수학 영역

B형 정답

1	③	2	⑤	3	③	4	②	5	②
6	①	7	③	8	②	9	①	10	④
11	④	12	③	13	⑤	14	①	15	④
16	②	17	①	18	④	19	⑤	20	②
21	③	22	[eqn: 42]	23	[eqn: 26]	24	[eqn: 510]	25	[eqn: 20]
26	[eqn: 12]	27	[eqn: 143]	28	[eqn: 8]	29	[eqn: 30]	30	정답없음

1. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: root {3} of {(-8) ^{2}} TIMES 9 ^{{1} over {2}}][eqn: = root {3} of {64} TIMES (3 ^{2} ) ^{{1} over {2}} =4 TIMES 3=12]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: AB-A=A(B-E)= {pmatrix{``2``&``1``#1&1}} {pmatrix{```````0&```````2#`-1`&`-1`}}]

[eqn: = {pmatrix{``-1``&``3``#-1&1}} `]

그러므로 행렬 [eqn: AB-A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2]

3. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n` -> `` INF } {} {sqrt {n ^{2} -n} +2n} over {sqrt {n ^{2} +1}} & = lim _{n` -> `` INF } {} {sqrt {1- {1} over {n}} +2} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}} `=`3]

4. [출제의도] 등차수열 이해하기

등차중항의 성질에 의하여

[eqn: a _{1} +2a _{3} +a _{5} =4a _{3} =32]

그러므로 [eqn: a_3 = 8`]

5. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

주어진 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타내면 [eqn: 5times5]행렬이므로 행렬의 모든 성분의 개수는 [eqn: 25]

그래프의 변의 개수가 [eqn: 8]이므로 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수 [eqn: 16]

그러므로 행렬의 성분 중 [eqn: 0]의 개수는 [eqn: 9]

6. [출제의도] 역행렬 이해하기

[eqn: LEFT ( A ^{2} -E right)left(A+E `right)=left(A-E` right)left(A+E` right) ^{2} =O RIGHT .]에서

[eqn: (A-E) ^{-1}]이 존재하므로 [eqn: (A+E) ^{2} =O]

[eqn: A ^{2} +2A+E=O]

[eqn: -A(A+2E)=E]

그러므로 [eqn: A+2E`]의 역행렬은 [eqn: -A`]

7. [출제의도] 등비수열의 성질 이해하기

공비를 [eqn: r][eqn: (r>0)]이라 하면

[eqn: S _{10} -S _{8} `=a _{10} +a _{9}][eqn: =a _{8} (r ^{2} +r)]

따라서 [eqn: {a _{8}} over {S _{10} -S _{8}} = {1} over {r ^{2} +r} = {4} over {3}]

[eqn: 4r ^{2} +4r=3]에서 [eqn: r= {1} over {2}]

그러므로 [eqn: a _{2} ``=5]

8. [출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

[eqn: y=log _{` {1} over {2}} (x ^{2} -2x+3)`=][eqn: log _{{1} over {2}} LEFT ( (x-1) ^{2} +2` RIGHT )]

밑이 [eqn: 1`]보다 작은 양수이므로

정의역 [eqn: left{x`□`-1 LEQ x LEQ 2right}]에서

[eqn: x=-1]일 때 최솟값은 [eqn: `-log _{2} 6]

9. [출제의도] 여러 가지 수열의 성질 이해하기

[eqn: a _{n} =`3n-2`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{2n-1} a _{2n+1}} `# = sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{2n+1} -a _{2n-1}} LEFT ( {1} over {a _{2n-1}} `-` {1} over {a _{2n+1}} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {`6`} LEFT { LEFT ( {1} over {a _{1}} - {1} over {a _{3}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{3}} - {1} over {a _{5}} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {a _{19}} - {1} over {a _{21}} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =` {1} over {6} TIMES LEFT ( 1`-` {1} over {61} RIGHT ) `=` {10} over {61}]

10. [출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: LEFT { eqalign{`log` _{{1} over {2}} `|`x-5`|`>-3``````````````````````````````` CDOTS CDOTS `㉠# `log _{`3} `x`+log _{`3} (x+2)` GEQ 1````````` CDOTS CDOTS `㉡} RIGHT .]

㉠에서 [eqn: -3<x<13`,```x!=5]

㉡에서 [eqn: x`geq1]

따라서 연립부등식의 해는 [eqn: 1leq`x<13`,```x!=5]

그러므로 만족하는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 11]

11. [출제의도] 로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: {V _{A}} over {V _{B}} = {4.86(1010-900) ^{0.5}} over {4.86(1010-960) ^{0.5}} `= LEFT ( {110} over {50} RIGHT ) ^{0.5} = sqrt {2.2} `]

[eqn: log {V _{A}} over {V _{B}} =log sqrt {2.2} = {1} over {2} LEFT ( log1.1`+`log2 RIGHT ) `]

[eqn: =0.1712`=log1.483]

그러므로 [eqn: {V _{A}} over {V _{B}} `=`1.483`]

12. [출제의도] 귀납적으로 정의된 수열 이해하기

[eqn: (`a _{n} +a _{n+1} ) ^{2} =4a _{n} a _{n+1} +4 ^{n} `]에서

[eqn: (`a _{n+1} -a _{n} ) ^{2} =4 ^{n`}]

[eqn: a _{n+1} >a _{n} `]이므로 [eqn: a _{n+1} -a _{n} =2 ^{n} `]

그러므로 [eqn: a _{10} =1+ sum _{k=1} ^{9} 2 ^{k} =1023]

13. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: k=log` _{2} `3`]이므로 [eqn: rm bar{AB} =4 ^{log _{`2} `3} - rm 2 ^{log _{`2} `3} =6`]

[eqn: rm {bar{CD}} =log _{`4} `m-log _{`2} `m=`- {1} over {2} `log _{`2} m`]

[eqn: rm bar{AB} = bar{CD} `]이므로 [eqn: - {1} over {2} `log _{`2} m`=6`]

그러므로 [eqn: m`= {1} over {2 ^{12}} `]

14. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: l _{k} =4 ^{k} -2 ^{k}]이므로

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} left(4 ^{k} -2 ^{k} right)][eqn: = {4 ^{n+1}} over {3} -2 ^{n+1} + {2} over {3}]

그러므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {S _{n}} over {4 ^{n+1}} = {1} over {3} `]

15. [출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm {bar{AB}} =log _{2} k-log _{{1} over {4}} k= {3} over {2} `log _{2} k][eqn: =n]([eqn: n]은 자연수)

따라서 [eqn: log` _{2} `k`= {2} over {3} `n]

한편, [eqn: log _{2} 1<log` _{2} k<`log _{2} `128`]

즉, [eqn: 0< {2} over {3} n`<7]에서  [eqn: n=1`,```2,` CDOTS ,`10]

모든 [eqn: k]값의 곱을 [eqn: M]이라 하면

[eqn: log _{2} M`= {2} over {3} (1+2+3+` CDOTS `+10)`= {110} over {3}]

그러므로 [eqn: 3`log _{2} M`=`110]

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 명제 추론하기

	<증명> (ⅰ) [eqn: n=1``]일 때, (좌변)[eqn: = {BOX{```````1```````}}] 이고 (우변)[eqn: =1`]이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=m]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{k=1} ^{m} {3 ^{k-1} +1} over {2·`k!} LEQ {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}}]이다. [eqn: n=m+1`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {3 ^{k-1} +1} over {2·`k!} & = sum _{k=1} ^{m} {3 ^{k-1} +1} over {2·`k!} +` {BOX{` {3 ^{m} +1} over {2(m+1)!} ``}} `# ``````````````````````````````````````````` & LEQ ` {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}} `+`` {BOX{` {3 ^{m} +1} over {2(m+1)!`} ``}} ````````] 한편, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2^n-1 `leq`n!]이 성립하므로 [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {3 ^{k-1} +1} over {2·`k!}][eqn: LEQ ` {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}} `+`` {BOX{``` {3 ^{m} +1} over {2(m+1)!} ```}} `] [eqn: LEQ {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}} + {3 ^{m} +1} over {{BOX{````2 ^{m+1} `````}} `} = {3 ^{m+1} -1} over {{BOX{````2 ^{m+1} `````}}} `] 이 성립한다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (★)이 성립한다. 그러므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 (★)이 성립한다.

[eqn: p=1,````f(m)= {3 ^{m} +1} over {2(m+1)!} ,`````g(m)=2 ^{m+1} ``]

그러므로 [eqn: f(p)timesg(p)=f(1)timesg(1)=4`]

17. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: y=nx`]는 원점 [eqn: rmO]를 지나므로 정삼각형 [eqn: rm `OAB]와  항상 1개 이상의 점에서 만난다.

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =1], [eqn: a _{3} =1]

[eqn: n GEQ 4]일 때, [eqn: a _{n} = {cases{1&```(n != 3k+1)#2&```(n=3k+1)`}}]([eqn: k]는 자연수)

그러므로  [eqn: sum _{n=1} ^{100} a _{n} =1+33times4=133]

18. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

행렬 [eqn: {pmatrix{``3&```y`#`4&```x-1`}}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: 3x-4y-3=0`]

따라서 점 [eqn: rmP(itx`,```y)`]가 나타내는 도형은 그림과 같이 선분 [eqn: rm QR]이다.

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: 3x-4y-3=0]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

원의 중심과 직선 [eqn: 3x-4y-3=0] 사이의 거리가 [eqn: 1]이고 원의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로

[eqn: rm {bar{QR}} =2 sqrt {2 ^{2} -1} =2 sqrt {3}]

19. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계 추론하기

그림과 같이 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 점을 각각 [eqn: rm A it ` prime LEFT ( 2,~4 RIGHT )], [eqn: rm B it prime LEFT ( -1,~ {1} over {2} RIGHT )] 이라 하면

[eqn: 1<x _{1} <2], [eqn: -1<x _{2} <0],

[eqn: y _{1} >4],[eqn: ``` {1} over {4} <y _{2} < {1} over {2}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A prime]

[eqn: rm B prime]

[eqn: rm D]

[eqn: y=4^x]

[eqn: y=log _{`2} `x]

[eqn: y=x]

[eqn: y=2 ^{`x}]

ㄱ. [eqn: x _{1} >1]이고 [eqn: x _{2} >-1]이므로 [eqn: x _{1} +x _{2} >0] (참)

ㄴ. [eqn: y _{1} >4]이고 [eqn: y _{2} > {1} over {4}] 이므로 [eqn: y _{1} y _{2} >1] (참)

ㄷ. 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 지나는 직선의 기울기가

[eqn: {y _{1} -y _{2}} over {x _{1} -x _{2}}]이고 두 점 [eqn: rm A it ` prime], [eqn: rm B it prime]을 지나는

직선의  기울기는 [eqn: { 7} over {6 }]이므로 [eqn: {y _{1} -y _{2}} over {x _{1} -x _{2}} >][eqn: { 7} over {6 }] (참)

20. [출제의도] 무한급수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: A _{n} `]의 한 변의 길이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때,

[eqn: A _{n+1} `]의 한 변의 길이 [eqn: a _{n+1}]은

[eqn: a _{n+1} =a _{n} TIMES `tan {pi } over {6} = {1} over {sqrt {3}} a _{n}]

따라서 [eqn: S _{2} -S _{1} = {1} over {3} S _{1}],

[eqn: S _{n+2} -S _{n+1} = {1} over {3} LEFT ( S _{n+1} -S _{n} RIGHT )] [eqn: (n GEQ1)]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rm M]

[eqn: rm O]

[eqn: r]

[eqn: 1]

정육각형 [eqn: A _{1} `]의 한 변 [eqn: rmAB`]의 중점을 [eqn: rmM``], 점 [eqn: rmM`]을 접점으로 하는 원의 중심을 [eqn: rmO`]라 하자. 그림 [eqn: R _{1} `]에서 각 원의 반지름을 [eqn: r`]라 하면 [eqn: ANGLE rm OAM= {pi } over {6} `]이므로 [eqn: r=`tan {pi } over {6} = {sqrt {3}} over {3} `]

[eqn: S _{1} = LEFT { sqrt {3} - LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT ) ^{2} pi RIGHT } TIMES {2} over {3} TIMES 6=4 sqrt {3} - {4 pi } over {3} `]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 4 sqrt {3} - {4pi } over {3} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k-1}]

그러므로 [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n} = {4 sqrt {3} - {4 pi } over {3}} over {1- {1} over {3}} = {6 sqrt {3} -2 pi }]

21. [출제의도] 여러 가지 수열의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: b _{n} = sum _{k=1} ^{n} k= {n(n+1)} over {2}]이므로 [eqn: b _{8} `=36`] (참)

ㄴ. [eqn: c _{4n} =(1+2)+(5+6)+(9+10)+` CDOTS # ``````````````````````````````````````````````````````````````````+ LEFT { (4n-3)+(4n-2) RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} (8k-5)]  (참)

ㄷ. [eqn: b _{4n} =a _{4n} +c _{4n}]이 성립하므로

[eqn: a _{4n} =b _{4n} -c _{4n} =4n ^{2} +3n]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{4n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 4n ^{2} +3n` RIGHT ) =1705]  (거짓)

22. [출제의도] 역행렬 계산하기

주어진 행렬의 역행렬은

[eqn: {1} over {6-7} {pmatrix{`````````3```&-1`#`-7```&```````2`}} & = {pmatrix{`-3```&``````1`#`````````7```&-2`}}]

그러므로 모든 성분의 곱은 [eqn: 42]

23. [출제의도] 무한급수의 성질 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =4`,``` sum _{n=1} ^{inf} b _{n} =`-3]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (5a _{n} -2b _{n} )=5 sum _{n=1} ^{INF } a _{n} -2 sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]

[eqn: =20+6=26]

24. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: A ^{9} = {pmatrix{`1&````````2+2 ^{2} +` CDOTS `+2 ^{9} ``#`0&``2 ^{9}}} = {pmatrix{`1&``a`#`0&``b`}} `]이므로

[eqn: a-b=2+2 ^{2} +` CDOTS `+2 ^{8} =2 ^{9} -2=510]

그러므로 [eqn: a-b=510]

25. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: a _{1} `=S _{1} =4], [eqn: a _{n} `=S _{n} -S _{n-1} =2n+1(n GEQ 2)]

그러므로 [eqn: lim _{n -> INF } {{10a _{n}} over {n} `=20}]

26. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기

[eqn: 2 ^{x} - {4} over {2 ^{x}} =2 sqrt {5} `]에서 [eqn: 2 ^{x} =t``(t>0)`]라 하자.

[eqn: t ^{2} -2 sqrt {5} t-4=0`]에서 [eqn: t=3+ sqrt {5} `]이므로

[eqn: LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{x} = sqrt {2 ^{x}} = sqrt {3+ sqrt {5}}][eqn: = {sqrt {10} + sqrt {2}} over {2} `]

그러므로 [eqn: a+b=12`]

27. [출제의도] 순서도에서 인쇄되는 값 추론하기

[eqn: N=0]일 때, [eqn: A=3]

[eqn: N=1]일 때, [eqn: A=3+5]

[eqn: N=2]일 때, [eqn: A=3+5+7]

⋮          ⋮

[eqn: N=n]일 때, [eqn: A=3+ sum _{k=1} ^{n} (2k+3)][eqn: =`n ^{2} +4n+3]

그러므로 [eqn: N=10]일 때 인쇄되는 [eqn: A]값은 [eqn: 143]

28. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: a=log` _{2} 65-6=log` _{2} {65} over {64} `]

[eqn: b=log` _{5} 72-2=log` _{5} {72} over {25} `]

따라서 [eqn: 2` ^{p+a} TIMES `5` ^{q+b} ` & =2 ^{p} TIMES ` {65} over {64} TIMES 5 ^{q} TIMES {72} over {25}# & =13 TIMES 3 ^{2} TIMES 2 ^{p-3} TIMES 5 ^{q-`1} `]

[eqn: 100=2^2 times5^2`]이므로 [eqn: 2` ^{p+a} times`5` ^{q+b} `]의 값이 [eqn: 100`]의 배수가 되기 위해서 [eqn: p-3 GEQ 2], [eqn: q-1 GEQ 2 `]

따라서 [eqn: p+q GEQ8`]

그러므로 최솟값은 [eqn: 8`]

29. [출제의도] 무한등비급수의 성질 이해하기

등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 공비를 [eqn: r][eqn: (r != 0)]이라 하자.

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } a _{n} =- {a _{1}} over {m}]이므로 [eqn: □`r`□<1] [eqn: CDOTS]㉠

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } a _{n} = {a _{2}} over {1-r} =- {a _{1}} over {m}]

[eqn: {a _{2}} over {a _{1}} =r]이므로 [eqn: m=1- {1} over {r}]

㉠에서 [eqn: {1} over {|`r`|} >1]이므로 [eqn: |`1-m`|>1]

[eqn: m<0`] 또는 [eqn: m>2]

따라서 자연수 [eqn: m]의 최솟값 [eqn: N`]은 [eqn: 3]

그러므로 [eqn: 10N`=30]

30. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

[eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: log {10 ^{n}} over {x} =n-log`x=n- LEFT ( f(x)+g(x) RIGHT )]

i) [eqn: g(x)=0`]일 때

[eqn: f LEFT ( {10 ^{n}} over {x} RIGHT ) =n-f(x)], [eqn: g LEFT ( {10 ^{n}} over {x} RIGHT ) =0]이므로

[eqn: n-f(x)=0]

따라서 [eqn: f(x)=n]이므로 [eqn: log`x=n``]

ii) [eqn: 0<g(x)<1]일 때

[eqn: f LEFT ( {10 ^{n}} over {x} RIGHT ) =n-f(x)-1], [eqn: g LEFT ( {10 ^{n}} over {x} RIGHT ) =1-g(x)]이므로

[eqn: n-f(x)-1= LEFT ( 1-g(x) RIGHT ) (n-1)]

따라서 [eqn: f(x)=g(x)(n-1)]이므로 [eqn: log`x=n`g(x)]

[eqn: 0<(n-1)g(x)<n-1]

[eqn: (n-1)g(x)=1`,```2`,``` CDOTS `,```n-2]

[eqn: g(x)= {1} over {n-1} `,``` {2} over {n-1} `,```CDOTS`,``` {n-2} over {n-1}]

[eqn: log`x= {n} over {n-1} `,``` {2n} over {n-1} `,``` CDOTS `,``` {(n-2)n} over {n-1} ``]

i), ii)에서

[eqn: log`a _{n} = {n} over {n-1} + {2n} over {n-1} +` CDOTS `+ {(n-2)n} over {n-1} +n]

[eqn: = {n} over {n-1} ` LEFT { 1+2+` CDOTS `+(n-1) RIGHT }]

[eqn: = {n} over {n-1} · {(n-1)n} over {2} = {n ^{2}} over {2}]

그러므로 [eqn: sum _{n=2} ^{10} `log`a _{n} = sum _{n=2} ^{10} ` {n ^{2}} over {2} `=192]