1. [eqn: root {3} of {8} ÷2 ^{-2} `]의 값은? [2점]

수리 영역(나 형)

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수리 영역(나 형)

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2010학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(나 형)

제 2 교시

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

8

2. 역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]에 대하여 [eqn: A ^{-1} B```= pmatrix{2&``1``#``5``&``3``} `]일 때, 행렬 [eqn: B ^{`-1} `A`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -1`]	② [eqn: 0`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 3`]

3. 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } 5` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1}]의 값은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

4. 서로 독립인 두 사건 [eqn: A`,``B``]에 대하여

[eqn: rm P it `(A`)`=` {2} over {9} `], [eqn: rm P it ` LEFT (` A ^{rm C it} ` SMALLINTER `B`` RIGHT ) `=` {2} over {9} `]일 때, [eqn: rm P it ` LEFT (` A` SMALLINTER B`` RIGHT ) `]의 값은? [3점]

①　[eqn: {1} over {63} ``]	②　[eqn: {2} over {63} ``]	③　[eqn: {1} over {21} `]	④　[eqn: {4} over {63} ``]	⑤　[eqn: {5} over {63} ``]

5. 두 등식 [eqn: lim _{n -> INF } {{an+b} over {n}} `=`2`], [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( `an``+`b` RIGHT ) `=60`]을 만족시키는 상수 [eqn: a`,``b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

6. 등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에서 [eqn: a _{1} `a _{10} =`9`]일 때, 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 10`]항까지의 곱은? [3점]

① [eqn: 3` ^{10}]	② [eqn: 3` ^{11}]	③ [eqn: 3` ^{12}]	④ [eqn: 3` ^{13}]	⑤ [eqn: 3` ^{14}]

7. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{n+1} =3`a _{n} -`3``]([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])

이 성립할 때, [eqn: a` _{6} ``-`a` _{5} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 243]	④ [eqn: 729]	⑤ [eqn: 2187]

8. 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 [eqn: A ^{2} +E```=O``]을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A+`A ^{-1`}`=`O] ㄴ. [eqn: A ^{3} `-`E``]의 역행렬이 존재한다. ㄷ. 모든 실수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: A`+`k`E``]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 어떤 시행에서 나올 수 있는 모든 결과의 집합을 [eqn: S``]라 하자. [eqn: S``]의 부분집합인 세 사건 [eqn: A`,``B`,``C``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A` CUP `B`` CUP `C````=`S``]

(나) [eqn: A`], [eqn: B``], [eqn: C``] 중 어느 두 사건도 동시에 일어나지 않는다.

(다) [eqn: rm P it `(`A``)`=`2` rm P it (`B```)`=`4` rm P it (`C```)``]

[eqn: S`]의 부분집합인 사건 [eqn: D`]에 대하여 [eqn: rm P it `(`D```|``A``)`= {1} over {10}],

[eqn: rm P it `(`D```|``B```)`= 1 over5], [eqn: rm P it `(`D```|``C```)`= 3 over10]일 때, [eqn: rm P it `(`D``)]의 값은? [4점]

① [eqn: 9 over70]	② [eqn: 11 over70]	③ [eqn: 13 over70]	④ [eqn: {3} over {14}]	⑤ [eqn: 17 over70]

10. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: -2≦x≦0`]일 때, [eqn: f(`x)= LEFT | ``x+1`` RIGHT | ```-1`]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`x`)``+`f`(`-x`)``=`0`]

(다) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`2``-`x`)``=`f`(`2``+`x`)]

[eqn: -10 <= x <= 10`]에서 [eqn: y=f(`x`)]의 그래프와 [eqn: y= LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{`x}]의 그래프의 교점의 개수는? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

11. 집합 [eqn: X`=` LEFT { `1,```2,```3,```4,```5,```6` RIGHT } `]에서 [eqn: X`]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f`]의 개수는? [4점]

(가) [eqn: f`]는 일대일대응이다.

(나) [eqn: f` LEFT ( `f(`1`)` RIGHT ) `=`1]

(다) [eqn: f`(`2`)-f`(`1`)``=`2``]

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 52]

12. 소리의 세기가 [eqn: I``][eqn: ( rm `W/m ^{2`} )]인 음원으로부터 [eqn: r`]([eqn: rm m`])만큼 떨어진 지점에서 측정된 소리의 상대적 세기 [eqn: P``](데시벨)는

[eqn: P``=10` LEFT ( `12`+`log` {I} over {r ^{2}} ` RIGHT ) `]

이다. 어떤 음원으로부터 [eqn: 1 rm `m`]만큼 떨어진 지점에서 측정된 소리의 상대적 세기가 [eqn: 80`](데시벨)일 때, 같은 음원으로부터 [eqn: 10` rm m`]만큼 떨어진 지점에서 측정된 소리의 상대적 세기가 [eqn: a`](데시벨)이다. [eqn: a`]의 값은?　[3점]

① [eqn: 50]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 70]

13. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: LEFT ( ``n`!` RIGHT ) ^{`2} CDOT 4 ^{`n} > LEFT ( `2n` RIGHT ) `!]  [eqn: cdots cdots]㉠

이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

(가)

(1) [eqn: n=1`]일 때, (좌변)[eqn: = `4``], (우변)[eqn: =`]

이므로 ㉠이 성립한다.

(2) [eqn: n=k`]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( ``k`!` RIGHT ) ^{2} CDOT 4` ^{`k} > LEFT ( `2k` RIGHT ) !]  [eqn: cdotscdots]㉡

이다. [eqn: n=k+1]일 때 ㉠이 성립함을 보이자.

(나)

㉡의 양변에         를 곱하면

[eqn: LEFT { (k+1)! RIGHT } ^{2}CDOT4 ^{``k+1}][eqn: >LEFT ( ```` ^{} ~~~~~``` RIGHT ) `(`2k`)!]

(다)

[eqn: >(2k+2)` LEFT ( ```` ^{} ~~~~~``` RIGHT ) `(`2k`)!]

[eqn: =`(2k+2)`!``]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때에도 ㉠은 성립한다.

그러므로 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여       ㉠이 성립한다.

(나)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)            (나)            (다)

①    [eqn: 1]	[eqn: 4 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{`2}]	[eqn: 2k]

②    [eqn: 1]	[eqn: 2 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{`2}]	[eqn: 2k]

③    [eqn: 2]	[eqn: 4 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{`2} `]	[eqn: 2k+1]

④    [eqn: 2]	[eqn: 2 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{`2}]	[eqn: 2k+1]

⑤    [eqn: 2]	[eqn: 4 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{`2} `]	[eqn: 2k]

14. [eqn: 0<a<b``]인 [eqn: a,``b`]에 대하여 [eqn: N``(`a,``b)`]를 [eqn: a<x<b``]에서 [eqn: log`x``]의 가수와 [eqn: log`x ^{3} `]의 가수가 같은 실수 [eqn: x``]의 개수라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: log`2=0.3010`]으로 계산한다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: N`` LEFT ( sqrt {10} `,``1000` RIGHT ) ``=`4`] ㄴ. [eqn: p``]가 정수이면 [eqn: N`` LEFT ( `10 ^{`p} `,``10 ^{`p+10} ` RIGHT ) ``=19`]이다. ㄷ. [eqn: N`` LEFT ( `2 ^{10} ,``2 ^{50} ` RIGHT ) ``=25`]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z]	[eqn: rm P`(`0` <= it Z``` <= z``)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

15. 어느 지역에서 재배되는 [eqn: 2`]년생 더덕 한 뿌리의 무게는 평균 [eqn: 40`][eqn: rm g], 표준편차 [eqn: 5`][eqn: rm g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역에서 재배되는 [eqn: 2`]년생 더덕 중에서 무게가 [eqn: 30`][eqn: rm g] 미만인 것은 상품화 하지 않고, [eqn: 30`][eqn: rm g] 이상 [eqn: 45`][eqn: rm g] 미만인 것은 일반상품으로 분류하고, [eqn: 45`][eqn: rm g] 이상인 것은 우수상품으로 분류한다. 이 지역에서 재배되는 [eqn: 2`]년생 더덕 한 뿌리를 임의로 선택하였을 때 이 더덕이 일반상품으로 분류될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.7745]	② [eqn: 0.8185``]	③ [eqn: 0.8256]

④ [eqn: 0.8332]	⑤ [eqn: 0.8413]

16. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: (-1`,`1)], [eqn: (`0`,`0)], [eqn: (1`,`1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 [eqn: A it _{1}]이라 하자.

곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: (-2`,`4)], [eqn: (-1`,`1)], [eqn: (`0`,`0)], [eqn: (1`,`1)], [eqn: (2`,`4)]를 꼭짓점으로 하는 오각형을 [eqn: A it _{2}]라 하자.

곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: (-3`,`9)], [eqn: (-2`,`4)], [eqn: (-1`,`1)], [eqn: (`0`,`0)], [eqn: (1`,`1)], [eqn: (2`,`4)], [eqn: (3`,`9)]를 꼭짓점으로 하는 칠각형을 [eqn: A it _{3}]이라 하자.

이와 같은 방법으로 [eqn: n`]번째 얻은 다각형 [eqn: A it _{n}]은 곡선 [eqn: y=x^2`]위의 점 [eqn: left(-n`,``n ^{2} right)], [eqn: LEFT ( -n+1`,``(n-1) ^{2} RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: (-1`,``1`)], [eqn: (`0`,``0)], [eqn: (1`,``1)], [eqn: cdots], [eqn: left(`n-1`,``(n-1) ^{2} right)], [eqn: LEFT ( `n`,``n ^{2} ` RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 다각형이다. 다각형 [eqn: A it _{n}]의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{`a it _{n} `} over {n ^{3}}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {6} over {5}]

17. 정사면체 [eqn: T _{1} `]의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. [eqn: T _{1} `]의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 [eqn: 3`]개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 [eqn: 4`]개를 잘라내어 팔면체 [eqn: T _{2} `]를 만든다.

다시 팔면체 [eqn: T _{2} `]의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. [eqn: T _{2} `]의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 [eqn: 3`]개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 [eqn: 12`]개를 잘라내어 이십면체 [eqn: T _{3} `]을 만든다.

이와 같은 방법으로 다면체 [eqn: T _{4} `], [eqn: T _{5} `], [eqn: T _{6} `]을 만들 때, 다면체 [eqn: T _{6} `]의 면의 개수는? [4점]

① [eqn: 480]	② [eqn: 482]	③ [eqn: 484]	④ [eqn: 486]	⑤ [eqn: 488`]

단답형

18. 다항식 [eqn: LEFT ( `x ^{2} ``-``1` RIGHT ) ^{7} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{`6} `]의 계수를 구하시오. [3점]

19. 등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{2} ``+`a _{4} ``+`a _{6} =`30`]일 때, [eqn: a _{1} + `a_7 `]의 값을 구하시오. [3점]

20. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `], [eqn: y=2 ^{``x-2} `]과 직선 [eqn: y=k`]의 교점을 각각 [eqn: rm P _{it k } `], [eqn: {rm Q}_k`]라 하고, 삼각형 [eqn: rm OP _{it k } Q _{it k }`]의 넓이를 [eqn: A _{k} `]라 하자.

[eqn: A _{1} +A _{4} +A _{7} +A _{10}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k``]는 자연수이고, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [3점]

21. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (`i,~j`)`]성분 [eqn: a _{`ij} `]를

상용로그 [eqn: log` LEFT ( `20 ^{`i} `` TIMES `30 ^{`j} ` RIGHT ) `]의 지표라 할 때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의
합을 구하시오. (단, [eqn: i=1,~2,~`j=1,~2`]이다.) [3점]

22. [eqn: x,``y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{``4&``-1``#``1&````````2`} pmatrix{``x`#`y`} `=k` pmatrix{`x`#`y`}`]가 무수히 많은  해를 가질 때, 이 연립방정식의 해를 [eqn: x=` alpha` ,```y= beta ``]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`alpha`,```beta``)`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: k``]는 실수이다.) [3점]

(가) [eqn: alpha `,``` beta ``]는 모두 정수이다.

(나) [eqn: alpha ^{``2} + beta ^{``2} <= 200]

23. 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 1``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: rm P it `(X``=x`)]	[eqn: p_{1}]	[eqn: p_{2}]	[eqn: p_{3}]	[eqn: p_{4}]	[eqn: p_{5}]	[eqn: 1]

[eqn: p _{5} `-`p _{1} `=` {8} over {25} `], [eqn: p _{n+2} `-`2`p _{n+1} `+`p _{n} =`0] ([eqn: n``=`1`,``2`,``3`])일 때, 확률변수 [eqn: 100X``]의 기댓값 [eqn: rm E it `(`100X``)]의 값을 구하시오. [4점]

24. 자연수 [eqn: n``]에 대하여,

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} k(`k+1`)], [eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} (`n+k`)(`n+k+1`)]

일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{T _{n}} over {S _{n}}} `]의 값을 구하시오. [4점]

25. 반지름의 길이와 색이 모두 다른 나무 원판 [eqn: 5`]개가 있다. [eqn: 5`]개의 원판의 중심이 일치하도록 원판을 쌓으려고 한다. 그림은 위에서 내려다봤을 때 원판 [eqn: 2`]개가 보이도록 원판 [eqn: 5`]개를 쌓은 한 가지 예이다. 이와 같이 위에서 내려다봤을 때 원판 [eqn: 2`]개가 보이도록 원판 [eqn: 5`]개를 쌓는 방법의 수를 구하시오. [4점]

5지선다형

26. 수열 [eqn: LEFT { ` a_n} RIGHT }`]의 첫째항부터 제[eqn: n``]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n`=`n^2 +2n`]일 때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{n} `a _{n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {5}]	④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: 1over7]

27. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{``2 ^{`n}&``3 ^{`n`}#``3 ^{`n}&``2 ^{`n} `} `]의 역행렬의 모든 성분의 합을 [eqn: a_n]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n}} =`0] ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {{`a _{n+1} `} over {a _{n}}} = {2} over {3}] ㄷ. [eqn: {1} over {3 ^{`n}} `<`a _{`n} < {1} over {2 ^{`n}}] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS])

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

28. [eqn: 1`]부터 [eqn: 5`]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 공 [eqn: 5`]개가 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 하나 꺼내어 적혀 있는 수를 확인하고 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 150`]번 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공이 나오는 횟수를 [eqn: X``]라 하자. 확률변수 [eqn: X``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: X``]의 분산은 [eqn: 36`]이다. ㄴ. [eqn: rm P it `(X`=`0)`<` rm P it `(X`=`150`)``] ㄷ. [eqn: rm P it `(X` <= `51)`>` rm P it `(X` >= `72`)``]

①　ㄱ	②　ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29. 어느 학교의 학급 대항 체육대회는 탁구, 농구, 배드민턴, 마라톤의 순서로 경기가 진행된다. 다음은 학급대표 선수를 네 경기에 배정하는 규칙이다.

[규칙 1] 모든 선수들을 적어도 한 경기에 배정한다.

[규칙 2] 경기에 배정된 선수는 바로 다음 경기에는 배정될 수 없다.

[규칙 3] 탁구에 [eqn: 2`]명, 농구에 [eqn: 3`]명, 배드민턴에 [eqn: 2`]명, 마라톤에 [eqn: 3`]명을 배정한다.

학급대표 선수 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rm D`], [eqn: rm E`], [eqn: rm F`] [eqn: 6`]명을 이 규칙에 따라 네 경기에 배정하는 모든 경우의 수는? (단, 같은 경기에 배정되는 선수들의 순서는 고려하지 않는다.) [4점]

① [eqn: 540]	② [eqn: 570]	③ [eqn: 600]	④ [eqn: 630]	⑤ [eqn: 660`]

단답형

30. [eqn: 10``]이하의 음이 아닌 정수 [eqn: r``]에 대하여 함수 [eqn: f``]를

[eqn: f``(`r`)`=`` _{10} rm C _{it r rm} it ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]

이라 할 때, [eqn: 2 sum _{r=0} ^{10} ``r` ^{2} ``f``(`r`)`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.