수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2015학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 다항식 [eqn: A=2x ^{2} -3x-5`], [eqn: B=`-x ^{2} +3x`]에 대하여 [eqn: A+2B``]는? [2점]

12

① [eqn: x-5`]	② [eqn: 2x-5`]	③ [eqn: 3x-5`]

④ [eqn: 4x-5`]	⑤ [eqn: 5x-5`]

2. [eqn: 2 ^{-2} times16 ^{{1} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

3. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4=0`]의 두 근의 곱은? [2점]

① [eqn: -4`]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

4. [eqn: log` _{5} `30+log` _{5} {1} over {10} -log` _{5} `15`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

5. 두 집합 [eqn: A= LEFT { `a+2`,````a ^{2} -2` RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `2`,````6-a` RIGHT } `]에 대하여 [eqn: A=B``]일 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

6. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: x ^{3} +a`=(`x+3)(`x ^{2} +b`x+9)`]

가 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 21`]	⑤ [eqn: 24`]

7. 함수 [eqn: f(x)=2x+3`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, [eqn: g(15)`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

8. 두 점 [eqn: rm A`][eqn: (`a`,```4`)`], [eqn: rm B`][eqn: (`-9`,```0`)`]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 4`:`3`]으로 내분하는 점이 [eqn: y`]축 위에 있을 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 10`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 14`]

9. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p`:`x ^{2} -2x-8<0`]

[eqn: q`:`x GEQ a`]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최댓값은?

[3점]

① [eqn: -4`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

10. 두 집합 [eqn: X=left{`1,``2,``3,``4`right}], [eqn: Y= LEFT { `5,``6,``7,``8` RIGHT } `]에 대하여 함수 [eqn: f`]는 [eqn: X`]에서 [eqn: Y`]로의 일대일 대응이다.

[eqn: f(1)=7`], [eqn: f(2)-f(3)=3`]

일 때, [eqn: f(3)+f(4)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 13`]	④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 15`]

11. 이차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(0) =8]

(나) 이차부등식 [eqn: f(x)>0`]의 해는 [eqn: x != 2`]인 모든 실수이다.

[eqn: f(5)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

12. [eqn: x`]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +(a-1)x ^{2} +a`x-2a=0`]이 한 실근과 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

[13 ~ 14] 그림과 같이 [eqn: {bold{4}} `] 이상의 자연수 [eqn: {bold{n}} `]에 대하여 곡선 [eqn: {bold{y=x ^{2} +x}} `]와 직선 [eqn: {bold{y=n`x-2}} `]가 두 점 [eqn: {bold{rm A it}} `], [eqn: {bold{rm B it}} `]에서 만난다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, [eqn: {bold{rm O it}} `]는 원점이다.)

13. [eqn: n=4]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는? [3점]

①　[eqn: sqrt { 17}]	② [eqn: sqrt { 34}]	③ [eqn: 2sqrt {17 }]	④ [eqn: 2 sqrt {34}]	⑤ [eqn: 4sqrt { 17}]

14. 두 직선 [eqn: rm OA`], [eqn: rm OB`]의 기울기를 각각 [eqn: a _{n} `], [eqn: b _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=4} ^{20} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 211]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 221`]	④ [eqn: 226]	⑤ [eqn: 231]

15. 다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q`(x)`], 나머지는 [eqn: 3`]이고, 다항식 [eqn: Q`(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 2`]이다. [eqn: P`(x)`]를 [eqn: (x-1)(x-2)`]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R`(x)`]라 하자. [eqn: R`(3)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

16. 유리함수 [eqn: f(x)= {3x+k} over {x+4} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=g(x)`]라 하자. 곡선 [eqn: y=g(x)`]의 두 점근선의 교점이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: -6``]	② [eqn: -3``]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 6``]

17. 수열 [eqn: left{`a _{n} `right}]은 [eqn: a _{1} =1]이고

[eqn: {a _{n+1}} over {n+2} = {a _{n}} over {n} + {1} over {2}] [eqn: LEFT ( n`ge1 RIGHT )] [eqn: cdots][eqn: CDOTS `]㉠

을 만족시킨다. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} = LEFT ( 1+2+3+ RIGHT .][eqn: CDOTS][eqn: LEFT. +n RIGHT )][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: LEFT. + {1} over {n} RIGHT )] [eqn: cdots][eqn: CDOTS `]㉡

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =a _{1} =1], (우변)[eqn: =1times1=1]

따라서 ㉡이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} = LEFT ( 1+2+3+ RIGHT .][eqn: CDOTS][eqn: +k RIGHT)][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: +{ 1} over { k} right)]

이다. ㉠에서

[eqn: a _{k+1}][eqn: = {BOX{```(가)```}} ``a _{k} + {k+2} over {2}]
[eqn: = {BOX{```(가)```}} ` LEFT ( 1+2+3+][eqn: CDOTS][eqn: +k RIGHT)][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: +{ 1} over { k} right)][eqn: + {k+2} over {2}]
[eqn: = {BOX{```(나)```}} `][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + RIGHT .][eqn: cdots][eqn: LEFT . LEFT . + {1} over {k} RIGHT ) + {k+2} over {2}]
[eqn: = LEFT { 1+2+3+ RIGHT . RIGHT .][eqn: CDOTS][eqn: LEFT. +left(k+1 RIGHT ) right}][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: LEFT . + {1} over {k+1} RIGHT )]

이다.

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉡이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉡이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: f(10)timesg(9)]의 값은? [4점]

① [eqn: 66]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 70]	④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 74]

18. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A( it 4,```a)], [eqn: rm B(2,```1)`]을 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmB']이라 하고, 두 직선 [eqn: rm AB`], [eqn: rm A prime `B prime `]의 교점을 [eqn: rm P`]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rm APA prime `], [eqn: rm BPB prime `]의 넓이의 비가 [eqn: 9`:`4`]일 때, [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: a>4`]) [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

19. 좌표평면에 두 원

[eqn: C _{``1} `:`][eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`], [eqn: C _{``2} `:`][eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x+6y+21=0`]

이 있다. 그림과 같이 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm P`]에서 원 [eqn: C _{``1} `]에 그은 한 접선의 접점을 [eqn: rm Q`], 점 [eqn: rm P`]에서 원 [eqn: C _{``2} `]에 그은 한 접선의 접점을 [eqn: rm R`]라 하자. [eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: = rm {bar{PR}} `]일 때, 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는? [4점]

① [eqn: {19} over {8} `]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: {21} over {8} `]	④ [eqn: {11} over {4} `]	⑤ [eqn: {23} over {8} `]

20. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k(x-1) ^{2} -4k+2`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 꼭짓점을 [eqn: rm A`]라 하고, 이 곡선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: k=1`]일 때, [eqn: {bar{rm OA it}} `= sqrt {5} `]이다. ㄴ. [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]가 항상 지나는 점은 [eqn: 2`]개이다. ㄷ. [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 직선 [eqn: rmAB`]는 항상 점 [eqn: (-3,```2)`]를 지난다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 점 [eqn: rm A`(`4,``3`)`]을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l`]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10`]과 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]에서 만난다. [eqn: rm {bar{AP}} =3`]일 때, 직선 [eqn: l`]의 기울기는? [4점]

① [eqn: {23} over {7} `]	② [eqn: {24} over {7} `]	③ [eqn: {25} over {7} `]	④ [eqn: {26} over {7} `]	⑤ [eqn: {27} over {7} `]

단답형

22. 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{`a _{n} `right}`]에서 [eqn: a _{1} =3`], [eqn: a _{3} =2a _{2} `]일 때, [eqn: a _{4} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: LEFT ( 1+i RIGHT ) ` ^{8} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [3점]

24. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식

[eqn: {cases{``2`x-y=5&#``x ^{`2} -2`y=k&}}]

가 오직 한 쌍의 해 [eqn: x=alpha`], [eqn: y=beta`]를 가질 때, [eqn: alpha+beta+k`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [3점]

25. 두 수 [eqn: a`], [eqn: b`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: {b} over {a} `]의 값을 구하시오.

[3점]

(가) [eqn: log _{`a} `b= {4} over {3}]

(나) [eqn: log _{`9} `a+log _{`3} `b=11]

26. 어느 고등학교의 [eqn: 2`]학년 학생 [eqn: 212`]명을 대상으로 문학 체험, 역사 체험, 과학 체험의 신청자 수를 조사한 결과 다음과 같은 사실을 알게 되었다.

(가) 문학 체험을 신청한 학생은 [eqn: 80`]명, 역사 체험을 신청한 학생은 [eqn: 90`]명이다.

(나) 문학 체험과 역사 체험을 모두 신청한 학생은 [eqn: 45`]명이다.

(다) 세 가지 체험 중 어느 것도 신청하지 않은 학생은 [eqn: 12`]명이다.

과학 체험만 신청한 학생의 수를 구하시오. [4점]

27. 통신 이론에서 가용 대역폭을 [eqn: B` rm]([eqn: rmHz]), 수신 신호 전력을 [eqn: S` rm]([eqn: rmW]), 잡음 전력을 [eqn: N``]([eqn: rmW])이라고 할 때, 채널 용량 [eqn: C`` rm]([eqn: rm b`p`s])는 다음과 같은 관계식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: C`=B``log` _{2} ` LEFT ( 1+ {S} over {N} RIGHT ) `]

가용 대역폭이 일정하고, 수신 신호 전력이 [eqn: 1.2`][eqn: rm W`]일 때, 잡음 전력을 [eqn: 0.4`][eqn: rmW`]에서 [eqn: a`]([eqn: rmW`])로 변경하였더니 채널 용량이 [eqn: 3`]배가 되었다. 상수 [eqn: a`]의 값이 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28. 등차수열 [eqn: left{`a _{n} `right}`]에서

[eqn: a _{11} +a _{21} =82`], [eqn: a _{11} -a _{21} =`6``]

일 때, 집합 [eqn: A= LEFT { `a _{n} `` LEFT □ `a _{n} ` RIGHT . RIGHT .]은 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT }`]의 모든 원소의 합을 구하시오. [4점]

29. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을 다음과 같이 정의하자.

집합 [eqn: A _{n} = LEFT { `x`` LEFT □ ` LEFT ( x-n RIGHT ) (x-2n+1) LEQ 0` RIGHT } RIGHT . `]에 대하여

[eqn: 25 IN A _{n} `]이면 [eqn: a _{n} =1`]이고, [eqn: 25 NOTIN A _{n} `]이면 [eqn: a _{n} =`-1`]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =`-20`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A(`0,``1`)`]과 점 [eqn: rm P`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rmP`]는 제[eqn: `1`]사분면에 있다.

(나) [eqn: x`]축 위의 어떤 점 [eqn: rm Q`]에 대하여 [eqn: rm {bar{AQ}} + {bar{PQ}} LEQ 6`]이다.

위의 조건을 만족시키는 모든 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 영역을 [eqn: D``]라 하자. 영역 [eqn: D``]에 속하는 점 [eqn: (`x,```y`)`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 최댓값이 [eqn: p+q sqrt {2} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 정수이다.)

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.