수학 영역(나형)

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수학 영역(나형)

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2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: log` _{`6} `4 + log` _{`6} `9 `]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``4 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 1,``3,``4,``5 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: B`-A `]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

3. [eqn: a= root 2 `], [eqn: b = sqrt 3 of 3 `]일 때, [eqn: (a`b)^{`6} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 72]	④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 84]

4. 등식 [eqn: {} _{n`} rm P _{2} - _{7} `C` _{2} `= 21`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

5. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t`]([eqn: t ge0 `])에서의 위치 [eqn: x`]가
[eqn: x=t ^{`3} -6t ^{`2} +5`]
이다. 점 [eqn: rmP`]의 가속도가 [eqn: 0`]일 때, 점 [eqn: rmP`]의 속도는? [3점]

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]	④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

6. 한 개의 동전을 [eqn: 4`]번 던질 때, 앞면이 적어도 한 번 나올 확률은? [3점]

① [eqn: 7 over 16]	② [eqn: 9 over 16]	③ [eqn: 11 over 16]	④ [eqn: 13 over 16]	⑤ [eqn: 15 over 16]

7. 일차함수 [eqn: f(x) `]가 [eqn: f(2x+1)=4x+7`]을 만족시킬 때, [eqn: f` ^{`-1} (11)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

8. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: {1+a _{`n} } over {a _{`n}} `=` n^{`2} + 2`]가 성립할 때, [eqn: lim _{n` -> `INF } {} `n^{`2} ` {a _{`n}}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 서로 독립인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: rm P LEFT ( it A }` RIGHT )` = {1} over {2}], [eqn: rm P( it A` SMALLINTER B`)`= {3} over {16}]
일 때, [eqn: rm P LEFT ( it B ^{`C`} ` RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: B ^{`C} `]은 [eqn: B``]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 3 over 4]

10. 유리함수 [eqn: f(x)= {x} over {1-x}`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]의 정의역과 치역이 서로 같다. ㄴ. 함수 [eqn: y = f(x) `]의 그래프는 [eqn: y = `- 1 over x `]의 그래프를 평행이동한 것이다. ㄷ. 함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프는 제[eqn: 2`]사분면을 지나지 않는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z]	[eqn: rm P(it0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

11. 어느 항공편 탑승객들의 [eqn: 1`]인당 수하물 무게는 평균이 [eqn: 15` rm kg`], 표준편차가 [eqn: 4` rm kg`]인 정규분포를 따른다고 한다.
이 항공편 탑승객들을 대상으로 [eqn: 16`]명을 임의추출하여 조사한 [eqn: 1`]인당 수하물 무게의 평균이 [eqn: 17` rm kg`] 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.3085]	⑤ [eqn: 0.3413]

12. 그림과 같이 어느 카페의 메뉴에는 서로 다른 [eqn: 3`]가지의 주스와 서로 다른 [eqn: 2`]가지의 아이스크림이 있다. 두 학생 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]가 이 [eqn: 5`]가지 중 [eqn: 1`]가지씩을 임의로 주문했다고 한다. [eqn: rmA], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 서로 다를 때, [eqn: rmA], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 모두 아이스크림일 확률은? [3점]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over7]	③ [eqn: 1over8]	④ [eqn: 1over9]	⑤ [eqn: {1} over {10}]

13. 첫째항이 [eqn: {1} over {5} `]인 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{`n+1} = {cases{```````2a _{`n}&`````` LEFT ( a _{`n} le1 RIGHT )#``a _{`n} -1&`````` LEFT ( a _{`n} > 1 RIGHT )}} `]
을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20}` a _{`n} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

14. 두 함수

[eqn: f(x) = cases{``-x^{`2} +a ~~&(x le2)# `````````` x^{`2} -4 &(x > 2) `],  [eqn: g(x) = cases{```` x-4 ~~&(x le 2) #``1 over x-2 &(x > 2) `]
에 대하여 함수 [eqn: f(x) `g(x) `]가 [eqn: x=2`]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

15. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P _{itn}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: rm P _{itn}]은 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: ``2 ^{`n} :1]로 내분하는 점이다.

[eqn: l _{n} = bar{rmOP _{itn}}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} { 1} over {l _{n}} `]의 값은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[4점]

① [eqn: 10- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]	② [eqn: 10+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]	③ [eqn: 11- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]
④ [eqn: 11+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]	⑤ [eqn: 12- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]

16. 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X`]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 8]	[eqn: 16]	계
[eqn: rmP LEFT ( itX=x RIGHT )`]	[eqn: {{}_{4} rm `C _{`1} it} over {k}]	[eqn: {{}_{4} rm `C _{`2} it} over {k}]	[eqn: {{}_{4} rm `C _{`3} it} over {k}]	[eqn: {{}_{4} rm `C _{`4} it} over {k}]	[eqn: 1`]

[eqn: rm E` LEFT ( it 3X+1 RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

17. 다음은 어느 회사의 직원 중 임의로 선택한 [eqn: 100`]명의 출근 소요 시간을 조사한 표이다.

소요 시간	인원수(명)
[eqn: 30]분 미만	[eqn: 4]
[eqn: 30]분 이상 [eqn: 60]분 미만	[eqn: 16]
[eqn: 60]분 이상 [eqn: 90]분 미만	[eqn: 50]
[eqn: 90]분 이상 [eqn: 120]분 미만	[eqn: 30]
합계	[eqn: 100]

이 결과를 이용하여 얻은 이 회사의 전체 직원 중 출근 소요 시간이 [eqn: 60]분 이상 [eqn: 120`]분 미만인 직원의 비율 [eqn: p`]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`]%의 신뢰구간이 [eqn: a le p le b `]일 때, [eqn: 5000(b-a) `]의 값은?
(단, [eqn: Z `]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P ( it | Z``| le 1.96 )=0.95`]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 392]	② [eqn: 784]	③ [eqn: 1176]	④ [eqn: 1568]	⑤ [eqn: 1960]

18. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선
[eqn: C _{``1} `:`y=x ^{`2} -2x+2`], [eqn: C _{``2} `:`y`= `-x ^{`2} +ax+b`]
의 한 교점을 [eqn: rmP`]라 하고, 점 [eqn: rmP`]에서 두 곡선 [eqn: C _{`1} `], [eqn: C _{`2} `]에 접하는 직선을 각각 [eqn: l`], [eqn: m `]이라 하자.
두 접선 [eqn: l`], [eqn: m `]이 서로 수직일 때, 곡선 [eqn: C _{``2} `]는 두 실수
[eqn: a`], [eqn: b`]의 값에 관계없이 일정한 점 [eqn: rm Q`]를 지난다. 다음은 점 [eqn: rm Q`]의 좌표를 구하는 과정이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{`2} -2x+2`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`-x ^{`2} +ax+b`]라 하고,

두 곡선 [eqn: C _{``1}`], [eqn: C _{``2} `]의 한 교점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하자.

두 접선 [eqn: l`], [eqn: m `]이 서로 수직이므로

[eqn: f ` prime LEFT ( t RIGHT ) ``g` prime LEFT ( t RIGHT )` =`-1`]에서

[eqn: 4`t ^{`2} -2 LEFT ( a+2 RIGHT ) t+ {BOX{``````(가)``````}} `=`0`] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `= g LEFT ( t RIGHT ) `]에서

[eqn: 2`t ^{`2} - LEFT ( a+2 RIGHT ) t+ 2-b =0`] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b= {BOX{``````(나)``````}} `-a]를 [eqn: y`=`-x ^{`2} +ax+b`]에 대입하고

[eqn: a`]에 관하여 정리하면,

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) -x ^{`2} -y+ {BOX{``````(나)``````}} `=`0`] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉢에서 [eqn: x-1=0`], [eqn: -x ^{`2} -y+ {BOX{``````(나)``````}} `=`0`]을 만족시키는
[eqn: x`]와 [eqn: y`]의 값을 구하면 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it 1 ,```BOX{``````(다)``````} ` RIGHT ) `]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: h LEFT ( a RIGHT )`]라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: h( alpha ) times h (beta ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

19. 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm BC `]를 [eqn: 1`:`3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm E `], 선분 [eqn: rm DA`]를 [eqn: 1`:`3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm F`]라 하고 평행사변형 [eqn: rm BEDF`]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`1}`]이라 하자.
그림 [eqn: R_{`1}`]에서 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림 [eqn: R_{`1}`]을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`2}`]라 하자.
그림 [eqn: R_{`2}`]에서 새로 그려진 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림 [eqn: R_{`1}`]을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`3}`]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_{`n}`]에 색칠되어 있는 모든 평행사변형의 넓이의 합을 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> `inf} S_{`n}`]의 값은? [4점]

[eqn: R_{`1}]	[eqn: R_{`2}]
[eqn: R_{`3}]	…
	…

① [eqn: {28} over {5}]	② [eqn: 98 over 17]	③ [eqn: 196 over 33]	④ [eqn: 49 over 8]	⑤ [eqn: 196 over 31]

20. 두 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n` -> `INF } `{{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} }`],  [eqn: g LEFT ( x RIGHT )` =x+a `]
의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: h LEFT ( a RIGHT )`]라 할 때, [eqn: h(0) + lim _{a` -> `1+} `{h LEFT ( a RIGHT )} `]의 값은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

21. 사차함수 [eqn: f(x)`]의 도함수 [eqn: y=f` prime (x)`]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f`' LEFT ( - root 2 RIGHT ) `=f`' LEFT ( 0 RIGHT )`= `f`' LEFT ( root 2 RIGHT ) `= 0 `]이다.

[eqn: f` LEFT ( 0 RIGHT ) `=`1], [eqn: f` LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) `=`-3`]일 때, [eqn: f(m)f(m+1)<0]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: m`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

단답형

22. [eqn: lim_{x` -> `2} {(x-2)(x^{`3}+5)}over{x-2}`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0`]에서 [eqn: 2`]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 9`]일 때, [eqn: f` prime (3)]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

24. 함수 [eqn: y= 4x ^{`3} -12x ^{`2}`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 [eqn: y=f(x) `]라 하자. [eqn: int_0 ^3 f(x) dx=0 `]을 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: 1`]이 아닌 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: {log _{`a} `b} over {2a} `=` {18`log` _{`b} `a} over {b} `=` {3} over {4}]이 성립할 때, [eqn: a`b`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 유리함수 [eqn: y= 4 over {x} `][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT ) `]의 그래프 위의 점 [eqn: rmP it left(a,`` b right) `]와 직선 [eqn: y`=`-x`] 사이의 거리가 [eqn: 5`]일 때, [eqn: a^{`2} + b^{`2} `]의 값을 구하시오.

[4점]

27. 등차수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]과 공비가 [eqn: 1`]보다 작은 등비수열 [eqn: left{` b_{`n} right}`]이
[eqn: a_{`1} +a_{`8} = 8`], [eqn: b _{`2}`` b _{`7} =12`], [eqn: a _{`4} =`b _{`4}`], [eqn: a _{`5} =`b _{`5}`]
를 모두 만족시킬 때, [eqn: a_{`1} `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 다음 조건을 만족시키도록 서로 다른 [eqn: 5]개의 바구니에 빨간색 공 [eqn: 3`]개와 파란색 공 [eqn: 6`]개를 모두 넣는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [4점]

(가) 각 바구니에 공은 [eqn: 1`]개 이상, [eqn: 3`]개 이하로 넣는다.

(나) 빨간색 공은 한 바구니에 [eqn: 2`]개 이상 넣을 수 없다.

29. 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가
[eqn: p`:`y` le `k- x^{`2} `]
[eqn: q`:`x ^{`2} + (y-20) ^{`2} ` LEQ `2 `]
일 때, 명제 ‘어떤 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: p`]이면 [eqn: q`]이다.’가 참이 되도록 하는 정수 [eqn: k`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

30. 교내 수학경시대회에 A 학급 학생 [eqn: 3`]명, B 학급 학생 [eqn: 3`]명,
C 학급 학생 [eqn: 2`]명이 참가 신청하였다. 그림과 같이 두 분단,
네 줄의 좌석에 다음 조건을 만족시키도록 이 학생 [eqn: 8`]명을 배정하는 방법의 수를 구하시오. [4점]

(가) 같은 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.

(나) 같은 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.

(다) 같은 학급 학생을 같은 분단에 배정 할 경우 학급 번호가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배정한다.

	교탁
	[eqn: 1`]분단 □		[eqn: 2`]분단 □
첫째 줄 ➜
둘째 줄 ➜
셋째 줄 ➜
넷째 줄 ➜

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.