◦ 자신이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표기하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2009년 12월 고2 영남권연합학력평가 문제지

수리 영역(나형)

제 2 교시

성명			수험번호

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수리 영역(나형)

수리 영역(나형)

[eqn: left ( root {4} of {2} right) ^{3} TIMES root {4} of {8} TIMES root {4} of {4}] 의 값은? [2점]

8

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: A= pmatrix{~~3&```0``#-1&```4``}`], [eqn: B= pmatrix{11&```-2``#~3&```16}] 일 때, [eqn: 2(A+X)=B] 를 만족시키는 행렬 [eqn: X] 의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: lim _{n` -> `` INF } {{2 sqrt {n} `-`1} over {3 sqrt {n`-`2} `+`4}}]의 값은? [2점]

① [eqn: -` {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

제[eqn: 3`]항이 [eqn: 4`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: P _{n} `=`a _{1} times a _{2} times a _{3} times CDOTS times a _{n} `]이라 할 때, [eqn: P _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2 ^{10}]	② [eqn: 2 ^{12}]	③ [eqn: 2 ^{14}]	④ [eqn: 2 ^{16}]	⑤ [eqn: 2 ^{18}]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log _{``2}`` (-kx ^{2} -2kx+4)]가 정의되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [3점]

①  [eqn: 0]	②  [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④  [eqn: 3]	⑤  [eqn: 4]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에서 [eqn: a_ 8 = 2a_4`]이고 첫째항부터 제[eqn: 10`]항까지의 합이 [eqn: 110`]일 때, [eqn: a _{20} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 40``]	③ [eqn: 44]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 52]

행렬 [eqn: A= pmatrix{`a`&`b``#`c`&`d``} `], [eqn: E= pmatrix{`1`&`0``#`0`&`1``} `]과 [eqn: 0`]이 아닌 상수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: A`+`kE`], [eqn: A-kE`]의 역행렬이 모두 존재하지 않을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a+d=0`] ㄴ. [eqn: A`]는 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: A ^{4} ``=A ^{2} `]이면 [eqn: k=+-2`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 행렬  [eqn: A= pmatrix{~~2`&`-2``#`-1`&~~1``}] 와  [eqn: B= pmatrix{``1```&`2``#`1`&`2``}] 에 대하여 [eqn: A ^{2} +AB+B ^{2}] 은? [3점]

① [eqn: pmatrix{``9~&`0``#0`&9``}]	② [eqn: pmatrix{``9~&~~0``#0`&-`9``}]	③ [eqn: pmatrix{`-9~&`0``#~````0`&`9``}]

④ [eqn: pmatrix{``9~&9``#0`&`9``}]	⑤ [eqn: pmatrix{``9~&`0``#9`&`9``}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

[eqn: cases{a _{1} ```=2#a _{n+1`} = {n+2} over {n} a _{n} +1~~(n=1,``2,``3,`` CDOTS )}]

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a _{2} =7``] ㄴ. [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n(n+1)} `]이라 하면 [eqn: b_n = 3n+1 overn+1]이다. ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { a _{n`} over{n^2}} = 3over2 `]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} a_n =2]일 때,

[eqn: lim _{ n->inf} {{6n^2 -4a_n +2 }over{3n^2 +a_n +1} }]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

단위행렬의 실수배가 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,`B`]에 대하여 [eqn: A ^{2} `+A-2E=O`], [eqn: AB-3E=O``]일 때, [eqn: B ^{`2} `=pB+qE`] 이다.

이 때, [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: E] 는 단위행렬, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

복소수 [eqn: z=a+bi] ([eqn: a,``b]는 실수)를 행렬 [eqn: pmatrix{`~~a`&`~b``#`-b`&`~a``}]로 나타내기로 하자. [eqn: alpha =1-2i]일 때, [eqn: alpha bar{alpha} +2alpha]를 나타내는 행렬은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}], [eqn: bar{alpha }]는 [eqn: {alpha }]의 켤레복소수이다.) [3점]

① [eqn: pmatrix{`~~4`&`~7``#`-7`&`~4``}]	② [eqn: pmatrix{``-4`&``-7``#````````7`&``-4``}]	③ [eqn: pmatrix{`7`&``-4``#4`&````````7``}]

④ [eqn: pmatrix{`~~7`&``4``#`-4`&``7``}]	⑤ [eqn: pmatrix{`-7`&`````````4``#`-4`&``-7``}]

다음은  [eqn: n`>= 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {1} ` RIGHT ) ^{1} ` LEFT ( ``1+` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{2} `` LEFT ( `1+ {1} over {3} RIGHT ) ^{3} `` CDOTS LEFT ( `1+` {1} over {n-1} ` RIGHT ) ^{n-1} ``=` {n ^{n-1}} over {(n-1)!} ~~ CDOTS] (*)  이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
(단, [eqn: n ! = `1 TIMES 2 TIMES 3 TIMES CDOTS TIMES n]이다.)

<증명>

(1) [eqn: n=2`]일 때  (좌변)=(우변)=  이므로 (*)이 성립한다.

( 가 )

(2) [eqn: n`=`k] 일 때 (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: left(1+ {1} over {1} `right) ^{1} `left(``1+` {1} over {2} `right) ^{2} ``left(`1+ {1} over {3} right) ^{3} `` CDOTS left(`1+` {1} over {k-1} `right) ^{k-1} ``=` {k ^{k-1}} over {(k-1)!} `]

이다.

양변에 를 곱하면,

( 나 )

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {1} ` RIGHT ) ^{1} ` LEFT ( ``1+` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{2} `` LEFT ( `1+ {1} over {3} RIGHT ) ^{3} `` CDOTS LEFT ( `1+` {1} over {k-1} ` RIGHT ) ^{k-1} `] ․

( 나 )

[eqn: =` {k ^{k-1}} over {(k-1)!}] ․

( 나 )

[eqn: =]  이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.

( 다 )

따라서 [eqn: n >= 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에  알맞은 것은? [3점]

		(가)		(나)	(다)
①		[eqn: 1]		[eqn: left(1+ {1} over {k} right) ^{k}]	[eqn: {(k+1) ^{k}} over {k`!}]
②		[eqn: 1]		[eqn: left(1+ {1} over {k+1} right) ^{k+1}]	[eqn: {```(k+2) ^{k+1}} over {(k+1)`!}]
③		[eqn: 2]		[eqn: left(1+ {1} over {k} right) ^{k}]	[eqn: {(k+1) ^{k}} over {k`!}]
④		[eqn: 2]		[eqn: left(1+ {1} over {k} right) ^{k}]	[eqn: {(k+1) ^{k+1}} over {k`!}]
⑤		[eqn: 2]		[eqn: left(1+ {1} over {k+1} right) ^{k+1}]	[eqn: {```(k+2) ^{k+1}} over {(k+1)`!}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }`]이

[eqn: cases{a _{1} = {1} over {2} ``#{a _{n} +a _{n+1}} over {2} = {1} over {n(n+2)} ~~~(n=1,``2,``3,`` CDOTS )``}]

을 만족시킬 때, [eqn: a _2009 `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2009 ^{2}}]	② [eqn: {1} over {2010^2} `]	③ [eqn: {1} over {2009 times 2010} `]

④ [eqn: {1} over {2010 times 2011} `]	⑤ [eqn: {2010} over {2009 times 2011} `]

두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{`x-4&`~ `-y``#`y+6&`````x-4``}] 의 역행렬이 존재하지 않을 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2}`]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 5over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7over2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9over2]

두 양수 [eqn: ``a`,```b]에 대하여 [eqn: log _{`9} `a`=log _{`12} ``b`=log _{`16} (a+b){]일 때,

[eqn: {b} over {a}]의 값은? [4점]

① [eqn: ` {-1+ sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: ` {-1+ sqrt {5}} over {2}]	③ [eqn: ` {1+ sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: ` {1+ sqrt {5}} over {2}]	⑤ [eqn: ` {2+ sqrt {3}} over {2}]

다음은 제[eqn: 1`]행과 제[eqn: 1`]열에는 모두 [eqn: 1`]을 나열하고, 제[eqn: m`]행, 제[eqn: n]열의 수 [eqn: f(m,``n)]을

규칙 [eqn: f(m,``n)=`f(m-1,``n-1)+f(m-1,``n)+f(m,``n-1)`]
에 의하여 나열한 표이다.

열행	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: cdots]	[eqn: n-1]	[eqn: n]	[eqn: cdots]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: cdots]
[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 13]	[eqn: cdots]
[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: 7]	[eqn: cdots]
⋮	⋮	⋮
[eqn: m-1]						[eqn: f(m-1,``n-1)]	[eqn: f(m-1,``n)]
[eqn: m`]						[eqn: f(m,``n-1)]	[eqn: f(m,``n)]
⋮

이 때, [eqn: f(3,``10)`]의 값은? (단, [eqn: m,``n]은 [eqn: 2]이상의 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 165]	② [eqn: 169]	③ [eqn: 173]	④ [eqn: 177]	⑤ [eqn: 181]

자연수 [eqn: n]과  양수 [eqn: p`]에 대하여 [eqn: x ^{n} ``=``log _{``2} ``p``+3`]을 만족시키는 서로 다른 실수 [eqn: x`]의 개수를  [eqn: N` _{n} ``(p)`]라 할 때, 옳은 것만을    <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: N`` _{3} (4)=1] ㄴ. [eqn: n`]이 짝수일 때 [eqn: N` _{n} ``(p``)=1] 이 되는 [eqn: p`]의 값은 [eqn: {1} over {8}`]이다. ㄷ. [eqn: N` _{1} `` LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ``+N` _{2} `` LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ``+N` _{3} `` LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ``+ `CDOTS` +N` _{30} `` LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ``=`15``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT {log``_3 ``left(a_n -1` right) RIGHT }`]이 등차수열이고 [eqn: a _{1} =4`], [eqn: a _{2} =10`]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf} 1 over{a_n+1 - a_n }]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {4} ``]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: 3over4]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

세 실수 [eqn: a,``b,``c`]에 대하여, 행렬 [eqn: A= pmatrix{```a```&b``#c&2``} `]이고 [eqn: A ^{8} `=A ^{14} `= pmatrix{-2~&3``#-1~&1``}`]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: t`]에 대하여
[eqn: x,~y`]에 관한 연립방정식 [eqn: pmatrix{t+1&``````n-3```#1&```t} ` pmatrix{`x``#y} `= pmatrix{` `x``#`ny`} `]가

한 쌍의 해만을 갖도록 하는 정수 [eqn: n`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

단답형

[eqn: log ``_2 ``24 - log ``_4 ``9] 의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: S _{n} =(n+1) ^{2} `]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} ``a` _{2k}] 의 값을 구하시오. [3점]

두 자리 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: LEFT [ log`3n RIGHT ] = LEFT [ log`n RIGHT ] +1`]을 만족시키는 [eqn: n`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

[eqn: a<0<b`]인 두 실수 [eqn: a,``b`]에 대하여 [eqn: ab,``a,``b`]가 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: a,``b,``ab]는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하시오. [3점]

정수부분이 세 자리인 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log rootx]의 가수와 [eqn: log root3 of x]의 가수의 합이 [eqn: 1]일 때, [eqn: x=`10 ^{q over p }] 이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`,``q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

공비가 [eqn: 1]보다 큰 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 다음 두 조건을 만족시킬 때,
[eqn: a _{7}`]의 값을 구하시오. [3점]

(가) 두 집합 [eqn: LEFT { a _{1} ,``a _{2} ,``a _{3} RIGHT }]과 [eqn: LEFT { {1} over {a _{1}} ,`` {1} over {a _{2}} , ``{1} over {a _{3}} RIGHT }]은 서로 같다.

(나) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} = {13} over {3} `]

공차가 [eqn: 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]을 정의하자.

(가) [eqn: a _{1}`], [eqn: a _{2}`], [eqn: a _{4}`]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

(나) [eqn: a _{1} ,``a _{4} ,``a _{b _{1}} ,``a _{b _{2}} ,``a _{b _{3}} ,`` CDOTS]은 등비수열이다.

이 때, [eqn: lim _{n` -> INF } {{3b _{n+1} -2 ^{n}} over {b _{n} +3 ^{n}}} `]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 [eqn: rm bar{A _{1} B _{1}} ``=5,~ bar{B _{1} C}`` =12,` ANGLE B _{1} =90°`]인 직각삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C`]에 내접하는 원 [eqn: rm O _{1} `]의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 원 [eqn: rm O _{1}]에 접하고 [eqn: rm``bar { A _{1`} B _{1}}]에 평행한 직선을 그어 [eqn: rm bar{A _{1} C}]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm bar{B _{1} C}]와 만나는 점을 [eqn: rm B _{2}]라 할 때, 직각삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C`]에 내접하는 원 [eqn: rm O _{2} `]의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하자.  원 [eqn: rm O _{2}]에 접하고 [eqn: rm``bar { A _{2`} B _{2}}]에 평행한 직선을 그어 [eqn: rm bar{A _{2} C}]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{3}], [eqn: rm bar{B _{2} C}]와 만나는 점을 [eqn: rm B _{3}]라 할 때, 직각삼각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C`]에 내접하는 원 [eqn: rm O _{3} `]의 넓이를 [eqn: S _{3} `]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 직각삼각형[eqn: rm A _{it n} B _{it n} C`]에 내접하는 원 [eqn: rm O _{it n} `]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때,  [eqn: S=S _{1} +S _{2} +S _{3} + CDOTS ```=` {q} over {p} `` pi] (단,  [eqn: p`,`q`]는 서로소인 자연수) 이다. 이 때, [eqn: p`+q] 의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm B _{4}]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm A _{4}]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rm O _{3}]

․․․

[eqn: 5]

[eqn: 12]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: a`]의 값이 [eqn: 2+ {3} over {2 ^{p}} `]일 때, [eqn: p`]의 값을 구하시오. [4점]

시작

[eqn: a ``larrow ``7# n ``larrow ``1]

[eqn: n]은 짝수?

[eqn: a `` <- ``a+1]

[eqn: a `` <- `` 1 over 2 a]

[eqn: n `` <- ``n+1]

[eqn: n > 30]?

[eqn: a]를 인쇄

끝

아니오

아니오

예

예

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.