• 수학 영역 (A형) •

정 답

1	⑤	2	③	3	④	4	④	5	⑤
6	②	7	①	8	①	9	④	10	①
11	②	12	①	13	④	14	②	15	⑤
16	③	17	②	18	⑤	19	③	20	③
21	①	22	[eqn: 16]	23	[eqn: 9]	24	[eqn: 52]	25	[eqn: 122]
26	[eqn: 10]	27	[eqn: 6]	28	[eqn: 155]	29	[eqn: 81]	30	[eqn: 65]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙과 로그의 성질을 이용하여
계산하기

[해설]

[eqn: 4^{3over2} `+` log`_3 `1over27 `&=`(2^2 ) ^{3over2} + log_3 3^{-3} #&= 2`^3 -3log`_3 3= 5]

2. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 계산하기

[해설]

[eqn: A + B][eqn: = {pmatrix{``1``&-1``#3&-4``}} + {pmatrix{-2&````1``#-3&`````3``}} ``][eqn: = {pmatrix{``-1``&0``#0&-1``}}]

[eqn: A - B][eqn: = {pmatrix{``1``&-1``#3&-4``}} - {pmatrix{-2&````1``#-3&`````3``}} ``][eqn: = {pmatrix{`3``&-2``#6&-7``}}]

따라서 [eqn: (A+B)(A-B)][eqn: =`- (A-B)][eqn: = {pmatrix{`-3``&``2``#-6&``7``}}]

그러므로 모든 성분의 합은 [eqn: 0] 이다.

3. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[해설]

[eqn: lim _{n -> INF } {{(an-1)(an+1)} over {n ^{2} +1}}][eqn: = lim _{n -> INF } {a^2 - 1 over n^2} over {1 + 1overn^2 }][eqn: =a ^{2}]

[eqn: a ^{2} =16]  [eqn: therefore] [eqn: a=4] ([eqn: because a]는 양수)

4. [출제의도] 등차수열 이해하기

[해설] 수열 [eqn: left{` a_n ` right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a`_2 + a`_4 +a`_6][eqn: =(a`_1 +d) + (a`_3 +d) + (a`_5 +d)]

[eqn: = 30 + `3d][eqn: = 51] [eqn: therefore ~ d= 7]

5. [출제의도] 지수함수의 최대최소 구하기

[해설]

[eqn: 3^x `=`t] [eqn: left( 1over3 le t le 9 right)] 라 하면 [eqn: y = t^2 - 6t] 이다.

[eqn: t= 9] 일 때, [eqn: y] 의 최댓값 [eqn: 27]

[eqn: t=3`] 일 때, [eqn: y] 의 최솟값 [eqn: -9]

[eqn: therefore ~M+m =18]

6. [출제의도] 역행렬과 연립방정식의 관계를 이해하기

[해설]

[eqn: {pmatrix{``2k-1``&``3``#``2``&``1``}} `` {pmatrix{``x``#``y``}} ````=`` {pmatrix{``1```&``1``#``0``&``0``}} `` {pmatrix{``x``#``y``}} ````]

[eqn: {pmatrix{``2k-2``&``2``#``2``&``1``}}`` {pmatrix{``x``#``y``}}`` = ``{pmatrix{``0``#``0``}}]

[eqn: x=0`,```y=0] 이외의 해를 가지므로

[eqn: (2k-2) times 1 - 2times 2 = 0]  [eqn: therefore ~k=3]

7. [출제의도] 실생활에서의 행렬의 곱셈 이해하기

[해설] 오전에 지불해야 할 관람료의 총합은
[eqn: 0.9 times 5 times 5000 + 0.9 times 140 times 3000]이고,

오후에 지불해야 할 관람료의 총합은
[eqn: 0.95 times 7 times 5000 + 0.95 times 160 times 3000]이므로,
행렬로 나타내면

[eqn: (0.9````0.95) {pmatrix{``5``&``140``#``7``&``160``}} {pmatrix{``5000``#``3000``}}]이다.

8. [출제의도] 등차수열의 합을 구하기

[해설] 수열 [eqn: left{ a_n right}] 의 첫째항을 [eqn: a~], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: S_5][eqn: = {5 ( 2a + 4d)}over2][eqn: =10] 이므로 [eqn: 2a + 4d = 4] 이다.  …①

[eqn: S_10][eqn: = {10 ( 2a + 9d)}over 2][eqn: =30] 이므로 [eqn: 2a + 9d = 6] 이다.…②

① 과 ② 에 의해 [eqn: a = 6 over 5], [eqn: d= 2 over 5] 이다.

[eqn: therefore~S_15][eqn: = {15 (2a + 14d)}over 2][eqn: =60]

9. [출제의도] 로그를 이용한 실생활 문제 해결하기

[해설] B 의 집진극의 넓이를 [eqn: S] 라 하면, A 의 집진극의 넓이는 [eqn: 2S] 이다.

[eqn: S = k ``log _{`a} left(1-{ 80 }over{100}right)][eqn: =k log`_a 0.2]

[eqn: 2S = k ``log _{`a} left(1-{ eta }over{100}right)]

[eqn: 2k ``log _{`a} ``0.2 = k log`_a left( 1 - eta over 100 right)]

[eqn: 0.04 = 1 - eta over 100]이므로 [eqn: eta= 96]이다.

10. [출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기

[해설]

[eqn: a_n + a_n+2 = 2a_n+1 `]이므로 [eqn: {a_n + a_n+2 } over 6 = {2times 3(n-1)}over 6]

따라서, [eqn: `log _{5} b _{n} ={a _{n} `+`a _{n+2}} over 6][eqn: = n-1]

[eqn: 5^{n-1} < 2012] 인 [eqn: n`] 의 최댓값을 구하면 된다.

[eqn: 5^4 < 2012] 이고 [eqn: 5^5 >2012] 이므로 [eqn: n-1=4]

주어진 조건을 만족시키는 [eqn: n`] 의 최댓값은 [eqn: 5] 이다.

11. [출제의도] 지수와 로그 계산하기

[해설]

[eqn: x= log`_a 8 `,``y=log`_b 8 `,``z=log`_c 8 `] 이므로

[eqn: 1over x - 1overy `+` 1overz `][eqn: = log`_8 `a` -log`_8 `b` +log`_8 `c`][eqn: =` log`_8 {a`c} over b][eqn: = 2over3]

[eqn: therefore] [eqn: {a`c}overb `= 4]

(별해)

[eqn: a = 8^{ 1over x } `,`` b = 8^{ 1over y } `,`` c = 8^{ 1over z }] 이므로 [eqn: {a`c}over b `= 8^{ 1over x - 1over y + 1over z }] 이다.

[eqn: {a`c}over b = 8^{ 2over3 } = 4]

12. [출제의도] 행렬의 곱셈과 역행렬의 성질을 이용하기

[해설]

[eqn: (2AB)^2 = left(matrix { ``1``&``1`` # ``2``&``3`` } right)] 이므로 [eqn: 4ABAB =][eqn: left(matrix { ``1``&``1`` # ``2``&``3`` } right)]

[eqn: BABA = 1over4 A^-1 left(matrix { ``1``&``1`` # ``2``&``3`` } right) A][eqn: = 1over4 left(matrix { ``````````6``&`````````1`` # ``-13``&``-2`` } right)]

그러므로 모든 성분의 합은 [eqn: -2] 이다.

13. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여

무한등비급수의 합 구하기

[해설]

[eqn: A^1 = A] 이므로 [eqn: a_1 =1 `,`` b_1 = 0]

[eqn: A^2 = pmatrix{``1&````1#`-3&`-2`}]이고

[eqn: a_2 A + b_2 E][eqn: =pmatrix { ``-2a_2 + b_2 ``````&`` -a_2 ``#`` 3a_2 `````&`` a_2 +b_2 `` }] 이므로

[eqn: a_2 =`-1 `,`` b_2 =` -1]

[eqn: A^3 = E] 이므로 [eqn: a_3 =0 `,`` b_3 = 1]

[eqn: A^4 `=` A] 이므로 [eqn: a_4 =1 `,`` b_4 = 0]

[eqn: VDOTS]

그러므로 [eqn: left{ a_n b_n right}]은 [eqn: 0`,``1`,``0`,``0`,``1`,``0`,``0`,``1, cdots]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} b_n } over {2 ^{n}}][eqn: = 1over 2^2 + 1 over 2^5 + `cdots` = { 1over4 } over {1- 1over8}][eqn: = 2over7]

14. [출제의도] 로그함수와 지수함수의 관계 이해하기

[해설]

ㄱ. [eqn: (`1`,``1`)`,`` (`2`,``2`)`]는 [eqn: y= f(`x)`,`` y`= g(`x)`]를 모두 만족한다. (참)

ㄴ. ㄱ 에 의해 [eqn: 1<alpha < 2] 일 때, [eqn: f(alpha) > g(alpha)] 이고 [eqn: alpha < 2< beta] 일 때, [eqn: f(beta) > g(beta)] 이다.

그러므로 [eqn: LEFT { f(alpha ) - g(alpha ) RIGHT } LEFT { f(beta ) - g(beta ) RIGHT } <0] 이다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x_1 = `-2], [eqn: x_2 =`-1] 일 때
[eqn: x_2 - x_1 > g(x_2 ) - g(x_1 )] 이다. (거짓)

15. [출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

[해설]

[eqn: LEFT ( A ^{2} RIGHT ) ^{-1} {pmatrix{``2``#``3``}} = {pmatrix{`0`#`1`}}]이므로 [eqn: A^2 {pmatrix{`0`#`1`}} = {pmatrix{``2``#``3``}}]이다.

[eqn: A {pmatrix{`0`#`1`}} = {pmatrix{``1``#``2``}}]이므로 [eqn: A^2 {pmatrix{`0`#`1`}} = A {pmatrix{`1`#`2`}} = {pmatrix{``2``#``3``}}]이다.

[eqn: A {pmatrix{`1&``0`#`2&``1`}} = {pmatrix{``2``&`1`#``3``&`2`}}]이 성립하므로

[eqn: A = {pmatrix{``2``&`1`#``3``&`2`}} {pmatrix{`1&``0`#`2&``1`}}^-1][eqn: = {pmatrix{`````0&``1``#`-1&``2``}}]

행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 2이다.

16. [출제의도] 수열의 합과 일반항을 이용한

명제 추론하기

[해설] ㉠ 에서 ㉡ 을 뺀 식은

[eqn: a_2m+1 `-` a_2m `=` - 1over {2m`+`1} `a_2m `]이므로

[eqn: a_2m+1 `=` left( 1 `-` 1 over {2m`+`1} `right)`a_2m `]이고,

[eqn: a _{2m+1} = {2m} over{2m+1} `a _{2m}] 이다. [eqn: therefore] [eqn: BOX{~~(가)~~}` = 2m over{2m+1]

같은 방법으로 ㉢ 에서 ㉠ 을 뺀 식으로 부터

[eqn: a _{2m+2} = {2m+3} over {2m+2} a _{2m+1}] 이다. [eqn: therefore][eqn: BOX{~~(나)~~} `= {2m+3} over 2m+2]

따라서 [eqn: f(9) times g(9)][eqn: =] [eqn: 18 over19 times 21 over 20 =][eqn: 189 over 190]이다.

17. [출제의도] 도형에서의 무한등비급수 이해하기

[해설] [eqn: bar{rm A _{1} B it} =2 bar{rm A _{1} C _{2}}] 이다. 또한 직각삼각형 [eqn: rm A_1 B C_1] 과 직각삼각형 [eqn: rm A_2 B C_2] 는 서로 닮음이고, [eqn: rm bar{A _{1} C _{1}} = alpha] 라 하면 직각삼각형 [eqn: rm A_1 B C_1] 에서 [eqn: rm bar{BC _{1}} = sqrt {3} alpha] 이고, 직각삼각형 [eqn: rm A_2 B C_2] 에서 [eqn: rm bar{BC _{2}} = alpha] 이다.

따라서 두 삼각형의 변에 대한 길이에 대한 비는 [eqn: rm bar{BC _{1}} `:` bar{BC _{2}} = sqrt {3} :1] 이다. 그러므로 원 [eqn: O _{1}] 의 활꼴의 넓이와 원 [eqn: O _{2}] 의 활꼴의 넓이의 비는 [eqn: 3``:1`]이다.

[eqn: {triangle rmABC} ``: triangle rmA_1 B_1 C_1 }``=` sqrt3 ``: 1`]이므로 원 [eqn: O _{`1}] 의 반지름이 [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}] 이고, 현 [eqn: rm P_1 Q_1] 에 대한 중심각은 [eqn: { 2 pi} over {3 }] 이므로 활꼴의 넓이 [eqn: S _{`1}] 은

[eqn: S_1 =][eqn: {1} over {2} TIMES {16} over {3} TIMES LEFT ( {2 pi } over {3} - {sqrt {3}} over {2} RIGHT )] 이다.

같은 방법으로 닮음비가 [eqn: sqrt3 ``: 1`]이므로 활꼴의 넓이의 비는 [eqn: 1 ``: 1over3 `]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{8} over {3} LEFT ( {2 pi } over {3} - {sqrt {3}} over {2} RIGHT )} over {1- {1} over {3}} = {8 pi } over {3} -2 sqrt {3}]

18. [출제의도] 무한등비급수를 이용한 함수의 그래프 이해하기

[해설]

(ⅰ) [eqn: x=0] 이면 [eqn: f(x) = 0] 이다.

(ⅱ) [eqn: x!=0]이면 [eqn: f(x) = { x over { 1- {1 over{ 1+|`x`|}} }}][eqn: = {x (1+ |`x`|) }over{ |`x`|}]이다.

(ⅰ), (ⅱ) 에 의해서

[eqn: f(x) = left{` matrix { x`-`1 ``&`` (`x`<`0`) # 0``&``(`x`=`0`) # x`+`1``&``(`x`>`0`) }] 이다.

[eqn: f(x)] 와 직선 [eqn: y=2x+ 1 over 2] 와의 교점의 [eqn: x] 좌표는

[eqn: x= 1over2], [eqn: x= `- 3over2] 이다.

따라서, 모든 교점의 [eqn: x] 좌표의 합은 [eqn: -1] 이다.

19. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 최솟값 구하기

[해설] 행렬 [eqn: pmatrix { `x` `& ``y` # ``2r-y`` & ``x-2r``}] 의 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: x(x-2r) - y(2r-y) =0] 이 된다.

따라서 원 [eqn: (x-r)^2 + (y-r)^2 = 2r^2] 이 부등식의 영역과 만나야하므로 [eqn: r] 의 최솟값은 원이 직선 [eqn: y= -x +16] 에 접할 때이다. 원점에서 직선까지의 거리가 지름이므로 [eqn: r=4] 이다.

20. [출제의도] 행렬의 거듭제곱과 곱셈의 성질 이해하기

[해설]

ㄱ. [eqn: BA=(E-2A)A=A-2A^2 = A(E-2A)]

[eqn: = AB = O] 이다. (참)

ㄴ. ㄱ 에 의해 [eqn: A - 2A^2 = 0] 이므로 [eqn: A^2 = 1over2 A]

[eqn: 2AB=O] 이므로 [eqn: (E-B)B=O] 이다.

따라서 [eqn: B^2 = B] 이다.

[eqn: (A+2B)^2][eqn: = A^2 + 2A(2B) + 4B^2][eqn: = 1over2 A + 4B]  (거짓)

ㄷ. 수학적 귀납법에 의해

[eqn: n=1] 일 때

[eqn: (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 = 1 over 2 A + B] 이다.

[eqn: n=k] 일 때, 관계식이 성립한다고 하면,

[eqn: (A+B)^k+1 = left( 1over2 right)^k A + B] 이다.

[eqn: (A+B)^k+2 &= (A+B)^k+1 (A+B) #&= left{ left( 1over2 right)^k A+B right} (A+B) #&= left( 1over2 right)^k A^2 + BA + left( 1over2 right)^k AB + B^2 #&=left( 1over2 right)^k+1 A + B]

그러므로 [eqn: n=k+1] 일 때에도 관계식이 성립한다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 [eqn: n] 에 대하여
[eqn: (A+B)^n+1 `=` left( 1over2 right)^n A+ B] 이다. (참)

21.  [출제의도] 수열의 규칙성 이해하기

[해설] [eqn: y=f(`x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(`x)`]

직선 [eqn: l_n `]과 함수 [eqn: y=f(`x)`]의 그래프와의 교점을 구해보면 [eqn: a_1 ` =0], [eqn: a_2 = 1], [eqn: a_3 = 1], [eqn: a_4 = 2], [eqn: a_5 = 2],

[eqn: a_6 = 3], [eqn: a_7 = 3], [eqn: cdots] 이므로 구하는 값은

[eqn: sum _{ n=1} ^{10 }a_n = 0+1+1+2+2+3 + 3+4+4+5=25]

22. [출제의도] 그래프의 행렬 구하기

[해설] 행렬의 모든 성분의 합

[eqn: =](모든 변의 개수)[eqn: TIMES 2][eqn: =][eqn: 8TIMES 2=16]

23. [출제의도] 로그방정식의 해 구하기

[해설] 주어진 식에서

[eqn: log_2 (x-3)^2 = log_2 (5x-9)]

[eqn: (x-3)^2 = 5x-9]

[eqn: x^2 - 6x +9 = 5x-9]

[eqn: x^2 -11x +18 = 0]

[eqn: (x-2) (x-9) = 0]

[eqn: x >3] 이므로 [eqn: x=9] 이다.

24. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식의 해 구하기

[해설] [eqn: {2 ^ x+1 ge 2^4}] 에서 [eqn: x+1 ge 4] 이므로 [eqn: x ge 3] 이다.

[eqn: log_3_ `(x-1) le 2] 에서 [eqn: x-1 le 3^2] 에서 [eqn: x le 10] 이다.

그러므로 구하는 해는 [eqn: 3 le x le 10] 이다.

따라서 모든 정수의 합은 [eqn: 52] 이다.

25. [출제의도] 계차수열의 성질 이해하기

[해설] [eqn: a_n] 의 계차수열을 [eqn: b_n]  이라 하면, [eqn: b_n = 3^n] 이다.
[eqn: a_5 = a_1 + b_1 + b_2 +b_3 + b_4] 이므로 [eqn: a_5 = 122] 이다.

26. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 도형의 넓이 구하기

[해설] 주어진 곡선 [eqn: y=4^x-3 -1] 는 곡선 [eqn: y=4^x] 을 [eqn: x] 축으로 [eqn: 3] 만큼, [eqn: y] 축으로 [eqn: -1] 만큼 평행이동 한 것이다.

선분 [eqn: rm bar PQ] 와 [eqn: rm bar RS] 를 이은 평행사변형 [eqn: rm PRSQ] 의 넓이가 구하는 넓이와 같다.

그러므로 구하는 넓이는 [eqn: 16- left(1over2 times 3 times 1right) times4 = 10]이다.

(별해)

네 점의 좌표는 [eqn: rm P(0,~1), ~ Q(1,~4), ~S(4,~3),~R(3,~0)]이다. 따라서 정사각형이 된다.

27. [출제의도] 역행렬을 이용한 연립방정식의 해 구하기

[해설]

[eqn: A=][eqn: {pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``}}], [eqn: X = {pmatrix{``3``&``2``#``1``&``2``}}] 라 하면,

[eqn: AX= 2E] 이고 [eqn: A^-1 = 1over2 X] 이다.

주어진 연립방정식은 [eqn: A][eqn: {pmatrix{`x``#`y`}} = {pmatrix{`1`#``2``}}] 이므로,

[eqn: {pmatrix{`x``#`y`}} =][eqn: A^-1][eqn: {pmatrix{`1`#``2``}}][eqn: = 1over2 X][eqn: {pmatrix{`1`#``2``}}][eqn: = 1over2][eqn: {pmatrix{``3``&``2``#``1``&``2``}}][eqn: {pmatrix{`1`#``2``}}][eqn: =][eqn: {pmatrix{`7 over2 `#``5over2``}}]이다. 따라서 해는 [eqn: 5over2], [eqn: 7over2] 이고 그 합은 [eqn: 6] 이다.

28. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬의 거듭제곱의 규칙성을 찾아 성분의 합 구하기

[해설] [eqn: A+E] 의 역행렬이 [eqn: A-E] 이므로

[eqn: (A+E ) (A-E) =][eqn: A^2 - E = E] 이고 [eqn: A^2 = 2E] 이다.

[eqn: { A + A^2 + A^3 + cdots + A^10}][eqn: =A+2E``+2A+4E``+` CDOTS `+16A+32E]

[eqn: = (A+2A+`cdots`+16A)＋ (2E +4E+ `cdots`+32E )]

[eqn: =31A+ 62E]

모든 성분의 합은 [eqn: 31 + 62 times 2 = 155] 이다.

29. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계를 이용하여 극한값 구하기

[해설] 두 곡선 [eqn: y=3^x +2] 와 [eqn: y=log`_3 (x-2)] 는 직선 [eqn: y=x] 에 대하여 대칭이므로

[eqn: {rmP}_n (n`,~ 3^n +2)], [eqn: {rmO}(0`,~0)], [eqn: {rmQ}_n (3^n +2 `,~ n)]

따라서 삼각형 [eqn: {rm P}_n {rmO Q}_n `] 의 넓이

[eqn: S_n][eqn: = 1over2 left( (3^n +3)^2 - n^2 right)]

[eqn: therefore~][eqn: lim from {n``->``inf} {{2S_n +n^2}over{9^n-2 }}][eqn: =lim from n->inf {3^2n +6 times 3^n + 9}over{9^-2 cdot 3^2n}][eqn: = 81]

30. [출제의도] 상용로그 이해하기

[해설] [eqn: log`n] 의 가수를 [eqn: alpha][eqn: ( 0 le alpha <1)]라 하면

[eqn: log` n^2 = 2 f(n) + 2 alpha], [eqn: log` n^ 5 = 5f(n) + 5 alpha]이므로

[eqn: 2f(n) le f(n^2 ) le 2f(n) +1]

[eqn: log `n^ 5 = 5f(n) + 5 alpha]이므로

[eqn: 5f(n) le f(n^5 ) le 5f(n) +4]

[eqn: 7f(n) le f(n^2 ) + f(n^5 ) le 7f(n) +5]

[eqn: f(n^2 ) + f(n^5 ) = 16]이므로 [eqn: 7f(n) + 2 = 16]

[eqn: therefore][eqn: f(n) =2]

(ⅰ) [eqn: f(n^2 ) = 2f(n)] , [eqn: f(n^5 ) = 5f(n) +2]인 경우

[eqn: f(n^2 ) = 4] 이므로 [eqn: 4 le log `n^2 < 5]

[eqn: therefore 2 le log`n <2.5] ‥‥‥ ㉠

[eqn: f(n^5 ) = 12] 이므로 [eqn: 12 le log `n^5 < 13]

[eqn: therefore 2.4 le log`n <2.6] ‥‥‥ ㉡

㉠, ㉡에 의해서 [eqn: 2.4 le log `n <2.5]

상용로그표에 의해서

[eqn: 2.4 < 2+log` 2.52 le log `n le 2+ log` 3.16 < 2.5]

그러므로 [eqn: 252 le n le316], [eqn: n]의 개수는 [eqn: 65]이다.

(ⅱ) [eqn: f(n^2 ) = 2f(n)+1] , [eqn: f(n^5 ) = 5f(n) +1]인 경우

[eqn: f(n^2 ) = 5] 이므로 [eqn: 5 le log `n^2 < 6]

[eqn: therefore 2.5 le log`n <3] ‥‥‥ ㉢

[eqn: f(n^5 ) = 11] 이므로 [eqn: 11 le log `n^5 < 12]

[eqn: therefore 2.2 le log`n <2.4] ‥‥‥ ㉣

㉢, ㉣에 의해서  [eqn: n] 은 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: n]은 [eqn: 65]개다.

• 수학 영역 (B형) •

정 답

1	⑤	2	③	3	⑤	4	④	5	②
6	②	7	①	8	①	9	④	10	①
11	④	12	③	13	④	14	⑤	15	⑤
16	③	17	②	18	⑤	19	②	20	③
21	②	22	14	23	12	24	8	25	24
26	10	27	36	28	14	29	100	30	65

해 설

1. [A형과 동일]

2. [A형과 동일]

3. [출제의도] 무리수 [eqn: e]의 값 이해하기

[해설]

[eqn: lim _{x -> INF } {} LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT ) ^{2x} RIGHT } ^{2} =e ^{2}]

4. [A형과 동일]

5. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이해하기

[해설]
[eqn: f(x)&= sqrt {3} `sinx+2sin LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) #&= sqrt {3} `sinx+2`cos`x` #&= sqrt {7} `sin(x+ alpha )]

[eqn: left( 단,~sin alpha = {2 sqrt {7}} over {7},~cos alpha = {sqrt {21}} over {7} right)]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: sqrt {7}]이다.

6. [출제의도] 함수가 연속일 조건을 이용하여
극한값 구하기

[해설] [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이 되기 위해서는
[eqn: lim _{x` -> `1} {{sqrt {x ^{2} +3} -2} over {x-1}} =a] 이다.

[eqn: lim _{x`->` 1} {{sqrt {x ^{2} +3} -2} over {x-1}} &= lim _{x`->` 1} {{x ^{2} -1} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x ^{2} +3} +2 RIGHT )}} #&= lim _{x`-> `1} {{x+1} over {sqrt {x ^{2} +3} +2}}``=`` {1} over {2}]

∴ [eqn: a= {1} over {2}]

7. [A형과 동일]

8. [출제의도] 분수방정식 이해하기

[해설] [eqn: f(x)=x(x+4)(x-a)]이므로

[eqn: f``''(x)=2(3x+4-a)]이다.

방정식 [eqn: {f(x)} over {f`''(x)} = {x(x+4)(x-a)} over {2(3x+4-a)} =0]의

무연근은 [eqn: x= {a-4} over {3}]이다.

(ⅰ) [eqn: {a-4} over {3} =-4]인 경우 : [eqn: a=`-8]

(ⅱ) [eqn: {a-4} over {3} =0]인 경우 : [eqn: a=4]

(ⅲ) [eqn: {a-4} over {3} =a]인 경우 : [eqn: a=`-2]

따라서 [eqn: a=4]이다.

(별해)

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 변곡점일 때, 위의 조건을 만족하므로 [eqn: a=4]이다.

9. [A형과 동일]

10. [출제의도] 미분계수 구하기

[해설]

[eqn: lim _{x` -> `0} {{f(x)+2} over {x}} =1]이므로 [eqn: f(0)=`-2], [eqn: f` prime (0)=1] 이다.

따라서 [eqn: g` prime (0)=`2f(0)f` prime (0)=`-4`]이다.

11. [출제의도] 함수의 극한값 구하기

[해설] [eqn: lim _{x `->` -0} {f(g(x))=f(-1)=0}]

[eqn: lim _{x`->` 1+0} {f(g(x))= lim _{t`->` 1-0} {f(t)=`-1}}]

따라서 [eqn: lim _{x`->` -0} {f(g(x))+ lim _{x`->` 1+0} {f(g(x))=`-1}}]이다.

12. [출제의도] 분수부등식 이해하기

[해설] 분수부등식 [eqn: {f(x+3)} over {f(x-3)} LEQ 0]의 양변에

[eqn: left{f(x-3) right}^2]을 곱하면 [eqn: f(x+3)f(x-3) LEQ0]이다.

[eqn: f(x)=(x-2)(x+2)]에 대하여

[eqn: f(x+3)f(x-3)=(x+1)(x+5)(x-5)(x-1) LEQ 0]을 만족하는 정수 [eqn: x] 는 [eqn: -5`,~-4`,~-3`,~-2`,~-1`,]

[eqn: 1,~2,~3`,~4`,~5]이고, [eqn: 1`]과 [eqn: 5`]는 무연근이다.

따라서 만족하는 정수 [eqn: x] 의 개수는 [eqn: 8]개이다.

13. [출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성 이해하기

[해설] [eqn: a>2]이면 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a,```x=`-a] 에서 불연속이므로 미분가능하지 않다.

[eqn: 0<a LEQ 2]이면 [eqn: g(x)= {cases{(x+a) ^{3}~&(x<-a)`#```````````0&(-a LEQ x<a)#(x-a) ^{3}&(x GEQ a)}}]이다.

[eqn: y=g(x)]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

따라서 [eqn: g(x)]는 모든 실수 [eqn: x] 에 대하여 연속이고
미분가능하므로 실수 [eqn: a] 의 최댓값은 [eqn: a=2] 이다.

14. [출제의도] 미분을 이용한 함수의 개형 이해하기

[해설] 주어진 식으로부터 [eqn: f(x)=x(x-3) ^{2}] 이다.

[eqn: f``'(x)=3(x-1)(x-3)], [eqn: f``''(x)=6(x-2)]

ㄱ. [eqn: f`'(1)=0], [eqn: f``''(1)<0] 이므로
[eqn: x=1] 에서 [eqn: f(x)] 는 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: f``'(x)=3(x-1)(x-3)] 이므로
[eqn: f``'(x)]는 [eqn: x=2] 에 대하여 대칭이다. (참)

ㄷ. [eqn: x=2] 에서 [eqn: f(x)] 는 변곡점이므로
[eqn: x _{1} <2<x _{2}] 에 대하여 [eqn: f``''(x _{1} )<0], [eqn: f``''(x _{2} )>0]    이다. 따라서 [eqn: f``''(x _{1} ) TIMES f``''(x _{2} )<0] 이다. (참)

15. [출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이용하여

삼각방정식의 해 구하기

[해설]

[eqn: bar{rm QH _{1} it} =sin`2 theta], [eqn: bar{rm OH _{1} it} =cos`2 theta], [eqn: bar{rm H _{1} H _{2} it} =cos`2 theta ` sin` theta `]

[eqn: bar{rm QH _{1} it} =3 bar{rm H _{1} H _{2} it}]에 대하여 [eqn: sin`2 theta =3cos2 theta ` sin theta `] 이다.

[eqn: 2sin theta `cos theta =3LEFT ( 2cos ^{`2} ` theta `-1 RIGHT )sin theta]

[eqn: sin` theta ` LEFT ( 6`cos ^{`2} ` theta `-`2cos` theta -3 RIGHT ) `=0]

[eqn: 0< theta < {pi } over {4}] 이므로 [eqn: cos` theta = {1+ sqrt {19}} over {6}] 이다.

16. [A형과 동일]

17. [A형과 동일]

18. [A형과 동일]

19. [출제의도] 도함수를 이용한 함수의 최댓값 구하기

[해설] [eqn: y=e` ^{x}] 와 [eqn: y=k] 의 교점은 [eqn: rm P(lnk,```k)]이다.
따라서 [eqn: bar{rm PQ it} =`-2ln`k], [eqn: bar{rm PR}=k] 이므로 구하고자 하는 직사각형의 넓이를 [eqn: S] 라 할 때, [eqn: S=`-2k`lnk] 이다.
[eqn: S`` prime =`-2(lnk+1)]이므로 [eqn: S] 는 [eqn: k= {1} over {e}]에서 극대이고 최대이다. 따라서 [eqn: S] 의 최댓값은 [eqn: {2} over {e}] 이다.

(별해)

[eqn: rm Q( it x,```e ^{-x} )] 이라 하면  [eqn: rm bar{PQ} =2 it x], [eqn: rm bar{QS} = ite ^{-x}] 이고

넓이는 [eqn: 2xe ^{-x}] 이다.

20. [A형과 동일]

21. [출제의도] 분수부등식 이해하기

[해설]

[eqn: {LEFT | f ` ^{-1} (x) RIGHT | ``- LEFT | f(x) RIGHT |} over {f(x)} GEQ 0] 에서

(ⅰ) [eqn: x>0] 일 때

[eqn: f(x)>0] 이고, [eqn: LEFT | f `^{-1} (x) RIGHT | `GEQ LEFT | f(x) RIGHT |] 이다.

이를 만족하는 정수 [eqn: x] 는 [eqn: 3,```4,```5] 이다.

(ⅱ) [eqn: x<0] 일 때

[eqn: f(x)<0] 이고, [eqn: LEFT | f `^{-1} (x) RIGHT | `LEQ LEFT | f(x) RIGHT |] 이다. 이를 만족하는 정수 [eqn: x] 는 [eqn: -2,``-1] 이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ) 에 의해 정수 [eqn: x] 는 [eqn: 5] 개이다.

[eqn: 5]

[eqn: 3]

[eqn: -5]

[eqn: -2]

[eqn: y=x]

[eqn: y =f`(``x)]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 5]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: y=-x]

[eqn: y =f^{`-1}`(``x)]

22. [출제의도] 그래프를 나타내는 행렬 이해하기

[해설] (행렬의 모든 성분의 합)

[eqn: =](모든 변의 개수)[eqn: TIMES 2][eqn: =][eqn: 7 TIMES 2=14]

23. [출제의도] 치환을 이용한 무리방정식의 해 구하기

[해설][eqn: sqrt {2x+1} -2=t`] 로 치환하면
[eqn: t ^{2} +9=6t] 를 만족하는 [eqn: t] 의 값은 [eqn: t=3] 이다.

[eqn: sqrt {2x+1} -2=3]

따라서 [eqn: x=12] 이다.

24. [출제의도] 행렬을 이용한 문제 해결하기

[해설]

주어진 식으로부터 행렬 [eqn: {pmatrix{2k+2&````a-5#k&````3-b}} {pmatrix{``x`#``y`}} = {pmatrix{`0#`0}}] 이다. [eqn: x=0,```y=0] 이외의 해를 갖도록 하기 위해서는

[eqn: (2k+2)(3-b)-(a-5)k=0] 이다.
모든 실수 [eqn: k] 에 대하여
[eqn: (-a-2b+11)k+(-2b+6)=0] 이므로

[eqn: a=5,```b=3] 이다. 따라서 [eqn: a+b=8] 이다.

25. [출제의도] 등비수열 이해하기

[해설] 주어진 조건에 의해서 [eqn: a+3b] 는 등비중항이다.
[eqn: (a+3b) ^{2} =a TIMES (a+5b)]

[eqn: a=-9b] [eqn: (b !=0)] [eqn: cdots cdots]㉠
주어진 조건에 의해서

[eqn: 3a+8b=57] [eqn: cdots cdots]㉡

이다. ㉠, ㉡ 에 의해 [eqn: a=27], [eqn: b=`-3] 이다.

∴ [eqn: a+b=24]

26. [A형과 동일]

27. [출제의도] 도함수를 이용하여 접선의 방정식 구하기

[해설]

[eqn: l] : [eqn: y=3(x-1)+7],  [eqn: m] : [eqn: y= {1} over {3} (x-7)+1]

두 직선 [eqn: l,```m] 의 교점은 [eqn: rm P][eqn: (-2,```-2)] 이다.

삼각형 [eqn: rm PBA] 는 선분 [eqn: rm AB] 를 밑변으로 하고,

선분 [eqn: rm AB]의 중점[eqn: (4,```4)] 와 점 [eqn: rm P][eqn: (-2,```-2)] 사이의

거리를 높이로 하는 이등변삼각형이다.
따라서 삼각형 [eqn: rmPBA] 의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 6 sqrt {2} TIMES 6 sqrt {2} =36] 이다.

(참고)

[eqn: f(x)=x ^{3} +a] 인 경우 삼각형의 넓이는 [eqn: a ^{2}] 이다.

28. [출제의도] 삼각함수 합성을 이용하여 삼각방정식의 해 구하기

[해설] 주어진 식을 정리하면

[eqn: 2 cos { {3x}over2} `cos {x over2 }= cos{{3x} over2]

[eqn: cos{ {3x} over2 } left( 2cos {x over2 }-1 right)=0]

[eqn: cos {3x}over2 =0] 또는 [eqn: cos x over2 = 1 over 2]

[eqn: `x`= `pi over3`,``~pi,~ 5pi over3 `]또는 [eqn: x ``= 2pi over3 `]이다.

따라서 모든 근의 합은 [eqn: 11 over3 pi] 이므로 [eqn: a+b=14] 이다.

29. [출제의도] 수열의 규칙성 이해하기

[해설] [eqn: y=f(`x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(`x)`]

직선 [eqn: l_n `]과 함수 [eqn: y=f(`x)`]의 그래프와의 교점을 구해보면 [eqn: a_1 ` =0], [eqn: a_2 = 1], [eqn: a_3 = 1], [eqn: a_4 = 2], [eqn: a_5 = 2],

[eqn: a_6 = 3], [eqn: a_7 = 3],  [eqn: cdots] , [eqn: a _{18} =9], [eqn: a _{19} =9], [eqn: a _{20} =10]

이므로 구하는 값은

[eqn: sum _{ n=1} ^{20 }a_n = 0+2(1+2+3+ CDOTS +8+9)+10=100] 이다.

30. [A형과 동일]