2012학년도 경찰대학 1차시험 (수리영역)

※ 총 4쪽 25문항입니다. 각 문항의 답을 하나만 고르시오.

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1. [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z} =0,```x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =2`]일 때, [eqn: (x+y+z)^12`]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

2. 다음 두 조건을 만족시키는 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]의 순서쌍 [eqn: (A,B)]의 개수는?

(가) [eqn: A]와 [eqn: B]는 집합 [eqn: LEFT { 1,``3,``5,``7,``9,``11 RIGHT }]의 부분집합이다.

(나) [eqn: A-B= LEFT { 1,``3,``5 RIGHT }]

① [eqn: 17]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 31]

3. [eqn: x]에 대한 일차방정식 [eqn: a(ax-1)-(x+1)=0`]이 근을 갖지 않을 때, [eqn: x ^{2} -(4a-1)x-5a+1=0`]의 두 근 [eqn: alpha ,`` beta]에 대해 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}`]의 값은?

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

4. [eqn: 7]개의 숫자 [eqn: 0,````1,````2,````3,````5,````6,````7] 중 서로 다른 [eqn: 4]개를 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, [eqn: 25]의 배수가 되는 경우의 수는?

① [eqn: 48]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 64]

5. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: lim_{x->0} {f(3x-x^2 ) - f(0)} over x = 1 over 3]

일 때, [eqn: f prime (0)]의 값은?

① [eqn: 1 over 9]	② [eqn: 1 over 6]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

6. 실수 [eqn: x,``y]에 대하여 [eqn: LEFT ( {1+i} over {1- sqrt {3} i} RIGHT ) ^{13} =x+yi`]가 성립할 때, [eqn: |x|`+`|y|`]의 값은? (단, [eqn: i = root -1])

① [eqn: {1} over {2^8}]	② [eqn: {1} over {2^7}]	③ [eqn: {sqrt{3}} over {2^7}]

④ [eqn: {sqrt{3}} over {2^6}]	⑤ [eqn: {1+sqrt{3}} over {2^6}]

7. 방정식 [eqn: sqrt {15} x ^{log _{`15} `x} =x ^{2} `]의 모든 실근의 곱은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 15^2]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 15 over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {15}]

8. 역행렬이 존재하는 행렬 [eqn: X]에 대하여 [eqn: f(X)=X+X ^{-1}]이라 하자. 행렬 [eqn: A]가

[eqn: A ^{2} +A+E= \O]

을 만족할 때, [eqn: f(A) f LEFT ( A ^{2 ^{1}} RIGHT ) f LEFT ( A ^{2 ^{2}} RIGHT ) `` CDOTS f LEFT ( A ^{2 ^{13}} RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: E]는 단위행렬, [eqn: \O]은 영행렬이다.)

① [eqn: E]	② [eqn: -E]	③ [eqn: rm O]

④ [eqn: A]	⑤ [eqn: A-A ^{-1}]

9. 열린구간 [eqn: (0,``2)]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x`)`= cases{{} _{`} 4x`-3 _{}&`````(0 le x<1) # ax ^{2} +bx& ````(1 le x le2)}]  (단, [eqn: a,~b]는 상수)

일 때, [eqn: lim_{n-> inf} 1 over n sum_k=1 ^n f left( 2k over n right)]의 값은?

① [eqn: - 3 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 7 over 3]	⑤ [eqn: 6]

10. 곡선 [eqn: f(x)=`-x ^{3``} `-x ^{2} +x`+1`]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역[eqn: A= LEFT { (x,``y)|```-1 le x le 1,`````0 le y le f(x) RIGHT }]에서 [eqn: 3x+4y]의 최댓값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

11. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ax ^{2} -bx+3c=0`]이 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+2b+3c]의 값은?

(가) [eqn: a,`` b,`` c]는 한 자리의 자연수이다.

(나) 두 근 [eqn: alpha,`` beta]에 대하여 [eqn: 1< alpha <2, `` 5< beta < 6`]이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 48]

12. 이산확률변수 [eqn: \X]는 [eqn: 1,``2,``3, CDOTS ,``90]의 값을 가질 때, 확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수는

[eqn: rm P it ( rm X it =x)=a```cos ^{2} (x ^{CIRC } )] (단, [eqn: a는````상수])

이다. 이때, 확률 [eqn: {rm P}(30 LEQ {rm X} LEQ 60)]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {31} over {89}]	③ [eqn: {31} over {90}]

④ [eqn: {62} over {89}]	⑤ [eqn: {31} over {45}]

13. 점 [eqn: rm {A} it rm _{n}]의 좌표가 [eqn: LEFT ( LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} cos {n pi } over {3} ,`` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} sin {n pi } over {3} RIGHT )]일 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } bar{rm A it rm _{n} rm A it rm _{n+1} it}`]의 값은?

① [eqn: {3 sqrt {13}} over {4}]	② [eqn: { sqrt {13}}]	③ [eqn: {5 sqrt {13}} over {4}]

④ [eqn: {3 sqrt {13}} over {2}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {13}} over {4}]

14. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을

[eqn: a _{n+1} =n(-1) ^{n} -3a _{n} ``````(n=1,``2,``3, CDOTS )]

으로 정의한다. [eqn: a _{1} =`a _{2012} +2``]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{2011} a _{n}``]의 값은?

① [eqn: 501]	② [eqn: 351]	③ [eqn: 251]

④ [eqn: -251]	⑤ [eqn: -501]

15. 경찰대학 체력측정에서 참가자의 약 [eqn: 94%] (오차의 한계 [eqn: 0.5%])가 정해진 기준을 만족시켰다고 한다. 이때, 가능한 참가자 수의 최솟값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 25]

16. 두 수 [eqn: 2 ^{n}]과 [eqn: 5 ^{n}]의 최고 자릿수가 [eqn: a]로 같아지도록 하는 자연수 [eqn: n]과 [eqn: a]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: a CDOT 10 ^{``p} <2 ^{``n} <(a+1) CDOT 10 ^{``p}]인 자연수 [eqn: p]가 있다.

ㄴ. [eqn: a ^2 < 10 ^{`r} < (a+1) ^{2}]인 자연수 [eqn: r]가 있다.

ㄷ. [eqn: a]의 값이 7이 되도록 하는 [eqn: n]이 있다.

<보 기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 좌표평면에서 [eqn: y`` GEQ ``4x ^{2} ``+``2px``-``9]가 나타내는 영역을 [eqn: A`]라 하고, [eqn: A]를 원점에 대하여 대칭이동한 영역을 [eqn: B`]라 할 때, [eqn: A` SMALLINTER B`]의 넓이는? (단, [eqn: p]는 상수이다.)

① [eqn: 9]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 24 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 72]

18. 자연수 [eqn: n`]을 삼진법으로 나타내어 [eqn: (a _{k} a _{k-1} CDOTS a _{1} ) _{(3)}`]이라 할 때, [eqn: sum_{j=1}^ k {a_j} over 3^j`]를 [eqn: b _{n}]이라 하자. [eqn: sum_{n=1} ^{80}` b_n`]의 값은?

① [eqn: 81 over4]	② [eqn: 80 over 3]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 81 over 2]

19. 그림과 같이 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원 위의 점 [eqn: rm A]에 대하여 [eqn: sin LEFT ( ANGLE rm OAB RIGHT ) = {1} over {3}]이 되도록 원 위에 점 [eqn: rm `B]를 잡는다. 점 [eqn: rm `B]에서의 접선과 선분 [eqn: rm `AO]의 연장선이 만나는 점을 [eqn: rm `C]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ACB]의 넓이는?

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

① [eqn: 24 over 7 sqrt{2}]	② [eqn: {26} over {7} sqrt {2}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]
④ [eqn: {30} over {7} sqrt {2}]	⑤ [eqn: {32} over {7} sqrt {2}]

20. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -10x-5=ax+b]가 두 양의 실근 [eqn: alpha, `` beta]를 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p]라 하고, 그때의 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 최솟값을 [eqn: q]라 하자. [eqn: p]와 [eqn: q]의 곱 [eqn: pq`]의 값은?

① [eqn: -9]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: - 9 over 2]	⑤ [eqn: -18]

21. [eqn: left{(x,``y)`|``y`` GEQ ``4x ^{2} ``-``2ax``+a``,``y`` LEQ ``-4x ^{2} ``+``3a`` right}]가 공집합이 되지 않도록 하는 실수 [eqn: a`]의 범위는?

① [eqn: a`` LEQ ``-16`], [eqn: a``ge``0`]	② [eqn: -16`` LEQ ``a`` LEQ ``0`]

③ [eqn: a`` LEQ ``-12`], [eqn: a`` GEQ ``0`]	④ [eqn: -12`` LEQ ``a`` LEQ ``0`]

⑤ [eqn: a`` LEQ ``-8`], [eqn: a``ge``0`]

22. 각 자릿수의 계승의 합이 자신과 같은 수의 집합을 [eqn: M``]이 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (예를 들어, [eqn: 1!+2!+3! = 9]는 [eqn: 123]과 다르므로 [eqn: 123]은 [eqn: M``]의 원소가 아니다.)

ㄱ. 두 자리의 자연수는 [eqn: M``]의 원소가 될 수 없다.

ㄴ. [eqn: M``]의 원소인 세 자리 자연수의 각 자릿수는 7보  다 작다.

ㄷ. [eqn: M``]에는 8자리 이상의 자연수가 존재하지 않는다.

<보 기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

23. [eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 각각 들어 있는 두 상자 [eqn: rm A,~B]가 있다. [eqn: rm A,~B]에서 임의로 각각 [eqn: 4]개의 공을 동시에 뽑아 네 자리 자연수 [eqn: a,~b]를 만든다. 이때, [eqn: a]와 [eqn: b]를 서로 같은 자리의 수끼리 비교하였을 때, 어느 자리의 수도 서로 같지 않을 확률은?

ⓛ [eqn: {49} over {120}]	② [eqn: {17} over {40}]	③ [eqn: {53} over {120}]

④ [eqn: {11} over {24}]	⑤ [eqn: {19} over {40}]

24. 곡선 [eqn: f(x)=x^4 - 3x^2 + 6x +1] 위의 서로 다른 두 점에서 접하는 직선의 방정식은?

① [eqn: y= 6x - 5 over 4]	② [eqn: y= 3x - 5 over 2]	③[eqn: y= 6x + 5 over 4]

④ [eqn: y= 3x + 5 over 4]	⑤ [eqn: y= 3x + 5 over 2]

25. 자연수 [eqn: n]에 대하여 수직선 위의 점 [eqn: rm A _{it n rm} ( it x _{n} )]이 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

(가) [eqn: x _{1} =1,~x _{2} =a] (단, [eqn: a]는 자연수)

(나) [eqn: rm A _{it n+2 rm}]는 선분 [eqn: rm A _{it n rm} A _{it n+1 rm}]을 [eqn: 1-t:t]로 내분하는 점이다. (단, [eqn: 0<t<1])

(다) [eqn: lim _{n -> INF } {} x _{n}]의 값이 정수가 되게 하는 실수 [eqn: t]의 개수는 [eqn: 11]이다.

① [eqn: 45]	② [eqn: 47]	③ [eqn: 49]

④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 53]

※확인사항

▷ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입․표기 했는지 확인하시오.