수학 영역(A형)

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수학 영역(A형)

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2014학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

5지선다형

12

1. [eqn: 16 ^{{3} over {4}} ` TIMES `2 ^{-3} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`2&~-1#`3&```````~4}}], [eqn: B= {pmatrix{`-2&~1`#````````1&~2`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A-B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n-3 RIGHT )} over {4n ^{2} +5}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에　대하여 [eqn: a _{3} =10], [eqn: a _{4} -a _{2} =4`]일 때, [eqn: a _{8} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

5. 방정식 [eqn: 9 ` ^{x} =27` ^{2x-4} `]을 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

6. 첫째항이 [eqn: a`]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 세 수 [eqn: a _{3}], [eqn: 2], [eqn: a _{7}]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20`]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

7. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 [eqn: M``]이라 하자.

행렬 [eqn: M` ^{``2}]의 [eqn: LEFT ( i,``j RIGHT )] 성분을 [eqn: a _{ij} `] ([eqn: i=1,``2,``3,``4,``j=1,``2,``3,``4`])라 할 때, [eqn: a _{11} +a _{22} +a _{33} +a _{44}]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

8. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{``3`&`-3`#``3`&`````````5`}} {pmatrix{``x`#``y`}} =k` {pmatrix{`````````x`#`-y`}} `]

가 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 양수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 [eqn: a _{1} =1`]이고 [eqn: 2a _{n+1} =7a _{n} `] ([eqn: n` GEQ `1`])을 만족시킬 때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {10} over {a _{n}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

10. 세 지수함수

[eqn: f(x)=a ^{-x}], [eqn: g (x)=b ^x], [eqn: h(x)=a ^{x}] ([eqn: 1<a<b`])

에 대하여 직선 [eqn: y=2`]가 세 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 하자. [eqn: {bar{rm PQ it}} `:` {bar{rm QR it}} =2`:`1`]이고 [eqn: h(2)=2`]일 때, [eqn: g(4)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 16 sqrt {2}]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 32 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 64]

11. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -x-4`]에 대하여 부등식

[eqn: 4 ^{f(x)} -2 ^{1+f(x)} <8]

을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. [eqn: 1`]부터 [eqn: 2n`]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 2n`]장의 카드가 있다. 이 중 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수가 되도록 뽑는 경우의 수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{3}}} `]의 값은? (단, [eqn: n GEQ 2`]인 자연수이다.) [3점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 5over6]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {7} over {6}]

[13 ~ 14] 자연수 [eqn: bold n`]에 대하여 좌표평면에서 직선

[eqn: bold {{x} over {3} `+` {y} over {4} `=` LEFT ( ` {3} over {4} ` RIGHT ) ^{n} }`]

을 [eqn: bold l _{n}]이라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. [eqn: n=5`]일 때 직선 [eqn: l _{5} `]의 [eqn: x`]절편을 [eqn: alpha `], [eqn: y`]절편을 [eqn: beta `]라 하자. 두 행렬

[eqn: A= {pmatrix{{3} over {4}&``0#0&`` {3} over {4}}} `], [eqn: P= {pmatrix{alpha&``0#0`&``beta}}]

에 대하여 등식 [eqn: P=A ^{5} B`]를 만족시키는 행렬 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7]

14. 직선 [eqn: l _{n} `]과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: {1} over {10}] 이하가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은?

(단, [eqn: log`2`=`0.30], [eqn: log`3`=`0.48`]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

15. 첫째항이 [eqn: 30]이고 공차가 [eqn: -d`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 등식

[eqn: a _{m} +a _{m+1} +a _{m+2} +` CDOTS `+`a _{m+k} =0]

을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m`], [eqn: k`]가 존재하도록 하는 자연수 [eqn: d`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

16. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =2`]이고

[eqn: {a _{n}} over {n} - {a _{n+1}} over {n+1} = {a _{n} a _{n+1}} over {n+1} `] ([eqn: n`ge`1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 모든 항이 [eqn: 0`]이 아니므로

[eqn: {a _{n}} over {n} - {a _{n+1}} over {n+1} = {a _{n} a _{n+1}} over {n+1}]

을 변형하면

[eqn: {n+1} over {a _{n+1}} - {n} over {a _{n}} =`]

(가)

이다. [eqn: b _{n} = {n} over {a _{n}} `]이라 하면 [eqn: b _{1} = {1} over {2} `]이고

[eqn: b _{n+1} -b _{n} `=`]

(가)

([eqn: n`ge`1])

이므로

[eqn: a _{n} =`]

(나)

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: f(13)g(4)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

17. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} `]에서 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1} `]을 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{1} `], 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1} `]을 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q _{1} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _{1} D _{1} `] 위의 점 [eqn: rm A _{2} `], 선분 [eqn: rm P _{1} Q _{1} `] 위의 두 점 [eqn: rm B _{2} `], [eqn: rm C _{2} `], 선분 [eqn: rm C _{1} D _{1} `] 위의 점 [eqn: rm D _{2} `]를 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]를 그리고 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]의 내부와 삼각형 [eqn: rm P _{1} B _{1} Q _{1}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.

정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]에서 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2} `]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{2} `], 선분 [eqn: rm B _{2} C _{2} `]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자. 선분 [eqn: rm A _{2} D _{2} `] 위의 점 [eqn: rm A _{3} `], 선분 [eqn: rm P _{2} Q _{2} `] 위의 두 점 [eqn: rm B _{3} `], [eqn: rm C _{3} `], 선분 [eqn: rm C _{2} D _{2} `] 위의 점 [eqn: rm D _{3} `]을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} `]을 그리고 정사각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} `]의 내부와 삼각형 [eqn: rm P _{2} B _{2} Q _{2}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {375} over {49}]	② [eqn: {400} over {49}]	③ [eqn: {425} over {49}]	④ [eqn: {450} over {49}]	⑤ [eqn: {475} over {49}]

18. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n`=`1} ^{20} `a _{n} `=`p`]라 할 때, 등식

[eqn: 2a _{n} `+n`=`p`] ([eqn: n` GEQ `1`])

가 성립한다. [eqn: a _{10} `]의 값은? (단, [eqn: p`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {5} over {6}]	④ [eqn: {11} over {12}]	⑤ [eqn: 1]

19. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A ^{2} =BA+E`], [eqn: LEFT ( A-B+2E` RIGHT ) LEFT ( A-B-2E` RIGHT ) `=O`]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: A ^{2} +B ^{2} =2AB+4E`] ㄷ. [eqn: A`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2`]이면 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은 [eqn: -6`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 4 ^{n} <a _{n} <4 ^{n} +1]

(나) [eqn: 2+2 ^{2} +2 ^{3} +` CDOTS `+`2 ^{n} <b _{n} <2 ^{n+1} `]

[eqn: lim _{n` -> ` INF `} {{4a _{n} +b _{n}} over {2a _{n} +2 ^{n} b _{n}}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

21. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음과 같이 모든 자연수를 작은 것부터 [eqn: n`]행에 [eqn: n`]개씩 차례로 나열하였다. 이때 [eqn: n`]행에 있는 [eqn: n`]의 배수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a _{5} =15`]이다.

[eqn: 1`]행	[eqn: 1]
[eqn: 2`]행	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: 3`]행	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: 4`]행	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]
[eqn: 5`]행	[eqn: 11]	[eqn: 12]	[eqn: 13]	[eqn: 14]	[eqn: 15]
[eqn: 6`]행	[eqn: 16]	[eqn: 17]	[eqn: 18]	[eqn: 19]	[eqn: 20]	[eqn: 21]
⋮			⋮				⋱

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{30} `a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4800]	② [eqn: 4820]	③ [eqn: 4840]	④ [eqn: 4860]	⑤ [eqn: 4880]

단답형

22. 방정식 [eqn: log _{2} `x=1+log _{2} ` LEFT ( x-6 RIGHT ) `]을 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{2&``-1#1&``-2}}]에 대하여 행렬 [eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4}]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. 실수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} +an} -n+2a RIGHT ) =10]

일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 그림과 같이 어느 지역의 네 지점을 연결하는 도로가 있다.

이 지역의 네 지점을 좌표평면 위에 네 점 [eqn: rm O LEFT ( 0,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm A][eqn: LEFT ( 4,``5 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -3,``3 RIGHT )], [eqn: rm C][eqn: LEFT ( 4,``1 RIGHT )]로 나타낼 때, 두 선분 [eqn: rm OA`], [eqn: rm BC`]의 교점을 [eqn: rm P it (x,``y)`]라 하면 등식 [eqn: `` {pmatrix{`5&`````a`#`2&````7`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`b`}} `]가 성립한다. 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여　[eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: t`]초 후에 남아 있는 전하량을 [eqn: Q _{`t} ``]라 하면

[eqn: logQ _{`t} -logQ _{`0} =k`t`] (단, [eqn: k`]는 상수)

가 성립한다. 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: a`]초 후에 남아 있는 전하량은 [eqn: {1} over {4} Q _{`0} `]이고, 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: b`]초 후에 남아 있는 전하량은 [eqn: {1} over {10} Q _{`0} `]이다. 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: 2a+b`]초 후에 남아 있는 전하량은 [eqn: {Q _{`0}} over {p} `]이다. 상수 [eqn: p`]의 값을 구하시오. (단, 전하량의 단위는 쿨롱([eqn: rmC])이다.) [4점]

27. 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공차가 [eqn: 6`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: S _{n} =`a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n}]

[eqn: T _{n} =`-a _{1} +a _{2} -a _{3} +` CDOTS `+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} a _{n}]

이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{2n} T _{2n}} over {S _{2n}}} `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 좌표평면에서 직선 [eqn: x=a`]([eqn: 0<a<1`])가 두 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {9}} `x`], [eqn: y=log _{3} `x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하고, 직선 [eqn: x=b`]([eqn: b>1])가 두 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {9}} `x`], [eqn: y=log _{3} `x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm R`], [eqn: rm S`]라 하자. 네 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ], [eqn: rmR], [eqn: rm S`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {bar{rm PQ it}} `:` {bar{rm SR it}} `=2`:`1]

(나) 선분 [eqn: rm PR`]의 중점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {9} over {8} `]이다.

두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 40 LEFT ( b-a RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k`log`a _{k} =n ^{2} -n`] ([eqn: n`ge`1`])

이 성립한다. [eqn: log`a _{m} `]의 가수가 [eqn: 0.9`]일 때, [eqn: m`]의 값을 구하시오.

[4점]

30. 좌표평면 위에 직선 [eqn: y= sqrt {3} `x`]가 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]축 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: n]인 점을 [eqn: rm P _{it n rm}], 직선 [eqn: y= sqrt {3} `x`] 위의 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {1} over {n} `]인 점을 [eqn: rm Q _{it n} `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n} `]의 내접원의 중심에서 [eqn: x`]축까지의 거리를 [eqn: a _{n} `], 삼각형 [eqn: rm OP _{it n}rm Q _{it n} `]의 외접원의 중심에서 [eqn: `x`]축까지의 거리를 [eqn: b _{n} `]이라 할 때 [eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n} `b _{n} `} =`L``]이다. [eqn: 100L``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.