실생활에서 간단한 경우의 수를 구할 수 있다.

좌우대칭인 네 자리 수는 앞의 두 자리 수만 정해지면 된다.

그런데, [eqn: 2003`] 이상이 되려면 앞의 두 자리 수는 [eqn: 21`] 이상 [eqn: 99`] 이하의 수이어야 한다. 따라서 좌우대칭인 수의 개수는 [eqn: 99-20`=`79`](개)이다.

[오답 피하기]

연도를 나타내는 좌우대칭인 네 자리 수는 [eqn: `a`b`b`a`]의 꼴로 나타낼 수 있다.

[eqn: a`b`b`a`]에서 [eqn: a`]가 될 수 있는 수는 [eqn: 2`]에서 [eqn: 9`]까지 [eqn: 8`]가지이고, [eqn: b`]가 될 수 있는 수는 [eqn: 0`]에서 [eqn: 9`]까지 [eqn: 10`]가지이다.

그 중 [eqn: 2003`] 이상인 것의 개수이므로 [eqn: 2002`] 한 가지는 제외된다.

따라서, 좌우대칭인 수의 개수는 [eqn: 8` times` 10 `-`1`=`79`](개)

30. [출제 의도] 이차방정식을 활용하여 선분의 길이를 구할 수 있다.

[eqn: a``:`b`=`(a`+`b)``:a`]  ⇔ [eqn: a^2``=`b(a+b)`]

[eqn: a^2`=`a b`+`b^2`]

[eqn: a^2`-`a b`-`b^2`=`0`] … ㉠

㉠의 양변을 [eqn: b^2`]으로 나누면

[eqn: {(`a over b `)`^2`}`-`a over b`-1`=`0`] … ㉡

㉡에서 [eqn: a over b`=`x`]로 놓으면

[eqn: x^2`-x`-1`=`0``]        ∴ [eqn: x`=`{1+-sqrt5`}over2`]

[eqn: x`>`0``]이므로

[eqn: x`=`{1+sqrt5`}over2`][eqn: =`{1+2.236`} over 2`=`1.618``` REIMAGE ``1.62 `]