• 수리 영역 •

정 답

1	①	2	②	3	⑤	4	②	5	⑤
6	⑤	7	④	8	①	9	②	10	②
11	③	12	①	13	⑤	14	④	15	③
16	④	17	④	18	③	19	②	20	③
21	③	22	[eqn: 343]	23	[eqn: 49]	24	[eqn: 16]	25	[eqn: 25]
26	[eqn: 228]	27	[eqn: 116]	28	[eqn: 26]	29	[eqn: 300]	30	[eqn: 103]

해 설

1. [출제의도] 집합 사이의 포함 관계 이해하기

[eqn: A SMALLINTER B= phi]이므로 벤 다이어그램으로 나타내면

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: U]

[eqn: THEREFORE~A subset B^C]

2. [출제의도] 복소수 상등을 이용하여 계산하기

[eqn: (5`x-2y)+3(x+y)i = -7+6i]

복소수 상등에 의하여 허수부분을 비교하면

[eqn: x+y`=`2]

3. [출제의도] 절댓값의 성질 이해하기

(준식)[eqn: = sqrt {(a-1) ^{2}} `+` sqrt {a ^{2}}]

[eqn: = LEFT ∣ a-1 RIGHT ∣ + LEFT ∣ a RIGHT ∣]

[eqn: =`-(a-1)+a~``(` BECAUSE~0<a<1)]

[eqn: =1]

4. [출제의도] 이중근호의 변형을 이용하여 계산하기

[eqn: a= sqrt {3+2 sqrt {2}} =1+ sqrt {2}]

[eqn: a- LEFT [ a RIGHT ] = sqrt {2} -1]

[eqn: {1} over {a- LEFT [ a RIGHT ]} = {1} over {sqrt {2} -1} =1+ sqrt {2}] 이므로 [eqn: m=1`,~n=1]

[eqn: THEREFORE~m+n=2]

5. [출제의도] 복소수의 거듭제곱 계산하기

[eqn: z ^{2`} = LEFT ( {root2} over {1+i} RIGHT ) ^{2} = {2} over {2i} = {1} over {i} =`-i] 에서 [eqn: z ^{4} `=`-1``]

[eqn: THEREFORE~z ^{2010} =(z ^{4} ) ^{502}` timesz^2 =z^2 =`-i``]

6. [출제의도] 음수의 제곱근 성질 이해하기

조건 (가)로부터 [eqn: a<0`,~b<0]

조건 (나)로부터 [eqn: b<0`,~`c>0]

따라서, 포물선은 위로 볼록한 모양이고,

대칭축 [eqn: x=`-` {b} over {2a} <0], [eqn: y]절편 [eqn: c>0]이므로

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c] 의 그래프가 될 수 있는 것은 ⑤이다.

7. [출제의도] 최대공약수 구하는 과정 추론하기

두 자연수 [eqn: a`,~b] [eqn: (a>b)]를 [eqn: a=a prime G`,~b=b prime G] ([eqn: a prime ,~b prime]은 서로소인 자연수, [eqn: G] 는 [eqn: a`,~b] 의 최대공약수)라 하면
[eqn: a-b=(a'-b')G] 이고 [eqn: b prime `]과 [eqn: a'-b']이 서로소이므로 [eqn: b] 와 [eqn: a-b] 의 최대공약수는 [eqn: G``]이다.

[eqn: 360,~204]를 입력하고 반복 작동시켜 두 수가 모두 [eqn: 12]([eqn: BECAUSE `G(360`,```204)=12])가 되면, 다음 작동에서는 [eqn: 0]과 [eqn: 12]가 출력된다.

따라서, 구하는 수는 [eqn: 12]이다.

8. [출제의도] 항등원과 역원 이해하기

연산 [eqn: ◉]에 대한 항등원을 [eqn: e] 라 하면
[eqn: a`◉`e=e`◉`a=a]에서

[eqn: ae-a-e+2=a], [eqn: LEFT ( e-2 RIGHT ) a- LEFT ( e-2 RIGHT ) =0] 이

[eqn: a]에 대한 항등식이므로 [eqn: e=2]

연산 [eqn: ◉]에 대한 [eqn: a]의 역원을 [eqn: x]라 하면
[eqn: a`◉`x=x`◉`a=2]에서 [eqn: ax-a-x+2=2`], [eqn: (a-1)x=a]

따라서, [eqn: a=1]일 때 역원을 갖지 않는다.

9. [출제의도] 식을 활용하여 수학 외적 문제 해결하기

ㄱ. (반례) [eqn: a=4`,~b=3`,~`c=1] (거짓)

ㄴ. [eqn: (5a ^{2} -b ^{2} )+(5b ^{2} -c ^{2} )+5c ^{2} =5a ^{2} +4b ^{2} +4c ^{2}] (참)

ㄷ. (케이크 A의 부피)-(케이크 B의 부피)

[eqn: =a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc`]

[eqn: =`(a+b+c)(a ^{2`} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca)]

[eqn: = {1} over {2} (a+b+c) LEFT { (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2`} +(c-a) ^{2} RIGHT } >0](거짓)

10. [출제의도] 유리식 계산하기

[eqn: {x`+`y} over 3 `=`{y`+`z} over 4 `=`{z`+`x} over 5 ``=k]([eqn: k]는 상수)일 때,

[eqn: x`+`y`=`3k` ,~ y`+`z`=`4k` ,~z`+`x`=`5k ``]

연립방정식을 풀면 [eqn: x`=`2k `,~y`=`k`,~z`=`3k ``][eqn: (k!=0)]

(준식)[eqn: `=` {2k ^{2} `-`3k ^{2} `-`6k ^{2}} over {4k ^{2} `+`k ^{2} `+`9k ^{2}} `=`- {1} over {2} ``]

11. [출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O]

[eqn: 12]

[eqn: 16]

•

•

[eqn: rm M]

[eqn: rm N]

[eqn: 12]

[eqn: TRIANGLE rm OAM == TRIANGLE OAN]이므로 [eqn: ANGLE rm OAM = ANGLE OAN]

따라서, [eqn: rm ` bar{AB} `: bar{AC}` = bar{BO}` : bar{OC}], [eqn: 16:12`=`12: rm bar OC]

[eqn: THEREFORE ` rm ` bar{OC}```=9]

12. [출제의도] 인수정리 이해하기

[eqn: P`(a)=0`], [eqn: P`(b)=0]이므로 인수정리에 의해

[eqn: P(x)=x ^{2} -4x-6=(x-a)(x-b)=x ^{2} -(a+b)x+ab]

일차항의 계수를 비교하면 [eqn: a+b=4]

[eqn: THEREFORE~P(4)=`-6]

13. [출제의도] 실수의 대소 관계 이해하기

ㄱ. [eqn: a+c>b+c``>0]이므로 [eqn: {1} over {a+c} < {1} over {b+c}] (참)

ㄴ. [eqn: a-1>0`,~b-1>0]이므로

[eqn: `ab+1-(a+b)=(a-1)(b-1)>0]

[eqn: THEREFORE~ab+1>a+b] (참)

ㄷ. [eqn: & {a} over {b} - {a-1} over {b-1} = {a(b-1)-b(a-1)} over {b(b-1)}][eqn: = {b-a} over {b(b-1)} <0]

[eqn: THEREFORE~ ``{a over b}`<`{a-1}over{b-1}] (참)

14. [출제의도] 켤레복소수의 성질 이해하기

[eqn: bar{z _{1}} `-` bar{z _{2}} `= bar{z _{1} -z _{2} } `=1+2i```]이므로

[eqn: z _{1} -z _{2} =1-2i]

또,[eqn: ````` bar{z _{1}} `` bar{z _{2}} `= bar{z _{1`} `z _{2} `} `=4-3i```]이므로

[eqn: z _{1} `z _{2} =4+3i]

[eqn: THEREFORE~(z _{1} -1)(z _{2} +1)=z _{1} `z _{2} +z _{1} -z _{2} -1]

[eqn: =(4+3i)+(1-2i)-1][eqn: =4+i]

15. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 피타고라스 정리 증명 과정 추론하기

([eqn: TRIANGLE rm ABC]의 넓이)
[eqn: =]([eqn: TRIANGLE ` rm ABI]의 넓이)+([eqn: TRIANGLE rm BCI]의 넓이)+([eqn: TRIANGLE rm CAI]의 넓이)

이므로 [eqn: 1 over 2 bc= 1 over 2 (a+b+c)`r], [eqn: r=]	[eqn: {bc} over {a+b+c}]

[eqn: rm ` bar{CF} `= bar{CE}], [eqn: rm`barBD`=barBE]이므로 [eqn: rm TRIANGLE ABC] 둘레 길이의 합

	ㅣ		[eqn: {b+c-a} over {2}]
[eqn: a+b+c=a+2r+]	[eqn: rm bar{CE} + bar{BE}]	=[eqn: 2a+2r], [eqn: r=]

[eqn: {bc} over {a+b+c}={b+c-a} over {2}]이므로 [eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2}] 이다.

따라서, 피타고라스 정리가 성립한다.

16. [출제의도] 무게중심의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm `ABC]의 무게중심은 [eqn: rm G]이고, 넓이가 [eqn: 540]이므로 ([eqn: rm ` TRIANGLE ABG]의 넓이)[eqn: rm = {1} over {3} TIMES]([eqn: rm TRIANGLE ABC]의 넓이)[eqn: =180]

[eqn: {1} over {2} ` TIMES `20` TIMES ` rm bar{AG}`` =180]

[eqn: rm THEREFORE~bar{AG} `=`18]

17. [출제의도] 조건의 진리집합 이해하기

전체집합 [eqn: U] 에서

[eqn: P``=` left{1, ```~2,~4right} ``], [eqn: Q``= left{1,~2, ```~3,~4,~5,~6,~7,~8 right} ``]

[eqn: P``subset` X``subset` Q ``]이므로 집합 [eqn: X``]는 집합 [eqn: Q] 의 부분집합 중 [eqn: 1,~2,~4``]를 원소로 가지는 집합이다. 따라서, 집합 [eqn: X``]의 개수는 [eqn: 2 ^{8-3} `=`32``](개)이다.

18. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

게임 규칙에 의해 세 번 만에 [eqn: 15]번 칸에 도착해야 게임이 끝나므로 첫 번째 주사위 눈의 수는 [eqn: 6,~5,~4],[eqn: 3`]이 나와야 한다. 특히 첫 번째 주사위 눈의 수가 [eqn: 5]가 나오면 뒤로 두 칸 이동해야 하기 때문에 두 번째와 세 번째 주사위 눈의 합이 [eqn: 12]가 나와야 한다. 나올 수 있는 경우의 수는 아래와 같이 [eqn: 8]가지이다.

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

19. [출제의도] 문제의 조건에 맞는 부분집합의 개수 구하기

집합 [eqn: LEFT { 1,`4,`9 RIGHT }]의 부분집합으로서 두 개의 원소를 가지는 집합은 조건을 만족하므로 이들 집합의 개수는 [eqn: 3]개이고, 집합 [eqn: LEFT { `2,`8` RIGHT }]도 조건을 만족하므로 구하는 집합 [eqn: A] 의 개수는 [eqn: 3+1=4](개)이다.

20. [출제의도] 공약수를 구하여 원소의 개수 추론하기

ㄱ. [eqn: A_1 (3) ="{" x vert N`(3`,~x)=1"}"]이고 [eqn: 3]과 [eqn: 4]는 서로소이므로 공약수의 개수가 [eqn: 1]개이다. (참)

ㄴ. [eqn: A _{3} (4)="{"x vert N`(4`,~x)=3"}"]이고 [eqn: 4]의 약수의 개수가 [eqn: 3]개이므로 [eqn: A _{3} (4)]는 [eqn: 4]의 배수의 집합이다.

[eqn: THEREFORE~n(A_3 (4)) =25] (거짓)

ㄷ. [eqn: A_2 (a)= "{"x vert N`(a`,~x)=2"}"]이므로 [eqn: a]가 소수이면 약수의 개수가 [eqn: 2]개이므로 [eqn: A_2 (a)]는 [eqn: a]의 배수의 집합이다.

[eqn: THEREFORE~n(A_2 (a) )= left[ 100 over a right]] (참)

21. [출제의도] 중점연결 정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

중점연결 정리에 의해 [eqn: rm`barEF`=20]이고,
([eqn: rm TRIANGLE `EGM] 의 넓이)=([eqn: rm TRIANGLE `AEM] 의 넓이),
([eqn: rm TRIANGLE `MHF] 의 넓이)=([eqn: rm TRIANGLE `DMF] 의 넓이)이다.

따라서, 구하는 부분의 넓이는 사다리꼴 [eqn: rm AEFD]의 넓이와 같다.

사다리꼴 [eqn: rm`ABCD]의 높이를 [eqn: h]라 하면

[eqn: {1} over {2} ` TIMES LEFT ( 10+30 RIGHT ) TIMES h=400]

[eqn: THEREFORE~h=20]

(사다리꼴 [eqn: rm AEFD]의 높이)[eqn: = {h} over {2} =10]이므로

(사다리꼴 [eqn: rm AEFD]의 넓이)[eqn: = {1over2} TIMESleft(10+20right) TIMES 10 =150]

22. [출제의도] 인수분해를 이용하여 식의 값 계산하기

[eqn: x ^{3} +3x+ {3} over {x} + {1} over {x ^{3}} = LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{3} =343]

23. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +ax+b]라 하면

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-a+b=5]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a+b=13]

[eqn: a=4,`b=9]이므로 [eqn: R(x)=4x+9]

[eqn: THEREFORE ``R(10)=49]

24. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

[eqn: 2x^3 -3x^2 +1 &= a +b(x-1) +c (x-1)(x-2)]

[eqn: +d(x-1)(x-2)(x-3)]

이 [eqn: x] 에 대한 항등식이므로

최고차항의 계수를 비교하면 [eqn: d=2]

등식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a=0]

등식의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: a+b=5], [eqn: b=5]

등식의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: a+2b+2c=28], [eqn: c=9]

[eqn: THEREFORE~a+b+c+d=16]

25. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

반원의 중심을 [eqn: rm O]라 하면 호 [eqn: rm BT]의 원주각의 크기가 [eqn: 15DEG]이므로 [eqn: rm ANGLE T O P=30 DEG]이다.

[eqn: rm bar{OT} ` BOT bar{PT}], [eqn: rm bar OT =5sqrt3]이므로 삼각비에 의해 [eqn: rm bar{PT} =5]

원에서의 비례관계에 의해 [eqn: rm bar{PA} ` TIMES ` bar{PB`} ={ rm bar{PT}} ^{2} =`25]

26. [출제의도] 인수분해를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: A=15]라 하면

[eqn: 3587=15 ^{3} +15 ^{2} -15+2]

[eqn: =A ^{3} +A ^{2} -A+2=(A+2)(A ^{2} -A+1)]

[eqn: =(15+2)(15 ^{2} -15+1)=17 TIMES 211]

[eqn: THEREFORE~a+b = 228]

27. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 [eqn: a,~b,~c] 라 하면

[eqn: 1 over 2 ab sin 30° + 1 over 2 bc sin 30° + 1 over 2 ca sin 30° = 26] … ㉠

[eqn: 4a +4b+4c =72] … ㉡

㉠에서 [eqn: ab+bc+ca= 104]

㉡에서 [eqn: a+b+c =18]

[eqn: a^2 +b^2 +c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca)]

[eqn: =18 ^{2} -2 TIMES 104=116]

28. [출제의도] 충분조건 이해하기

[eqn: LEFT { x``□``a-3<x LEQ a+3 RIGHT }]⊂[eqn: LEFT { x``□`2 LEQ x<12 RIGHT }]이 성립하도록
수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: a-3]

[eqn: a+3]

[eqn: 12]

[eqn: x]

[eqn: cases{a-3 GEQ 2#a+3<`12}]

[eqn: THEREFORE~5 LEQ a<9]

따라서, 만족하는 정수는 [eqn: 5,~6,~7,~8]이므로 합은 [eqn: 26]이다.

29. [출제의도] 삼각비를 활용하여 수학 외적 문제 해결하기

전시대의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 바닥에 나타난 도형은 그림과 같다.

[eqn: 30 DEG]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: 1]

[eqn: sin``30 DEG = {r} over {r+1} = {1} over {2}]이므로 [eqn: r=1]

큰 원의 반지름의 길이가 [eqn: 2], 작은 원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로 접근 금지 구역의 넓이는 [eqn: 4pi -pi =3 pi]([eqn: rm m ^{2}])

[eqn: THEREFORE~100a =300]

30. [출제의도] 규칙성 찾기를 통한 수학 외적 문제 해결하기

선분 [eqn: rm`OP,~OQ]가 출발한 지 [eqn: 30]초, [eqn: 60]초, [eqn: 90]초, [eqn: 120]초 후의 원의 내부는 각각 다음과 같다.

<[eqn: 30]초 후>

[eqn: rm P,Q]

[eqn: rm O]

<[eqn: 60]초 후>

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm O]

<[eqn: 90]초 후>

[eqn: rm P,Q]

[eqn: rm O]

<[eqn: 120]초 후>

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm O]

[eqn: 120]초 후에는 다시 모두 흰색으로 바뀌므로 처음과 같다. 그러므로 [eqn: 800]초 후 원의 내부는 [eqn: 80]초 후와 같다.

<[eqn: 80]초 후>

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: rm Q]

[eqn: rmP]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

따라서, 검은색 부분의 넓이는

[eqn: 100 pi TIMES {120°} over {360°} = {100} over {3} pi] 이므로 [eqn: p=3,~q=100]

[eqn: THEREFORE~p+q=103]