2009학년도 경찰대학 제1차 시험 (수리영역)

※ 총 4쪽 25문항입니다. 각 문항의 답을 하나만 고르시오.

4 -

1. 다항식 [eqn: f (x)]를 [eqn: x^2 + x -6]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 5x -1]이면, 다항식 [eqn: f ( 2x + 3)]을 [eqn: 2x + 1]로 나누었을 때의 나머지는?

① 1        ② 3        ③ 5        ④ 7        ⑤ 9

2. 다음을 만족시키는 행렬 [eqn: A]에 대하여 [eqn: (A^-1 )^3]의 모든 성분의 합은?

[eqn: pmatrix { `1 & ``0 `# `2 & ``1 `} A = pmatrix { `2 & ``0 `# `0 & ``2 `}]

① 1        ② 2        ③ 3        ④ 4        ⑤ 5

3. 두 실수 [eqn: x`]와 [eqn: y`]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{ `x-8 & ````~y `# `6 -y & ````~x`}]의 역행렬이 존재하지 않을 때, [eqn: x^2 + y^2]의 최댓값은?

① 49       ② 64       ③ 81      ④ 100      ⑤ 121

4. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n = 2 + (-1)^{left [ n over 2 right ]}]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{2009 } a_n`]의 값은?

(단, [eqn: [`x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수)

① 4018    ② 4019     ③ 4020    ④ 4021     ⑤ 4022

5. 다음이 성립할 때, [eqn: x over y]의 값은?

[eqn: log `x + log `3 = 2 `log ( 2x - 3y) - log `y `]

① 1        ② [eqn: 3 over 2]       ③ 3        ④ [eqn: 10 over 3]      ⑤ 5

A

B

C

6. 오른쪽 그림과 같이 서로 접하고 있는 세 원의 중심은 A, B, C이고 반지름의 길이의 비가 [eqn: 2 : 3 : 4]이다. [eqn: rm ∠ACB = theta `]라 할 때, [eqn: cos ` theta `]의 값은?

① [eqn: 2 over 5]       ② [eqn: 4 over 9]       ③ [eqn: 2 over 3]       ④ [eqn: 5 over 7]      ⑤ [eqn: 3 over 4]

[eqn: y]

[eqn: x]

B

A(1,0)

O

7. 오른쪽 그림과 같이 점 B가 제1사분면에 있는 사분원 [eqn: x^2 + y^2 =1] 위에서 움직일 때, 삼각형 OAB의 무게중심이 움직여서 그리는 도형의 길이는?

① [eqn: pi over 6]       ② [eqn: pi over 8]      ③ [eqn: pi over 10]      ④ [eqn: pi over 12]      ⑤ [eqn: pi over 16]

8. 집합 [eqn: U = left { 1,```` 2,```` 3,```` 4,``` `5,```` 6 right }]의 두 부분집합 [eqn: A = left { 2, ````4, ````6 right }]과 [eqn: B = left { 3, ````6 right }]에 대하여 다음을 만족시키는 [eqn: U `]의 부분집합 [eqn: C `]의 개수는?

[eqn: A` union C = B `union C `]

① 4        ② 8        ③ 16       ④ 32       ⑤ 64

9. 이차함수 [eqn: f (x) = ax^2 + c `]에 대하여 [eqn: | ` x ` | <= 1]이면 [eqn: left | ` f(x ) right | `<= 2]일 때, [eqn: a `]의 최댓값은?

① 1        ② [eqn: 3 over 2]       ③ 2        ④ 4        ⑤ 8

10. 두 함수 [eqn: f(x) = 5 - |`x`|]와 [eqn: g(x) = - 5 + |`x`|]에 대하여, 다음 부등식이 나타내는 영역의 넓이는?

[eqn: 0 <= y <= f(g(x))]

① 42       ② 44       ③ 46      ④ 48       ⑤ 50

11. 다음 연립부등식의 영역에 속한 점 [eqn: ( x, `` y)]에 대하여 [eqn: x^2 + 2y`]의 최솟값은?

[eqn: cases { ``| ` x `| + | ` y ` | <= 1 # `` x^2 - 4y^2 >= 0}]

① [eqn: - 3 over 2]     ② [eqn: -1]      ③ [eqn: - 1 over 2]     ④ [eqn: - 1 over 3]     ⑤ [eqn: - 1 over 4]

12. 3명의 경위와 8명의 순경이 4명, 4명, 3명으로 나누어 서로 다른 세 순찰차에 탑승하려고 한다. 3명의 경위는 각각 다른 순찰차에 탄다고 할 때, 탑승하는 방법의 수는?

① 3360    ② 6720     ③ 8400    ④ 10080   ⑤ 13640

13. [eqn: -2 <= X <= 4]의 모든 값을 취하는 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]는 다음을 만족시킨다.

[eqn: f(1-x ) = f( 1+ x )]

[eqn: {rmP}( 1 <= X <= 3 ) = 2 ``{rm P}(3 <= X <= 4 )]이고 [eqn: {rm P}( 0 <= X <= 1 ) = 1 over4]일 때, [eqn: {rm P} ( 0 <= X <= 3 )]의 값은?

① [eqn: 5 over12]      ② [eqn: 1 over2]       ③ [eqn: 7 over12]      ④ [eqn: 2 over3]      ⑤ [eqn: 3 over4]

14. 어느 보험회사에서 운영하는 긴급 차량 서비스의 출동 시간은 평균이 20분이고 표준편차가 4분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 보험회사의 긴급 차량 서비스를 요청한 고객 16명에 대한 출동 시간의 평균이 18분 이상 21분 이하일 확률은?

(단, [eqn: {\P } ( 0 ≦ Z ≦1 ) = 0.3413], [eqn: {\P } ( 0 ≦ Z ≦1.5 ) = 0.4332],

[eqn: {\P } ( 0 ≦ Z ≦2 ) = 0.4772])

① 0.7745   ② 0.8185  ③ 0.8664   ④ 0.9104   ⑤ 0.9544

15. [eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: y=k cdot2^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a_k]만큼 평행이동하면 [eqn: y= 2^x]의 그래프와 일치한다. 이때,  [eqn: sum _n=1 ^10 a_2n = log_2 `m`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m `]의 값은?

① [eqn: 2 cdot 10 !]   ② [eqn: 2^9 cdot 10 !]  ③ [eqn: 2^10 cdot 10 !]  ④ [eqn: 2^9 cdot 20 !]  ⑤ [eqn: 2^10 cdot 20 !]

16. [eqn: 0 <= x <= pi `]일 때, [eqn: x`]에 관한 방정식 [eqn: left [ cos ` x + 1 over 2 right ] = x - k `]의 정수해가 존재하도록 하는 [eqn: k`]의 값의 합은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대 정수)

① 1	② 2	③ 5	④ 7        ⑤ 8

17. 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left { a_n right }]이 [eqn: sum _{ k=1} ^{12 }a_k =100]과 [eqn: sum _{ k=1} ^{12 } {1over{a_k}} =10]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{12 } log ``a_k `]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]        ③ [eqn: 6]        ④ [eqn: 8]        ⑤ [eqn: 10]

18. 다음을 만족시키는 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_20]의 값은?

[eqn: a_1 =0],  [eqn: n^2 a_n+1 = (n+1)^2 a_n + 2n+1]   ([eqn: n = 1, `` 2, `` 3, `` cdots])

① [eqn: 399]      ② [eqn: 400]      ③ [eqn: 401]     ④ [eqn: 402]      ⑤ [eqn: 403]

19. 기울기가 [eqn: -1]인 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=log _{2} `x `]와 만나는 점을 [eqn: {\ A } ( a, `` b)], 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=log _{4} (x+2)]와 만나는 점을 [eqn: {\B} ( c, `` d)]라고 하자.

(단, [eqn: 1 < a < c])   [eqn: rm bar AB = sqrt 2]일 때, [eqn: a + c `]의 값은?

① 9	② 10       ③ 11       ④ 12      ⑤ 13

20. [eqn: n]개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 최댓값이 5일 확률을 [eqn: {\P}_n]이라 할 때, 무한급수 [eqn: sum _n=1 ^inf {\P}_n `]의 합은?

① [eqn: 2 over 3]       ② [eqn: 5 over 6]       ③ 1        ④ [eqn: 5 over 3]       ⑤ 3

21. 10보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { 1,``2,``3,`` CDOTS ,``n RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: X `]와 [eqn: Y `]를 택할 때, [eqn: n(X`` SMALLINTER Y)=1]인 경우의 수는?

(단, [eqn: n(A)]는 집합 [eqn: A]의 원소의 개수)

① [eqn: sum from k=1 to n `_n {\ C } _ k ` 2^n-k `]	② [eqn: sum from k=1 to n `_n {\ C } _ k ` 2^n-k-1`]

③ [eqn: sum from k=1 to n n ```․ ``_n {\ C } _ k ` 2^n-k`]	④ [eqn: sum from k=1 to n k ``` ․ ``_n {\ C } _ k ` 2^n-k-1`]

⑤ [eqn: sum from k=1 to n k ``` ․ ``_n {\ C } _ k ` 2^n-k `]

22. 두 자연수 [eqn: p`]와 [eqn: q]가 모두 소수이고, [eqn: x]에 관한 이차방정식 [eqn: x^2 + 8 p x - q^2 =0]의 두 근 [eqn: alpha `]와 [eqn: beta `]가 모두 정수일 때, [eqn: | `alpha - beta` | + p + q `]의 값은?

① 32       ② 34       ③ 36      ④ 38       ⑤ 40

23. 다음은 중국 남송 시대 진구소의 책 <<수서구장(數書九章)>> 측망류에 있는 문제 요도원성(遙度圓城)이다.

둥근 성이 있는데, 그 둘레와 지름을 알지 못한다. 네 문 가운데 북문 밖으로 3리 되는 곳에 높이 솟은 나무가 있다. 남문을 나오자마자 방향을 꺾어 동쪽으로 9리를 가면 그 나무가 보인다. 성의 둘레와 지름이 각각 얼마인지 알고자 한다.

[eqn: a`]

T

N

P

S

[eqn: b`]

위의 문제 상황을 오른쪽 그림과 같이 성을 원, 북문을 N, 나무를 T, 남문을 S, 나무가 보이는 위치를 P, N과 T 사이의 거리를 [eqn: a = 3], S와 P 사이의 거리를 [eqn: b = 9]로 나타내자. 이때, 성의 지름 [eqn: x = rm bar NS `]를 구하는 올바른 방정식은?

① [eqn: x^3 + ax^2 - 4ab^2 = 0]

② [eqn: 2x^3 + ax^2 - a^2 b = 0]

③ [eqn: x^3 - 2ab^2 x - 4a^2 b^2 = 0]

④ [eqn: 2 x^3 + 2ab^2 x - a^2 b^2 = 0]

⑤ [eqn: x^3 + ax^2 - 2a^2 x - a^3 + a^2 b = 0]

24. 함수 [eqn: f(x) = { 1} over { 2}(3^x -3^-x )]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 다음을 만족시키는 [eqn: x]의 값 전체의 곱은?

[eqn: sum _{ n=1} ^{ INF } left { g(x)g(-x) right }^n = - 1 over 5]

① [eqn: - 1 over 5]     ② [eqn: - 1 over 4]     ③ [eqn: - 1 over 3]     ④ [eqn: - 1 over 2]     ⑤ [eqn: -1]

25. 두 원 [eqn: C_1 `` : ``x^2 +y^2 =1]과 [eqn: C_r ``:``x^2 +y^2 = r^2]이 있다. (단, [eqn: r>1]) 다음 조건에 따라 [eqn: C_r] 위의 점 [eqn: {\P}_k]를 차례로 잡자. [eqn: (k=1,2,3 cdots )]

(i) [eqn: {\ P}_1 = {\P}_1 (r, ``0)]

(ii) 점 [eqn: {\P}_k+1]은 점 [eqn: {\P}_k]에서 [eqn: C_1]에 그은 접선이 [eqn: C_r]와 만나는 점이다.

(iii) 선분 [eqn: rm P_1 P_2]는 제1사분면을 지난다.

(iv) 선분 [eqn: {\ P}_k+1 {\P}_k+2]와 선분 [eqn: {\ P}_k {\P}_k+1]은 다른 선분이다.

P2

P3

P1

이때, 보기에서 참인 명제를 모두 고른 것은?

<보기>

ㄱ. [eqn: r> sqrt2]이면 [eqn: rm ANGLEP_1 P_2 P_3 <90 DEG]이다.

ㄴ. [eqn: r= {2sqrt3 }over3]이면 [eqn: rm P_5]의 좌표는 [eqn: rm P_5 left ( -1, `` - {sqrt3}over3 right )]이다.

ㄷ. [eqn: rm ANGLEP_1 P_2 P_3 =100 DEG]이면 [eqn: rm P_1 =P_10]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ