수리 영역(문과)

1. ②	2. ③	3. ③	4. ③	5. ①

6. ④	7. ⑤	8. ①	9. ④	10. ④

11. ②	12. ②	13. ②	14. ⑤	15. ⑤

16. ④	17. ④	18. ②	19. ①	20. ③

21. ④	22. ⑤	23. ③	24. ①	25. 48

26. 11	27. 16	28. 371	29. 323	30. 171

1. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: -16 = (-2)^3 cdot 2], [eqn: 250 = 5^3 cdot 2]이므로

[eqn: ( sqrt 3 of {-16} + sqrt3 of 250 )^3][eqn: = ( sqrt 3 of {(-2)^3 cdot 2 } + sqrt 3 of {5^3 cdot 2 })^3]

[eqn: = (-2 cdot sqrt 3 of 2 + 5 cdot sqrt 3 of 2 )^3]

[eqn: = (3 cdot sqrt 3 of 2 )^3 = 27 cdot 2 = 54]

2. 확률

정답 ③

전체 경우의 수는

([eqn: rm A]그룹에서 [eqn: rm B]그룹으로 이동할 [eqn: 2]명을 뽑는 경우의 수)

[eqn: times]([eqn: rm B]그룹에서 [eqn: rm A]그룹으로 이동할 [eqn: 2]명을 뽑는 경우의 수)

[eqn: rm = {}_4 C _2 times {}_4 C _2]

[eqn: rm A]그룹에 남자 [eqn: 1]명과 여자 [eqn: 3]명이 있는 경우는 다음의 [eqn: 2]가

지이다.

(ⅰ) [eqn: rm A ``→``B] 남자 [eqn: 2]명, [eqn: rm B ``→`` A] 남자 [eqn: 1]명, 여자 [eqn: 1]명이 이

동하는 경우

[eqn: rm A]그룹에서 [eqn: rm B]그룹으로 남자 [eqn: 2]명이 이동하는 경우의

수는 [eqn: rm {}_2 C_2]이고, [eqn: rm B]그룹에서 [eqn: rm A]그룹으로 남자 [eqn: 1]명, 여자

[eqn: 1]명이 이동하는 경우의 수는 [eqn: rm {}_2 C_1 times {}_2 C_1]이므로 경우

의 수는 [eqn: rm {}_2 C_2 times ( {}_2 C_1 times {}_2 C_1 )]이다.

(ⅱ) [eqn: rm A ``→`` B] 남자 [eqn: 1]명, 여자 [eqn: 1]명, [eqn: rm B ``→ ``A] 여자 [eqn: 2]명이 이

동하는 경우

(ⅰ)과 마찬가지 방법으로 경우의 수는

[eqn: rm ({}_2 C_1 times {}_2 C_1 ) times {}_2 C_2]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: rm {{}_2 C_2 times ( {}_2 C_1 times {}_2 C_1 ) + ({}_2 C_1 times {}_2 C_1 ) times {}_2 C_2}over {{}_4 C_2 times {}_4 C_2}]

[eqn: = 4+4 over 36]

[eqn: = 8over36 = 2over9]

3. 수열의 극한

정답 ③

무한등비수열 [eqn: left{ ar ^n-1 right}]의 수렴 조건은 [eqn: a=0] 또는

[eqn: -1 < r ≤ 1]이다. 따라서 수열 [eqn: left{ left( {r^2 -r} over 6 right) ^n right}]에서 첫째항

[eqn: a= {r^2 -r}over6], 공비 [eqn: r = {r^2 - r}over6]이므로 [eqn: -1 < {r^2 -r}over6 ≤ 1]

이면 무한등비수열이 수렴한다.

(ⅰ) [eqn: -1 < {r^2 -r}over6]에서

[eqn: r^2 - r > -6]

[eqn: r^2 - r + 6 > 0]

[eqn: r]에 대한 이차방정식 [eqn: r^2 - r + 6 = 0]의 판별식 [eqn: D]를

조사해 보면

[eqn: D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 = -23 < 0]

따라서 [eqn: r^2 - r + 6 > 0]은 모든 실수 [eqn: r]에 대하여 성립

한다.

(ⅱ) [eqn: {r^2 -r}over6 ≤ 1]에서

[eqn: r^2 - r ≤ 6]

[eqn: r^2 - r-6 ≤0]

[eqn: (r+2)(r-3) ≤ 0]

[eqn: -2≤ r ≤3]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: -2 ≤ r ≤3]이므로 정수 [eqn: r]는

[eqn: -2,~ -1,~ 0,~ 1,~ 2,~ 3]의 [eqn: 6]개이다.

4. 수열의 극한

정답 ③

[eqn: S_n = 1+2+3+ …+n = n(n+1) over2]이므로

[eqn: S_n over {S_n - 1}][eqn: = {n(n+1)over2}over {n(n+1)over2 -1}]

[eqn: = {n(n+1)over2}over{{n^2 + n-2}over2}]

[eqn: = {n(n+1)}over{(n-1)(n+2)}]

[eqn: therefore~P_n][eqn: = S_2 over {S_2 -1} times S_3 over {S_3 -1} times S_4 over {S_4 -1} times … times S_n over {S_n -1}]

[eqn: = {2`․`3} over {1`․`4} times {3`․`4 }over {2`․`5} times {4`․`5} over {3`․`6} times … times n(n+1) over {(n-1)(n+2)}]

[eqn: = 3over1 times n over n+2][eqn: = 3n over n+2]

[eqn: therefore~lim_{n -> inf} {P_n } =lim_{n -> inf} {3n over n+2}]

[eqn: =lim_{n -> inf} {3 over {1+{{2}over{n}}} = 3]

5. 순열과 조합

정답 ①

(가) [eqn: {}_r \C _{it r}][eqn: = {}_r \C _0 =~1]

[eqn: {}_r+1 \C _{it r+1}][eqn: ={}_r \C _0 =~1]

(나) [eqn: sum_{i=r}^{k+1} `{}_i \C _{it r}][eqn: = sum_{i=r}^{k} `{}_i \C _{it r} + {}_{it k+1} \C _{it r}]

[eqn: = {}_k+1 \C _{it r+1} +``{}_{it k+1} \C _{it r}]

([eqn: because~n=k]일 때, [eqn: sum_{i=r}^{k} ` {}_i \C _{it r} = {}_{it k+1} \C _{it r+1}]이라 가정)

(다) [eqn: {}_k+1 \C _{it r+1} + {}_{it k+1} \C _{it r}]

[eqn: = {(k+1)!}over{left{ k+1- (r+1) right}! `(r+1)!} + {(k+1)!}over{(k+1-r)!`r!}]

[eqn: = `` {(k+1)!}over{(k-r)! (r+1)!} `` + (k+1)! over {(k+1-r)!`r!}]

6. 수열의 극한

정답 ④

㉠ [eqn: sum_{n=1}^{inf} a_n]이 수렴하면 [eqn: lim_{n-> inf}{a_n} = 0]이므로

[eqn: lim_{n->inf}{a_n} = 1over2 != 0]이면 [eqn: sum_{n=1}^{inf} a_n]은 발산한다.

([eqn: because] 대우 명제) (참)

㉡ [eqn: a_n][eqn: = sum_{ k=1 }^{n} 1over {sqrt k+1 + sqrtk}]

[eqn: = sum _{k=1}^{n} {sqrtk+1 - sqrtk }over {(sqrt k+1 + sqrtk ) (sqrt k+1 - sqrtk )}]

[eqn: = sum _{k=1}^{n} (sqrt k+1 - sqrtk )]

[eqn: = - sum _{k=1}^{n}(sqrtk - sqrt k+1 )]

[eqn: = - left{ (sqrt1 - sqrt2 ) + (sqrt2 - sqrt3 )]

[eqn: + ( sqrt 3 - sqrt4 ) + … + (sqrt n - sqrt n+1 ) right}]

[eqn: = - ( 1 - sqrt n+1 ) = sqrt n+1 -1]

[eqn: therefore~ lim _{n-> inf}{a_n} = lim_{n->inf}{(sqrt n+1 - 1 )} = inf]

그러므로 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 발산한다. (거짓)

㉢ [eqn: left| 1 + ( a_1 + a_2 + … + a _n ) left| `<` 1over n]이므로

[eqn: - 1over n < 1 + (a_1 + a_2 + … + a_ n ) < 1over n]

[eqn: -1 - 1over n < a_1 + a_2 + … + a_n < -1 + 1over n]

[eqn: therefore~-1 - 1over n < sum_{k=1}^{n} a_k < -1 + 1over n]

각 변에 [eqn: lim_{n->inf}]를 취하면

[eqn: lim_{n->inf}{left ( -1- 1over n right) } ≤ lim_{n->inf}{sum_{k=1}^{n}a_k}≤ lim_{n->inf}{left( -1 + 1over n right)}]

[eqn: -1 ≤ lim_{n->inf}{sum_{k=1}^{n} a_k} ≤ -1]

따라서 [eqn: lim_{n->inf}{sum_{k=1}^{n} a_k} = -1]이므로

[eqn: sum_{n=1}^{inf} a_n]은 수렴한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.

7. 수열

정답 ⑤

[eqn: a_n = log_2 (n!)]이므로

[eqn: b_n][eqn: = a_n+1 - a_n = log _2 left{(n+1)! right} - log_2 (n!)]

[eqn: = log_2 (n+1)! over n! = log_2 (n+1)]

㉠ [eqn: b_15 = log_2 (15+1) = log_2 16 = log_2 2^4 = 4] (참)

㉡ [eqn: sum_{k=1}^{5} b_k][eqn: = log_2 2 + log_2 3 + log_2 4 + log_2 5 + log_2 6]

[eqn: = log_2 (2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6)]

[eqn: = log_2 720]

[eqn: 2^9 < 720< 2^10]이므로

[eqn: log_2 2^9 < log_2 720 = sum_{k=1}^{5} b_k < log_2 2^10]

[eqn: therefore~9< sum_{k=1}^{5} b_k <10] (참)

㉢ [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: b_n = log_2 (n+1)]에서 [eqn: n+1]이 홀수이

므로 [eqn: b_n]은 유리수가 될 수 없다. 즉, 무리수이다.

(증명)

[eqn: n= 2k][eqn: (k=1,~2,~3, ~ cdots)]라 하면

[eqn: b_n = b_2k = log_2 (2k+1)]

[eqn: b_n]을 유리수라 가정하면

[eqn: b_n = log_2 (2k+1) = q over p] ([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)

로 놓을 수 있다.

[eqn: log_2 (2k+1) = q over p]에서

[eqn: 2 ^{ q over p} = 2k+1]

[eqn: 2^q = (2k+1)^p]

이때, [eqn: p,~q,~k]는 자연수이므로 [eqn: 2^q]은 짝수, [eqn: (2k+1)^p]

은 홀수가 되어 이 식을 만족시키는 [eqn: p,~q]가 존재하지

않는다.

즉, 가정에 모순이므로 [eqn: b_n]은 무리수이다.

따라서 ㉠, ㉡, ㉢ 모두 옳다.

8. 확률

정답 ①

바이러스에 감염된 사건을 [eqn: A], 감염되었다고 진단하는 사

건을 [eqn: E]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P (itA `|` E)]이다.

(ⅰ) 바이러스에 감염된 컴퓨터를

감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 94%]이므로
[eqn: rm P( it A cap E) = 2over5 times 0.94]
감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 6%]이므로
[eqn: rm P(it A cap E^C `) = 2over5 times 0.06]

(ⅱ) 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터를

감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 2%]이므로
[eqn: rm P( it A^C cap E) = 3over5 times 0.02]
감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 98%]이므로
[eqn: rm P(it A^C cap E^C `) = 3over5 times 0.98]

[eqn: rm P(it A `|` E) = {\P(it A cap E)}over{ \P(it E)}]에서

[eqn: rm P(it E)][eqn: rm = P(it A cap E) + \P (it A^C cap E)]

[eqn: = 2over 5 times 0.94 + 3over5 times 0.02]이므로

[eqn: rm P(it A `|` E)][eqn: rm ={ P(it A cap E) }over {\P(it E) }]

[eqn: = { 2over5 times 0.94}over {2over5 times 0.94 + 3over5 times 0.02} = 188over194 = 94over97]

9. 지수함수와 로그함수

정답 ④

주어진 가격표에서

[eqn: f(0.3) = a(b^0.3 - 1) = 70]	…… ㉠

[eqn: f(0.6) = a(b^0.6 - 1) = 210]	…… ㉡

[eqn: ㉠div㉡]을 하면

[eqn: {a(b^0.3 - 1)}over{a(b^0.6 - 1)} = 70over210]

[eqn: {b^0.3 - 1}over{b^0.6 - 1} = 1over3]

[eqn: 3 (b^0.3 - 1) = b^0.6 - 1]

[eqn: 3b^0.3 - 3 = (b^0.3 ) ^2 -1]

[eqn: (b^0.3 ) ^2 - 3b^0.3 + 2 = 0]

[eqn: (b^0.3 - 1)(b^0.3 - 2) = 0]

[eqn: b^0.3 = 2] [eqn: (because~b>1)]	…… ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: a=70]

[eqn: therefore~f(1.5)][eqn: = 70(b^1.5 - 1)]

[eqn: = 70left{(b^0.3 )^5 -1 right}]

[eqn: = 70 (2^5 -1)] (∵ ㉢)

[eqn: = 2170](만 원)

10. 수열

정답 ④

매월 초에 [eqn: a]만 원을 적립한다고 하면

[eqn: 2009]년 [eqn: 8]월 초 [eqn: 200]만 원인 노트북컴퓨터의 [eqn: 2010]년 [eqn: 8]월

초 판매 가격은

[eqn: 200 times ( 1- 0.01 )^12][eqn: = 200 times ( 0.99)^12 = 200times 0.89]

[eqn: = 178](만 원)	…… ㉠

[eqn: 2009]년 [eqn: 8]월 초부터 [eqn: a]만 원씩 [eqn: 12]개월 동안 적립한 금액의

원리합계는

[eqn: a(1.01)^12 + a(1.01)^11 + cdots+a(1.01)]

[eqn: = {a(1.01) left{ (1.01)^12 -1 right} } over {(1.01)-1}]

[eqn: = 101a left{ (1.01)^12 -1 right}]

[eqn: = 101 a( 1.13 - 1)][eqn: = 13.13a](만 원)	…… ㉡

노트북컴퓨터를 구매하려면 [eqn: ㉠ ≤ ㉡]이어야 하므로

[eqn: 178 ≤ 13.13a]

[eqn: a ≥ 178over13.13 =13.55 cdots image 14](만 원)

따라서 적립해야 할 최소 금액은 [eqn: 14]만 원이다.

11. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: log_2 a]와 [eqn: log_2 b]의 소수 부분이 같으므로

[eqn: log_2 a = n_1 + alpha], [eqn: log_2 b = n_2 +alpha]
([eqn: n_1 ,~ n_2]는 정수, [eqn: 0≤alpha <1])

라 하면

[eqn: log_2 b - log_2 a = n_2 -n_1 = m] ([eqn: m]은 정수)

[eqn: log_2 b over a =m]

[eqn: b over a = 2^m]

[eqn: b = a cdot 2^m]

(ⅰ) [eqn: m=1]일 때, [eqn: b=2a]이므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는

[eqn: (11,~22)], [eqn: (12,~24)], [eqn: cdots], [eqn: (24,~48)]의 [eqn: 14]개

(ⅱ) [eqn: m=2]일 때, [eqn: b= 4a]이므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는

[eqn: (11,~44)], [eqn: (12,~48)]의 [eqn: 2]개

(ⅲ) [eqn: m≥3]일 때, [eqn: b≥8a]이므로 [eqn: 10 < a < b < 50]을

만족하는 순서쌍 [eqn: (a,~ b)]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는

[eqn: 14+2=16](개)이다.

12. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: A = log I_0 - log I]에 [eqn: I = I_0 times 10^ -acd]을 대입하여

정리하면

[eqn: A][eqn: = log I_0 - log I]

[eqn: = log I_0 - log (I_0 times 10^ -acd )]

[eqn: = log I_0 - log I_ 0 - log 10 ^ -acd]

[eqn: = - log 10 ^ -acd = acd]

[eqn: a= {4 pi k } over lambda]를 대입하면 [eqn: A = {4 pi k} over lambda cd]

이때, [eqn: A_1 = { 4 pi k } over lambda_1 cd_1]이므로

[eqn: A_2 = {4 pi k}over {2 lambda_1 } c cdot 4d_1 = 2 cdot {4 pi k } over lambda_1 cd_1 = 2A_1]

[eqn: therefore`` A_2 over A_1 = 2A_1 over A_1 = 2]

13. 행렬

정답 ②

[eqn: A = pmatrix { ``a``& ``b``# ``c``& ``-a``}]에서 케일리－해밀턴의 정리에 의해

[eqn: A^2 - left{ a+ (-a) right}A + (-a^2 - bc )E = O]

[eqn: therefore~A^2 = (a^2 + bc ) E]	…… ①

㉠ [eqn: a^2 + bc = 1]이면 ①에서

[eqn: A^2 = E]이므로

[eqn: A^2009 = (A^2 ) ^1004 A]

[eqn: = E^1004 A = EA = A](참)

㉡ [eqn: A^3 - 2A = O]에서

[eqn: (a^2 + bc)A - 2A = O] ([eqn: because] ①)

[eqn: (a^2 + bc - 2)A = O]

[eqn: therefore~a^2 + bc - 2 = 0] 또는 [eqn: A=O]

그런데 행렬 [eqn: A]의 성분은 모두 [eqn: 0]이 아닌 실수이므로

[eqn: a^2 + bc = 2]

이때, 행렬 [eqn: A]에서

[eqn: a(-a)-bc = -(a^2 + bc) = -2 != 0]이므로 [eqn: A]는

역행렬을 갖는다.

㉢ [eqn: A^3 - 4A^2 + 4E = O]에서

[eqn: (a^2 + bc)A - 4(a^2 + bc) E + 4E = O] ([eqn: because] ①)

[eqn: (a^2 + bc)A = 4(a^2 + bc - 1)E]

이때, [eqn: a^2 + bc= 0]이면 [eqn: 0 = 4 (a^2 + bc-1) E]이므로

[eqn: a^2 + bc = 1]인데, 이는 [eqn: a^2 + bc = 0]이라는 가정에

모순이므로 [eqn: a^2 + bc != 0]이다.

[eqn: therefore~A = {4(a^2 + bc - 1)}over{a^2 + bc}E]

즉, [eqn: A = kE = pmatrix{``k``& ``0`` # ``0`` & ``k`` }]([eqn: k]는 상수)꼴인데, [eqn: b=c=0]이

되어 조건을 만족하지 않는다.

따라서 [eqn: A^3 - 4A^2 + 4E = O]를 만족시키는

[eqn: a,~b,~c]는 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.

14. 확률

정답 ⑤

(가) [eqn: rm A]사진이 나온 다음 [eqn: n]초 후에 [eqn: rm B]사진이 나올 확률이

[eqn: p_n]이므로 [eqn: rm C,~D]사진이 나올 확률도 각각 [eqn: p_n]이다.

[eqn: rm A]사진이 나온 다음 [eqn: n]초 후 다시 [eqn: rm A]사진이 나오는 사

건은 [eqn: rm A]사진이 나온 다음 [eqn: n]초 후 [eqn: rm B] 또는 [eqn: rm C] 또는 [eqn: rm D]

사진이 나오는 사건의 여사건이므로 확률은

[eqn: 1 - (p_n + p_n + p_n ) = `` 1-3p_n]

(나) [eqn: rm A]사진이 나온 다음 [eqn: (n+1)]초가 지난 후에 [eqn: rm B]사진이

나오는 것은 [eqn: rm A]사진이 나온 다음 [eqn: n]초가 지난 후에 [eqn: rm A]

또는 [eqn: rm C] 또는 [eqn: rm D]사진이 나오고, [eqn: 1]초 후 [eqn: rm B]사진이 나오

는 것으로 생각할 수 있다.

이때, [eqn: rm A,~C,~D]사진이 나온 다음 [eqn: 1]초가 지난 후에 [eqn: rm B]

사진이 나올 확률은 각각 [eqn: 1over3]이므로
[eqn: p_n+1][eqn: = (1- 3p_n ) times 1over3 + p_n times 1over3 + p_n times 1over3]

[eqn: = 1over3 left{ 2p_n + (1-3p_n ) right}]

[eqn: = 1over3 (1-p_n )]

[eqn: = `` - 1over3 p_n `` + 1over3]

(다) [eqn: p_n+1 = - 1over3 p_n + 1over3]을 변형하면

[eqn: left( p_n+1 - 1over4 right) = - 1over3 left( p_n - 1over4 right)]이고,

[eqn: p_1]은 [eqn: rm A]사진이 나오고 [eqn: 1]초 후 [eqn: rm B]사진이 나올 확률이

므로 [eqn: 1over3]이다.

즉, [eqn: p_1 = 1over3]

따라서 수열 [eqn: left{ p_n - 1over4 right }]은 첫째항이

[eqn: p_1 - 1over4 = 1over3 - 1over4 = `` 1over12] 이고, 공비가 [eqn: - 1over3]인

등비수열을 이룬다.

15. 행렬

정답 ⑤

[eqn: cases{ ax + by = p # cx + dy = q}] ⇔ [eqn: pmatrix { ``a``&``b`` # ``c``&``d``}pmatrix { ``x`` # ``y``} = pmatrix { ``p`` # ``q``}]

㉠ [eqn: A]의 역행렬이 존재하면 [eqn: pmatrix { ``x`` # ``y``} ={pmatrix { ``a``&``b`` # ``c``&``d``}}^-1 pmatrix { ``p`` # ``q``}]이므로

오직 한 쌍의 해를 갖는다. (참)

㉡ [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않으면

[eqn: ad - bc = 0]이므로 [eqn: ad = bc]

[eqn: therefore~ a over c = b over d]	…… ①

[eqn: B]의 역행렬이 존재하지 않으면

[eqn: aq - pc = 0]이므로 [eqn: aq = pc]

[eqn: therefore~ a over c = p over q]	…… ②

①, ②에서 [eqn: a over c = b over d = p over q]이므로 주어진 연립방정식은

무수히 많은 해를 갖는다. (참)

㉢ [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: ad - bc != 0]	…… ①

또, [eqn: k_1 pmatrix{ ``a`` # ``c``} + k_2 pmatrix{ ``b`` # ``d``} = pmatrix{ ``0`` # ``0``}]에서

[eqn: pmatrix{ ``k_1 a + k_2 b`` # ``k_1 c + k_2 d``} = pmatrix{ ``0`` # ``0``}]이므로

[eqn: k_1 a= -k_2 b], [eqn: k_1 c = -k_2 d]	…… ②

[eqn: k_1 != 0] 또는 [eqn: k_2 != 0]이라 가정하자.

(ⅰ) [eqn: k_1 != 0]일 때, ②에서

[eqn: a= - k_2 over k_1 b], [eqn: c= - k_2 over k_1 d]이므로

[eqn: ad - bc = - k_2 over k_1 bd + k_2 over k_1 bd = 0]

이는 ①과 모순이다.

(ⅱ) [eqn: k_2 !=0]일 때, ②에서

[eqn: b = - k_1 over k_2 a], [eqn: d = - k_1 over k_2 c]이므로

[eqn: ad - bc = - k_1 over k_2 ac + k_1 over k_2 ac = 0]

이 또한 ①과 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: k_1 = k_2 = 0]이다. (참)

따라서 ㉠, ㉡, ㉢ 모두 옳다.

16. 확률분포와 통계적 추정

정답 ④

[eqn: f(x)]가 확률밀도함수이므로 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축,

[eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1]이다.

즉, (부채꼴 [eqn: rm ABC]의 넓이)[eqn: +] (삼각형 [eqn: rm BOA]의 넓이)

[eqn: +](부채꼴 [eqn: rm ODB]의 넓이)[eqn: =1]

삼각형 [eqn: rm BOA]에서 [eqn: rm bar OA = it sqrt3 r]이고

[eqn: rm bar AB = bar AC = it (1+ sqrt 3 )r - sqrt3 r = r]이므로

(부채꼴 [eqn: rm ABC]의 넓이)[eqn: = 1over4 pi r ^2]	…… ㉠
[eqn: rm triangle BOA =it 1over2 cdot sqrt3 r cdot r = sqrt3 over 2 r^2]	…… ㉡

또, [eqn: rm triangle BOA]에서 [eqn: rm bar OB = it 2r], [eqn: rm bar OA = it sqrt3 r],

[eqn: rm bar AB = it r]이므로

[eqn: rm bar OB `:` bar OA `:` bar AB = 2 : sqrt3`: 1]

[eqn: rm therefore~angle BOA = pi over 6]

따라서 [eqn: rm angle DOB = piover 3]이므로

(부채꼴 [eqn: rm ODB]의 넓이)

[eqn: = 1over2 cdot (2r )^2 cdot pi over 3 = 2over3 pi r^2]    …… ㉢

[eqn: ㉠+㉡+㉢ = 1over4 pi r^2 + sqrt3 over2 r^2 + 2over3 pi r^2 = 1]이므로

[eqn: {3pi + 6sqrt3 + 8pi}over12 ` r^2 = 1]

[eqn: therefore~r^2 = 12over {11pi + 6sqrt3}]	…… ㉣

한편, [eqn: rm P it (0≤X≤r)]의 값은 다음 그림에서 어두운

부분의 넓이와 같으므로

[eqn: rm P it (0≤X≤r)][eqn: rm = triangle FOE +](부채꼴 [eqn: rm ODF]의 넓이)

[eqn: rm triangle FOE]에서 [eqn: rm bar OF = it 2r], [eqn: rm bar OE = it r]이므로 [eqn: rm bar FE = it sqrt3 r]

[eqn: rm therefore~triangle FOE =it 1over2 cdot r cdot sqrt3 r = sqrt3 over2 r^2]      …… ㉤

또, [eqn: rm triangle FOE]의 변의 길이의 비에 의해

[eqn: rm angle FOE = pi over3]이므로 [eqn: rm angle DOF = piover6]

[eqn: therefore] (부채꼴 [eqn: rm ODF]의 넓이)

[eqn: = 1over2 cdot (2r)^2 cdot piover6 = piover3 r^2] …… ㉥

따라서 ㉤, ㉥에 의해 구하는 확률은

[eqn: rm P it (0≤X≤r)][eqn: = sqrt3 over2 r^2 + pi over 3 r^2 = left( sqrt3 over2 + pi over 3 right) r^2]

[eqn: ={ 3 sqrt3 + 2pi } over 6 r^2]

[eqn: = {3 sqrt3 + 2pi}over6 cdot 12over{11pi + 6 sqrt3}] (∵ ㉣)

[eqn: ={ 6 sqrt3 + 4pi} over {11 pi + 6sqrt3}]

17. 행렬

정답 ④

[eqn: A^n = a_n A + b_n E]의 양변에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A^n+1][eqn: = a_n A^2 + b_n A]

[eqn: = a_n (A+3E) + b_n A]

[eqn: = (a_n + b_n ) A + 3a_n E]

[eqn: therefore~a_n+1 = a_n + b_n], [eqn: b_n+1 = 3a_n]

이를 행렬로 표현하면

[eqn: pmatrix {``a_n+1 ``# ``b_n+1 ``} = pmatrix {``1``&``1``#``3``&``0``}pmatrix {``a_n `#``b_n `}]이므로

[eqn: B = pmatrix {``1``&``1``#``3``&``0``}]

행렬 [eqn: B]에서 케일리－해밀턴의 정리를 이용하면

[eqn: B^2 - (1+0)B + (0-3)E = O]

즉, [eqn: B^2 = B + 3E]이므로

[eqn: x=1], [eqn: y=3]

[eqn: therefore~x+y=4]

18. 지수함수와 로그함수

정답 ②

(ⅰ) 집합 [eqn: A]를 구해 보자.

먼저 진수 조건에 의해 [eqn: x-1 > 0], [eqn: x+5 > 0]이므로

[eqn: x>1]	…… ㉠

[eqn: log_4 (x-1) ≤ log_16 (x+5)]에서

[eqn: log_16 (x-1) ^2 ≤ log_16 (x+5)]

[eqn: (x-1)^2 ≤ x+5]
[eqn: x^2 -2x + 1 ≤ x+5]

[eqn: x^2 -3x - 4 ≤ 0]

[eqn: (x+1)(x-4)≤0]

[eqn: therefore~-1≤x≤4]	…… ㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: A = left{ x`|`1<x≤4 right}]

(ⅱ) 집합 [eqn: B]를 구해 보자.

[eqn: 8^x - 11 cdot 4^x + 38 cdot 2^x - 40 = 0]에서

[eqn: (2^x )^3 - 11 cdot (2^x ) ^2 + 38 cdot 2^x - 40 = 0]

[eqn: 2^x = t]([eqn: t>0])로 치환하면

[eqn: t^3 - 11t^2 + 38t - 40 = 0]

[eqn: (t-2)(t-4)(t-5) = 0]

[eqn: therefore~t=2] 또는 [eqn: t=4] 또는 [eqn: t=5]

즉, [eqn: 2^x = 2]에서 [eqn: x=1],

[eqn: 2^x = 4]에서 [eqn: x=2],

[eqn: 2^x = 5]에서 [eqn: x= log_2 5]이므로

[eqn: B = left{ 1,~2,~log_2 5 right}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: A cap B = left{ 2,~log_2 5 right}]이므로 [eqn: A cap B]의

모든 원소들의 합은

[eqn: 2 + log_2 5 = log_2 4 + log_2 5 = log_2 20]

19. 수열의 극한

정답 ①

사각형 [eqn: rm A_{it n} B_{it n}C_{it n}D_{it n}]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하고

사각형 [eqn: rm A _{it n+1}B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 한 변의 길이를 구해

보자.

위의 그림과 같이 [eqn: rm bar{A_{it n}D_{it n}}], [eqn: rm bar {B_{it n}C_{it n}}]의 중점을 각각 [eqn: rm M],

[eqn: rm N]이라 하면 [eqn: rm bar MN]은 두 점 [eqn: rm A_{it n+1}], [eqn: rm C_{it n+1}]을 지난다.

삼각형 [eqn: rm A_{it n+1}B_{it n}N]에서

[eqn: rm bar {B_{it n}A_{it n+1}} = it a], [eqn: rm bar {B_{it n}N} = it a over 2]이므로

[eqn: rm bar {A_{it n+1}N} =it sqrt{a^2 - left( a over 2 right)^2} = sqrt{ 3over4 a^2} = sqrt3 over 2 a]

[eqn: rm therefore~bar{MA_{it n+1}} = it a- sqrt3 over2 a = left( 1- sqrt3 over 2 right) a]

[eqn: rm therefore~bar {A_{it n+1}C_{it n+1}}]

[eqn: = a- 2 left( 1- sqrt3 over 2 right) a] [eqn: rm (because~ bar{MA_{it n+1}} = bar {C_{it n+1}N})]

[eqn: = (sqrt3 -1)a]

즉, 사각형 [eqn: rm A_{it n+1} B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 대각선

[eqn: rm A_{it n+1}C_{it n+1}]의 길이가 [eqn: (sqrt3 - 1 ) a]이므로

사각형 [eqn: rm A_{it n+1}B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 한 변의 길이는

[eqn: rm bar{A_{it n+1}B_{it n+1}} =it {(sqrt3 - 1) a}over sqrt2]이다.

따라서 사각형 [eqn: rm A_{it n}B_{it n}C_{it n}D_{it n}]과

사각형 [eqn: rm A_{it n+1}B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 닮음비가

[eqn: 1: {sqrt3 - 1} over sqrt2]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1: {(sqrt3 - 1)^2}over2]이다.

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항 [eqn: S_1 = 1]이고,

공비 [eqn: r = {(sqrt3 -1 )^2}over2 = {4-2sqrt3} over2 = 2 - sqrt3]인

등비수열이므로

[eqn: sum_{n=1}^{inf} S_n = 1over{1-(2-sqrt3 )}]

[eqn: = 1over {sqrt3 -1} = {sqrt3 +1} over 2]

20. 지수함수와 로그함수

정답 ③

방정식 [eqn: 2 ^{ x over 2} = log_sqrt2 `|`x`|]의 실근은 [eqn: y = (sqrt2 ) ^x]과

[eqn: y = log_sqrt2 ` |`x`|]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다.

[eqn: y = log_sqrt2 `|`x`| = cases{log_sqrt2 `x &~(x>0) ## log_sqrt2 `(-x)&~(x<0)}]

(ⅰ) [eqn: x>0]일 때, 두 함수 [eqn: y= log_sqrt2 `x]와 [eqn: y = (sqrt2 ) ^x]은

서로 역함수 관계이므로 그래프의 교점은 곡선

[eqn: y = log_sqrt2 `x]와 직선 [eqn: y=x]의 교점과 같다.

(ⅱ) [eqn: x<0]일 때, [eqn: y = log_sqrt2 (-x)]의 그래프는

[eqn: y = log_sqrt2 `x]의 그래프와 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로

다음 그림과 같다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: x>0]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: x<0]일 때 [eqn: 1]개의

교점을 가지므로 방정식 [eqn: 2^{x over 2} = log_sqrt2 `|`x`|]의 서로 다른

실근의 개수는 [eqn: 2+1=3]이다.

21. 확률분포와 통계적 추정

정답 ④

자영업자의 하루 매출액을 [eqn: X]라 하면 확률변수 [eqn: X]는

정규분포 [eqn: rm N(30,~4^2 )]을 따른다. (단, 단위는 만 원)

따라서 하루 매출액이 [eqn: 31]만 원 이상일 확률은

[eqn: rm P(it X≥31)][eqn: rm = P left ( it Z≥ 31-30over4 right)]

[eqn: = rm P (it Z ≥ 0.25)]

[eqn: rm = 0.5- P(0≤it Z≤0.25)]

[eqn: = 0.5-0.10 = 0.40]

[eqn: 600]일을 영업했을 때 기부한 날 수를 [eqn: Y]라 하면 확률변수

[eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rm B(600,~ 0.4)]를 따르고, [eqn: 600]은 충분히

크므로 정규분포로 근사시킬 수 있다.

즉, [eqn: rm E(it Y) = 600 times 0.4 = 240],

[eqn: rm V(it Y) = 600 times 0.4 times 0.6 = 12^2]에서 확률변수 [eqn: Y]는

정규분포 [eqn: rm N(240,~12^2 )]을 따른다.

기부할 총 금액이 [eqn: 222000]원 이상이려면 기부 횟수가

[eqn: 222]회 이상이어야 하므로 구하는 확률은

[eqn: rm P(it Y≥222)][eqn: rm = P left (it Z≥ 222-240over12 right)]

[eqn: rm = P(it Z≥ -1.5)]

[eqn: rm =0.5+P(0≤it Z≤1.5 )]

[eqn: = 0.5+0.43]

[eqn: = 0.93]

22. 수열의 극한

정답 ⑤

[eqn: rm P _{it n } it (a_n ,~ b_n )]이라 하자.

점 [eqn: rm Q_{it n}]은 [eqn: rm bar{ P_{it n}C}]의 중점이므로

[eqn: rm Q_{it n} it left( {a_n +2}over2 ,~ b_n over 2 right)]

점 [eqn: rm R_{it n}]은 [eqn: rm bar {Q_{it n}A}]의 중점이므로

[eqn: rm R_{it n} it left( {{a_n +2}over2 +1}over2 ,~ {b_n over 2 +sqrt3} over 2 right)]

즉, [eqn: rm R_{it n} it left( {a_n + 4}over4 ,~ {b_n + 2 sqrt3}over4 right)]

점 [eqn: rm P_{it n+1}]은 [eqn: rm bar {R_{it n}B}]의 중점이므로

[eqn: rm P_{it n+1} it left( {{a_n + 4}over4}over2 ,~ {{b_n + 2sqrt3}over4}over2 right)]

즉, [eqn: rm P_{it n+1} it left( {a_n +4}over 8 ,~ {b_n + 2sqrt3}over8 right)]

이때, [eqn: rm P_{it n+1} it(a_n+1 ,~ b_n+1 )]이므로

[eqn: a_n+1 = {a_n +4}over8]	…… ㉠

[eqn: b_n+1 = {b_n + 2sqrt3}over8]    …… ㉡

한편, [eqn: n]이 한없이 커질 때, 점 [eqn: rm P_{it n} it( a_n ,~ b_n )]이 점 [eqn: (alpha,~beta)]

에 한없이 가까워지므로 [eqn: lim_{n->inf}{a_n} = alpha], [eqn: lim_n->inf{{b_n} = beta]로 각각

수렴한다.

㉠의 양변에 [eqn: lim_{n->inf}]를 취하면

[eqn: lim_{n->inf}{a_n+1} = lim_n->inf{{{a_n +4}over8}]

이때, [eqn: lim_{n->inf}{a_n} = lim_n->inf{{a_n+1} = alpha]이므로
[eqn: alpha = alpha+4over8]

[eqn: 7 alpha = 4]

[eqn: therefore~alpha = 4over7]

또, ㉡의 양변에 [eqn: lim_{n->inf}]를 취하면

[eqn: lim_{n->inf}{b_n+1} = lim_{n->inf}{{b_n + 2sqrt3}over8}]

이때, [eqn: lim_{n->inf}{b_n} = lim_{n->inf}{b_n+1} = beta]이므로

[eqn: beta = {beta + 2sqrt3}over8]

[eqn: 7beta = 2sqrt3]

[eqn: therefore~beta = {2sqrt3} over7]

[eqn: therefore~alpha + beta = 4over7 + {2sqrt3} over7]

[eqn: = {4+2sqrt3}over7]

23. 순열과 조합

정답 ③

두 자연수 [eqn: k], [eqn: n]의 최대공약수가 [eqn: 5!]이므로 [eqn: k=5! times a],

[eqn: n = 5! times b]([eqn: a,~b]는 서로소인 자연수)로 놓으면 최소공배

수가 [eqn: 13!]이므로 [eqn: 13! = 5! times ab]

[eqn: THEREFORE ``ab][eqn: =13 TIMES 12 TIMES 11 TIMES 10 TIMES 9 TIMES 8 TIMES 7 TIMES 6]

[eqn: = 2^7 times 3^4 times 5times7times11times13]

[eqn: a,~b]는 서로소이고 [eqn: k≤n]에서 [eqn: a≤b]이므로 [eqn: 2^7], [eqn: 3^4], [eqn: 5],

[eqn: 7], [eqn: 11], [eqn: 13]을 [eqn: 2]개 조로 분할하여 각각의 곱 중 작은 것을

[eqn: a]로, 큰 것을 [eqn: b]로 하면 된다. [eqn: 0]개와 [eqn: 6]개, [eqn: 1]개와 [eqn: 5]개, [eqn: 2]개

와 [eqn: 4]개, [eqn: 3]개와 [eqn: 3]개로 나눌 수 있으므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의

개수는

[eqn: rm ( {}_6 C_0 times {}_6 C_6 ) + rm ( {}_6 C_1 times {}_5 C_5 ) + rm ( {}_6 C_2 times {}_4 C_4 ) +]                                              [eqn: rm left( {}_6 C_3 times {}_3 C_3 times 1 over2! right)]

[eqn: = 1+6+15+10 = 32]

따라서 순서쌍 [eqn: (k,~n)]의 개수는 [eqn: 32](개)이다.

24. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: left( 1over3 right) ^a = 2a]이므로

[eqn: a]는 곡선 [eqn: y = left( 1over3 right)^x]과 직선 [eqn: y=2x]의

교점의 [eqn: x]좌표이다.

마찬가지로 [eqn: left( 1over3 right)^2b = b]에서

[eqn: b]는 곡선 [eqn: y = left( 1over9 right) ^x]과 직선 [eqn: y = x]의 교점의 [eqn: x]좌표이며, [eqn: left( 1over2 right)^2c = c]에서 [eqn: c]는 곡선

[eqn: y = left( 1over4 right)^x]과 직선 [eqn: y = x]의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

그래프를 그려 보면 다음과 같다.

[eqn: therefore~a<b<c]

25. 행렬

정답 48

(다)에서

[eqn: A^2 - B^2 = AB-BA]

⇔ [eqn: A^2 - AB + BA - B^2 = O]

⇔ [eqn: (A+B)(A-B) = O]

⇔ [eqn: pmatrix{``2``&``6``#``x``&``12``}pmatrix{``6``&``y``#``-2``&``-4``} = pmatrix{``0``&``0``#``0``&``0``}]

⇔ [eqn: pmatrix { ``0``& ``2y-24`` #``6x-24`` & ``xy-48``} = pmatrix { ``0``&``0`` #``0`` & ``0``}]

[eqn: (4,~4)]성분을 비교하면 [eqn: xy-48=0]이므로 [eqn: xy=48]

❰다른 풀이❱

[eqn: (A+B)(A-B)=O]에서 영행렬이 아닌 두 행렬의

곱이 영행렬이므로 [eqn: A+B], [eqn: A-B]는 영인자이다.

행렬 [eqn: pmatrix { ``a``& ``b``#``c`` & ``d``}]가 영인자이면 [eqn: ad-bc=0]이므로

[eqn: pmatrix { ``2``&``6`` #``x`` &``12`` }]에서 [eqn: 24 - 6x = 0]

[eqn: pmatrix { ``6``&``y`` #``-2`` &``-4`` }]에서 [eqn: -24 + 2y = 0]

[eqn: therefore~x=4,~y=12]

[eqn: therefore~xy=48]

26. 지수와 로그

정답 11

[eqn: log_15 A = 30], [eqn: log_45 B = 15]에서

[eqn: A = 15^30], [eqn: B = 45^15]이므로

[eqn: B over A = 45^15 over 15^30 = {3^15 cdot 15^15}over15^30 = left( 3over15 right)^15 = left( 1over5 right) ^15]

[eqn: therefore`` log B over A][eqn: = log left( 1over5 right)^15]

[eqn: = -15 log 5]

[eqn: = -15 (1-log2)]

[eqn: = -15 times 0.6990]

[eqn: = - 10.485 = -11+0.515]

따라서 소수점 아래 [eqn: 11]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌

숫자가 나오므로 [eqn: n=11]이다.

27. 확률분포와 통계적 추정

정답 16

[eqn: rmA]도시에서 [eqn: rm B]도시로 운행하는 고속버스들의 소요시간을

[eqn: X]라 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it (m,~10^2 )]을

따르므로 크기가 [eqn: n]인 표본의 표본평균 [eqn: bar X]는 정규분포

[eqn: rm N it left( m,~ left( 10 over sqrt n right)^2 right)]을 따른다.

[eqn: THEREFORE`` rm P it(m-5≤ bar X ≤ it m+5 )]

[eqn: rm = P it left( m-5-m over {10over sqrt n} ≤ Z ≤ it m+5-m over{ 10over sqrt n} right)]

[eqn: rm = P it left( - sqrt n over 2 ≤ Z ≤ it sqrt n over 2 right)]

[eqn: rm = 2P it left( 0 ≤ Z ≤it sqrt n over 2 right)]

[eqn: rm 2P it left( 0 ≤ Z ≤it sqrt n over 2 right) = 0.9544]에서

[eqn: rm P left( 0≤ it Z ≤ sqrt n over 2 right) = 0.4772]

표준정규분포표에서

[eqn: rm P left( 0≤ it Z ≤ 2) = 0.4772]이므로

[eqn: sqrt n over 2 = 2]

[eqn: sqrt n = 4]

[eqn: therefore~n=16]

28. 수열

정답 371

각 반원의 수를 군으로 하는 군수열을 생각하면

[eqn: (1)], [eqn: (2,~3,~4)], [eqn: (5,~6,~7 ,~ 8,~9)], …

이때, [eqn: n]군의 첫째항을 [eqn: a_n]이라 하면 수열 [eqn: left{ a_n right}]은

[eqn: 1,~2,~5,~10,~cdots]이므로

[eqn: a_n][eqn: =1+sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)]

[eqn: = 1+ 2 cdot n(n-1)over2 - (n-1)]

[eqn: = n^2 - 2n + 2]

각 군의 항의 개수가 [eqn: 1,~3,~5,~cdots]이므로 [eqn: n]군의 항의 개

수는 [eqn: 2n-1]이며, 각 군의 수들은 공차가 [eqn: 1]인 등차수열을

이룬다.

구하는 수는 [eqn: 20]군에 있고 [eqn: 20]군에는 총 [eqn: 39]개의 수가 있다.

직선 [eqn: y=x]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: pi over 4]이므로 [eqn: 39 over 4 = 9.75]에서 어두운 부분에 들어갈 수는 [eqn: 20]군

의 [eqn: 10]번째 수이다.

[eqn: 20]군의 첫째항은

[eqn: 20^2 - 2 cdot 20 + 2][eqn: = 400-40+2 = 362]

이므로 [eqn: 20]군의 [eqn: 10]번째 수는 [eqn: 362]보다 [eqn: 9]가 큰 [eqn: 371]이다.

29. 확률

정답 323

(규칙1)로 [eqn: a]번, (규칙2)로 [eqn: b]번 이동하였다고 하면

[eqn: a+b=5]

(규칙1)로 [eqn: a]번 이동하면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의

방향으로 [eqn: 2a]만큼 이동하고,

(규칙2)로 [eqn: b]번 이동하면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2b]만큼, [eqn: y]축의

방향으로 [eqn: b]만큼 이동한다.

따라서 원점 [eqn: rm O]에서 출발하여 (규칙1)로 [eqn: a]번, (규칙2)로

[eqn: b]번 이동하면 점 [eqn: (a+2b,~2a+b)]에 도달한다.

따라서 [eqn: a+2b = 8], [eqn: 2a+b = 7]에서

[eqn: a=2], [eqn: b=3]

(규칙1) [eqn: 2]번과 (규칙2) [eqn: 3]번을 배열하는 방법의 수는

[eqn: 5! over2!3!]

(규칙1), (규칙2)를 따라 이동할 확률은 각각

[eqn: 1over3], [eqn: 2over3]이므로 구하는 확률은

[eqn: 5! over 2!3! left( 1over 3 right) ^2 left( 2over3 right) ^3 = 80over243]

[eqn: therefore~p=243,~q=80]

[eqn: therefore~p+q =323]

30. 수열

정답 171

[eqn: 1≤x<10]이므로 [eqn: [x] = k][eqn: (k=1,~2,~…,~9)]라 하면

[eqn: k≤x<k+1]

[eqn: k^3 ≤ x^3 < (k+1)^3]

[eqn: k^3 ≤ x^3 < k^3 + 3k^2 + 3k+1]

[eqn: k^3 over k ≤ x^3 over k < {k^3 + 3k^2 + 3k + 1}over {k}]

[eqn: k^2 ≤ x^3 over k < k^2 + 3k + 3 + 1over k]

따라서 [eqn: x^3 over [x]], 즉 [eqn: x^3 over k]이 자연수이려면

[eqn: x^3 over k = k^2], [eqn: k^2 + 1], …, [eqn: k^2 + 3k + 3]

각각을 만족하는 실수 [eqn: x]는 한 개씩이므로 [eqn: x]의 개수는

[eqn: k^2 + 3k+3-(k^2 -1) = 3k + 4]

[eqn: k=1,~2,~3,~…,~9]이므로 구하는 [eqn: x]의 개수는

[eqn: sum_{k=1}^{9} (3k+4)][eqn: = 3 cdot 9cdot10 over2 + 4cdot9 = 171]