◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘나’형

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수 리 영 역

‘나’형

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2006학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘나’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: log _{3} sqrt {6} `-` {1} over {2} `log _{3~} 2`]의 값은? [2점]

① [eqn: {1 _{`}} over {6`}]	② [eqn: {1 _{`}} over {4}]	③ [eqn: {1 _{`}} over {3}]	④ [eqn: {1 _{`}} over {2}]	⑤ [eqn: `2`]

2. 두 행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{2~&5#1~&3} RIGHT )` ,~B= LEFT ( matrix{3~&2#2~&1} RIGHT )`]에 대하여 [eqn: A ^{-1} B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. 수열 [eqn: "{"`a _{n} "}"`]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 2n - 1 `<` n`a_n `<` 2n + 4]
를 만족할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ``a _{n}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 흰 공이 [eqn: 2`]개, 검은 공이 [eqn: 8`]개 들어있는 주머니에서 두 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 적어도 한 개가 흰 공일 확률은? [3점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {11} over {45}]	③ [eqn: {13} over {45}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {45}]

5. 첫째항이 [eqn: 400`], 공차가 [eqn: -5`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 대하여
[eqn: {1} over {sqrt {a _{1}} + sqrt {a _{3}}} + {1} over {sqrt {a _{3}} + sqrt {a _{5}}} + CDOTS + {1} over {sqrt {a _{59}} + sqrt {a _{61}}}`]
의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

6. 함수 [eqn: f`(x)=log _{``3} ``x`]에 대하여 [eqn: (`f CIRC f`)``(`x`) <= 1`]을 만족하는 자연수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 29]

7. 함수[eqn: f`(x`)=2 ^{x ^{2}} ` TIMES ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x-3}`]의 최소값은? [3점]

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: sqrt {2}]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

8. 수열 [eqn: "{"`a _{n} `"}"`]이 [eqn: a _{1} = 1OVER3`,~a _{n+1} = sqrt {a _{n}}`]을 만족할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

9. 어느 스포츠용품점에서는 운동화를 사는 고객에게 양말 또는 장갑 중 한 켤레를, 등산화를 사는 고객에게 양말과 장갑을 모두 한 켤레씩 사은품으로 주는 행사를 하였다.
다음 표는 이 행사 기간에 판매한 신발의 수와 지급한 사은품의 수를 나타낸 것이다.

<판매한 신발의 수>

(단위 : 켤레)

운동화	등산화
[eqn: 350]	[eqn: 250`]

<지급한 사은품의 수>

(단위 : 켤레)

양말	장갑
[eqn: 400]	[eqn: 450]

양말을 사은품으로 받은 고객이 운동화를 산 고객일 확률은? (단, 두 켤레 이상의 신발을 구입한 고객은 없다.) [4점]

① [eqn: {1} over {5} `]	② [eqn: {1} over {4} `]	③ [eqn: {2} over {7} `]	④ [eqn: {1} over {3} `]	⑤ [eqn: {3} over {8} `]

10. [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수를 [eqn: [`x`]`]로 나타낼 때, 옳은
내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: 1`＜a``＜`10`]일 때, [eqn: [`log``100`a``]`=2`]이다. ㄴ. [eqn: [``logx``]`=3`]인 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 9TIMES10 ^{3} `]이다. ㄷ. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: [`logx``]`=n`]이면 [eqn: [`log``x ^{2} ```]`=2n`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A ^{2} =B ^{2}`]이면 [eqn: A=B`] 또는 [eqn: A=`-�B`]이다. ㄴ. [eqn: A ^{2} =O`]이면 [eqn: E+A`]의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: A != E`]이고 [eqn: A ^{2} =A`]이면 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. [eqn: left (`x+ {1} over {x} `right) ^{2} `+left (`x+ {1} over {x} `right) ^{3} `+`left (`x+ {1} over {x} `right) ^{4} `+left (`x+ {1} over {x} `right) ^{5} `+left (`x+ {1} over {x} `right) ^{6}]
을 전개한 식에서 [eqn: x ^{2}`]항의 계수는? [4점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

13. 다항식 [eqn: x ^{10} +x ^{9} + CDOTS +x ^{2} +x+1`]을 [eqn: x- 1`]로 나눈 몫을 [eqn: f`(x)`]라고 할 때, [eqn: f`(x)`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는? [3점]

① [eqn: 2^10 - 10]	② [eqn: 2^10 + 11]	③ [eqn: 2^11 -12]

④ [eqn: 2^11 - 10]	⑤ [eqn: 2^11 + 11]

14. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을 [eqn: a _{n} `=(n ^{n}`]의 일의 자리의 수[eqn: )]로 정의할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	[eqn: ㄱ.] [eqn: a _{3} =7] [eqn: ㄴ.] [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{2k} =`22] [eqn: ㄷ.`] [eqn: a _{13} =a _{23}]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄴ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

15. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2 ^{n+1} ``＞``n(n+1)`+`1`]이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

(ⅰ) [eqn: n`=`1]일 때, [eqn: `4``＞``2`+`1`]

[eqn: n`=`2`]일 때, [eqn: `8``＞``6`+`1`]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n`=k`(k` >= 2)`]일 때, [eqn: ``2 ^{k+1} ``＞`] [eqn: +`1~~~ CDOTS ㉠]
이 성립한다고 가정하자.

(가)

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: 2`]를 곱하면

[eqn: 2 ^{k+2} ``＞][eqn: ``2`(k ^{2} ``+`k`+1)]

이때, [eqn: 2`(k ^{2} ``+`k`+1)`-`] [eqn: =`k ^{2} `-k`-1]

(나)

[eqn: k` >= `2`]일 때, [eqn: k ^{2} `-k`-1`] [eqn: ``0`]이므로

(다)

[eqn: 2 ^{k+2} ``＞][eqn: 2`(k ^{2} ``+`k`+1)`][eqn: >]

(나)

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2 ^{k+2} ``][eqn: >]

(나)

따라서 [eqn: n`=`k`+`1`]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 2 ^{n+1} ``＞``n(n+1)`+`1`]이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)             (나)                 (다)

① [eqn: k`(k`-`1)]	[eqn: (k`+`1)(k`+`2)`]	[eqn: `<`]

② [eqn: k`(k`+`1)]	[eqn: (k`+`1)(k`+`2)`]	[eqn: `>`]

③ [eqn: k`(k`-`1)]	[eqn: "{"(k`+`1)(k`+`2)+`1`"}"]	[eqn: `>`]

④ [eqn: k`(k`-`1)]	[eqn: "{"(k`+`1)(k`+`2)+`1`"}"]	[eqn: `<`]

⑤ [eqn: k`(k`+`1)]	[eqn: "{"(k`+`1)(k`+`2)+`1`"}"]	[eqn: `>`]

16. 그림과 같이 정육각형을 [eqn: 6`]등분하고 있는 정삼각형에 흰색 또는 검은색을 칠하여 정육각형을 네 부분으로 구분하려고 한다. 이때, 서로 다른 모양으로 색칠하는 방법은 모두 몇 가지인가? (단, 회전에 의하여 겹쳐지는 모양은 같은 것으로 본다.) [4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

17.

<표준정규분포표>
[eqn: z`]	[eqn: P`(0` <= Z```<= `z)`]
[eqn: 1.0] [eqn: 2.0] [eqn: 3.0]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4987]

어느 양궁 종목에서 사용하는 표적지는 원의 반지름의 길이가 각각[eqn: rm 4`cm`,~8`cm`,~12`cm,`] [eqn: CDOTS`],  [eqn: rm 40`cm]로
[eqn: rm 4`cm`]씩 증가하는 [eqn: 10`]개의 동심원으로 되어 있다. 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리를 [eqn: X`]라고 할 때
[eqn: 0 <= X <= 4`]이면 [eqn: 10`]점, [eqn: 4<X <= 8`]이면 [eqn: 9`]점, [eqn: 8<X <= 12`]이면 [eqn: 8`]점, [eqn: CDOTS] , [eqn: 36<X <= 40`]이면 [eqn: 1`]점, [eqn: X`>40]이면 [eqn: 0]점을 득점한다.
기록에 의하면 양궁 선수 [eqn: rm A`]가 화살을 쏘았을 때 표적지의 중심에서 화살이 꽂힌 곳까지의 거리는 평균 [eqn: 8` rm cm`], 표준편차 [eqn: 2` rm cm`]인 정규분포를 따른다고 한다.
[eqn: rm A`]가 [eqn: 12`]발의 화살을 쏘았을 때 [eqn: 8`]점을 득점한 화살의 개수 [eqn: Y`]의 기대값 [eqn: rm E(it Y)`]는? [4점]

① [eqn: 4.0956]	② [eqn: 4.9112]	③ [eqn: 5.7264]

④ [eqn: 5.8554]	⑤ [eqn: 5.9844]

단답형(18～25)

18.  [eqn: sqrt {{9 ^{7} +3 ^{10}} over {9 ^{4} +3 ^{4}}}`]의 값을 구하시오. [3점]

19. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: 6`]개를 붙여놓은 도형이 있다. [eqn: 12`]개의 꼭지점 중에서 임의의 두 점을 연결한 선분의 길이가 무리수일 확률이 [eqn: {a} over {b}`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,``b`]는 서로소인 자연수이다.)[3점]

20. 실수 [eqn: x,~y`]에 대한 연립방정식

[eqn: pmatrix{a~~b#```0~`4a`} `` pmatrix{x#y} ``=] [eqn: ` matrix{{10} over {a} ``` {8} over {b}#```b ^{` ^{`}} ````````0`} ``] [eqn: pmatrix{x#y} `]가

[eqn: x=y=0`] 이외의 해를 가질 때, 두 양수 [eqn: a,~b`]의 곱 [eqn: ab`]의 최대값을 구하시오. [3점]

21. 정육면체 모양의 주사위를 [eqn: 90`]번 던져 [eqn: 3`]의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라고 할 때, 확률변수 [eqn: X ^{2} `]의 평균 [eqn: rm E( it X ^{2} `)`]의 값을 구하시오. [3점]

22. 다음은 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포가
[eqn: rm P it (X=k)= {1} over {10} +(-1) ^{`k} `p~~~(k=1,~2,~3,~ CDOTS ~,~2n)]
인 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표이다.

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2n]	계
[eqn: rm P( it X=k)]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	[eqn: 1 over 10 `-` p]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1 over 10 `+` p]	1

확률변수 [eqn: X`]의 기대값이 [eqn: rm E(it X)= {23} over {4} `]일 때, [eqn: {1} over {p}`]의 값을 구하시오. (단,  [eqn: 0<p< {1} over {10}`]이고, [eqn: n`]은 자연수이다.) [4점]

23. 아래에서 제[eqn: `n`]행은 [eqn: n`]의 양의 약수를 나열한 것이다.
제[eqn: `1`]행부터 제[eqn: `20`]행까지 나열된 수의 개수를 구하시오. [4점]

제[eqn: `1`]행       [eqn: 1]

제[eqn: `2`]행       [eqn: 1]    [eqn: 2]

제[eqn: `3`]행       [eqn: 1]         [eqn: 3]

제[eqn: `4`]행       [eqn: 1]    [eqn: 2]        [eqn: 4]

제[eqn: `5`]행       [eqn: 1]                  [eqn: 5]

제[eqn: `6`]행       [eqn: 1]    [eqn: 2]    [eqn: 3]            [eqn: 6]

제[eqn: `7`]행       [eqn: 1]                           [eqn: 7]

제[eqn: `8`]행       [eqn: 1]    [eqn: 2]        [eqn: 4]                 [eqn: 8]

[eqn: VDOTS]                       [eqn: VDOTS]

24. 집합 [eqn: X`="{"-2,~-1,~0,~1,~2,~3,~4"}"`]에서 원소가 [eqn: 3`]개인  모든 부분집합을 각각 [eqn: A _{1} `,``A _{2}` ,``…`,``A _{n} `]이라고 하자.
집합 [eqn: A _{k}`] [eqn: (k=1,~2,~3, ```` CDOTS```,~n)`]의 모든 원소들의 합을 [eqn: S _{k}`]라고 할 때, [eqn: S _{1} +S _{2} +````…````+S _{n}`]의 값을 구하시오. [4점]

25. 오른쪽 그림은 어떤 오락기를 단순화하여 그린 것이다. 이 오락기는 입구에 공을 넣으면 [eqn: rm A`,~B`,~C`,~D] 중 어느 한 곳을 지나면서 그 위치의 꺼져 있는 전등은 켜지고, 켜져 있는 전등은 꺼지도록 되어 있다.
예를 들어 전구가 모두 꺼진 상태에서 공을 두 번 넣어 두 번 모두 [eqn: rm A`]를 지나면 [eqn: rm A`]위치의 전등은 켜졌다 꺼지고, 각각 [eqn: rm A`,~B`]를 지나면 [eqn: rm A`,~B`] 두 위치에 있는 전등은 모두 켜지게 된다. 이와 같이 공이 지날 때마다 전등이 켜지거나 꺼지기를 반복하다가 [eqn: rm A`,~B`,~C`,~D] 네 곳 모두 전등이 켜지면 게임은 끝난다.
여섯 번째 공을 넣었을 때 이 게임이 끝나게 될 확률을 [eqn: {a} over {b}]

([eqn: a,~b`]는 서로소인 자연수)라고 하자. 이때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, 처음 상태는 전등이 모두 꺼져 있으며, 갈림길에서 양쪽 방향으로 공이 지나갈 확률은 서로 같다.) [4점]

오지선다형(26～29)

26. 행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{{1}~&~0 # 1 ~&~{1} over {3}} RIGHT )`]에 대하여 [eqn: A ^{n} = pmatrix{eqalign{a_n ~`` b_n`#` c_n ~`` d_n}}`]일 때, [eqn: lim _{n-> INF }` c_n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 7 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 2]

27. 직사각형 중에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 잘라내고 남은 직사각형이 처음의 직사각형과 서로 닮음이 되는 것을 황금직사각형이라고 한다.
그림과 같이 긴 변의 길이가 [eqn: 1`]인 황금직사각형 [eqn: rm R _{1} `]에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm S _{1} `]을 잘라내고 남은 직사각형을 [eqn: rm R _{2} `], 직사각형 [eqn: rm R _{2}`]에서 정사각형 [eqn: rm S _{2}`]를 잘라내고 남은 직사각형을 [eqn: rm R _{3} `]이라고 하자. 이와 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm R _{4} `], [eqn: rm R _{5} `], [eqn: rm R _{6}`], [eqn: CDOTS `]을 한없이 만들어 간다.
직사각형 [eqn: rm R _{it n} ```( it n=1,~2,~3,~CDOTS )`]의 둘레의 길이 [eqn: l _{n} `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} ` = k``l_1 `]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: {3- sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {3+ sqrt {5}} over {2}]	③ [eqn: {5- sqrt {5}} over {2}]

④ [eqn: 3-sqrt {5} `]	⑤ [eqn: 3+ sqrt {5} `]

28. [eqn: 0<`a`<`b`<`c`<1`]을 만족하는 세 실수 [eqn: a`,```b`,```c`]에 대하여

[eqn: A= it a ^{a}` `b ^{b}`` c ^{c} `,~ B= it a ^{a}`` b ^{c} ``c ^{b} `,~ C= it a ^{b}``b ^{c}`` c ^{a} ``]

이라고 하자. 이때, [eqn: A`,~B`,~C`]의 대소 관계로 옳은 것은? [4점]

① [eqn: C<B<A]	② [eqn: B<C<A]	③ [eqn: C<A<B]

④ [eqn: A<C<B]	⑤ [eqn: B<A<C]

29. 통계청에서 발표한 산업별 종사자 수에 대한 자료에 의하면 우리나라의 농업 또는 임업에 종사하는 인구는 [eqn: 2000`]년 초 [eqn: 216`]만 명에서 전년도 대비 매년 일정한 비율로 감소하여 [eqn: 2005`]년 초에는 [eqn: 2000`]년 초에 비하여 [eqn: 20%] 감소되었다고 한다.
이러한 감소 추세가 계속된다고 할 때, 우리나라의 농업 또는 임업에 종사하는 인구가 [eqn: 2000`]년 초에 비하여 처음으로 절반 이하가 되는 해는 몇 년 초인가? (단, [eqn: log2=0.3010`]이다.) [4점]

① [eqn: 2013`]년	② [eqn: 2016`]년	③ [eqn: 2019`]년

④ [eqn: 2022`]년	⑤ [eqn: 2025`]년

단답형(30)

30. [eqn: 16`]명의 선수가 출전한 씨름대회에서 [eqn: 2`]명씩 [eqn: 8`]개의 조를 편성하여 조별로 한 번씩 경기를 하여 승부를 가린 후, 이긴 선수는 이긴 선수끼리 [eqn: 2`]명씩 [eqn: 4`]개 조로 경기를 하여 [eqn: 8`]위 이상의 순위를 정하고, 진 선수는 진 선수끼리 [eqn: 2`]명씩 [eqn: 4`]개 조를 편성하여 [eqn: 9`]위 이하의 순위를 정한다. 이와 같은 방식으로 경기를 하여 [eqn: 1`]위부터 [eqn: 16`]위의 순위가 결정될 때까지 치러야 하는 총 경기 수를 구하시오. (단, 무승부는 없다.) [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.