• 2교시 수학 영역 •

1	③	2	④	3	①	4	⑤	5	②
6	④	7	①	8	⑤	9	②	10	③
11	②	12	②	13	④	14	①	15	①
16	③	17	③	18	④	19	⑤	20	⑤
21	④	22	36	23	3	24	11	25	256
26	6	27	10	28	7	29	615	30	22

1. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: A+B`= LEFT ( 2x ^{2} -3xy RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} +xy RIGHT )]

[eqn: =2x ^{2} +`x ^{2} ``-3xy+xy=3x ^{2} -2xy]

2. [출제의도] 합성함수의 값 계산하기

[eqn: LEFT ( f circ f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) = f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]

3. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

[eqn: x ^{2} +ax+4=x left (x+2 right)+ b]

[eqn: x ^{2} +ax+4=x^2 + 2x + b]

위 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a= 2], [eqn: b=4]

따라서 [eqn: a+b=6]

4. [출제의도] 무리함수 그래프의 성질 이해하기

함수 [eqn: f(x)=rootx +a]의 그래프의 개형은
다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: a]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 3]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: 6]을 가지므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+a=6]

따라서 [eqn: a=5]

5. [출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식 이해하기

[eqn: LEFT | x-a RIGHT |<3]에서

[eqn: -3<x-a<3]

[eqn: a-3<x<a+3]

이 부등식의 해가 [eqn: 4<x<10]이므로

[eqn: a=7]

6. [출제의도] 등차수열의 합 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} =1+2d=9]

[eqn: THEREFORE] [eqn: d=4]

따라서 [eqn: S _{10} =` {10 LEFT ( 2+9 TIMES 4 RIGHT )} over {2} =190]

7. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: z=2-3i`]에서 [eqn: {bar{z}}` =2+3i]

[eqn: LEFT ( 1+2i RIGHT ) {bar{z}} `][eqn: = LEFT ( 1+2i RIGHT ) LEFT ( 2+3i RIGHT )]

[eqn: =2+3i + 4i-6]

[eqn: =`-4+7i]

8. [출제의도] 연립이차방정식의 해 이해하기

[eqn: {cases{`2x-y=`-3&````` CDOTS CDOTS ㉠#`2x ^{2} +y ^{2} =27&````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: y=2x+3]을 [eqn: ㉡]에 대입하면

[eqn: 2x ^{2} + LEFT ( 2x+3 RIGHT ) ^{2} =27]

[eqn: 6x ^{2} +12x-18=0]

[eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )=0]

[eqn: therefore] [eqn: x=1], [eqn: y=5] 또는 [eqn: x=`-3], [eqn: y=`-3]

[eqn: therefore] [eqn: alpha = 1], [eqn: beta = 5] ([eqn: because] [eqn: alpha >0], [eqn: beta >0])

따라서 [eqn: alpha times beta = 5]

9. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

직선 [eqn: y=kx+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동시킨
직선의 방정식은

[eqn: y+3=k LEFT ( x-2 RIGHT ) +1]

[eqn: y=kx-2k-2]

이 직선이 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} = 1]의
중심 [eqn: (`3,``2)]를 지나므로

[eqn: 2=3k-2k-2]

따라서 [eqn: k`=`4]

10. [출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 추론하기

[eqn: x ^{2} -x-12= LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )]이므로
이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x-12]의 그래프는

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: -3]

[eqn: 4]

[eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는
[eqn: -3 < x< 4]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x-1 RIGHT )]의 그래프는

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를
[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 그래프이다.

[eqn: f LEFT ( x-1 RIGHT ) <0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는
[eqn: -2<x<5]이므로

정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 9]

11. [출제의도] 집합의 연산 추론하기

[eqn: LEFT ( A SMALLINTER B ^{C} ` RIGHT ) CUP LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B RIGHT ) = LEFT ( A`-`B RIGHT ) ` CUP (B-A)]이고
벤 다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

[eqn: U]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT )]의 원소가 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 8]이고

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3], [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =2]이므로 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =1]이어야 한다.
[eqn: therefore] [eqn: a-1 IN A cap B]

[eqn: a-1]은 [eqn: B]의 원소 중 어느 하나와 같아야 한다.

(ⅰ) [eqn: a-1 ne a+2]

(ⅱ) [eqn: a-1=a ^{2} -4a-7]이고 [eqn: a+2=8]일 때,
[eqn: a=6]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a=6]

12. [출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선 이해하기

유리함수 [eqn: y= {2x-1} over {x-a}]의 그래프와 그 역함수의
그래프가 일치하려면 두 점근선의 교점이
직선 [eqn: y=x] 위에 있어야 한다.

[eqn: y = {2x-1} over {x-a} = {2 LEFT ( x-a RIGHT ) +2a-1 } over x-a = 2a-1 over x-a +2]

이므로 점근선은 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=2]

따라서 [eqn: a=2]

[다른풀이]

함수 [eqn: y= {2x-1} over {x-a}] ([eqn: x ne a], [eqn: y ne 2])의 역함수를 구하면

[eqn: x= {2y-1} over {y-a}] ([eqn: x ne 2], [eqn: y ne a])

[eqn: x LEFT ( y-a RIGHT )=2y-1]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT )y=ax-1]

[eqn: y={ax-1}over{x-2}]

[eqn: y= {2x-1} over {x-a}]과 [eqn: y={ax-1}over{x-2}]의 그래프가 일치하므로

[eqn: a=2]

13. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 이해하기

[eqn: a=2]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = 1 over 2 x], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x]

직선 [eqn: l]의 방정식을 [eqn: y= mx +k]라 하자.
[eqn: {1over2}times`m=`-1]
[eqn: m=`-2]

[eqn: therefore] [eqn: y =` -2 x+k]

직선 [eqn: l]이 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^2 - 4x]의 그래프와
접하기 위해서는 방정식 [eqn: x ^{2} -4x=`-2x+k]가
중근을 가져야 하므로

[eqn: x ^{2}-2x-k=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: D = LEFT ( -2 RIGHT ) ^2 -4 times 1 times LEFT ( -k RIGHT ) = 4 + 4k = 0]

따라서 직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편 [eqn: k=`-1]

14. [출제의도] 절대부등식을 활용하여 문제해결하기

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2ax]의 그래프와
직선 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} x]가 만나는 점 [eqn: rm A]는

[eqn: x^2 -2ax ={1overa}x]

[eqn: x-2a={1overa] ([eqn: because] [eqn: x>0])

[eqn: x=2a+{1overa], [eqn: y= 2+{1} over {a ^{2}}]

[eqn: therefore] [eqn: rmA][eqn: LEFT ( `2a+{1} over {a} ,`` 2+{1overa^2} RIGHT )]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2ax][eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a ^{2}]의 그래프의
꼭짓점은 [eqn: {rm B} LEFT ( `a,``-a^2 RIGHT )]

선분 [eqn: rm AB]의 중점은 [eqn: rm C LEFT (it `3 over 2 a +{1} over {2a} ,`` 1+{1over2a^2 - a^2 over 2 } RIGHT )]

선분 [eqn: rmCH]의 길이는
점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표와 같으므로 ([eqn: because] [eqn: a>0])
선분 [eqn: rm`CH]의 길이의 최솟값은

[eqn: {3} over {2} a+ {1} over {2a}][eqn: GEQ 2 sqrt {3 over 2 a TIMES {1} over {2a}}]=[eqn: root3]

[eqn: LEFT ( pile{ `# `}]단, 등호는 [eqn: a = sqrt3 over 3]일 때 성립한다.[eqn: pile{ `# `} RIGHT )]

15. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기

(가)에서

[eqn: a _{2} =a _{1} +3=4]

[eqn: a _{3} =a _{2} +3=7]

[eqn: a _{4} =a _{3} +3=10]

[eqn: a _{5} =a _{4} +3=13]

[eqn: a _{6} =a _{5} +3=16]

(나)에서

[eqn: a_50 = a_44 = a_38 = `cdots` = a_2 = 4]

16. [출제의도] 무리식을 활용하여 문제해결하기

별 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 표면 온도를 각각 [eqn: T _{rmA}], [eqn: itT _{rmB}],

반지름의 길이를 각각 [eqn: R _{rmA}], [eqn: R _{rmB}],

광도를 각각 [eqn: L _{rm A it}], [eqn: L _{rm B}]라 하면
[eqn: T _{rm A it} ={1over2}T _{rm B it}]이고 [eqn: R _{rmA} =36R _{rmB}]이다.

[eqn: L _{rmA} =kL _{rmB}]라 하면 [eqn: T _{rmA} ^{```2} = it {1} over {R _{rm A}} {sqrt{ {L _{rm A it} over {4 pi sigma }}]에서
[eqn: LEFT ( {1} over {2} T _{rm B it} RIGHT ) ^{`2} = it {1} over {36R _{rm B it}} sqrt {{kL _{rm B it}} over {4 pi sigma }}]

[eqn: {1} over {4} T _{rm B it} ^{```2} = {1} over {36 R_{rmB}} sqrt {{kL _{rm B it}} over {4 pi sigma }}]

[eqn: T _{rm B it} ^{```2} = {sqrt {k}} over {9} ` TIMES {1} over {R _{rm B it}} sqrt {{L _{rm B it}} over {4 pi sigma }} = sqrtk over 9 `times T_{rmB } ^{```2}]

[eqn: therefore] [eqn: sqrt k over 9 = 1]

따라서 [eqn: k=81]

17. [출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: sim p`` RARROW ``r]이므로 [eqn: P^C subset R] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: U = LEFT { `1,``2,``3 RIGHT }], [eqn: P = LEFT { `1,``2 RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { `2 RIGHT }],
[eqn: R= LEFT { `1,``3 RIGHT }]일 때, [eqn: P ⊄ Q`] (거짓)

ㄷ. [eqn: r ``RARROW `simq]에서 [eqn: q ``RARROWsim r]이므로

[eqn: Q subset R^C] [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: sim p` `RARROW`` r]에서 [eqn: sim r ``RARROW`` p]이므로

[eqn: R^C subset P]  [eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: sim r`` RARROW ``q]이므로

[eqn: R^C subset Q]   [eqn: cdots cdots]㉢

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: Q subset R^C subset P]이므로 [eqn: Q subset P]

[eqn: therefore] [eqn: P` cap Q = Q]

㉠, ㉢에 의하여 [eqn: Q = R^C]

[eqn: therefore] [eqn: P `cap Q = Q= R^C] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

18. [출제의도] 외분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm Q]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: rm B]

[eqn: -2n over m-n]

[eqn: 4m-3n over m-n]

삼각형 [eqn: rmOAQ]의 넓이가 [eqn: 16]이고,
삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES 2`=4]이므로
삼각형 [eqn: rmOBQ]의 넓이는 [eqn: 12]이다.

삼각형 [eqn: rmOBQ]의 밑변을 선분 [eqn: rmOB]로 하면
[eqn: bar{rmOB}=4]이므로 높이는 [eqn: 6]

점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -2n over m-n]이므로 [eqn: LEFT | {-2n}over{m-n} RIGHT |][eqn: =6]

[eqn: therefore] [eqn: {-2n} over {m-n}][eqn: =`-6] ([eqn: because] [eqn: m>n>0])

따라서 [eqn: 4n=3m]이므로 [eqn: {n} over {m} = {3} over {4}]

[다른풀이]

삼각형 [eqn: rmOAQ]의 넓이가 [eqn: 16], 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는 [eqn: 4]이므로 삼각형 [eqn: rmOBQ]의 넓이는 [eqn: 12]이다.

삼각형 [eqn: rmOAB]와 삼각형 [eqn: rmOBQ]는 각각 선분 [eqn: rmAB]와
선분 [eqn: rmBQ]를 밑변으로 할 때 높이가 같으므로

두 삼각형의 밑변의 길이의 비는 두 삼각형의
넓이의 비와 같다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: bar{rmAB][eqn: :][eqn: bar{rmBQ}]=[eqn: 4:12][eqn: =1:3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {bar{rm AQ it}}][eqn: :][eqn: bar{rmBQ}][eqn: =4:3][eqn: =m:n]

따라서 [eqn: {n} over {m} = {3} over {4}]

19. [출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) `= {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT )} over {4}][eqn: CDOTS cdots]㉠이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: = 1 times 2 times 3 = 6]

(우변)[eqn: = { 1 times 2 times 3 times 4 } over 4 = 6]

이므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} `k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) `= {m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT )} over {4}]                                           [eqn: cdots cdots]㉡

㉡의 양변에 [eqn: {BOX{``` LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT ) ``}}]을 더하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} `k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )]
[eqn: = {m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT )} over {4}][eqn: +][eqn: {BOX{``` LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT ) ``}}]

[eqn: = {m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT ) + 4 LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT ) } over {4}]

[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) TIMES {BOX{```` LEFT ( m+3 RIGHT ) LEFT ( m+4 RIGHT ) `````}}} over {4}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때에도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이
성립한다.

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) = LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( m RIGHT ) = LEFT ( m+3 RIGHT ) LEFT ( m+4 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) + g LEFT ( 3 RIGHT ) = 60+42 = 102]

20. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: y= {1} over {3} x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm H]

그림과 같이 직선 [eqn: rmAB]를 [eqn: x]축, 직선 [eqn: rmAD]를 [eqn: y]축으로
하는 좌표평면을 잡는다.

[eqn: bar {rmAB} : bar {rm BP} = 3:1]

직선 [eqn: rmAP]는 기울기가 [eqn: 1over3]이고 원점을 지나므로
직선 [eqn: rm AP]의 방정식은 [eqn: y={1over3}x]이다.

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 정사각형 [eqn: rm ABCD]의 한 변의
길이가 [eqn: 10]이므로 [eqn: rm O LEFT ( `5,``5 RIGHT )]이고, [eqn: bar {rmOQ} = 5]
점 [eqn: rm O LEFT ( `5,``5 RIGHT )]에서 직선 [eqn: x-3y=0]에 내린
수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: bar{rmOH}=][eqn: {LEFT | 5-15 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +3 ^{2}}} = {10} over {sqrt {10}} = sqrt {10}]

[eqn: therefore] [eqn: bar { rm QH}` = sqrt 15]

따라서 [eqn: bar { rm QR } = 2 sqrt 15]

21. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 활용하여 문제해결하기

이차함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의
좌표를 [eqn: LEFT ( `a,``ka RIGHT )]라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT )^2 + ka]
이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx+5]가
만나는 두 점의 [eqn: x]좌표 [eqn: alpha], [eqn: beta]는

방정식 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT )^2 +ka=kx+5]의 근이므로

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2a+k RIGHT )x+a ^{2} +ka-5=0]에서

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =2a+k]    [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: alpha beta =a ^{2} +ka-5]  [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 축이

직선 [eqn: x={ alpha + beta }over2 - 1 over 4]이므로 [eqn: { alpha + beta }over2 - 1 over 4 = a]

[eqn: therefore] [eqn: alpha + beta =2a+ 1 over 2]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: 2a+ 1 over 2 =2a+k]이므로 [eqn: k= 1 over 2]

[eqn: ㉡]에서 [eqn: alpha beta =a ^{2} +ka-5][eqn: =a ^{2} + 1 OVER 2 a-5]

따라서 [eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT | = sqrt {LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2}} = sqrt {LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta }]

[eqn: =root{ LEFT ( 2a+ 1 OVER 2 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( a ^{2} + 1 OVER 2 a - 5 RIGHT ) }]

[eqn: =root{81 OVER 4 } = 9 OVER 2]

22. [출제의도] 등비중항의 뜻 이해하기

세 수 [eqn: 3], [eqn: a], [eqn: 12]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
[eqn: a]는 [eqn: 3]과 [eqn: 12]의 등비중항이다.

따라서 [eqn: a ^{2} =3`times12=36]

23. [출제의도] 직선의 방정식 이해하기

두 점 [eqn: left(`-2,``-3 right)], [eqn: left(`2,``5 right)]를 지나는 직선의 방정식은 기울기가 [eqn: {5- LEFT ( -3 RIGHT )} over {2- LEFT ( -2 RIGHT )} =2]이므로

[eqn: y-5=2 LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: y= 2x +1]

이 직선이 점 [eqn: LEFT ( `a,``7 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 7=2a+1]

따라서 [eqn: a= 3]

24. [출제의도] 나머지정리 이해하기

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -7x]로 나눈 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]라 하면
나머지가 [eqn: x+4]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =LEFT ( x^2 -7x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +x+4]

[eqn: =x LEFT ( x-7 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +x+4]

나머지정리에 의하여 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-7]로
나눈 나머지는 [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]과 같다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-7]로 나눈 나머지는 [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) = 11]

25. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: a_n = S_n - S_n-1] ([eqn: n ge 2])이므로

[eqn: a_n ` = 2^n+2 -4 - ( 2^n+1 -4 )]

[eqn: = 2^n+1 LEFT ( 2-1 RIGHT )]

[eqn: =2^n+1] ([eqn: n ge 2])

[eqn: a_1 = S_1 = 4]

[eqn: therefore] [eqn: a_n = 2^n+1] ([eqn: n ge 1])

따라서 [eqn: a_7 =2^8 = 256]

26. [출제의도] 사차방정식의 해 이해하기

[eqn: LEFT ( x^2 - 5x RIGHT ) LEFT ( x^2 - 5x + 13 RIGHT )+42`=0`]

[eqn: x ^{2} -5x=t]라 하면

[eqn: t LEFT ( t+13 RIGHT ) +42=0]

[eqn: t ^{2} +13t+42=0]

[eqn: LEFT ( t+6 RIGHT ) LEFT ( t+7 RIGHT ) =0]

[eqn: t=x ^{2} -5x]이므로

[eqn: LEFT ( x ^{2} -5x+6 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -5x+7 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT (x-2 RIGHT ) LEFT (x^2 - 5x + 7 RIGHT )=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x^2 -5x+7 = 0]

[eqn: x ^{2} -5x+7=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=25-28=`-3<0]이므로

[eqn: x ^{2} -5x+7=0]은 허근을 갖는다.

따라서 모든 실근의 곱은 [eqn: 2times3=6]

27. [출제의도] 대칭이동을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A']

[eqn: y=x]

[eqn: rm P]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]라 하면 점 [eqn: rm A]를 직선 [eqn: y=x]에
대하여 대칭이동시킨 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `b,``a RIGHT )]이고,
점 [eqn: rmA]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rmA']이라
하면 [eqn: {rmA'}(`a,``-b)]이다. [eqn: bar{rmAP}=bar{rmA'P}]이므로
[eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PB it}}][eqn: = {bar{rm A prime P it}} + {bar{rm PB it}}]이고

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmA 'B] 위에 있을 때
최솟값 [eqn: bar{rmA'B}=10 sqrt {2}]를 갖는다.

[eqn: therefore] [eqn: {bar{rm A` prime B it}}][eqn: =root{ LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =root{2 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) }]

[eqn: =10root2]

따라서 [eqn: bar{rmOA}=][eqn: root{a ^{2} +b ^{2} }=10]

28. [출제의도] 일대일대응을 활용하여 추론하기

함수 [eqn: f(x) = a LEFT | x+2RIGHT | - 4x]는

(ⅰ) [eqn: x<`-2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( -x-2 RIGHT ) -4x]

[eqn: =`- LEFT ( a+4 RIGHT ) x-2a]

(ⅱ) [eqn: x`geq`-2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+2 RIGHT ) -4x]

[eqn: = LEFT ( a-4 RIGHT ) x+2a]

이므로

[eqn: f(x)= {cases{`- LEFT ( a+4 RIGHT ) x-2a``````&LEFT ( x`<`-2 RIGHT )#` LEFT ( a-4 RIGHT ) x+2a&LEFT ( x` GEQ `-2 RIGHT )}}]

함수 [eqn: f]가 일대일대응이므로

두 직선 [eqn: y=][eqn: `- LEFT ( a+4 RIGHT ) x-2a]와 [eqn: y=][eqn: LEFT ( a-4 RIGHT ) x+2a]의
기울기의 부호가 서로 같다.

[eqn: - LEFT ( a+4 RIGHT ) LEFT ( a-4 RIGHT ) >0]

[eqn: LEFT ( a+4 RIGHT ) LEFT ( a-4 RIGHT ) <0]

[eqn: therefore] [eqn: -4<a<4]

[eqn: -4<a<4]를 만족시키는 정수 [eqn: a]는
[eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]

따라서 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 7]

29. [출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x][eqn: =n]일 때의 [eqn: y]좌표가 양수인 점 [eqn: { rm P} _{n}]의 [eqn: y]좌표를
[eqn: y _{n}]이라 하면 점 [eqn: {rm P } _{n} it LEFT ( `n,``y _{n} RIGHT )]은
원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10 ^{2}] 위에 있으므로

[eqn: n ^{2} +y _{n} ^{````2} =10 ^{2}]

[eqn: y _{n} ^{````2} =10 ^{2} -n ^{2}]

점 [eqn: rmP _{it n} LEFT ( `itn,``y_n RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10 ^{2}]에 접하는

직선의 방정식은 [eqn: nx+y _{n}` y=10 ^{2}]

[eqn: y=`- {n} over {y _{n}} x+ {10 ^{2}} over {y _{n}}]

[eqn: y]절편 [eqn: a_n = {10^2 }overy_n][eqn: = {10 ^{2}} over {sqrt {10 ^{2} -n ^{2}}}]

[eqn: {100} over {a _{n}} = sqrt {10 ^{2} -n ^{2}}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{9}][eqn: LEFT ( {100} over {a _{n}} RIGHT ) ^{2}`][eqn: = sum _{n=1} ^{9} LEFT ( 100-n ^{2} RIGHT )]

[eqn: =900- {9 TIMES 10 TIMES 19} over {6}]

[eqn: =615]

30. [출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기

원 [eqn: C _{1}]의 중심은 [eqn: LEFT ( `a, ``b RIGHT )]이고, 원 [eqn: C _{1}]을 [eqn: y=x]에
대하여 대칭이동시킨 원 [eqn: C _{2}]의 중심은 [eqn: LEFT ( `b,``a RIGHT )]이다.

두 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]가 직선 [eqn: y=2x-2]와 모두 만나기
위해서는 두 원의 중심 [eqn: LEFT ( `a, ``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `b,``a RIGHT )]와
직선 [eqn: y=2x-2] 사이의 거리가 모두
원의 반지름의 길이 [eqn: sqrt {5}]보다 작거나 같아야 한다.

즉, [eqn: {LEFT | 2a-b-2 RIGHT |} over {sqrt {5}} LEQ sqrt {5}], [eqn: {LEFT | 2b-a-2 RIGHT |} over {sqrt {5}} LEQ sqrt {5}]

[eqn: therefore] [eqn: -3 LEQ 2a-b LEQ 7], [eqn: -3 LEQ 2b-a LEQ 7]

따라서 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]는

부등식 [eqn: -3 LEQ 2x-y LEQ 7]과
부등식 [eqn: -3 le 2y-x le 7]을
동시에 만족시키는 영역에 속하는 점이므로

[eqn: 2b-3a=k]라 하면 [eqn: k]가 최댓값을 가질 때는 직선
[eqn: 2y-3x=k]가 두 직선 [eqn: 2x-y=`-3], [eqn: 2y-x=7]이
만나는 점 [eqn: LEFT ( `1over3 ,``11over3 RIGHT )]을 지날 때이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: LEFT ( `1over3 ,``11over3 RIGHT )]

[eqn: 2y-3x =k]

그러므로 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 2 TIMES {11} over {3} -3 TIMES {1} over {3} = {19} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: p=3], [eqn: q=`19]

따라서 [eqn: p+q=22]