수리 영역

정답

1	①	2	②	3	④	4	④	5	②
6	⑤	7	①	8	④	9	⑤	10	④
11	②	12	③	13	①	14	⑤	15	③
16	⑤	17	⑤	18	④	19	③	20	③
21	②	22	11	23	40	24	16	25	10
26	20	27	24	28	11	29	30	30	81

해설

1. [출제의도]  집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: A SMALLINTER (A-B) ^{C} `]

[eqn: =A SMALLINTER (A SMALLINTER B ^{C} ```) ^{C}]

[eqn: = A SMALLINTER (A^C` cup B`)]

[eqn: = (A CAP A^C ```) cup (A cap B`)]

[eqn: = EMPTYSET cup (A cap B``)]

[eqn: =A SMALLINTER B]

2. [출제의도]  다항식 계산하기

[eqn: (3A+B)-(A+3B)`=2(A-B)]

[eqn: =2 LEFT { LEFT ( x ^{2} +2xy-y ^{2} RIGHT ) -(x ^{2} -xy+2y ^{2} ) RIGHT }]

[eqn: =6xy-6y ^{2}]

3. [출제의도] 이중근호를 이용한 무리식 계산하기

[eqn: sqrt {3-(1-sqrt3 )} + sqrt {1+(1-sqrt3 )} `]

[eqn: =sqrt {2+sqrt3} + sqrt {2-sqrt3 } `]

[eqn: = sqrt {{4+2 sqrt {3}} over {2}} + sqrt {{4-2 sqrt {3}} over {2}} `]

[eqn: = {sqrt {3} +1} over {sqrt {2}} + {sqrt {3} -1} over {sqrt {2}}]

[eqn: = sqrt {6} `]

4. [출제의도] 진리집합 사이의 포함관계 이해하기

[eqn: R``` SUBSET (P`` CUP Q)`]이므로 [eqn: r`` RARROW ``(`p`또는`q`)`]

5. [출제의도] 실수의 연산에 대한 성질 이해하기

[eqn: x=- LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) =- sqrt {2} +1]

[eqn: y= {1} over {sqrt {2} -1} = {sqrt {2} +1} over {2-1} = sqrt {2} +1]

[eqn: THEREFORE ``x+y=2]

6. [출제의도] 다항식의 약수, 배수 이해하기

[eqn: n ^{3} +7n ^{2} +14n+8=(n+1)(n+2)(n+4)]

[eqn: n ^{2} +4n+3`=(n+1)(n+3)]

∴필요한 타일의 개수는 [eqn: (n+2)(n+3)(n+4)]

7. [출제의도] 실수의 대소 관계 이해하기

[eqn: a+b>0,```a-b>0`,```ab<0] 에서

[eqn: a>0`,```b<0`,`` LEFT | `a` RIGHT | `> LEFT | `b` RIGHT |] 이므로,

[eqn: {1} over {a} `<`- {1} over {b}]이고, [eqn: A`<B]

또, [eqn: C-B`= {1} over {a} `>0] 이므로 [eqn: C```>B]

[eqn: THEREFORE ``A<B<C``]

8. [출제의도] 복소수의 연산의 성질 이해하기

계산기에 [eqn: 1]을 입력한 후,

[eqn: Z]를 한번 누르면, [eqn: LEFT ( - {1} over {2} + {sqrt {3}} over {2} i RIGHT ) ^{1} =- {1} over {2} + {sqrt {3}} over {2} i]

[eqn: Z]를 두번 누르면, [eqn: LEFT ( - {1} over {2} + {sqrt {3}} over {2} i RIGHT ) ^{2} =- {1} over {2} - {sqrt {3}} over {2} i]

[eqn: Z]를 세번 누르면, [eqn: LEFT ( - {1} over {2} + {sqrt {3}} over {2} i RIGHT ) ^{3} =1]이므로,

계산기에 [eqn: 2]를 입력하고, [eqn: Z]를 [eqn: 2009]번 누르면

[eqn: 2 LEFT ( - {1} over {2} + {sqrt {3}} over {2} i RIGHT ) ^{2009}]

[eqn: =2 LEFT { LEFT ( - {1} over {2} + {sqrt {3}} over {2} i RIGHT ) ^{3} RIGHT } ^{669} LEFT ( - {1} over {2} + {sqrt {3}} over {2} i RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =2 TIMES 1 TIMES LEFT ( - {1} over {2} - {sqrt {3}} over {2} i RIGHT )]

[eqn: =-1- sqrt {3} i]

[eqn: THEREFORE ``ab= sqrt {3}]

9. [출제의도] 부채꼴의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

꼭짓점 [eqn: rmA]에서 호 [eqn: arch{rm `BC` it}] 위의 모든 점까지의 길이는 일정하므로, 호 [eqn: arch{rm `BC` it}]가 직선 [eqn: l] 위를 구르는 동안 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: l]까지의 거리가 같다. 마찬가지로 호[eqn: arch{rm `CA` it}], [eqn: arch{rm `AB` it}]가 직선 [eqn: l]위를 구르는 동안 점 [eqn: rmB,```C]에서 직선 [eqn: l]까지의 거리가 각각 같다. 그러므로 뢸로 삼각형은 두 평행선 사이에서 움직이게 된다.

10.  [출제의도] 인수정리를 이용하여 계산하기

[eqn: P(a)=P(b)=P(c)=0]이므로

[eqn: P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)]이고,

[eqn: P(0)=-abc=-6]

[eqn: THEREFORE `abc=6]

그러므로 서로 다른 세 자연수 [eqn: a,``b,``c]는 각각 [eqn: 1,``2,``3]중 하나의 값을 갖는다.

이 때, [eqn: P(x)]를 [eqn: x-6]으로 나눈 나머지

[eqn: P(6)=(6-a)(6-b)(6-c)=60]

11. [출제의도] 확률의 뜻 이해하기

숫자 [eqn: 6] 에 깃발이 꽂히려면, 두 주사위의 눈의 수의 곱이 [eqn: 6,`````18,````30] 인 경우이다.

곱이 [eqn: 6] 인 경우 : [eqn: (1,`6),``(2,`3),``(3,`2),``(6,`1)]

곱이 [eqn: 18] 인 경우 : [eqn: (3,`6),``(6,`3)]

곱이 [eqn: 30] 인 경우 : [eqn: (5,`6),``(6,`5)]

[eqn: THEREFORE]확률은 [eqn: {8} over {36} = {2} over {9}]

12. [출제의도] 연산의 정의를 이해하여 추론하기

ㄱ. [eqn: PREC bar{1+2i} SUCC = PREC 1-2i SUCC =`- 2 `] (참)

ㄴ. [eqn: z=a+bi`]([eqn: a != 0`,``b != 0])에서

[eqn: ⧼`` {1} over {z} ``⧽=][eqn: PREC {1} over {a+bi} SUCC] [eqn: = PREC {a-bi} over {a ^{2} +b ^{2}} SUCC][eqn: =- {b} over {a}]

[eqn: =- PREC z SUCC] (참)

ㄷ. [eqn: PREC bar{z} + {1} over {z} SUCC][eqn: = PREC a-bi+ {1} over {a+bi} SUCC]

[eqn: = PREC {a ^{2} +b ^{2} +1} over {a+bi} SUCC]

[eqn: = PREC {(a ^{2} +b ^{2} +1)a`-(a ^{2} +b ^{2} +1)bi} over {a ^{2} +b ^{2}} SUCC]

[eqn: =`- {b} over {a}] (거짓)

13. [출제의도] 유리식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: {LEFT ( 지구의```인공중력 RIGHT )} over {LEFT ( 달의``인공중력 RIGHT )}][eqn: = {{100} over {9.81} LEFT ( {N _{E} TIMES pi } over {30} RIGHT ) ^{2}} over {{100} over {9.81} LEFT ( {N _{M} TIMES pi } over {30} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = LEFT ( {N _{E}} over {N _{M}} RIGHT ) ^{2} =6]

[eqn: THEREFORE `` {N _{E}} over {N _{M}} = sqrt {6}]

14. [출제의도] 집합의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: S= LEFT { 2`,```3`,```4 RIGHT } `]의 원소 중 소수는 [eqn: 2,`3]이므로  [eqn: N(S)=2`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: S=`U]이면, 원소 중 소수는 [eqn: 2,`3,`5,`7]이므로 [eqn: N(S)]의 최댓값은 [eqn: 4`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: N(S)=1]인 집합 [eqn: S`]는 집합 [eqn: LEFT { 1,4,6,8,9,10 RIGHT }]의 부분집합에 소수 하나만을 포함시킨 집합이므로 [eqn: 2 ^{6} TIMES 4][eqn: =][eqn: 2 ^{8} `]개이다. (참)

15. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 증명하기

[eqn: b]

[eqn: d]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm S]

[eqn: rm T]

[eqn: rm R]

[eqn: a`]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 60 DEG]

호 [eqn: arch{rm QT it}]와 [eqn: arch{rm PS it}]에 대한 중심각의 크기가 모두

[eqn: 40° TIMES 3=120°]이므로, 원주각의 크기는

[eqn: ANGLE rm QPT= ANGLE PTS=] [eqn: 60°]이다.

사각형 [eqn: rm PQST`]는 원에 내접하는 사각형이므로[eqn: ANGLE RMPQS`= ANGLE TSQ`=120 DEG]이고,

[eqn: ANGLE rm RQS= ANGLE rm RSQ=60 DEG]이다.

따라서 [eqn: rm TRIANGLE PRT]와 [eqn: rm TRIANGLE QRS]는 모두 정삼각형이다.

[eqn: THEREFORE d= rm bar{PT} = bar{PR} = bar{PQ} + bar{QR}][eqn: = bar{rm PQ it} + bar{rm QS it} `=a+b]

16. [출제의도] 삼각비를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

아래 그림과 같이 두 접선 [eqn: l`,```l prime `]에 동시에 접하는 원의 중심을 [eqn: rm C], 선분 [eqn: bar{rm OC it}]의 연장선위에 점 [eqn: rm O prime `]에서 내린 수선의 발을 [eqn: rm P`]라 하면,

[eqn: rm bar{OP} =8]이고, [eqn: rm ANGLE O O prime P=30 DEG]이므로

[eqn: sin30 DEG = {bar{rm OP it}} over {bar{rm OO prime it}} = {8} over {bar{rm OO prime it}} = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ``] [eqn: bar{rm OO prime ` it} =16]

[eqn: l prime]

[eqn: l]

[eqn: rm 30 DEG]

[eqn: rm 30 DEG]

[eqn: 8]

17. [출제의도] 유리식의 비 추론하기

ㄱ. [eqn: ad-bc=0```` LRARROW ````ad=bc``` LRARROW ``` {a} over {c} = {b} over {d}] (참)

ㄴ. [eqn: ` {a} over {c} = {b} over {d}]에서 [eqn: a=ck,`b=dk] ([eqn: k]는 비례상수)

[eqn: {a ^{2} +b ^{2}} over {c ^{2} +d ^{2}} = {(ck) ^{2} +(dk) ^{2}} over {c ^{2} +d ^{2}} = {k ^{2} LEFT ( c ^{2} +d ^{2} RIGHT )} over {c ^{2} +d ^{2}} =k ^{2}]

[eqn: {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( c+d RIGHT ) ^{2}} = {LEFT ( ck+dk RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( c+d RIGHT ) ^{2}} = {k ^{2} LEFT ( c+d RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( c+d RIGHT ) ^{2}} =k ^{2}] (참)

ㄷ. [eqn: {a ^{n} +b ^{n}} over {c ^{n} +d ^{n}} = {(ck) ^{n} +(dk) ^{n}} over {c ^{n} +d ^{n}} = {k ^{n} LEFT ( c ^{n} +d ^{n} RIGHT )} over {c ^{n} +d ^{n}} =k ^{n}]

[eqn: {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( c+d RIGHT ) ^{n}} = {LEFT ( ck+dk RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( c+d RIGHT ) ^{n}} = {k ^{n} LEFT ( c+d RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( c+d RIGHT ) ^{n}} =k ^{n}] (참)

18. [출제의도] 닮음비를 활용하여 수학 외적 문제 해결하기

1번, 9번 볼링핀을 각각 점[eqn: rm ``A,`B]라 할 때,

[eqn: 9:` bar{rm PB it} =`3:5]이므로[eqn: bar{rm PB it} =15][eqn: (rmm)]

[eqn: 3k]

[eqn: 5k]

[eqn: 9]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm B]

[eqn: 15]

[eqn: THEREFORE ``` bar{rm AB it} = sqrt {15 ^{2} -9 ^{2}} =12][eqn: (rmm)]

19. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 15]초, [eqn: 20]초 상품 광고의 개수를 각각 [eqn: x,``y]로 놓으면,  [eqn: x+y=10] ⋯ ①

(상품 광고 시간) [eqn: =15 TIMES 2x+20y] (초)

(광고 사이 시간) [eqn: =2x+y-1] (초)

총 광고 시간이 [eqn: 275]초 이므로

[eqn: 30x+20y+2x+y-1=275] ⋯ ②

①, ②를 연립하면 [eqn: x=6,``y=4]

[eqn: THEREFORE]방송 횟수의 합[eqn: =2 TIMES 6+4=16]

20. [출제의도] 유리식의 성질 추론하기

[eqn: x+ {1} over {x} =-1`` LRARROW ````x ^{2`} +x+1=0]이므로,

ㄱ. [eqn: 1+ {1} over {x} + {1} over {x ^{2}} = {x ^{2} +x+1} over {x ^{2}} =0] (참)

ㄴ. [eqn: x+x ^{2} +x ^{3} + {1} over {x} + {1} over {x ^{2}} + {1} over {x ^{3}} `]

[eqn: =x(1+x+x ^{2} )+` {x ^{2} +x+1} over {x ^{3}} `]

[eqn: =0] (거짓)

ㄷ. [eqn: x ^{3n} +x ^{3n+1} +x ^{3n+2} + {1} over {x ^{3n}} + {1} over {x ^{3n+1}} + {1} over {x ^{3n+2}}]

[eqn: =x ^{3n} (1+x+x ^{2} )+ {1} over {x ^{3n}} (1+ {1} over {x} + {1} over {x ^{2}} )]

[eqn: =x ^{3n} (1+x+x ^{2} )+ {1} over {x ^{3n}} TIMES {x ^{2} +x+1} over {x ^{2}}]

[eqn: =0] (참)

21. [출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: rmC]

[eqn: rmQ]

[eqn: 6]

[eqn: 3]

[eqn: 3sqrt { 3}]

[eqn: 1]

[eqn: bar{rm AQ it} `= sqrt {36-9} =3 sqrt {3}]

[eqn: bar{rm AD it} `= sqrt {1+27} =2 sqrt {7}]

원의 중심 [eqn: rmO]가 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심이므로

[eqn: bar{rm AO it} ``= {2} over {3} bar{rm AQ it} `=2 sqrt {3}]

[eqn: TRIANGLE rm ADQ]와 [eqn: TRIANGLE rm AOP]가 닮음이므로

[eqn: bar{rm AO it} ``:` bar{rm OP it} ```= bar{rm AD it} ``: bar{rm DQ it} ``# 2 sqrt {3} :` bar{rm OP it} `=2 sqrt {7} :1# ` bar{rm OP it} = sqrt {{3} over {7}}]

[eqn: THEREFORE]원의 넓이는 [eqn: {3} over {7} pi]

22. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 식의 값 계산하기

등식 [eqn: (a+b-3)x+ab+1=0]은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: a+b-3=0`,```ab+1=0]이고,

[eqn: a+b=3`,```ab=-1]이므로

[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab=11]

23. [출제의도] 곱셈공식 활용하여 계산하기

[eqn: a-b=4`,```ab=-2]이므로

[eqn: a ^{3} -b ^{3} =(a-b) ^{3} +3ab(a-b)=40]

24. [출제의도] 복소수 연산의 성질을 이용하여 명제 이해하기

조건 [eqn: p]를 만족하는 [eqn: x]의 범위는

[eqn: -3≤x<12]이다.

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로,

[eqn: -5]

[eqn: -3]

[eqn: 12]

[eqn: n-4]

상수 [eqn: n]의 범위는 [eqn: 12 ≤ n-4```]

[eqn: THEREFORE `n ≥ 16]

[eqn: THEREFORE `]최솟값은 [eqn: 16]

25. [출제의도] 삼각형의 넓이를 이용하여

수학 내적 문제 해결하기

[eqn: TRIANGLE rm POA=` TRIANGLE rm POB]이므로,

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES b`= {1} over {2} TIMES 2 TIMES a]

[eqn: THEREFORE ``2b=a]

[eqn: a`,``b`]는 [eqn: 20`]이하의 자연수이므로 [eqn: 2b=a]인 관계를 만족하는 점 [eqn: rm P( it `a`,```b`)]는

[eqn: (2`,`1),`(4`,`2),`(6`,`3),` CDOTS `,`(20`,`10)]이다.

∴ [eqn: 10]개

26. [출제의도] 약수와 배수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: B]	3	4	5	6	1	2	3	4	5	6	1	2	[eqn: CDOTS]
[eqn: A]	1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4	[eqn: CDOTS]

[eqn: B]가 두 바퀴 회전하는 동안 같은 숫자가 [eqn: 4]회 [eqn: A]와 맞물리고, [eqn: B]가 열 바퀴 회전하면서 [eqn: A]와 같은 숫자가 맞물린 횟수는 [eqn: 20] 회이다.

27. [출제의도] 인수정리와 항등식의 성질 이해하기

[eqn: f(0)=4]이고,

[eqn: f(x)]는 [eqn: x ^{2} +x+1]로 나누어 떨어지므로

[eqn: f(x)=(x ^{2} +x+1)(ax+4)] …①

또, [eqn: f(x)+12]는 [eqn: x ^{2} +2]로 나누어 떨어지므로

[eqn: f(x)+12=(x ^{2} +2)(ax+8)] …②

①, ②에서

[eqn: (x ^{2} +x+1)(ax+4)=(x ^{2} +2)(ax+8)-12]

[eqn: ax ^{3} +(a+4)x ^{2} +(a+4)x&+4`#&=ax ^{3} +8x ^{2} +2ax+4]

계수비교법에 의하여 [eqn: ``a=4]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(x)=(x ^{2} +x+1)(4x+4)]

[eqn: THEREFORE][eqn: `f(1)=24]

28. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

[eqn: 180 DEG]

위의 그림에서 내부의 모든 교점들을 연결한 작은 삼각형들은 모두 한 변의 길이가 반지름의 길이 1과 같으므로 정삼각형이다. 따라서 [eqn: bar{rm AB}]는 원의 지름이고, [eqn: arch{rm `AB` it} `=` pi]

위의 그림에서 작은 삼각형은 모두 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다.

[eqn: arch{rm `AC`` it} =2 pi TIMES {60 DEG } over {360 DEG } = {pi } over {3}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: CDOTS]

[eqn: {rm `D`}]

[eqn: {rm `B`}]

[eqn: {rm `C it}]

[eqn: {rm `A`}]

[eqn: arch{rm `AB` it} `=` pi], [eqn: arch{rm `AC`` it} = arch{rm `BD`` it} = arch{rm `EF`` it} = arch{rm `GH`` it} = {pi } over {3}]이므로,

따라서 가장 아랫부분에 10개의 원이 있는 경우 실선의 길이는 [eqn: {pi} over {3} TIMES 8 TIMES 3+pi TIMES 3=11pi]

29. [출제의도] 몫과 나머지를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

학생의 마지막 번호를 [eqn: N`]이라 하자

규칙에 따른 몫과 나머지는 아래의 표와 같다.

[eqn: R=0]인 번호	[eqn: R=1]인 번호	[eqn: R=2]인 번호
	[eqn: 1=3 TIMES 0+1]	[eqn: 2=3 TIMES 0+2]
[eqn: 3=3 TIMES 1+0]	[eqn: 4=3 TIMES 1+1]	[eqn: 5=3 TIMES 1+2]
[eqn: 6=3 TIMES 2+0]	[eqn: 7=3 TIMES 2+1]	[eqn: 8=3 TIMES 2+2]
[eqn: VDOTS]
[eqn: 3 TIMES (n-1)+0]	[eqn: 3 TIMES (n-1)+1]	[eqn: 3 TIMES (n-1)+2]
[eqn: N=3 TIMES n+0]

사탕의 개수는 번호의 몫의 합이므로

[eqn: R=0]인 번호 [eqn: 1+2+3+ CDOTS +n`= {n(n+1)} over {2}]

[eqn: R=1]인 번호 [eqn: 1+2+3+ CDOTS +(n-1)`= {(n-1)n} over {2}]

[eqn: R=2]인 번호 [eqn: 1+2+3+ CDOTS +(n-1)`= {(n-1)n} over {2}]

초콜릿의 개수는 번호의 나머지의 합이므로

[eqn: R=0]인 번호 [eqn: 0 TIMES n=0]

[eqn: R=1]인 번호 [eqn: 1 TIMES n=n]

[eqn: R=2]인 번호 [eqn: 2 TIMES n=2n]

따라서 가져간 사탕과 초콜릿의 총 개수는

[eqn: {n(n+1)} over {2} + {(n-1)n} over {2} TIMES 2`+3n``=175](개)

[eqn: 3n ^{2} +5n-350=0]

[eqn: (3n+35)(n-10)=0]

[eqn: THEREFORE ``n=10`(`n>0)]이고, [eqn: N=30]

[eqn: THEREFORE `]학생수는 30명

30. [출제의도] 식의 계산을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 69 DEG `][eqn: =19 DEG +23 DEG +27 DEG]이므로 켜져 있는 부채꼴의 계이름은 도, 레, 미이다. 전구가 켜져 있기 위해서는 계이름을 홀수번 눌러야 하므로 빈칸의 계이름은 도, 파, 솔이다. 따라서 도, 파, 솔에 해당하는 부채꼴의 중심각의 크기의 합은 [eqn: 19 DEG +29 DEG +33 DEG =81 DEG]이다.

[eqn: THEREFORE ``x=81]