• 수학 영역 •

수학‘A’형 정답

1	③	2	④	3	①	4	⑤	5	⑤
6	①	7	①	8	⑤	9	②	10	④
11	②	12	③	13	③	14	⑤	15	④
16	③	17	②	18	④	19	③	20	①
21	②	22	[eqn: 64]	23	[eqn: 200]	24	[eqn: 8]	25	[eqn: 137]
26	[eqn: 18]	27	[eqn: 17]	28	[eqn: 43]	29	[eqn: 9]	30	[eqn: 44]

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: sqrt {2} ` TIMES `8 ^{{1} over {2}}][eqn: =`2 ^{{1} over {2}} TIMES `(2 ^{3} ) ^{{1} over {2}}][eqn: =`2 ^{{1} over {2}} TIMES `2 ^{{3} over {2}}][eqn: =`2 ^{{1} over {2} + {3} over {2}}][eqn: =4]

2. [출제의도] 행렬의 연산법칙을 이용하여 두 행렬의 곱을 계산한다.

[eqn: AB`][eqn: = {pmatrix{```1~&2``#```3~&4``}} {pmatrix{```0~&1``#```1~&0``}}][eqn: = {pmatrix{```2~&1``#```4~&3``}}`]이므로 행렬 [eqn: AB`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2+1+4+3][eqn: =10`]

3. [출제의도] 수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{n} +1} over {3 ^{n} +1}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}}}][eqn: =0 `]

4. [출제의도] 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 이해하여 성분의 값을 구한다.

각 점에 연결된 변의 개수가 [eqn: 1`]인 점이 [eqn: 6`]개, [eqn: 2`]인 점이 [eqn: 6`]개, [eqn: 3`]인 점이 [eqn: 5`]개, [eqn: 5`]인 점이 [eqn: 1`]개

따라서 행의 모든 성분의 합이 [eqn: 3`]인 행의 개수는 [eqn: 5`]

5. [출제의도] 등비수열의 성질을 이해하고 일반항을 구한다.

[eqn: a_{`2}][eqn: = 2`], [eqn: a_{`3}][eqn: = 4`]이므로 공비는 [eqn: 2`] [eqn: therefore `][eqn: a_{`5}][eqn: = 16`]

6. [출제의도] 조건부 확률의 성질을 이해하고 주어진 값을 구한다.

두 사건 [eqn: A,~B`]가 서로 독립이므로

[eqn: {1} over {3}][eqn: rm =P( it `A `|B`)][eqn: =rm`P(it`A `)`]에서 [eqn: rm`P(it`A^{ C}`)][eqn: = {2} over {3}]

7. [출제의도] 미분계수의 정의를 이해하여 미정계수를 구한다.

[eqn: f`prime(x)][eqn: =2x+a `]이므로 [eqn: f`prime(1)][eqn: =2+a`]

[eqn: lim _{h -> 0}` {{f(1+h)-f(1)} over {2h}}][eqn: = 1over2` lim _{h -> 0} `{{f(1+h)-f(1)} over {h}}]                          [eqn: =`1over2`f`prime (1)][eqn: =`1over2`(2+a)`]

따라서 [eqn: {1} over {2} `(2+a)][eqn: =6`]에서 [eqn: a][eqn: =10`]

8. [출제의도] 확률분포를 이해하고 기댓값을 구한다.

[eqn: rm `P( it `1 LEQ X` LEQ `3)][eqn: = k(1+2+3)][eqn: =6k][eqn: =1`] [eqn: THEREFORE `k][eqn: = 1 over 6 `]

[eqn: rm `E(` it X`)][eqn: = k + 4k+9k][eqn: = 14k][eqn: = 14 over 6 `]

[eqn: rm `E(` it 6X +1`)][eqn: = 6 rm `E(` it X `) +1][eqn: =6 times {14} over {6} +1][eqn: = 15`]

9. [출제의도] 함수의 극한을 이해하고 조건을 만족하는 값을 구한다.

[eqn: lim_{x-> -1-0} f(x) + lim_{x-> 1+0} f(x)][eqn: = 2 + 0][eqn: = 2`]

10. [출제의도] 적분의 성질을 이해하고 넓이를 구한다.

[eqn: x ^{3} - 2 x ^{2} + k][eqn: = k`]에서 [eqn: x ^{3} - 2 x ^{2}][eqn: =0 `], [eqn: x][eqn: =0`] 또는 [eqn: 2`]

따라서 [eqn: int_0 ^2 left| `` x ^{3} - 2 x ^{2} + k -k `` right| ``dx]

[eqn: = left[ - 1 over 4 x^{`4} + 2 over 3 x^{`3} right]_0 ^2][eqn: = 4 over 3 `]

11. [출제의도] 정규분포를 활용하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

임의로 추출된 야구공 [eqn: 9`]개 무게의 평균을 [eqn: {bar{X``}} `]라 하면, [eqn: {bar{X``}} `]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( it144.9,```2 ^{`2} RIGHT ) `]을 따른다.

[eqn: rm P LEFT (141.7 le { it bar{X``} le148.9 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ({141.7 - 144.9} over 2 le { it Z le{148.9 - 144.9} over 2 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT (-1.6 le { it Z le2 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 1.6 RIGHT ) + rm P( it 0 LEQ Z LEQ 2 )][eqn: =0.9224]

12. [출제의도] 함수의 연속의 성질을 이해하여 주어진 조건의 값을 구한다.

함수 [eqn: f(t)][eqn: = cases{``2 ~~&( `|`t`|> 1) # ``1 &(` |`t`| = 1 ) # ``0 &(`|`t`| < 1) `]이고 함수 [eqn: (x+k)`f(x)`]가 구간 [eqn: ( 0,~ inf)`]에서 연속이면 [eqn: x][eqn: =1`]에서 연속이다.

[eqn: (1+k) f(1)][eqn: = lim_{x `->` 1-0} (x+k) f(x)][eqn: = lim_{x `->` 1+0} (x+k) f(x) `]

[eqn: 1+k][eqn: = (1+k) times 0][eqn: = (1+k) times 2`]

따라서 [eqn: k``][eqn: = `-1`]이므로 [eqn: f(1) + k``][eqn: = 1-1][eqn: =0`]

13. [출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 관계를 이해하여 주어진 조건의 값을 구한다.

[eqn: {pmatrix{f(k)+1```&k#````k ^{`2} ````&```1``}} {pmatrix{x#y}} `][eqn: = {pmatrix{0#0}}]이 [eqn: x][eqn: =0`], [eqn: y][eqn: =0] 이외의 해를 가지므로 [eqn: f(k)+1 -k ^{`3}][eqn: =0`]

[eqn: k ^{`3} +6k ^{`2} +8k+1-k ^{`3}][eqn: =6k ^{`2} +8k+1][eqn: =0`]

따라서 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: - {4} over {3} `]

14. [출제의도] 적분과 미분의 관계를 활용하여 주어진 문제를 해결한다.

[eqn: g prime (x)][eqn: =f(x)][eqn: =0`]을 만족하는 [eqn: x`]를 구하면

[eqn: x(x+2)(x+4)][eqn: =0`]에서 [eqn: x`][eqn: =`-4`], [eqn: -2`], [eqn: 0`]이므로

[eqn: x`][eqn: =`-2`]에서 [eqn: g(x)`]는 극댓값을 갖는다. [eqn: therefore`][eqn: alpha`][eqn: =`-2]

[eqn: g(alpha)`][eqn: = int _{2} ^{-2}f(t) dt}][eqn: = int _{2} ^{-2} {(t ^{`3} +6t ^{`2} +8 t)`dt]

[eqn: =`- 2 int _{0} ^{2} 6t ^{`2} `dt`}`][eqn: =`-2 LEFT [ 2 t ^{`3} RIGHT ] _{0} ^{2} `][eqn: =`- 32]

15. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 관련된 외적 문제를 해결한다.

[eqn: 30`]분 후 농도가 [eqn: 2`][eqn: rmng/mL]이므로

[eqn: `log` LEFT ( 10-2` RIGHT )][eqn: =1-30k`], [eqn: k][eqn: = {1} over {30} `log LEFT ( {5} over {4} RIGHT )`]

[eqn: 60`]분 후 농도가 [eqn: a`]이므로 [eqn: `log` LEFT ( 10-a ` RIGHT )][eqn: =1-60k`]

[eqn: `log` LEFT ( 10-a ` RIGHT )][eqn: =1-2`log LEFT ( {5} over {4} RIGHT )][eqn: =log LEFT ( {32} over {5} RIGHT )]

따라서 [eqn: a][eqn: = {18} over {5}][eqn: =3.6]

16. [출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 추론한다.

[eqn: n][eqn: =2m-1`]을 대입하면 [eqn: {a _{`2m+1}} over {a _{`2m-1}}][eqn: = (2m-1)^{`2} over {2m(2m+1)}]

그러므로 (가)는 [eqn: (2m-1)^{`2} over {2m(2m+1)}]

[eqn: m-1`]개의 식을 곱하여 정리하면

[eqn: {a _{`2m+1}} over {a _{`1}}][eqn: = {1^{`2} times 3^{`2} times 5^{`2} times ` cdots ` times (2m-1)^{`2}} over {2 times 3 times 4 times 5 times` cdots ` times (2m+1)}]

[eqn: a _{`2m+1} `= {1 TIMES 3 TIMES 5 TIMES ` CDOTS ` TIMES (2m-1)} over {2 TIMES 4 TIMES 6 TIMES ` CDOTS ` TIMES 2m} `times` {1} over {2m+1}`]

그러므로 (나)는 [eqn: 1 over 2m+1 `]

따라서 [eqn: f(5) times g(4)][eqn: = 9 over 110`]

17. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 [eqn: x`]좌표를 추론한다.

[eqn: rm A( it a,~ 2^{`a} )`], [eqn: rm B it ( 2^{`a} ,~ a)`]이고 [eqn: rm C it ( log _{`2} ` a ,~ a )`]이다.

[eqn: rm bar{AB}][eqn: = 12 sqrt {2}`], [eqn: 2(2^{`a} -a) ^{`2}][eqn: = 288`], [eqn: 2^{`a} -a`][eqn: =12`] … ㉠

점 [eqn: rm A`]에서 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 [eqn: bar{rm AH}][eqn: =2^{`a} -a `][eqn: =12]이므로 [eqn: rm overline BC][eqn: =it 14`]이다.

그러므로 [eqn: 2^{`a} - log_{`2}` a`][eqn: =14`] … ㉡

㉡-㉠으로부터 [eqn: a - log_{`2}` a][eqn: = 2]

18. [출제의도] 수열의 정의를 이용하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: a _{`m }][eqn: =1`]이므로 [eqn: m][eqn: =2 ^{`1} TIMES q`]([eqn: q`]는 홀수)

[eqn: 2m][eqn: =2 ^{`2} TIMES q`]이므로 [eqn: a _{`2m}][eqn: =2`]

⋮

따라서 [eqn: a _{`m} +`a _{`2m} +`a _{`3m} + `CDOTS` +`a _{`10m}`]

[eqn: =1+2+1+3+1+2+1+4+1+2`][eqn: =18`]

19. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 행렬의 참, 거짓을 추론한다.

ㄱ. [eqn: `B`][eqn: =2E`-A`]에서 [eqn: AB `][eqn: = A(2E`-A)][eqn: = 2A - A^{2} `]

[eqn: BA][eqn: = (2E`-A)A `][eqn: = 2A - A^{2} `]

[eqn: therefore`][eqn: AB`][eqn: =BA `] (참)

ㄴ. [eqn: A][eqn: =2E`-B`]를 [eqn: B ^{2}+ 2AB+5A][eqn: =4E`]에 대입하여      정리하면 [eqn: B^{`2} +B`][eqn: = 6E`]

[eqn: therefore`][eqn: B^{`-1} `][eqn: = 1 OVER 6 (B+E`)`] (참)

ㄷ. [eqn: `BA ^{2} +AB ^{`2}][eqn: =AB(A+B)][eqn: =2AB`]

[eqn: 2AB``][eqn: = `-B ^{2} -5A+ 4E`]

[eqn: =`-6E+B-5(2E-B)+4E``][eqn: =`6B-12E`]

[eqn: B`]는 역행렬이 존재하므로 영행렬이 아니다.

[eqn: therefore`][eqn: 2AB``][eqn: ne` -12 E] (거짓)

20. [출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 무한등비급수의 합을 구한다.

점 [eqn: rm A_{`2}`]를 지나고 선분 [eqn: rm B_{`1} C_{`1}`]에 평행한 직선과 선분 [eqn: rm A_{`1} B_{`1}`], 선분 [eqn: rm A_{`1} C_{`1}`]의 교점을 각각 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]라 하자.

두 삼각형 [eqn: rm A_{`1} B_{`1} C_{`1}`], [eqn: rm A_{`1} PQ`]의 닮음비는 [eqn: 3:2`], 두 삼각형 [eqn: rm A_{`1} PQ`], [eqn: rm A_{`2} B_{`2} C_{`2}`]의 닮음비는 [eqn: 2:1`]이므로 삼각형 [eqn: rm A_{`1} B_{`1} C_{`1}`]과 삼각형 [eqn: rm A_{`2} B_{`2} C_{`2}`]의 닮음비는 [eqn: 3:1`]

그러므로 과 의 넓이의 비는 [eqn: 9:1`]

[eqn: S_1`][eqn: = left{ left( root 3 over 4 times 2^{`2} - pi left( root3 over 3 right)^{`2} right} times 2 over 3 + 2 times left( root 3 over 2 right) times 1 over 2]

[eqn: = 7 over 6 root3 - 2 over 9 pi]  [eqn: therefore `][eqn: {S _{1}} over {1- 1 over 9 }`][eqn: = {1} over {16} (21 sqrt {3} -4 pi )`]

21. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 수열의 극한을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: a _{`3}`][eqn: = root {1^{`2} + 1^{`2} `], [eqn: a _{`4} `][eqn: = root {2^{`2} + 1^{`2} `], [eqn: a _{`5}`][eqn: = root {2^{`2} + 2^{`2} `],

[eqn: cdots `], [eqn: a _{`2m-1}`][eqn: = root {(m-1)^{`2} + (m-1)^{`2} `],

[eqn: a _{`2m}`][eqn: = root {m^{`2} + (m-1)^{`2} `]

ⅰ) [eqn: n][eqn: =2m-1`]([eqn: m`]은 자연수)일 때,

[eqn: lim _{n -> INF }`{LEFT ( a _{`n+1} -a _{`n} RIGHT )} `][eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( a _{`2m} -a _{`2m-1} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( sqrt {2m ^{`2} -2m+1 }- sqrt {2(m-1) ^{`2}} } RIGHT )}][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

ⅱ) [eqn: n][eqn: =2m`]([eqn: m`]은 자연수)일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{`n+1} -a _{`n} RIGHT )}][eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( a _{`2m+1} -a _{`2m} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{m -> INF } {LEFT ( sqrt {2m ^{`2}} - sqrt {2m ^{`2} -2m+1} RIGHT )}][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

따라서 ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{`n+1} -a _{`n} RIGHT )}][eqn: = {sqrt {2}} over {2} `]

22. [출제의도] 함수의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim_{x -> 1} `{(x+7)^{`2}(x-1)} over {x-1}][eqn: = lim_{x -> 1} `{(x+7)^{`2}}][eqn: =64`]

23. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int _{0} ^{10} {(x+1)^{`2} } dx - int _{0} ^{10} {(x-1)^{`2} } dx][eqn: = int _{0} ^{10} 4x` dx][eqn: =200`]

24. [출제의도] 조합을 이해하여 경우의 수를 구한다.

[eqn: rmA`]가 세 개의 공을 받으므로 남는 공의 수는 [eqn: 7`]이다. [eqn: 7`]개의 공을 두 사람에게 나누어 주는 경우의 수이므로 [eqn: `_2+7-1 `rm C _{`7}][eqn: = `_8` rm C_{`7}][eqn: =8`]

25. [출제의도] 수열의 성질을 이해하여 값을 구한다.

[eqn: a _{`3}][eqn: = {a_{`2} + a_{`4}}over2][eqn: =`27`], [eqn: a _{`13}][eqn: = {a_{`12} + a_{`14}}over2][eqn: =127`]

공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: a _{`13} `][eqn: =`a _{`3} `+`(11-1)d`]에서 [eqn: d`][eqn: =10`]

따라서 [eqn: a _{`14}][eqn: =`a _{`13} +d`][eqn: =137`]

26. [출제의도] 이항분포를 이해하여 [eqn: n`]을 구한다.

[eqn: rm E( it3X` )][eqn: = 3 rm E( itX` )][eqn: = 18`]에서 [eqn: rm E( it X`)][eqn: = n`p][eqn: = 6`] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: rm E( it3X^{`2} ` )][eqn: = 3 rm E( itX^{`2} ` )][eqn: = 120 `]이므로 [eqn: rm E( itX^{`2} ` )][eqn: = 40 `]

[eqn: rm V( it X `)][eqn: = n`p`(1-p)][eqn: = rm E( it X^{`2} `) - left{ rm E( it X ) right}^{`2} `]에서

[eqn: 6 (1-p)][eqn: = 40- 6^{`2}][eqn: = 4`]이므로 [eqn: p`][eqn: = 1 over 3 `]

따라서 ㉠에 대입하면 [eqn: n][eqn: =18`]

27. [출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한다.

[eqn: f`'(x)][eqn: = 4x( x^{`2} -8) `]이므로

[eqn: f`'(x)][eqn: =0`]에서 [eqn: x`][eqn: = `- 2 root 2 `], [eqn: 0`], [eqn: 2 root 2 `]

(가)의 조건에 의해 [eqn: f(x) `]는 구간 [eqn: (k,~k+1)`]에서 감소한다.

그래프에서 감소하는 구간은 [eqn: ( - inf ,~ - 2 root 2 ) `], [eqn: (0,~ 2root2 ) `]이고, [eqn: k`]는 정수이므로 [eqn: k=`][eqn: 0`], [eqn: 1`] 또는  [eqn: -4`], [eqn: -5`], [eqn: cdots `]

(나)의 조건에 의해 [eqn: f` prime (k+2)][eqn: >0 `]이므로

[eqn: k][eqn: =1] 또는 [eqn: -4`]

따라서 [eqn: 1^{`2} + (-4)^{`2} `][eqn: = 17]

28. [출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 주어진 규칙에 따라 문제를 해결한다.

[eqn: a][eqn: =6`]이고 [eqn: 0][eqn: le b][eqn: le 6 `]이므로 [eqn: a+b`]가 [eqn: 3`]의 배수가 되는 경우는 [eqn: b][eqn: =0`], [eqn: 3`], [eqn: 6`]

[eqn: `_6` rm C _{`0}` left( 1 over 2 right)^{`0} left( 1 over 2 right)^{`6}][eqn: + `_6` rm C _{`3}` left( 1 over 2 right)^{`3} left( 1 over 2 right)^{`3}][eqn: + `_6` rm C _{`6}` left( 1 over 2 right)^{`6} left( 1 over 2 right)^{`0}]

[eqn: = 1 over 64][eqn: + 20 over 64][eqn: + 1 over 64][eqn: = 11 over 32 `] [eqn: therefore `][eqn: p+q `][eqn: = 43 `]

29. [출제의도] 세 개의 접선이 존재할 수 있는 점의 범위를 찾는 문제를 해결한다.

함수 [eqn: y`][eqn: =f(x) `]는 [eqn: x`][eqn: =`-2`]에서 극댓값 [eqn: 4`], [eqn: x][eqn: =0`]에서 극솟값 [eqn: 0`]을 갖는다. 세 접선의 기울기의 곱이 음수이므로 [eqn: y`][eqn: =f(x) `]의 그래프에 접하는 세 접선의 기울기 중 한 접선의 기울기만 음수이다.

[eqn: 0][eqn: <a][eqn: <4 `]이므로 정수 [eqn: a`]의 최댓값 [eqn: M`]은 [eqn: 3`]이다.

따라서 [eqn: M^{``2}][eqn: = 9`]

30. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한다.

[eqn: (n+1) log `a][eqn: = 3n^{`2} -4n+4`]이므로

[eqn: log `a][eqn: = 3n-7 + 11 over {n+1} `] [eqn: cdots] ㉠

(가)에서 [eqn: 2n log `a - log`a `][eqn: =(2n-1) log `a][eqn: = (정수) `]이므로 ㉠의 양변에 [eqn: (2n-1)`]을 곱하면

[eqn: (2n-1) log `a `][eqn: = (2n-1)(3n-7) + {11(2n-1)} over{n+1} `]

[eqn: = (2n-1)(3n-7) + 22 - 33 over n+1 `]

[eqn: 33 over n+1`]이 정수이고 [eqn: n`]은 자연수이므로 [eqn: n+1`]은 [eqn: 3`], [eqn: 11`], [eqn: 33`]

따라서 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 2+10+32`][eqn: =44]

수학‘B’형 정답

1	⑤	2	②	3	①	4	③	5	⑤
6	⑤	7	④	8	④	9	②	10	④
11	①	12	④	13	⑤	14	②	15	③
16	③	17	①	18	②	19	①	20	③
21	⑤	22	[eqn: 9]	23	[eqn: 14]	24	[eqn: 11]	25	[eqn: 64]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 6]	28	[eqn: 26]	29	[eqn: 32]	30	[eqn: 134]

해 설

1. [출제의도] 행렬의 합을 계산한다.

[eqn: A`+`E`][eqn: = {pmatrix{1&1#2&1}}`]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: 5`]

2. [출제의도] 지수함수의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{`x` -> `0`} {} {e ^{`x`} -`1`} over {`2`x`}][eqn: = {1} over {2} lim _{`x` -> `0`} {} {e ^{`x`} -`1`} over {``x`}][eqn: = {1} over {2} ` TIMES 1][eqn: = {1} over {2} `]

3. [출제의도] 삼각함수의 값을 계산한다.

[eqn: cos`2` theta][eqn: =1-2sin ^{2} theta][eqn: =1-2 LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {1} over {9}]

4. [출제의도] 적분의 성질을 이해하여 정적분의 값을 구한다.

[eqn: int _{`0`} ^{` {pi } over {2} `} {`3`cos`x`dx`} `][eqn: =3 LEFT [ pile{`#`} `sinx`` RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}][eqn: =3]

5. [출제의도] 벡터의 성질을 이해하여 크기를 구한다.

[eqn: ` {vec{`a`}} `+` {vec{`b`}} ``][eqn: =(2,`3)+(1,`1)][eqn: =(3,`4)]

[eqn: | ` {vec{`a`}} `+` {vec{`b`}} ` | `][eqn: = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}][eqn: =5]

6. [출제의도] 무리방정식의 성질을 이해하여 실근을 구한다.

[eqn: sqrt {x ^{2} -3x+6} =X`]로 치환하면

주어진 식은 [eqn: X ^{2} -6=X]

[eqn: (X-3)(X+2)=0`]에서 [eqn: X GEQ 0`]이므로

[eqn: sqrt {x ^{2} -3x+6} =3], [eqn: x ^{2} -3x-3=0]

따라서 모든 실근의 곱은 [eqn: -3`]

7. [출제의도] 조건부 확률을 이해하여 확률을 구한다.

[eqn: rm P( it B)][eqn: = rm P( it A SMALLINTER B)+ rm P( it A ^{C} SMALLINTER B)][eqn: = {7} over {12}]

[eqn: rm P( it A`|B)][eqn: = {rm P( it A SMALLINTER B)} over {rm P( it B)}][eqn: = {4} over {7}]

8. [출제의도] 일차변환의 성질을 이해하여 옮겨지는 점의 좌표를 구한다.

일차변환 [eqn: f`]를 나타내는 행렬을 [eqn: M`]이라 하면

[eqn: M`` LEFT ( pile{1#0} RIGHT ) = LEFT ( pile{1#3} RIGHT )], [eqn: M`` LEFT ( pile{0#1} RIGHT ) = LEFT ( pile{2#0} RIGHT )`]이므로

[eqn: M` `LEFT ( pile{2#5} RIGHT ) =2M`` LEFT ( pile{1#0} RIGHT ) +5M`` LEFT ( pile{0#1} RIGHT ) = LEFT ( pile{12#6} RIGHT )]

따라서 [eqn: a+b`][eqn: =18`]

9. [출제의도] 무한급수의 수렴과 수열의 극한값 사이의 관계를 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {a _{`n}} over {n} - {2n} over {n+3} RIGHT ) =5`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} left( {a _{`n}} over {n} - {2n} over {n+3} right)=0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2n} over {n+3}][eqn: =2]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF }` {{5a _{`n} -2n} over {a _{`n} +2n+1}}][eqn: = lim _{n -> INF } `{{{5a _{`n}} over {n} -2} over {{a _{`n}} over {n} +2+ {1} over {n}}}][eqn: =2]

10. ‘A’형 15번과 동일

11. [출제의도] 모비율의 신뢰구간을 이해하여 표본의 크기를 추측한다.

신뢰도 [eqn: 95%`]의 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ 0.2-1.96 TIMES {sqrt {0.2 TIMES 0.8}} over {sqrt {n}} ,~0.2+1.96 TIMES {sqrt {0.2 TIMES 0.8}} over {sqrt {n}} RIGHT ]]

[eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {sqrt {0.2 TIMES 0.8}} over {sqrt {n}} =0.112`]이므로 [eqn: n=196]

12. [출제의도] 사인법칙을 이용하여 삼각함수의 극한값을 구하는 문제를 해결한다.

삼각형 [eqn: rmPOC]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {bar{OC}} = {sin` theta } over {LEFT . sin` LEFT ( pi -3 theta RIGHT ) RIGHT .}][eqn: rm = {sin` theta } over {LEFT . sin`3 theta RIGHT .}`]이므로

[eqn: lim _{theta -> +0} {rm {bar{OC}} `} it][eqn: rm = lim _{theta ` -> `+0} {} {sin`theta} over {LEFT . sin`3 theta RIGHT .}]

[eqn: rm = lim _{theta ` -> `+0} {} LEFT ( {sin`theta} over {LEFT . theta RIGHT .} TIMES {3 theta } over {sin`3 theta } TIMES {1} over {3} RIGHT )] [eqn: = {1} over {3}]

13. [출제의도] 직각이등변삼각형을 이용하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]은 첫째항이 [eqn: 4`]이고 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{`n}][eqn: = {5(2 TIMES 4+4 TIMES 4)} over {2}][eqn: =60]

14. [출제의도] 타원의 성질을 이해하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다.

타원의 장축의 길이를 [eqn: 2a`]라 하면 삼각형 [eqn: rm FPQ`]의 둘레의 길이가 [eqn: 12 sqrt {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm PQ` it}} + {bar{rm QF it}} + {bar{rm PF` it}} =( {bar{rm PF` it}} + {bar{rm PF` prime it}} )+( {bar{rm QF it}} + {bar{rm QF` prime it}} )]

[eqn: =4a=12 sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{PF``}} = {bar{PF` prime }} =ita=3 sqrt {2} `]

[eqn: bar{rm F` prime Q` it}][eqn: =k`]라 하면 삼각형 [eqn: rm FPQ`]는 직각삼각형이므로

[eqn: (k+3 sqrt {2} ) ^{2} +(3 sqrt {2} ) ^{2} =`(6 sqrt {2} -k) ^{2} `]에서 [eqn: k`= sqrt {2}]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 3 sqrt {2} TIMES 4 sqrt {2} =12]

15. ‘A’형 16번과 동일

16. ‘A’형 19번과 동일

17. ‘A’형 20번과 동일

18. [출제의도] 중복조합의 성질을 이해하여 경우의 수를 구한다.

네 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 [eqn: x,~y,~z,~w]

라 하면 [eqn: x+y+z+w=14]

[eqn: x,~y,~z,~w`]가 모두 홀수이므로

[eqn: x=2a+1], [eqn: y=2b+1], [eqn: z=2c+1], [eqn: w=2d+1]

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]는 [eqn: 0`]이상 [eqn: 4`]이하의 정수)

[eqn: (2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)=14]

[eqn: a+b+c+d=5]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5`]개를 택한다. 이때 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]는 [eqn: 4`]이하의 정수이므로 한 가지만 [eqn: 5`]번 택하는 [eqn: 4`]가지 경우는 제외한다.

[eqn: rm _{4} rm H _{5} -4= _{4+5-1} C _{5} -4=` _{8} C _{5} -4= {8!} over {5!`3!} -4=52]

19. [출제의도] 정사영의 성질을 이해하여 넓이를 구한다.

선분 [eqn: rm AC`]와 [eqn: rmEF`]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN`]이라 하면

사각형 [eqn: rmAEFC`]가 정사각형이므로 [eqn: rm {bar{MN}} =2]

[eqn: rm {bar{BM}}` =` {bar{BN}}` = sqrt {3}]

[eqn: cos`left( ANGLE rmMBN right)][eqn: = {( sqrt {3} ) ^{2} +( sqrt {3} ) ^{2} -2 ^{2}} over {2 TIMES sqrt {3} TIMES sqrt {3}} = {1} over {3}`]이므로

[eqn: S _{`1}][eqn: =left( {sqrt {3}} over {4} TIMES 2 ^{2} right) TIMES {1} over {3} = {sqrt {3}} over {3}]

두 평면 [eqn: rmBEF`]와 [eqn: rmCBF`]가 이루는 각의 크기는 두 평면 [eqn: rmACD`]와 [eqn: rmABC`]가 이루는 각의 크기와 같다.

평면 [eqn: rmBEF`]와 평면 [eqn: rmACD`]가 평행하므로

[eqn: S _{`2} =S _{`1}][eqn: = {sqrt {3}} over {3}] [eqn: therefore`][eqn: S _{`1} +S _{`2} = {2 sqrt {3}} over {3}]

20. [출제의도] 실생활과 관련하여 조건부 확률을 구하는 문제를 해결한다.

학생 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받는 사건을 [eqn: T`], 학생 [eqn: rmC`]와 [eqn: rmD`]가 같은 구역에 같은 열의 좌석을 배정받는 사건을 [eqn: U`]라 하자.

[eqn: rm P( it T`)][eqn: = {2` TIMES (2 TIMES 3 TIMES 3!)} over {5!}][eqn: = {3} over {5}]

두 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 다른 구역에 배정받을 때, 두 학생 [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 (나) 구역의 [eqn: 2`]열에 배정받아야 하므로

[eqn: rm P( it U` SMALLINTER it T`)][eqn: = LEFT . {2 TIMES (2 TIMES 1 TIMES 2!)} over {5!} RIGHT .][eqn: = {1} over {15}]

따라서 [eqn: rm P( it U``|T`)][eqn: = {rm P( it `U` SMALLINTER T`)} over {rm P( it `T`)}][eqn: = {1} over {9}]

21. [출제의도] 적분법을 이용하여 방정식의 근의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: 2`]이고, 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 실수 [eqn: t`]와 정수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: int _{t} ^{t+2k} {f(x)dx=0}], [eqn: int _{-t} ^{t+2k} {f(x)dx=0}`]

따라서 구간 [eqn: [-1,``1]`]에서 방정식 [eqn: h(x)=0`]

즉 [eqn: int _{g(x)} ^{g(x+1)} {f(t)`dt`} =0`]을 만족시키려면

[eqn: g(x+1)-g(x)=2n`]([eqn: n`]은 정수)

또는 [eqn: g(x+1)+g(x)=2m`]([eqn: m`]은 정수)이어야 한다.

[eqn: g(x)=x(x+1)`]이므로 [eqn: g(x+1)-g(x)=2(x+1)]

[eqn: g(x+1)+g(x)=2(x+1) ^{2}]

구간 [eqn: [`-1,``1]`]에서 두 함수 [eqn: y=2(x+1)],

[eqn: y=2(x+1) ^{2}`]의 그래프는 그림과 같으므로

[eqn: 2(x+1)=2n]([eqn: n`]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1`]이고, [eqn: 2(x+1) ^{2} =2m]([eqn: m`]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: sqrt {2} -1], [eqn: sqrt {3} -1], [eqn: 1`]이다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5`]

22. [출제의도] 지수와 로그의 값을 계산한다.

[eqn: 9 ^{{1} over {2}} TIMES log _{`2`} `8=(3 ^{2} ) ^{{1} over {2}} TIMES log _{`2`} `2 ^{3} =3 TIMES 3=9]

23. [출제의도] 미분계수의 값을 계산한다.

[eqn: f` prime (`x`)=14`x`e ^{x ^{2} -1} `]이므로 [eqn: f` prime (`1`)=14]

24. [출제의도] 분수부등식을 이해하여 부등식을 만족시키는 정수해의 개수를 구한다.

[eqn: {1} over {x-10} LEQ ` {1} over {x+2}`]에서 [eqn: {12} over {(x-10)(x+2)} LEQ 0]

[eqn: 12(x-10)(x+2) LEQ 0,```x != -2,``x != 10`]

따라서 [eqn: -2<x<10`]이므로 주어진 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 11`]

25. [출제의도] 포물선의 접선의 방정식을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다.

기울기가 [eqn: {`1`} over {`2`} `]인 접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} x+8`]이므로

구하는 넓이는 [eqn: {`1`} over {`2`} ` TIMES 16 TIMES 8=64]

26. [출제의도] 이면각의 정의를 이해하여 이면각의 크기를 구한다.

두 선분 [eqn: rmBC`], [eqn: rmAD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하면, [eqn: rm {bar{AM}} = {bar{DM}} =2 sqrt {3}`]이므로 [eqn: rm {bar{MN}} =2 sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{PN}} = {bar{QN}} =1`]이므로 [eqn: rm {bar{PM}} = {bar{QM}} =3]

[eqn: theta = rm ANGLE PMQ`]이고, [eqn: rm {bar{PQ}} =2`]이므로

[eqn: cos` theta = {3 ^{`2} +3 ^{`2} -2 ^{`2}} over {2 TIMES 3 TIMES 3} = {7} over {9}], 따라서 [eqn: p+q=16]

27. [출제의도] 치환적분법과 부분적분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다.

[eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)f` prime (x+1)dx} =-4`]에서 [eqn: x+1=t`]로 놓으면

[eqn: {dx} over {dt} =1`]이고, [eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=1`]일 때 [eqn: t=2`]

[eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)f` prime (x+1)dx`}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {(t-2)f` prime (t)dt}][eqn: = LEFT [ pile{`#`} (t-2)f(t) RIGHT ] _{1} ^{2} - int _{1} ^{2} {f(t)dt`}]

[eqn: =f(1)- int _{1} ^{2} {f(t)dt}][eqn: =2- int _{1} ^{2} {f(t)dt}` =`-4]

따라서[eqn: ` int _{1} ^{2} {f(x)dx} `=`6]

28. [출제의도] 표본평균의 확률분포를 이해하여 기댓값을 구한다.

[eqn: rm P( it {bar{X``}} =1)= {1} over {(n+1) ^{`2}} = {1} over {49}`]에서 [eqn: n=6]

[eqn: rm E( it {bar{X``}}` )]는 모평균과 같으므로

[eqn: rm E( it {bar{X``}}` )= {1+3n} over {7} = {19} over {7} `]이므로 [eqn: p+q=26]

29. [출제의도] 정삼각형의 성질과 미분법을 이용하여 접점의 좌표를 구하는 문제를 해결한다.

직선 [eqn: l`]의 기울기가 [eqn: - {sqrt {3}} over {2} `]이고, 세 직선 [eqn: l,``m,``n`]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형이므로 두 접선 [eqn: m,``n`]과 직선 [eqn: l`]이 이루는 예각의 크기는 [eqn: 60°`]이다.

직선 [eqn: l`]과 이루는 예각의 크기가 [eqn: 60°`]인 직선의 기울기를 [eqn: k`]라 하면 삼각함수의 덧셈정리에 의하여

[eqn: LEFT | {- {sqrt {3}} over {2} -k} over {1- {sqrt {3}} over {2} k} RIGHT | = sqrt {3}], [eqn: `k= {sqrt {3}} over {5}] 또는 [eqn: k=3sqrt3]

[eqn: f(x)=sqrt3`lnx`]에서 [eqn: f` prime (x)= {sqrt3} over {x}]이므로

[eqn: {sqrt3} over {alpha } = {sqrt {3}} over {5}], [eqn: {sqrt3} over {beta} =3 sqrt {3}]

[eqn: alpha =5], [eqn: beta= {1} over {3}`]이므로 [eqn: `6( alpha + beta )=32]

30. [출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 벡터의 내적의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제를 해결한다.

원 [eqn: C`]의 중심을 [eqn: rm O prime`]이라 하면

[eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}}`][eqn: =` rm {vec{OA}} BULLET LEFT ( {vec{OO prime}} + {vec{O prime B}} ` RIGHT )]

[eqn: =` rm vec OA BULLET vec{ OO prime }+ vec OA BULLET vec {O prime B}]

평면 [eqn: x-y+z-6=0`]을 [eqn: alpha`]라 하면 구의 중심과 점 [eqn: rm O prime`]을 지나는 직선 위의 점의 좌표가 [eqn: (t,~-t,~t+3)`]이고 점 [eqn: rmO`']이 평면 [eqn: alpha] 위의 점이므로

[eqn: rmO`'(1,~-1,~4)`]이다. 따라서 [eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OO prime }} =12]

구 [eqn: S`]의 중심에서 평면 [eqn: alpha `]까지의 거리 [eqn: sqrt {3}], 구의 반지름의 길이 [eqn: 2]에서 원 [eqn: C`]의 반지름의 길이는 [eqn: 1`] 평면 [eqn: alpha `]와 직선 [eqn: rmOA`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta `]라 하면

[eqn: cos left( {pi } over {2} - theta RIGHT ) = {(1,`-1,`1) BULLET ( sqrt {2} ,` sqrt {2} ,``3)} over {sqrt {1+1+1} sqrt {2+2+9}}][eqn: = {sqrt {3}} over {sqrt {13}}]

[eqn: rm bar OA = root 13], [eqn: rm bar {O prime B} = 1`]이고, [eqn: rm {vec{OA}} `]와 [eqn: rm {vec{O'B}} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: beta`]라 하면 [eqn: theta LEQ beta LEQ pi-theta`]이므로

[eqn: cos( pi - theta ) LEQ `cos` beta LEQ cos` theta]

[eqn: cos`theta= {sqrt {10}} over {sqrt {13}}], [eqn: rm bar OA = root 13], [eqn: rm bar {O prime B} = 1`]이고

[eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{O prime B}} = | {vec{OA}} |` | {vec{O prime B}} |`cos` beta `]이므로

[eqn: rm - sqrt {10} LEQ {vec{OA}} BULLET {vec{O prime B}} ` LEQ sqrt {10}]

[eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}}`]의 최댓값은 [eqn: 12`+ sqrt {10}], 최솟값은

[eqn: 12`- sqrt {10}`]이므로 곱은 [eqn: 134`]