• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	③	2	①	3	⑤	4	④	5	①
6	①	7	②	8	①	9	④	10	⑤
11	④	12	③	13	③	14	②	15	②
16	③	17	⑤	18	[eqn: 35]	19	[eqn: 120]	20	[eqn: 3]
21	[eqn: 12]	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 380]	24	[eqn: 9]	25	[eqn: 50]

해 설

1. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root {3} of {8} ÷2 ^{-2} ``= LEFT ( 2 ` ^{3} RIGHT ) ^{{1} over {3}} ÷2 ^{-2} =2 ` ^{1-(-2)} =2 ` ^{3} =8]

2. [출제의도] 역행렬을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: B ^{`-1} `A``= LEFT ( A ^{-1} B`` RIGHT ) ^{-1}]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: `-1]

3. [출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{x` -> 0} { {root{2x+1 }-1}over{x^2 +x}}][eqn: = lim _{x` -> 0} { {2} over {(x+1)( sqrt {2x+1} +1)} }=1]

4. [출제의도] 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: int _0 ^ 1 pi x^2 dy = int _0 ^ 1 pi left(1- y^2 right) ^2 dy = int _0 ^ 1 pi left(y^4 - 2y^2 +1 right) dy]

[eqn: =pi left[ 1 over 5 y^5 - 2 over 3 y^3 + y right] _0 ^1 = 8 over 15 pi]

5. [출제의도] 직선의 방정식을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: l:{x-7}over{2}={y-14}over{3} =z`]이고 방향벡터는 [eqn: vec{d} `=(2,~3,~1)]이므로 수선의 발 [eqn: rm H]를 [eqn: rm H(it 2t+7`,`3t+14`,~t`)]라 하면

[eqn: vec{rm OH it} CDOT vec{d} =0]에서 [eqn: 2(2t+7)+3(3t+14)+t=0] ∴[eqn: t=-4]

따라서 [eqn: rm H][eqn: (-1,`2,`-4)]이므로 [eqn: a+b+c=-3]이다.

6. [출제의도] 함수가 증가하기 위한 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(1) [eqn: x>=2a]일 때, [eqn: f`` prime (x)=3x ^{2} +12x+15>0]이므로

함수 [eqn: f(x)]는 증가한다.

(2) [eqn: x <= 2a]일 때, [eqn: f`` prime (x)=3(x+5)(x-1)]이므로

함수 [eqn: f(x)]가 증가하려면 [eqn: 2a <= - 5], [eqn: a <= - 5 over 2]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: - 5 over 2]이다.

7. [출제의도] 함수가 미분가능할 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f` prime `(x)=k(x-1)(x+1)`]이고 [eqn: f(-1)=3], [eqn: f(1)=-1]

∴[eqn: f(x)=x ^{3} -3x+1`], [eqn: f` prime `(x)=3x ^{2} -3``]

[eqn: g`` prime (x)= cases{``0~~~~~&(x < -1,`````x > 1)#3x ^{2} -3&(-1 <= x <= 1)}`]에서

ㄴ. [eqn: g`` prime (x) <= 0] (참)

ㄷ. [eqn: g`` prime (x) >= -3]이므로 [eqn: g`` prime (x)]의 최솟값은 [eqn: -3`] (거짓)

8. [출제의도] 이차곡선의 정의와 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm overline{ F`'P} = ita ,~ rm overline FP = it b`]라 하면 [eqn: a-b = 4]

[eqn: rm angle F`'PF = pi over 2]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {10} RIGHT ) ^{2} =`40]

따라서 [eqn: a=6,~b=2`]이므로 [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm PFF prime RIGHT ) = {2} over {2 sqrt {10}} = {sqrt 10} over { {10}}]

9. [출제의도] 적분을 이용하여 주어진 함수의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: g`(-1`)= int _{-1} ^{1} {} `f``(t`)`dt``=0] (참)

ㄴ. 함수 [eqn: g(x)`]는 개구간 [eqn: (`1,`2`)`]에서 증가한다. (거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: g(x)=2]의 실근은 [eqn: -4,][eqn: ``-2,][eqn: ``4,``6`]이므로

[eqn: -4-2`+`4`+`6``=`4`]이다. (참)

10. [출제의도] 함수의 연속을 이해하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x -> +0} {} f left(f(x) right)= lim _{t -> -1+0} {} f(t)=0]이고

[eqn: lim _{x -> -0} {} f(f(x))= lim _{t -> 1-0} {} f(t)=0]이므로 [eqn: lim _{x -> 0} `{} ``f(f(x))=0]

[eqn: f(f(0)) =`0]이므로 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

ㄷ. [eqn: a neq0]일 때, [eqn: lim _{x -> a} `{``f(x)f(-x)} =- lim _{x -> a} {` LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: a =0]일 때, [eqn: - lim _{x -> +0} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} =`- lim _{x -> -0} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} =`-1]

따라서 [eqn: -2<a<2`]인 모든 실수 [eqn: `a`]에 대하여  [eqn: lim _{x -> a} {} ``f(x)f(-x)]의 값이 존재한다. (참)

11. [출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: RM A]를 원점, 직선 [eqn: rm `AD]를 [eqn: x`]축, 직선 [eqn: RM`AB]를 [eqn: y`]축으로 하면 점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: rm C` LEFT ( 2 sqrt {3} `,`-2 RIGHT )]이다.

원 [eqn: left (x-2 sqrt 3 right) ^{2}} +(y+1) ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rm P( it x,``y)]에 대하여

[eqn: rm vec{AC} CDOT vec{AP}][eqn: =`2 sqrt {3} x `-2y]

[eqn: `2 sqrt {3} x `-2y=k`]라 하면 [eqn: 10<=k<=18]일 때, 직선과 원이 만나므로 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 18]이다.

12. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 80``=10` LEFT ( `12+log` {I} over {1 ^{2}} ` RIGHT ) `=120+10`log`I``]에서 [eqn: log`I```=-4``]

∴[eqn: a`` & =10` LEFT ( 12+log` {I} over {10 ^{2}} RIGHT ) & =120+10`log`I``-20 & =60]

13. [출제의도] 수학적귀납법으로 부등식의 증명을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가) : [eqn: 2], (나) : [eqn: 4` LEFT ( `k+1` RIGHT ) ^{2}], (다) : [eqn: 2k+1]

14. [출제의도] 상용로그의 가수를 이해하고 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log``x ^{3} `-log`x=3`log`x-log`x=2`log`x=](정수)이므로

ㄱ. [eqn: sqrt {10} <x<1000]에서 [eqn: 1<2`logx<6]

[eqn: THEREFORE][eqn: N``` LEFT ( sqrt {10} `,``1000` RIGHT ) ``=`4] (참)

ㄴ. [eqn: 10 ^{``p} <x<10 ^{```p+10}]에서 [eqn: 2p<2`log`x<2p+20]

[eqn: THEREFORE][eqn: N``(10 ^{``p} `,``10 ^{``p+10} )`=19] (참)

ㄷ. [eqn: 2 ^{10} <x<2 ^{50}]에서 [eqn: 6.02<2`log`x<30.10]

[eqn: THEREFORE][eqn: N`` LEFT ( `2 ^{`10} `,``2 ^{`50} ` RIGHT ) ``=`24] (거짓)

15. [출제의도] 정규분포를 따르는 확률변수에 대한 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

더덕 한 뿌리의 무게를 [eqn: X``]라 하면 확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N it ` LEFT ( `40`,``5 ^{`2} ` RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm P it `(30` <= X``<`45`)`][eqn: =` rm P it `(-2 <= Z``<`1)`][eqn: =`0.8185``]

16. [출제의도] 규칙성을 찾아 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =(2n+1) ^{2}]

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} (2k+1) ^{2}]

[eqn: ={4n ^{3} -n} over {3}]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n ^{3}}} = 4over3]

17. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: T_n]의 면의 개수를 [eqn: a _{n} `], 꼭짓점의 개수를 [eqn: b _{n}]이라 하면,

[eqn: b _{`1} =4], [eqn: b _{n+1} =3b _{n}]에서 [eqn: b _{n} =`4 CDOT 3 ^{n-1}]

[eqn: a _{`1} =4], [eqn: a _{n+1} =a _{n} +`b _{n} =a _{n} +4 CDOT 3 ^{n-1}]

∴[eqn: a _{6} & =4+ sum _{k=1} ^{5} 4 CDOT 3 ^{k-1} =`488]

18. [출제의도] 이항계수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( `x ^{2} ``-``1` RIGHT ) ^{7}]의 전개식에서 일반항은 [eqn: ` _{7} rm C _{it r rm} LEFT ( it x ^{2} RIGHT ) ^{7-r} (-1) ^{it r rm }]이므로 [eqn: x ^{6}]의 계수는 [eqn: ` _{7} rm C _{4} (-1) ^{4} =35`]이다.

19. [출제의도] 함수의 연속성을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)]는 삼차항의 계수가 [eqn: 2]인 삼차함수이고

[eqn: f(-1)=f(0)=f(1)=0]이므로 [eqn: f(x)=2x(x-1)(x+1)]

∴[eqn: f(4)=120]

20. [출제의도] 무리방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {f(2x)-x}` =A`]라 하면 [eqn: A^2 - 2 = A], [eqn: A= 2 ~ (∵` A>=0)]

∴[eqn: f(2x) - x = 4], [eqn: f(t)= {1} over {2} t+4]이므로 [eqn: t= `-2 ,~ 8]

따라서 [eqn: x= `-1,~ 4]이므로 모든 실근의 합은 [eqn: 3]이다.

21. [출제의도] 공간에서의 벡터의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

좌표공간에서 [eqn: rm `B(0,``0,``0)], [eqn: rm D(0,``6,``0)], [eqn: rm C`` LEFT ( 3 sqrt {3} ,``3,``0 RIGHT )]이라 하면 [eqn: rm A LEFT ( sqrt {3} ,``3,``2 sqrt {6} RIGHT )], [eqn: rm E left( sqrt {3} ,``3,``-2 sqrt {6} right)]이다.

[eqn: rm vec{BA} = LEFT ( sqrt {3} ,``3,``2 sqrt {6} RIGHT )], [eqn: rm vec{DE} = LEFT ( sqrt {3} ,``-3,``-2 sqrt {6} RIGHT )]

∴[eqn: rm LEFT | `` vec{BA} ``+ vec{DE} ``` RIGHT | ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} =12]

22. [출제의도] 행렬과 연립방정식의 관계와 부등식의 영역을 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{``4&``-1``#``1&````````2`} pmatrix{``x`#`y`} `=k` pmatrix{`x`#`y`}]에서 [eqn: pmatrix{4-k&`-1#1&`2-k} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`}]

[eqn: (4-k)(2-k)+1=0] ∴[eqn: k=3]

따라서 [eqn: x-y=0`]이므로 두 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (alpha,``beta`)`]의 개수는 [eqn: 21`]이다.

23. [출제의도] 수열의 성질과 이산확률분포의 성질을 이용하여 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { `p _{n} `RIGHT } `]은 등차수열이므로

[eqn: p _{`1} `+`p _{`2} `+`p _{`3} `+`p _{`4} `+`p _{`5} ``=`1`]에서 [eqn: p _{`1} `+`p _{`5} ``=` {2} over {5} ``]

[eqn: p _{`5} `-`p _{`1} ``=` {8} over {25} `]에서  [eqn: p _{`1} `=` {1} over {25} `,``p _{`5} ``=` {9} over {25} ``]

[eqn: rm E it `(`100X``)`][eqn: =100` LEFT ( {1} over {25} + {6} over {25} + {15} over {25} + {28} over {25} + {45} over {25} RIGHT ) `=380]

24. [출제의도] 좌표공간에서 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A LEFT ( 1,`0,` sqrt {3} RIGHT ) ,`B LEFT ( 0,`3,`2 sqrt {3} RIGHT )]이므로 [eqn: rm bar{AC} ``= sqrt {3} ,~ bar{BD} ``=2 sqrt {3}]

[eqn: l:4x+3y+1=0], [eqn: z=0`]에서 [eqn: rm bar{CE} `=1,`` bar{DF} `=2] ∴[eqn: rm bar{EF} `=3]

[eqn: rm bar{AE} `=2,`` bar{BF} `=4]이므로 [eqn: □ rm AEFB`][eqn: = 1 over 2 times left(2+4) times3 = 9]

25. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

반지름의 길이가 가장 긴 원판을 [eqn: A`]라 할 때, [eqn: A`]위에 원판이 [eqn: 1`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 3`]개, [eqn: 4`]개 놓이는 경우는 각각 [eqn: {} _{4} {rmC} _{`1} times3!`=`24], [eqn: {} _{4} rm C it rm _{`2} TIMES 2!`=`12], [eqn: {} _{4} rm C it rm _{`3} TIMES 2!`=`8], [eqn: {} _{4} rm C it rm _{`4} TIMES 3!`=`6]이다. 따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 24+12+8+6`=`50]

[미분과 적분]

26	②	27	③	28	④	29	⑤	30	[eqn: 17]

26. [출제의도] 배각의 공식을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ( sin theta + cos theta ) ^2 = 1 + sin 2 theta = 5 over 4] ∴[eqn: sin theta +cos theta ```= {sqrt {5}} over {2}]

27. [출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)`=``ln` ` root {3} of {x}]이므로 [eqn: g `(` x `)` = `e ` ^{3x}]이다.

[eqn: lim _{x -> +0} {{f`(g(``x``)` )`} over {g``(``x``)``-``1}} `][eqn: =` lim _{x -> +0} {{x`} over {e`` ^{3x} ``-``1}} `][eqn: =` {1} over {3}]

28. [출제의도] 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: int _{ 1} ^{ 3over2} f`(2x) }dx=7]에서 [eqn: ``int _{ 2} ^{ 3} f(x) dx = 14]

[eqn: int _{ 1} ^{ 4over3} f`(3x) }dx=1]에서 [eqn: ``int _{ 3} ^{ 4} f(x) dx = 3]

[eqn: int _{2001} ^{2012} {} f`(`x`)d`x`= int _{1} ^{12} {} ``f`(`x`)dx]

[eqn: =`` int _{1} ^{2} {} f`(`x`) dx][eqn: + 5 int _{2} ^{4} {} f`(`x`)dx][eqn: =88]

29. [출제의도] 평균값의 정리를 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: g`(`x`)`=`-sinx int _{- {pi } over {2}} ^{x} {} f(t)dt+cosx CDOT f(x)]

ㄱ. [eqn: g`(`0`)`][eqn: =``0`] (∵[eqn: f(`0`)=0]) (참)

ㄴ. [eqn: g(-x)=-sin(-x) int _{- {pi } over {2}} ^{-x} {} f(t)dt+cos(-x) CDOT f(-x)]

[eqn: =sinx`` LEFT ( int _{- {pi } over {2}} ^{-x} {} f(t)dt+ int _{-x} ^{x} {} f(t)dt right)-cosx CDOT f(x) RIGHT .]

[eqn: =sinx int _{- {pi } over {2}} ^{x} {} f(t)dt-cosx CDOT f(x)]=[eqn: -g(x)] (참)

ㄷ. [eqn: g `LEFT (` - {pi } over {2} `RIGHT ) `=`g`(`0`)]이므로 평균값의 정리에 의해 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ,``0 RIGHT )]에서 [eqn: g`'(c) =0]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다. 마찬가지로 [eqn: LEFT ( 0,~ {pi } over {2} RIGHT )]에서 [eqn: g`'(c) =0]인 [eqn: c]가 적어도 하나 존재한다. (참)

30. [출제의도] 도형의 넓이의 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rmP]가 [eqn: 1]초에 [eqn: pi]씩 움직이므로 점 [eqn: rmH]는 [eqn: 1]초에 [eqn: 4OVER5`pi] 씩 움직인다. 따라서 점 [eqn: rmH]가 [eqn: t]초 동안 움직인 거리는 [eqn: 4OVER5`pi`t]이다. 좌표공간에서 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 원점 [eqn: rmO]라 하고 점 [eqn: rmA` ( 4 ,``0 ,``0)], [eqn: t]초 후의 점 [eqn: rmH,~P]를 [eqn: rm H left( 4 cos pit over 5 ,~ 4 sin pit over 5 ,~ 0 right) ,~ rm P left( 4 cos pit over 5 ,~ 4 sin pit over 5 ,~ 3pit over 5 right)]

[eqn: rmbarHA`=`ROOT{left(`4`cos`pit over5 `- `4 `right) ^2 `+` LEFT(`4`sin `pit over5 right)^2}][eqn: =` 8`sin `pit over10``]

[eqn: S][eqn: rm=``1over2``barHA cdot`BARPH][eqn: =``4`sin```{pi t }over10 cdot{3 pi t}over5]

[eqn: dS over dt][eqn: =` 4` LEFT ( cos `pit over10 cdot piover10 cdot 3pit over5 + sin pit over10 cdot 3pi over5 RIGHT )]

따라서 [eqn: t=5]일 때 [eqn: dS over dt = 12over5`pi``={q}over{p}`pi]	∴[eqn: p`+`q``=``17]

[확률과 통계]

26	②	27	④	28	②	29	③	30	[eqn: 432]

26. [출제의도] 가중평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a= {1 TIMES 2+3 TIMES 12+5 TIMES 23} over {1+3+5} =17]

27. [출제의도] 신뢰구간의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: hat{p} = 0.2]이므로 [eqn: 2 TIMES 2 TIMES sqrt { {hat { p} hat { q}}over n} = 2 times 2 TIMES root {{0.2 times 0.8 } over400} = 0.08]

28. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해하고 자료를 해석할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄷ. 자료의 범위는 [eqn: 64-11=53] (거짓)

29. [출제의도] 이산확률변수의 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

확률변수 [eqn: X``]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 9]
[eqn: rmP( it X)]	[eqn: {3} over {36}]	[eqn: {5} over {36}]	[eqn: {3} over {36}]	[eqn: {15} over {36}]	[eqn: 10over36]

∴[eqn: rmE(it X)=][eqn: {1} over {36}][eqn: LEFT ( 2 TIMES 3+3 TIMES 5+4 TIMES 3+6 TIMES 15+9 TIMES 10 RIGHT )][eqn: = {71} over {12}]

30. [출제의도] 순열과 조합을 이해하고 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(1) [eqn: LEFT | ` f(2)-f(1) `RIGHT | `=][eqn: LEFT | ` f(3)-f(2) `RIGHT |` =1]일 때 [eqn: 2times5TIMES4!]

(2) [eqn: LEFT | `f(2)-f(1)`RIGHT | =][eqn: LEFT | `f(3)-f(2)`RIGHT | =2]일 때 [eqn: 2 times3 times 4!]

(3) [eqn: LEFT | `f(2)-f(1)`RIGHT | =][eqn: LEFT | `f(3)-f(2)` RIGHT | =3]일 때 [eqn: 2times1 times 4!]

∴[eqn: 240+144+48=432]

[이산수학]

26	⑤	27	④	28	②	29	③	30	[eqn: 880]

26. [출제의도] 두 항 사이의 관계를 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n]칸의 계단을 오르는 방법의 수를 수열 [eqn: left{ a_n right}]이라 하면 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `:`1,``2,``3,``5,``8,``13,```21,``34,``55,~ CDOTS]  ∴[eqn: a _{9} =55]

27. [출제의도] 완전그래프의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n]개의 꼭짓점이 있는 그래프가 완전그래프가 되려면 [eqn: ` _{n} rm C _{2}]개의 변이 필요하므로 [eqn: ` _{n} rmC _{2} =36``]에서 [eqn: n=9]

28. [출제의도] 생성수형도를 이해하고 만들 수 있는가를 묻는 문제이다.

꼭짓점의 개수가 [eqn: 5]인 생성수형도의 변의 개수는 [eqn: 4]이므로 지워야 할 변의 개수는 [eqn: 9-4=5]이다.

29. [출제의도] 수의 분할을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 4=1+3=2+2]이므로 [eqn: P`(4,``2)=2`] (참)

ㄴ. [eqn: P`(10,``3)=8,~ P`(7,``1)=1,~ P`(7,``2)=3,~P`(7,``3)=4 ``]

이므로 [eqn: P`(10,```3)=P`(7,```1)+P`(7,```2)+P`(7,```3)`] (참)

ㄷ. [반례] [eqn: P`(4,``2)=2,~P`(4,``3)=1`]  (거짓)

30. [출제의도] 공평한 분배의 의미를 알고 실생활에 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

	[eqn: rm`A`]	[eqn: rm `B`]	[eqn: rm `C]	합
기대 금액	[eqn: 2020]	[eqn: 2100]	[eqn: 1950]
상속	[eqn: 3600](집)	[eqn: 2800](땅)	[eqn: 0]
차액	[eqn: -1580]	[eqn: -700]	[eqn: 1950]	[eqn: -330]
조정 후 차액	[eqn: -1470]	[eqn: -590]	[eqn: 2060]	[eqn: 0]

[eqn: a=1470,``b=590]이므로 [eqn: a-b=880]

수리‘나’형 정답

1	③	2	①	3	④	4	④	5	④
6	①	7	②	8	⑤	9	②	10	⑤
11	①	12	③	13	③	14	②	15	②
16	③	17	⑤	18	[eqn: 35]	19	[eqn: 20]	20	[eqn: 22]
21	[eqn: 15]	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 380]	24	[eqn: 7]	25	[eqn: 50]
26	①	27	④	28	③	29	⑤	30	[eqn: 55]

해 설

1~2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 무한등비급수의 합을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } 5` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1} = {5} over {1- {3} over {4}} `=`20]

4. [출제의도] 독립사건의 성질을 이해하여 확률의 곱셈정리를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P it ` LEFT ( A ^{rm C it} ` SMALLINTER `B``` RIGHT ) ` & = rm P LEFT ( it B`` RIGHT ) - rm P( it A``) rm P LEFT ( it `B`` RIGHT ) & = {7} over {9} rm P LEFT ( ` it B`` RIGHT ) `= {2} over {9}]

[eqn: rm P LEFT ( ` it B`` RIGHT ) `= {2} over {7}] ∴[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B`` RIGHT ) & = rm P( it A`) rm P LEFT ( it B`` RIGHT ) = {2} over {9} TIMES {2} over {7} = {4} over {63}]

5. [출제의도] 극한값의 성질을 이해하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a+ {b} over {n} RIGHT )} =a=2], [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( `2n``+`b` RIGHT ) ` & =30+5b=60]

[eqn: THEREFORE`` a+b=2+6=8]

6. [출제의도] 등비수열의 일반항을 이해하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{1} `a _{10} =a^2 r^9 =9]에서

[eqn: a _{1} TIMES a _{2} TIMES `` CDOTS `` TIMES a _{10} =a ^{10} TIMES r ^{45} = LEFT ( a ^{2} r ^{9} RIGHT ) ^{5} =9 ^{5} =3 ^{10}]

7. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하고 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{`n+2} =3`a _{`n+1} -`3``][eqn: cdots]㉠, [eqn: a _{`n+1} =3`a _{`n} -3``][eqn: cdots]㉡

㉠-㉡ : [eqn: a _{`n+2} -a _{`n+1} =3` LEFT ( `a` _{n+1} -a _{`n} ` RIGHT )]

[eqn: a _{`2} -a _{`1} =1``]에서 [eqn: `a _{`n+1} -a _{`n} =3 ^{`n-1}]

∴[eqn: `a` _{6} -a` _{5} & =81]

8. [출제의도] 역행렬의 성질을 이해하여 역행렬의 존재성을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A (-A) = E] 이므로 [eqn: A ^{-1} `=`-A] (참)

ㄴ. [eqn: A ^{3} `-`E=-A-E] 이고 [eqn: LEFT ( `-A-E`` RIGHT ) LEFT ( ` {1} over {2} A- {1} over {2} E`` RIGHT ) `=E]

∴[eqn: A ^{3} `-`E] 의 역행렬이 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: LEFT ( A`+`k`E`` RIGHT ) LEFT ( A-kE`` RIGHT ) =A ^{2} -`k ^{2} E=- LEFT ( 1+k ^{2} RIGHT ) E] 에서

[eqn: LEFT ( A`+`k`E`` RIGHT ) LEFT ( - {1} over {1+k ^{2}} A+ {k} over {1+k ^{2}} E`` RIGHT ) `=E]

∴[eqn: A`+`k`E`]의 역행렬이 존재한다. (참)

9. [출제의도] 확률의 덧셈정리와 조건부 확률을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P it `(A`)`=` {4} over {7} ``], [eqn: rm P it `(B``)`=` {2} over {7} ``], [eqn: rm P it `(C``)`=` {1} over {7} ``]

[eqn: rm P it `(D`)`=` rm P it `(D` SMALLINTER `A)`+` rm P it `(D` SMALLINTER `B`)`+` rm P it `(D` SMALLINTER `C``)``]

[eqn: = rm P it `(D``|``A`)` rm P it `(A`)+ rm P it `(D``|``B`)` rm P it `(B`) rm +P it `(D``|``C``)` rm P it `(C``)= {11} over {70}]

10. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} `]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 두 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 6`]이다.

11. [출제의도] 순열을 이해하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(1) [eqn: f(1)=1`]이면 [eqn: f(2)=3`]이므로 [eqn: 4!`=`24]

(2) [eqn: f(1)=3`]이면 [eqn: f(3)=1`], [eqn: f(2)=5`]이므로 [eqn: 3!`=`6]

(3) [eqn: f(1)=4`]이면 [eqn: f(4)=1`], [eqn: f(2)=6`]이므로 [eqn: 3!`=`6]

(4) [eqn: f(1)=2] 또는 [eqn: f(1)=5`] 또는 [eqn: f(1)=6`]이면 주어진 조건을 만족하는 함수 [eqn: f`]는 존재하지 않는다.

따라서 구하는 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 36]이다.

12~18. ‘가’형과 동일

19. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} =3`a+9`d=30``]  ∴[eqn: a+3d=10]

∴[eqn: a _{1} +a _{7} ``=2 LEFT ( `a+3d` RIGHT ) =20]

20. [출제의도] 지수함수의 평행이동을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=2 ^{``x-2} `]의 그래프는 [eqn: y=2 ^{``x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: bar{rm P _{itk} rm `Q _{`it k}} `=2`]

∴[eqn: A _{`k} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES k`=k`] ∴[eqn: A _{`1} +A _{`4} +A _{`7} +A _{`10} ```=`22`]

21. [출제의도] 상용로그의 지표와 행렬의 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{11} =2,``a _{12} =4,``a _{21} =4,``a _{22} =5]이므로 구하는 값은 [eqn: 15`]

22~23. ‘가’형과 동일

24. [출제의도] [eqn: sum _{} ^{}]의 성질을 이해하고 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} +k` RIGHT ) = {n(n+1)(n+2)} over {3}]

[eqn: T _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k ^{2} +(2n+1)k+n ^{2} +n RIGHT }][eqn: = {n(n+1)(7n+2)} over {3}]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{T _{n}} over {S _{n}}} = 7]

25. ‘가’형과 동일

26. [출제의도] 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =`2`n+1] [eqn: (n >= 1)]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {2} over {(2k+1)(2k+3)}} = {1} over {3}]

27. [출제의도] 역행렬과 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {`a _{`n}} `= lim _{n -> INF } {{2} over {2 ^{`n} ``+`3 ^{`n}}} =0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{`n+1}} over {a _{`n}}} = lim _{n -> INF } {{2 ^{`n} +3 ^{`n}} over {2 ^{`n+1} +3 ^{`n+1}}} = {1} over {3}] (거짓)

ㄷ. [eqn: {2} over {3 ^{n} +3 ^{n}} <a _{n} < {2} over {2 ^{n} +2 ^{n}}] (참)

28. [출제의도] 이항분포와 정규분포의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( 150,`` {2} over {5} RIGHT )]를 따른다.

ㄱ. [eqn: rm V it``(X``)=150 TIMES {2} over {5} TIMES LEFT ( 1- {2} over {5} RIGHT ) =36] (참)

ㄴ. [eqn: ` _{150} rm C it rm _{0} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{150}][eqn: >` _{150} rm C it rm _{150} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{150}] (거짓)

ㄷ. 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 60,`` 6^2 RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm P it `(X` <= `51)`= rm P LEFT ( it Z <= -1.5 RIGHT )], [eqn: rm P it `(X` >= `72`)= rm P it LEFT ( Z >= 2 RIGHT )]

∴[eqn: rm P it `(X` <= `51)``>`][eqn: rm P it `(X` >= `72`)] (참)

29. [출제의도] 조합의 수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 6`]명을 배정하는 모든 경우의 수는

[eqn: {} _{6} rm `C it rm _{`2} `times` _{4} `{rmC}` _{3} `times` _{3} `{rmC}` _{2} `times` _{4} `{rmC}` _{3} `=`720`]

배정되지 않는 선수가 있는 경우의 수는

[eqn: {} _{6} rm `C it rm _{`2} ` TIMES ` _{4} ` rm C it ` _{3} ` TIMES ` _{2} ` rm C it ` _{2} ` TIMES ` _{3} ` rm C it ` _{3} `=`60`]

∴[eqn: 720`-`60`=`660`]

30. [출제의도] 이항분포의 분산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 10``]이하의 음이 아닌 정수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면

[eqn: f(`r`)=`` _{10} rm C _{it r rm} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10} `=` rm P it `(X`=`r`)]이므로

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: {\B}` LEFT ( 10`,``{1}over{2}` RIGHT )``]을 따른다.

[eqn: rm E it `(X``)`=`10` TIMES ` {1} over {2} `=`5``], [eqn: rm V it `(X``)`=`10` TIMES ` {1} over {2} ` TIMES ` {1} over {2} ``= {5} over {2}]

∴[eqn: 2 sum _{r=0} ^{10} `r ^{2} ``f``(r)` & =2 rm `E` LEFT ( it `X ^{`2} ` RIGHT ) `=2 LEFT [ rm `V it (X``)+ LEFT { rm E it (X``) RIGHT } ^{2} RIGHT ] `=55]