Ⅱ. 2012학년도 1차 시험 해설

수리 영역

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2012 경찰대학 1차 시험 해설

언어 영역

1. ⑤	2. ④	3. ④	4. ②	5. ①

6. ③	7. ②	8. ①	9. ③	10. ④

11. ②	12. ②	13. ①	14. ④	15. ③

16. ②	17. ③	18. ④	19. ⑤	20. ④

21. ①	22. ⑤	23. ③	24. ①	25. ③

1. 식과 그 연산

정답 ⑤

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z}=0]에서

[eqn: { xy+yz+zx} over { xyz}=0]    [eqn: ∴~][eqn: xy+yz+zx=0]

[eqn: x^2 +y^2 +z^2`=2]에서

[eqn: (x+y+z)^2`-2(xy+yz+zx)=2]

[eqn: ∴~][eqn: (x+y+z)^2`=2]

[eqn: ∴~][eqn: (x+y+z)^12`=left{(x+y+z)^2`right}^6]

[eqn: =2^6`=64]

2. 순열과 조합

정답 ④

집합 [eqn: U=left{1,``3,``5,``7,``9,``11right}]이라 하면 조건 (나)에서 [eqn: 1],

[eqn: 3], [eqn: 5]는 집합 [eqn: A-B]의 원소이므로 나머지 원소 [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: 11]

은 세 집합 [eqn: A capB], [eqn: B-A], [eqn: U-(A cup B)] 중의 원소가

된다. 따라서 순서쌍 [eqn: (A,``B)]의 개수는 세 원소 [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: 11]

을 세 집합 [eqn: A capB], [eqn: B-A], [eqn: U-(A cup B)]에 배열하는 방

법의 수와 같으므로

[eqn: 3^3`=27](개)

이다.

3. 방정식과 부등식

정답 ④

일차방정식 [eqn: a(ax-1)-(x+1)=0]을 정리하면

[eqn: (a^2 -1 )x = a+1]

[eqn: (a+1)(a-1)x = a+1]	⋯⋯ ㉠

㉠에서 [eqn: a=1]이면 [eqn: 0cdot x=2]이므로 근을 갖지 않는다.

[eqn: ∴~][eqn: a=1]

따라서 방정식 [eqn: x^2`-3x-4=0]에서

[eqn: (x+1)(x-4)=0]

[eqn: ∴~][eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=4]

즉, [eqn: alpha=-1], [eqn: beta=4] 또는 [eqn: alpha=4], [eqn: beta=-1]이므로

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}][eqn: =17]

이다.

4. 순열과 조합

정답 ②

네 자리의 자연수가 [eqn: 25]의 배수가 되려면 마지막 두 자리의

숫자가 [eqn: 25]의 배수이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: □□``2``5]인 경우,

천의 자리에는 [eqn: 0]이 올 수 없으므로 [eqn: 2,``5,``0]을 제외한

[eqn: 4]가지의 숫자가 올 수 있고,

백의 자리에는 천의 자리에 해당하는 숫자와 [eqn: 2], [eqn: 5]를

제외한 [eqn: 4]가지의 숫자가 올 수 있으므로

[eqn: 4times4=16](가지)

(ⅱ) [eqn: □□``5``0]인 경우,

천의 자리에는 [eqn: 5,``0]을 제외한 [eqn: 5]가지의 숫자가 올 수

있고,

백의 자리에는 천의 자리에 해당하는 숫자와 [eqn: 5], [eqn: 0]을

제외한 [eqn: 4]가지의 숫자가 올 수 있으므로

[eqn: 5times4=20](가지)

(ⅲ) [eqn: □□``7``5]인 경우,

천의 자리에는 [eqn: 0]이 올 수 없으므로 [eqn: 7,``5,``0]을 제외한

[eqn: 4]가지의 숫자가 올 수 있고,

백의 자리에는 천의 자리에 해당하는 숫자와 [eqn: 7], [eqn: 5]를

제외한 [eqn: 4]가지의 숫자가 올 수 있으므로

[eqn: 4times4=16](가지)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 16+20+16=52](가지)

이다.

5. 다항함수의 미분법

정답 ①

[eqn: lim_{x`->`0}{`{f(3x-x^2 ) - f(0)} over x}]

[eqn: =lim_{x`->`0}{`left{ {f(3x-x^2 ) - f(0)} over {3x-x^2} cdot (3-x) right}}]

[eqn: = f'(0) times3][eqn: = 1 over 3]

[eqn: ∴~][eqn: f'(0)= 1 over9]

6. 수와 연산

정답 ③

[eqn: (1+i)^2 = 2i], [eqn: (1- sqrt { 3}i)^3 = -8]이므로

[eqn: left({1+i}over{1-sqrt3`i}right)^6`={left{(1+i)^2`right}^3}over{left{(1-sqrt3`i)^3`right}^2]

[eqn: ={(2i)^3}over{(-8)^2}][eqn: =-{i over 2^3}]

[eqn: LEFT ( {1+i} over {1- sqrt {3} i} RIGHT ) ^{13}]

[eqn: =LEFT ( {1+i} over {1- sqrt {3} i} RIGHT ) ^{12} times LEFT ( {1+i} over {1- sqrt {3} i} RIGHT )]

[eqn: =left{left({1+i}over{1-sqrt3`i}right)^6`right}^2 times {(1+i)(1+Sqrt3`i)} over {(1- sqrt {3} i)(1+sqrt3`i)}]

[eqn: =left(-{i over 2^3}right)^2 times {(1-sqrt{3})+(1+sqrt{3})i} over {4}]

[eqn: = { sqrt { 3}-1} over { 2^8}- { sqrt { 3}+1 } over { 2^8}`i]

[eqn: ∴~][eqn: x = { sqrt { 3}-1} over { 2^8}], [eqn: y = - { sqrt { 3}+1 } over { 2^8}]

[eqn: ∴~][eqn: |`x`|+|`y`|= { sqrt { 3}-1 } over { 2^8} +{ sqrt { 3}+1 } over { 2^8}]

[eqn: = sqrt { 3} over2^7]

7. 지수함수와 로그함수

정답 ②

주어진 방정식의 양변에 밑이 [eqn: 15]인 로그를 취하면

[eqn: log`_15` ` sqrt { 15} + ( log`_15 ``x )^2 = log`_15 ``x^2]

[eqn: 2 (log`_15 ``x)^2 -4 (log`_15 ``x )+1 =0]

[eqn: log`_15``x=X]로 치환하면

[eqn: 2X^2`-4X+1=0]	⋯⋯ ㉠

주어진 방정식의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 ㉠의 두 실근은

[eqn: log`_15``alpha], [eqn: log`_15``beta]이므로 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: log`_15 ``alpha + log`_15 ``beta][eqn: =log`_15 ``alpha beta =2]

[eqn: ∴~][eqn: alpha beta = 15^2]

따라서 구하는 모든 실근의 곱은 [eqn: 15^2]이다.

8. 행렬과 그래프

정답 ①

[eqn: A^2 +A+E =O]를 변형하면

[eqn: -A(A+E)=E]    [eqn: ∴~][eqn: A^-1`=-(A+E)]

즉, 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로 [eqn: A^2 +A+E =O]의

양변의 오른쪽에 행렬 [eqn: A^-1]를 곱하면

[eqn: A+E+A^-1 =O]

[eqn: ∴~][eqn: f(A) = A+A^-1 = -E]

[eqn: A^2 +(A^2`)^-1`=A^2 +(A^-1`)^2]

[eqn: =(A+A^-1`)^2 -2E]

[eqn: =(-E)^2`-2E][eqn: =-E]

[eqn: ∴~][eqn: f(A^2^1`)=-E]

[eqn: A^4 +(A^4`)^-1`=A^4`+(A^-1`)^4]

[eqn: =left{A^2 +(A^-1`)^2`right}^2`-2E]

[eqn: =(-E)^2`-2E][eqn: =-E]

[eqn: ∴~][eqn: f(A^2^2`)=-E]

[eqn: VDOTS]

[eqn: ∴~][eqn: f (A^2^n `)][eqn: = -E] (단, [eqn: n]은 음이 아닌 정수)

[eqn: ∴~][eqn: f(A) f ( A ^{2 ^{1}} `) f ( A ^{2 ^{2}}` ) `` CDOTS f ( A ^{2 ^{13}}` )]

[eqn: =(-E)(-E)cdots(-E)]

[eqn: = (-E)^14][eqn: =E]

9. 다항함수의 적분법

정답 ③

함수 [eqn: f(x)]가 열린 구간 [eqn: (0,``2)]에서 미분가능하므로

[eqn: x=1]에서 연속이어야 한다.

즉,

[eqn: f(1)=a+b][eqn: =lim _{ x`->`1-0} {`(4x-3) }][eqn: =1]

[eqn: ∴~][eqn: a+b=1]	⋯⋯ ㉠

또한, 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f'(x)]는

[eqn: f'(x)= cases{{} _{`} 4{}&`````(0 le x<1) # 2ax+b& `````(1 le x le2)}]

이므로

[eqn: f'(1)=4=2a+b]	⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=3], [eqn: b=-2]

[eqn: ∴~][eqn: f(x)= cases{{} _{`} 4x-3{}&`````(0 le x<1) # 3x^2`-2x& `````(1 le x le2)}]

[eqn: ∴~][eqn: lim_{n-> inf}{`1 over n sum_k=1 ^n f left( 2k over n right)}]

[eqn: ={1over2}`lim_{n-> inf}{` 2 over n sum_k=1 ^n f left( 2k over n right)}]

[eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{2} {`f(x)`dx}]

[eqn: = {1} over {2} left{ int _{0} ^{1} {`f(x)`dx}`+int _{1} ^{2} {`f(x)`dx}right}]

[eqn: = {1} over {2} left{ int _{0} ^{1} {`(4x-3)`dx}`+int _{1} ^{2} {`(3x^2`-2x)`dx}right}]

[eqn: ={1over2}left{left[2x^2`-3x`right]_0 ^1`` +left[x^3 -x^2`right]_1 ^2`right}]

[eqn: ={1over2}left{(-1)+4right}]

[eqn: ={3over2}]

10. 다항함수의 미분법

정답 ④

함수 [eqn: f(x)=`-x ^{3``} `-x ^{2} +x`+1`]을 미분하면

[eqn: f'(x)=-3x^2 -2x+1][eqn: =-(x+1)(3x-1)]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내면

다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 1over3]	[eqn: cdots]
[eqn: f'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: ↘]	[eqn: 0]	[eqn: ↗]	[eqn: 32over27]	[eqn: ↘]
		(극소)		(극대)

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에 대하여 주어진 영역

[eqn: A]는 다음 그림의 어두운 부분이다.

이때, [eqn: 3x+4y][eqn: =k]라 하면 직선 [eqn: 3x+4y=k]가 곡선

[eqn: y=f(x)]에 접할 때, [eqn: k]의 값이 최대가 된다.

따라서 [eqn: -1`le`x`le1]에서 접선의 기울기가 [eqn: {-{3over4}]이 되는

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 접점의 좌표를 [eqn: (alpha , ``f(alpha))]라 하면

[eqn: f'(alpha)= -3alpha^2 -2alpha+1 = - 3 over4]

[eqn: 12alpha^2 +8alpha-7 =(2alpha-1)(6alpha+7)=0]

∴ [eqn: alpha=][eqn: 1 over2] [eqn: ∵~][eqn: left(alpha>{1over3} right)]

[eqn: x={1over2]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 over2 RIGHT )= - 1 over8 - 1 over4 + 1 over2 +1 = 9 over8]

그러므로 구하는 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1 over2 , ``9 over8 RIGHT )]이다.
따라서 [eqn: 3x+4y]는 [eqn: x={1over2], [eqn: y={9over8}]일 때 최대가 되고,

최댓값은

[eqn: 3 times 1 over2 + 4 times 9 over8 =6]

이다.

11. 방정식과 부등식

정답 ②

이차방정식 [eqn: ax^2 -bx+3c=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha+beta={b overa}], [eqn: alphabeta={3c over a}]

그런데 조건 (나)에서 [eqn: 1<alpha<2], [eqn: 5<beta<6]이므로

[eqn: 6<alpha+beta={b overa}<8], [eqn: 6a<b<8a]	⋯⋯ ㉠

[eqn: 5<alphabeta={3c over a}<12], [eqn: 5a<3c<12a]	⋯⋯ ㉡

이때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 한 자리의 자연수이므로 ㉠에서

[eqn: a=1], [eqn: b=7]

[eqn: a=1]을 ㉡에 대입하면

[eqn: c=2] 또는 [eqn: c=3]

그런데 [eqn: c=2]이면  주어진 이차방정식이 [eqn: x^2 -7x+6=0]

이 되므로

[eqn: (x-1)(x-6)=0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=6]

이는 조건 (나)에 모순이다.

[eqn: ∴~][eqn: c=3]

[eqn: ∴~][eqn: a+2b+3c=1+2times7+3times3][eqn: =24]

12. 통계

정답 ②

이산확률변수 [eqn: \X]가 [eqn: 1,``2,``3,``cdots,``90]의 값을 가지므로

[eqn: sum _{ x=1} ^{90 }{{\P}(` \X=it x)=1]을 만족시켜야 한다. 그런데

[eqn: cos^2 (x DEG ) + cos^2 (90DEG - x DEG )]

[eqn: =cos^2 (x DEG ) + sin^2 ( x DEG )][eqn: =1]

이므로 이를 이용하면

[eqn: sum _{ x=1} ^{90 }{{\P}(` \X=it x)]

[eqn: =a sum _{ x=1} ^{90 }{cos^2`(x DEG)]

[eqn: =a (cos^2``1DEG+cos^2``2DEG+cos^2``3DEG+`cdots`+cos^2``90DEG)]

[eqn: =a left{(cos^2``1DEG+cos^2``89DEG)+(cos^2``2DEG+cos^2``88DEG)]

[eqn: +`cdots`+(cos^``44DEG+cos^2``46DEG)]

[eqn: +cos^2``45DEG+cos^2``90DEG right}]

[eqn: =a left{(1+1+`cdots`+1)+left({sqrt2 over2}right)^2 +0^2 right}]

[eqn: =a left(44+{1 over2} right)]

[eqn: ={89 over 2}a=1]

[eqn: ∴~][eqn: a={2over89}]

[eqn: ∴~][eqn: {\P}(30 le \X le 60)]

[eqn: =sum _{ x=30} ^{ 60}{`{2over89}`cos^2 (x DEG)]

[eqn: ={2over89}left(cos^2`` 30DEG+cos^2`` 31DEG+`cdots`+cos^2`` 60DEG )]

[eqn: ={2over89}left{(cos^2`` 30DEG+cos^2`` 60DEG)]

[eqn: +(cos^2`` 31DEG+cos^2`` 59DEG)+`cdots]

[eqn: +(cos^2`` 44DEG+cos^2`` 46DEG)+cos^2`` 45DEG right}]

[eqn: ={2over89}left{(1+1+`cdots`+1)+left(sqrt2 over2 right)^2 right}]

[eqn: ={2over89}left(15+{1over2}right)][eqn: ={31over89}]

13. 수열의 극한

정답 ①

점 [eqn: {\A}_n`]의 좌표가 [eqn: left(left({3over4}right)^n`cos`{{n pi} over3},``left({3over4}right)^n`sin`{{n pi} over3}right)]이므로

[eqn: left{left({3over4}right)^n`cos`{{n pi} over3}right}^2 +left{left({3over4}right)^n`sin`{{n pi} over3}right}^2]

[eqn: =left({3over4}right)^2n`left(cos^2`{{n pi} over3}+sin^2`{{n pi} over3}right)]

[eqn: =left({3over4}right)^2n]

따라서 점 [eqn: {\A}_n]은 중심의 좌표가 [eqn: (0,``0)]이고, 반지름의 길이

가 [eqn: left(3over4 right)^n]인 원 위의 점이다.

즉, [eqn: bar{{\OA}_n }=left(3over4 right)^n]이다.

[eqn: n=1,``2,``3,``cdots]으로 변할 때 점 [eqn: \A_{it n}]은 원의 둘레를 따라

[eqn: piover3]만큼 이동하므로

[eqn: angle{{\A}_n+1`{\O}{\A}_n`={piover3}] [eqn: (]단, [eqn: n=1,``2,``3,``cdots)]

따라서 삼각형 [eqn: {\A}_n+1`{\O}{\A}_n]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{ {rm A}_n {rmA}_n+1 }}^{`2}]

[eqn: ={bar{{\OA}_n}}^{`2}+{bar{{\OA}_n+1}}^{`2}-2times{bar{{\OA}_n}}times{bar{{\OA}_n+1}}timescos`{piover3}]

[eqn: = LEFT ( 3 over4 RIGHT )^2n + LEFT ( 3 over4 RIGHT )^2n+2 - 2times LEFT ( 3 over4 RIGHT )^2n+1 times {1over2}]

[eqn: = 13 over16 LEFT ( 3 over4 RIGHT )^2n]

[eqn: ∴~][eqn: bar{ {rm A}_n {rmA}_n+1 }][eqn: = sqrt { 13} over4 LEFT ( 3 over4 RIGHT )^n]

[eqn: ∴~][eqn: sum _{ n=1} ^{inf }{`bar{{\A}_n {\A}_n+1}}][eqn: ={{{sqrt13}over4}times{3over4}}over{1-{3over4}}}][eqn: = {{3 sqrt {13}} over {16}} over {1 over {4}}]

[eqn: ={3sqrt13}over4]

❰다른 풀이❱

점 [eqn: {\A}_n`(n=1,``2,``3,``cdots)]의 좌표를 구해 보면

[eqn: n=1]일 때,

[eqn: {3over4}`cos`{piover3}={3over4}times{1over2}={3over8}]

[eqn: {3over4}`sin`{piover3}={3over4}times{sqrt3over2}={{3sqrt3}over8}]

[eqn: ∴~][eqn: {\A}_1`left({3over8},``{{3sqrt3}over8}right)]

[eqn: n=2]일 때,

[eqn: left(3over 4right)^2`cos`{2pi over 3}={9over16}timesleft(-{1over2}right)=-{9 over 32}]

[eqn: left(3over 4right)^2`sin`{2pi over 3}={9over16}times{sqrt3over2}={{9sqrt3} over 32}]

[eqn: ∴~][eqn: {\A}_2`left(-{9over32},``{{9sqrt3}over32}right)]

[eqn: ∴~][eqn: bar{{\A}_1`{\A}_2`}][eqn: =sqrt{left{3over8 -left(-{9over32}right)right}^2`+ left({3sqrt3}over8 -{{9sqrt3}over32}right)^2`}]

[eqn: ={3sqrt3}over16]

따라서 주어진 무한등비급수는 첫째항이 [eqn: {3sqrt3}over16]이고, 공비

가 [eqn: 3over4]이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }{`bar{{\A}_n {\A}_n+1}}][eqn: ={{{3sqrt13}over16}}over{1-{3over4}}}][eqn: ={3sqrt13}over4]

14. 수열

정답 ④

[eqn: a_n+1`=n cdot(-1)^n`-3a_n]에 [eqn: n=1,``2,``3,``cdots]을 차례로

대입하면

[eqn: a_2`=-1-3a_1]

[eqn: a_3`=2-3a_2]

[eqn: a_4`=-3-3a_3]

[eqn: vdots]

[eqn: a_2012`=-2011-3a_2011]

위의 식을 각 변끼리 더하면

[eqn: a_2`+a_3`+a_4`+`cdots`+a_2012`]

[eqn: =(-1+2-3+`cdots`-2011)]

[eqn: -3(a_1`+a_2`+a_3`+`cdots`+a_2011`)]

[eqn: =-1006-3(a_1`+a_2`+a_3`+`cdots`+a_2011`)]

그런데 [eqn: a_1`=a_2012`+2]이므로 [eqn: a_2012`=a_1`-2]를 대입하면

[eqn: a_2`+a_3`+a_4`+`cdots`+a_2012`]

[eqn: =a_1`+a_2`+a_3`+`cdots`+a_2011`-2]

[eqn: =-1006-3(a_1`+a_2`+a_3`+`cdots`+a_2011`)]

[eqn: 4(a_1`+a_2`+a_3`+`cdots`+a_2011`)=-1004]

[eqn: ∴~][eqn: sum _{ n=1} ^{2011 }a_n`=-{1004over4}=-251]

15. 수학적 기초

정답 ③

전체 참가자의 수를 [eqn: n]이라 하고, 이중에서 정해진 기준을

만족시킨 참가자의 수를 [eqn: x]라 하면 오차의 한계가 [eqn: 0.5%]이

므로

[eqn: 0.935timesn le x<0.945timesn]

[eqn: ⇔] [eqn: 0.935 le{x over n}<0.945]	⋯⋯ ㉠

이때, [eqn: n-x=k]라 하면 [eqn: k ge 1]이고, [eqn: x over n =1-{k over n}]이므로

㉠에서

[eqn: 0.935 le1-{k over n}<0.945]

[eqn: ∴~][eqn: 0.055<{k over n}le 0.065]

그런데 [eqn: k over n]의 값이 일정하므로 위의 식에서 [eqn: k]의 값이 증가

하면 [eqn: n]의 값도 증가하여야 한다. 따라서 [eqn: n]의 최솟값을 구

하려면 [eqn: k=1]인 경우를 생각하여야 한다.

즉, [eqn: 0.055<{1 over n}le 0.065]에서

[eqn: 15.3××× le n < 18.1×××]

[eqn: ∴~][eqn: n=16] 또는 [eqn: n=17] 또는 [eqn: n=18]

따라서 가능한 참가자 수의 최솟값은 [eqn: 16]이다.

16. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: 2 ^{1} =2], [eqn: 2 ^{2} =4], [eqn: 2 ^{3} =8], [eqn: 2 ^{4} =16], [eqn: 2^5`=32], [eqn: cdots]

[eqn: 5 ^{1} =5], [eqn: 5 ^{2} =25], [eqn: 5 ^{3} =125], [eqn: 5 ^{4} =625], [eqn: 5^5`=3125], [eqn: cdots]

ㄱ. (참) [eqn: n=5], [eqn: a=3]일 때,

[eqn: 3cdot10^p`<2^5`<4cdot10^p]에서 [eqn: p=1]

그러므로 [eqn: a cdot10^p`<2^n`<(a+1)cdot10^p]인 자연수 [eqn: p]가

있다.

ㄴ. (참) [eqn: a=3]일 때,

[eqn: 3^2`<10^r`<4^2]에서 [eqn: r=1]

그러므로 [eqn: a^2`<10^r`<(a+1)^2]인 자연수 [eqn: r]가 있다.

ㄷ. (거짓) [eqn: a=7]이라면 ㄴ에서 [eqn: 7^2`<10^r`<8^2]인 자연수

[eqn: r]가 존재하여야 한다.

그런데 이를 만족시키는 자연수 [eqn: r]가 존재하지 않으므로

[eqn: a!=7]이다. 즉, [eqn: a]의 값이 [eqn: 7]이 되도록 하는 [eqn: n]이 존재하

지 않는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. 다항함수의 적분법

정답 ③

[eqn: y ge 4x^2 + 2px-9]가 나타내는 영역 [eqn: A]를 원점에 대하여

대칭이동하면

[eqn: (-y) ge 4(-x)^2 +2p(-x)-9]

[eqn: ∴~][eqn: y le -4x^2 +2px +9]

따라서 영역 [eqn: A cap B]는 두 곡선

[eqn: y = 4x^2 +2px -9], [eqn: y = -4x^2 +2px +9]

로 둘러싸인 부분이다.

[eqn: 4x^2 +2px -9][eqn: = -4x^2 +2px +9]에서

[eqn: 8x^2`-18=0], [eqn: 2(2x+3)(2x-3)=0]

[eqn: ∴~][eqn: x=-{3over2}] 또는 [eqn: x={3over2}]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{- {3} over {2}} ^{{3} over {2}} {``} LEFT { (-4x ^{2} +2px+9)-(4x ^{2} +2px-9) RIGHT } dx]

[eqn: = int _{- {3} over {2}} ^{{3} over {2}} {``} (-8x ^{2} +18)dx]

[eqn: =2 int _{0} ^{{3} over {2}} {``} (-8x ^{2} +18)dx]

[eqn: =2 LEFT [ - {8} over {3} x ^{3} +18x RIGHT ] _{0} ^{{3} over {2}}]

[eqn: =36]

18. 수열

정답 ④

[eqn: 80=2222 _{(3)}]이므로 [eqn: 1]부터 [eqn: 80]까지의 자연수를 삼진법으

로 나타내면 네 자리 이하의 수가 된다.

(ⅰ) [eqn: □ _{(3)}]일 때, [eqn: n=1] 또는 [eqn: n=2]이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{2 }{`b_n}={1over3}(1+2)=1]

(ⅱ) [eqn: □□_(3)]일 때, [eqn: 3 le n le8]이므로

[eqn: sum _{ n=3} ^{8 }{`b_n}={1over3^2}(1+2)cdot3+{1over3}(0+1+2)cdot2]

[eqn: =1+2][eqn: =3]

(ⅲ) [eqn: □□□_(3)]일 때, [eqn: 9 le n le 26]이므로

[eqn: sum _{ n=9} ^{26 }{`b_n}={1over3^3}(1+2)cdot9+{1over3^2}(0+1+2)cdot6]

[eqn: +{1over3}(0+1+2)cdot6]

[eqn: =1+2+6=9]

(ⅳ) [eqn: □□□□_(3)]일 때, [eqn: 27 le n le 80]이므로

[eqn: sum _{ n=27} ^{80 }{`b_n}={1over3^4}(1+2)cdot27+{1over3^3}(0+1+2)cdot18]

[eqn: +{1over3^2}(0+1+2)cdot18+{1over3}(0+1+2)cdot18]

[eqn: =1+2+6+18][eqn: =27]

(ⅰ)∼(ⅳ)에서

[eqn: sum _{ n=1} ^{80 }{`b_n}=1+3+9+27=40]

19. 삼각함수

정답 ⑤

그림과 같이 선분 [eqn: \AC]가 원 [eqn: \O]와 만나는 점을 [eqn: \D]라 하면

[eqn: angle{\ABD}`={piover2}]이므로 삼각형 [eqn: \ABD]는 직각삼각형이고,

[eqn: angle{\OAB}`=theta]라 하면

[eqn: sin`theta={bar{\BD}}over{bar{\AD}}={bar{\BD}}over{6}={1over3}]

[eqn: ∴~][eqn: bar{\BD}=2]

피타고라스의 정리에 의해

[eqn: bar{\AB}`=sqrt{6^2 -2^2}`=sqrt32`=4sqrt2]

또, [eqn: angle{\OBA}`=angle{\CBD}`=theta]이므로 삼각형 [eqn: \BCD]와 삼각

형 [eqn: \ACB]는 닮음이다.

즉, [eqn: bar{\BD}`:bar{\AB}`=2:4sqrt2`=1:2sqrt2]이므로

[eqn: bar{\CD}`=x], [eqn: bar{\BC}`=y]라 하면

[eqn: bar{\BC}`:bar{\AC}`=y:(6+x) =1:2sqrt2]	⋯⋯ ㉠

[eqn: bar{\CD}`:bar{\CB}`=x:y =1:2sqrt2]	⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: x=bar{\CD}`={6over7}], [eqn: y=bar{\BC}`={12over7}sqrt2]

따라서 [eqn: bar{\AC}={48over7}]이고 [eqn: bar{\AB}`=4sqrt2]이므로 삼각형

[eqn: \ACB]의 넓이는

[eqn: {1over2}timesbar{\AC}`timesbar{\AB}`timessin`theta][eqn: ={1over2}times{48over7}times4sqrt2 times{1over3}]

[eqn: ={32over7}sqrt2]

20. 방정식과 부등식

정답 ④

[eqn: x^2 -10x-5=ax+b]를 정리하면

[eqn: x^2 -(a+10)x-(b+5)=0]	⋯⋯ ㉠

이때, ㉠이 두 양의 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 가지므로 근과 계수의 관

계에 의해

[eqn: alpha+beta=a+10>0]에서 [eqn: a>-10]

따라서 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: -9]이다.

[eqn: ∴~][eqn: p=-9]

[eqn: alphabeta=-(b+5)>0]에서 [eqn: b< -5]

또, ㉠에서 [eqn: a=`-9]일 때, 이차방정식

[eqn: x^2 -x-(b+5)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D ge0]이어

야 하므로

[eqn: D=1+4(b+5)`ge0], [eqn: b+5ge-{1over4}]

[eqn: ∴~][eqn: alpha^2 +beta^2][eqn: =(alpha+beta)^2 -2alphabeta]

[eqn: = 1+2(b+5)]

[eqn: ge1+2timesleft(-{1over4}right)][eqn: ={1over2}]

따라서 [eqn: alpha^2 +beta^2]의 최솟값은 [eqn: {1over2}]이다.

[eqn: ∴~][eqn: q={1over2}]

[eqn: ∴~][eqn: pq={-9}times{1over2}=-{9over2}]

21. 도형의 방정식

정답 ①

주어진 집합이 공집합이 되지 않으려면 방정식

[eqn: 4x^2 -2ax+a=-4x^2 +3a]의 실근이 존재하여야 한다.

[eqn: 4x^2 -2ax+a=-4x^2 +3a]를 정리하면

[eqn: 8x^2 -2ax-2a=0]

이 방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D over 4}=a^2 +16a ge0], [eqn: a(a+16) ge0]

[eqn: ∴~][eqn: a le-16] 또는 [eqn: a ge0]

22. 순열과 조합

정답 ⑤

ㄱ. (참) [eqn: 5! =1times2times3times4times5=120>99]

이므로 두 자리의 자연수가 집합 [eqn: M]의 원소가 되려면

각 자릿수가 [eqn: 5] 미만이어야 한다.

또, [eqn: 1! =1], [eqn: 2! =2], [eqn: 3! =6]이므로 각 자릿수의 계승의

합이 두 자리의 자연수가 되려면 [eqn: 33] 이상이어야 한다.

[eqn: 34]일 때, [eqn: 3! +4! =6+24=30!=34]

[eqn: 40]일 때, [eqn: 4! +0! =24+1=25!=40]

[eqn: 41]일 때, [eqn: 4! +1! =24+1=25!=41]

[eqn: 42]일 때, [eqn: 4! +2! =24+2=26!=42]

[eqn: 43]일 때, [eqn: 4! +3! =24+6=30!=43]

[eqn: 44]일 때, [eqn: 4! +4! =24+24=48!=44]

그러므로 두 자리의 자연수는 집합 [eqn: M]의 원소가 될 수

없다.

ㄴ. (참) [eqn: 7! =7times6times5times4times3times2times1=5040>999]

이므로 세 자리의 자연수가 집합 [eqn: M]의 원소가 되려면

각 자릿수는 [eqn: 7] 미만이어야 한다.

ㄷ. (참) [eqn: 8]자리 이상의 자연수의 최댓값은 [eqn: 99999999]

이고 이때, 각 자릿수의 계승의 합은

[eqn: 9! +9! +9! +9! +9! +9! +9! +9!]

[eqn: =8times9!][eqn: =2903040]

그런데 [eqn: 8]자리 자연수의 최솟값은 [eqn: 10000000]이므로

[eqn: 8times9!`<10^7]

그러므로 집합 [eqn: M]의 원소 중에서는 [eqn: 8]자리 이상의 자연

수가 존재하지 않는다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

23. 확률

정답 ③

네 자리 자연수 [eqn: a], [eqn: b]를 만드는 방법의 수는 각각

[eqn: `_5{\P}_4`=120](가지)이므로 전체 경우의 수는

[eqn: 120times120=14400](가지)

(ⅰ) [eqn: a], [eqn: b]를 이루는 자연수의 조합이 같은 경우,

[eqn: a]를 만드는 방법의 수는 [eqn: `_5{\P}_4`=120](가지)

예를 들어 [eqn: a=1234]일 때, 주어진 조건을 만족시키는

[eqn: b]는 다음과 같이 [eqn: 9]가지를 생각할 수 있다.

	천		백		십		일
[eqn: a]	[eqn: 1]		[eqn: 2]		[eqn: 3]		[eqn: 4]
[eqn: b]	[eqn: 2]		[eqn: 1]		[eqn: 4]		[eqn: 3]
			[eqn: 3]		[eqn: 4]		[eqn: 1]
			[eqn: 4]		[eqn: 1]		[eqn: 3]
			[eqn: 1]		[eqn: 4]		[eqn: 2]
	[eqn: 3]
			[eqn: 4]		[eqn: 1]		[eqn: 2]
					[eqn: 2]		[eqn: 1]
			[eqn: 1]		[eqn: 2]		[eqn: 3]
	[eqn: 4]
			[eqn: 3]		[eqn: 1]		[eqn: 2]
					[eqn: 2]		[eqn: 1]

[eqn: ∴~][eqn: `_5{\P}_4`times9=1080](가지)

(ⅱ) [eqn: a], [eqn: b]를 이루는 자연수의 조합이 같지 않은 경우,

[eqn: a], [eqn: b] 각각을 이루는 자연수 중 단 하나의 숫자만 다르

게 조합된다.

예를 들어 [eqn: a=1234]일 때, [eqn: b]를 이루는 자연수가 [eqn: 1],

[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]인 경우 다음과 같이 [eqn: 11]가지를 생각할 수

있다.

	천		백		십		일
[eqn: a]	[eqn: 1]		[eqn: 2]		[eqn: 3]		[eqn: 4]
[eqn: b]	[eqn: 2]		[eqn: 1]		[eqn: 5]		[eqn: 3]
			[eqn: 3]		[eqn: 1]		[eqn: 5]
					[eqn: 5]		[eqn: 1]
			[eqn: 5]		[eqn: 1]		[eqn: 3]
	[eqn: 3]		[eqn: 1]		[eqn: 2]		[eqn: 5]
					[eqn: 5]		[eqn: 2]
			[eqn: 5]		[eqn: 1]		[eqn: 2]
					[eqn: 2]		[eqn: 1]
			[eqn: 1]		[eqn: 2]		[eqn: 3]
	[eqn: 5]
			[eqn: 3]		[eqn: 1]		[eqn: 2]
					[eqn: 2]		[eqn: 1]

이때, [eqn: b]를 이루는 자연수를 선택하는 방법의 수는

[eqn: 4](가지)이므로 [eqn: 4times11=44](가지)

[eqn: ∴~][eqn: `_5{\P}_4`times44=5280](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: {1080+5280}over14400`={53over120]

이다.

24. 방정식과 부등식

정답 ①

구하는 직선의 방정식을 [eqn: g(x)=mx+n]이라 하면 직선

[eqn: y=g(x)]가 곡선 [eqn: y=f(x)]와 서로 다른 두 점에서 접하

므로 방정식 [eqn: y=f(x)-g(x)]는 서로 다른 두 개의 중근

을 가진다. 이때, 서로 다른 두 중근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

[eqn: f(x)-g(x)][eqn: =(x-alpha)^2`(x-beta)^2]

이므로

[eqn: f(x)-g(x)]

[eqn: =x^4`-3x^2`+(6-m)x+(1-n)]

[eqn: =x^4`-2(alpha+beta)x^3`+(alpha^2`+4alphabeta+beta^2`)x^2]

[eqn: -2alphabeta(alpha+beta)x+alpha^2`beta^2]

위의 식에서 각 항의 계수를 비교하면

[eqn: alpha+beta=0]	⋯⋯ ㉠

[eqn: alpha^2 +beta^2 +4alphabeta=(alpha+beta)^2`+2alphabeta]에 ㉠을 대입하면

[eqn: 2alphabeta=-3], [eqn: alphabeta=-{3over2}]

[eqn: 6-m=-2alphabeta(alpha+beta)][eqn: =0]([eqn: ∵~]㉠)

[eqn: ∴~][eqn: m=6]

[eqn: 1-n=alpha^2`beta^2`=(alphabeta)^2`={9over4}]

[eqn: ∴~][eqn: n=-{5over4}]

따라서 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y=6x-{5over4}]이다.

25. 수열의 극한

정답 ③

조건 (나)에서

[eqn: x_n+2`=(1-t)x_n+1`+t`x_n]

이므로

[eqn: x_n+2`-x_n+1`=-t(x_n+1`-x_n`)]

즉, 수열 [eqn: left{x_n`right}]의 계차수열을 [eqn: left{y_n right}]이라 하면 수열 [eqn: left{y_n`right}]

은 공비가 [eqn: -t]인 등비수열이고,

[eqn: y_1`=x_2`-x_1`=a-1]이므로

[eqn: x_n`=x_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}{`y_k}]

[eqn: =1+ sum _{ k=1} ^{n-1 }{`(a-1)(-t)^k-1]

[eqn: ∴~][eqn: lim _{ n`->`inf} { `x_n}][eqn: =1+ sum _{n=1} ^{inf }{`(a-1)(-t)^n-1]

[eqn: = 1+{{a-1}over{1+t}]

그런데 [eqn: a]는 자연수이고, [eqn: 0<t<1]이므로

[eqn: {a+1}over2 <1+{{a-1}over{1+t}}<a]

즉, [eqn: {a+1}over2 <lim _{ n`->`inf} { `x_n}<a]이다. 조건 (다)에서 [eqn: lim _{ n`->`inf} {`x_n }]의 값이 정수가 되게 하는 실수 [eqn: t]의

개수가 [eqn: 11]이므로

(ⅰ) [eqn: a]가 홀수일 때,

[eqn: a-{a+1}over2`-1=11][eqn: ∴~][eqn: a=25]

(ⅱ) [eqn: a]가 짝수일 때,

[eqn: a-{a over2}-1=11]

[eqn: ∴~][eqn: a=24]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 25+24=49]