• 수학 영역 [나형] •

정 답

1	⑤	2	②	3	③	4	④	5	③
6	①	7	②	8	④	9	③	10	⑤
11	④	12	②	13	⑤	14	③	15	⑤
16	①	17	④	18	③	19	①	20	②
21	①	22	16	23	2	24	43	25	29
26	110	27	14	28	21	29	75	30	84

해 설

1. [출제의도] 거듭제곱근 계산하기

[eqn: root {3} of {27} TIMES 2 ^{3} `= root {3} of {3 ^{3}} TIMES 2 ^{3} =3 TIMES 8`][eqn: =24]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

두 집합 [eqn: A= it LEFT { 1,```2,```3,```4` RIGHT } `], [eqn: B= it LEFT { 2,```4,```5` RIGHT } `]에 대하여

집합 [eqn: A SMALLINTER B`= LEFT { 2,```4 RIGHT } `]이므로 집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 원소의 합은 [eqn: 6`]이다.

3. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} +5} over {2n ^{2} -n}} `= lim _{n -> INF } {{3+ {5} over {n ^{2}}} over {2- {1} over {n}}} ``][eqn: = {3} over {2}]

4. [출제의도] 함수의 역함수 이해하기

[eqn: f(2)=4`], [eqn: f` ^{-1} (1)=4`]이므로

[eqn: f(2)+f ` ^{-1} (1)=4+4=8`]이다.

5. [출제의도] 등비수열의 일반항 계산하기

등비수열 [eqn: LEFT { `a` _{n} ` RIGHT } `]의 공비를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: a _{1} =24,```a _{2} =a _{1} r=12]

[eqn: 24r=12], [eqn: r= {1} over {2}]

따라서 [eqn: a _{4} =a _{1} r ^{3} =24 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}][eqn: =24 TIMES {1} over {8}][eqn: =3]이다.

6. [출제의도] 수렴하는 수열의 극한의 대소관계 이해하기

부등식

[eqn: 2n ^{3} +2n LEQ a _{n} LEQ 2n ^{3} +5n+1]

에서 각 변을 [eqn: 5n ^{3} `]으로 나누면

[eqn: {2n ^{3} +2n} over {5n ^{3}} LEQ {a _{n}} over {5n ^{3}} LEQ {2n ^{3} +5n+1} over {5n ^{3}}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2n ^{3} +2n} over {5n ^{3}} LEQ lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {5n ^{3}} LEQ lim _{n -> INF } {} {2n ^{3} +5n+1} over {5n ^{3}}]

[eqn: {2} over {5} LEQ lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {5n ^{3}} LEQ {2} over {5}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {5n ^{3}} = {2} over {5}]

이다.

7. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y= {3x-1} over {x-1} `= {3(x-1)+2} over {x-1} = {2} over {x-1} +3`]에서

함수 [eqn: y= {2} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동하면 함수

[eqn: y= {3x-1} over {x-1} `]의 그래프와 일치한다.

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=3]이다.

그러므로 [eqn: a+b=1+3=4`]이다.

[다른 풀이]

함수 [eqn: y= {2} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하면

[eqn: y= {2} over {x-a} +b= {2+b(x-a)} over {x-a} = {bx+2-ab} over {x-a} = {3x-1} over {x-1}]

이므로 [eqn: a=1``], [eqn: b=3`]이다.

그러므로 [eqn: a+b=1+3=4`]이다.

8. [출제의도] 명제의 필요조건 이해하기

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이면

[eqn: 8]

[eqn: -3]

[eqn: a-3]

[eqn: a]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: -3 LEQ a-3`]이고 [eqn: a LEQ 8]이므로 [eqn: 0 LEQ a LEQ 8`]이다.

정수 [eqn: a`]는 [eqn: 0,``1,``2,``3,``4,``5,``6,``7,``8]이므로 모든 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 9]이다.

9. [출제의도] [eqn: sum _{} ^{}]의 성질 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{5} (a _{k} `+`2) ^{2} & = sum _{k=1} ^{5} (a _{k} ^{2} `+`4a _{k} +4)# & = sum _{k=1} ^{5} a _{k} ^{2} `+`4 sum _{k=1} ^{5} a _{k} + sum _{k=1} ^{5} 4# &# & =40+4 TIMES 12+5 TIMES 4# &# & =108]

10. [출제의도] 함수의 역함수와 합성함수 이해하기

[eqn: g ^{-1} (x)=x+3`]이므로

[eqn: f(g ^{-1} (x))=2(x+3)+1=2x+7`]이다.

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=7]이다.

그러므로 [eqn: ab=14`]이다.

11. [출제의도] 절대부등식을 이용한 최솟값 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= {4} over {x}]

[eqn: a]

[eqn: {4} over {a}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm `O]

점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 이르는 거리는 각각 [eqn: 4 over {a} `], [eqn: a]

([eqn: a>0`])이므로 직사각형 [eqn: rmACDB]의 둘레의 길이는 [eqn: 4 LEFT ( a+ {4} over {a} RIGHT )]이다.

[eqn: a+ {4} over {a} GEQ 2 sqrt {a TIMES {4} over {a}} =4]

[eqn: 4 LEFT ( a+ {4} over {a} RIGHT ) GEQ 16]

(단, 등호는 [eqn: a=2`]일 때, 성립한다.)

이므로 직사각형 [eqn: rmACDB]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: 16]이다.

12. [출제의도] 상용로그 이해하기

[eqn: {1} over {4} `log`2 ^{2n} + {1} over {2} `log`5 ^{n} & = {n} over {2} `log`2+ {n} over {2} `log`5# & = {n} over {2} `log10= {n} over {2}]

이다. [eqn: {n} over {2} `]이 정수이므로 [eqn: n`]은 [eqn: 2`]의 배수이다.

따라서 [eqn: 50`] 이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 25`]이다.

13. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: f LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) = {3 sqrt {2}} over {2} `,```f(16)=3 sqrt {2} `]이고 [eqn: f LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ,````a,```f(16)`]은

등비수열이다. [eqn: a`]가 등비중항이므로 [eqn: a ^{2} =9``]이다.

[eqn: a`]가 양수이므로 [eqn: a=3`]이다.

14. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이용하여 함수의 극한 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: -2]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: x=t]

[eqn: S(t)= {1} over {2} TIMES {bar{rm OQ it}} TIMES {bar{rm PQ it}} ``][eqn: = {1} over {2} TIMES t TIMES sqrt {t+2}]

[eqn: C(t)= pi TIMES LEFT ( {{bar{rm OQ it}}} over {2} RIGHT ) ^{2} = {t ^{2}} over {4} pi `]

그러므로 [eqn: {C(t)} over {t`timesS(t)} = {t ^{2}} over {4} pi TIMES {2} over {t ^{2} sqrt {t+2}} ``]이다.

따라서 [eqn: lim _{t` -> `0+} {} {C(t)} over {t` TIMES S(t)} = {pi } over {4} TIMES {2} over {sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {4} ` pi `]이다.

15. [출제의도] 함수의 연속 증명하기

[eqn: 1]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: 1]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0+} {f(x)`=`0}] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)`=1}], [eqn: lim _{x -> 1-} {g(x)`=0}]이므로

[eqn: lim _{x` -> 1-} {} f(x)g(x)`=0]이다. (참)

ㄷ. [eqn: h(x)=f(x)g(x)`]라 하자.

ⅰ) [eqn: h(1)=f(1)timesg(1)=0 TIMES 1=0`]

ⅱ) [eqn: lim _{x` -> 1-} {} h(x)= lim _{x` -> 1-} {} f(x)g(x)=0`]

ⅲ) [eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)`=0}], [eqn: lim _{x -> 1+} {g(x)`=1}]이므로

[eqn: lim _{x` -> 1+} {} h(x)= lim _{x` -> 1+} {} f(x)g(x)`=0]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 함수 [eqn: f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

16. [출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수열의 극한 문제 해결하기

[eqn: a _{1} =`1`], [eqn: a _{2} +a _{4} = LEFT ( a _{1} +d RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +3d RIGHT ) =2a _{1} +4d=18``]

에서 [eqn: d=4`]이다.

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2a _{1} + LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} `= {n LEFT { 2+4 LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} =2n ^{2} -n`]이고,

[eqn: S _{n+1} =2 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n+1 RIGHT ) =2n ^{2} +3n+1`]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {S _{n+1}} - sqrt {S _{n}} RIGHT ) `}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {2n ^{2} +3n+1} - sqrt {2n ^{2} -n} RIGHT )} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( sqrt {2n ^{2} +3n+1} - sqrt {2n ^{2} -n} RIGHT ) LEFT ( sqrt {2n ^{2} +3n+1} + sqrt {2n ^{2} -n} RIGHT )} over {sqrt {2n ^{2} +3n+1} + sqrt {2n ^{2} -n}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{4n+1} over {sqrt {2n ^{2} +3n+1} + sqrt {2n ^{2} -n}}}]

[eqn: = {4} over {2 sqrt {2}}][eqn: = sqrt {2} `]

[다른 풀이]

공차 [eqn: d`]를 다음과 같이 구할 수도 있다.

[eqn: 2a _{3} =a _{2} +a _{4} =18``]이므로 [eqn: a _{3} =9`]이다.

[eqn: a _{3} =a _{1} +2d=1+2d=9`]

[eqn: d=4`]

이다.

17. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 실생활 문제 해결하기

[eqn: TL _{1} =10`log`a], [eqn: TL _{2} =10`log`4]이므로

[eqn: {TL _{1}} over {TL _{2}} = {10`log``a} over {10`log``4} `=log _{4} a= {5} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: a=4 ^{{5} over {2}} =2 ^{5} =32``]이다.

18. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`a} `2=X`], [eqn: log _{b} `2=Y`]라고 하자.

[eqn: X+Y=2`], [eqn: {1} over {X} + {1} over {Y} = {X+Y} over {XY} =-1`]이므로 [eqn: XY=-2`]이다.

[eqn: LEFT ( log _{`a} `2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{`b} `2 RIGHT ) ^{2} =X ^{2} +Y ^{``2} `]

[eqn: = LEFT ( X+Y RIGHT ) ^{2} -2XY`]

[eqn: `=`2 ^{2} -2 LEFT ( -2 RIGHT ) `][eqn: =8`]

19. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수열 문제 해결하기

ⅰ) [eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {x ^{n}} =0`]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}} =0`}]이다.

ⅱ) [eqn: x=1`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {x ^{n}} =1`]이므로

[eqn: f(1)= lim _{n-> INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}}} = {a} over {2} `]이다.

ⅲ) [eqn: x>1]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {x ^{n}} =0`}]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}}} = lim _{n-> INF } {{a} over {{1} over {x ^{n}} +1}} =a`]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해

[eqn: f(x)= {cases{``0&~~~(0<x<1)#{a} over {2}&~~~(x=1)#``a&~~~(x>1)}}]

이다.

[eqn: f LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) =0`],

[eqn: f LEFT ( {5} over {5} RIGHT ) =f(1)= {a} over {2} `],

[eqn: f LEFT ( {6} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {7} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {8} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( {9} over {5} RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =a]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} `f LEFT ( {k} over {5} RIGHT ) `][eqn: = {a} over {2} +5a= {11} over {2} `a`]

이다. [eqn: {11} over {2} `a`=33`]이므로 [eqn: a=6`]이다.

[참고]

[eqn: a>0`]일 때, [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: {a} over {2} `]

[eqn: a]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

20. [출제의도] 수열의 합 증명하기

[eqn: 2`] 이상인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} {n} over {n-k} · {1} over {2 ^{k-1}} = {n} over {n-1} + {n} over {n-2} · {1} over {2} +` CDOTS `+ {n} over {2 ^{n-2}} `]     라 하자.

[eqn: a _{n+1} & = sum _{k=1} ^{n} {n+1} over {n+1-k} · {1} over {2 ^{k-1}}# &# & = {BOX{``` {n+1} over {n} `` ^{``}}} `+ {n+1} over {n-1} · {1} over {2} + {n+1} over {n-2} · {1} over {2 ^{2}} +` CDOTS `+ {n+1} over {2 ^{n-1}}# &# & = {BOX{``` {n+1} over {n} `` ^{``}}} +(n+1) LEFT ( {1} over {n-1} · {1} over {2} + {1} over {n-2} · {1} over {2 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT )# # & = {BOX{``` {n+1} over {n} `` ^{``}}} + {n+1} over {2n} LEFT ( {n} over {n-1} + {n} over {n-2} · {1} over {2 ^{}} +` CDOTS `+ {n} over {2 ^{n-2}} RIGHT )]

이므로

[eqn: a _{n+1} = box{ {n+1} over {2n} } `a _{n} + {n+1} over {n} `]

을 얻는다.

[eqn: a _{2} =2<4`], [eqn: a _{3} =3<4`]이므로 (*)이 성립한다.

[eqn: n` GEQ 3`]일 때 [eqn: a _{n} `<4`]라 하자.

[eqn: a _{n+1} = {n+1} over {2n} a _{n} + {n+1} over {n} `<` {n+1} over {2n} ·4+ {n+1} over {n}][eqn: =3+ {3} over {n} LEQ 4`]

이다.

그러므로 [eqn: 2`] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

따라서 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {n+1} over {n}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = {n+1} over {2n}]이다.

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) = {6} over {5}], [eqn: g LEFT ( 10 RIGHT ) = {11} over {20}]이고

[eqn: {48g(10)} over {f(5)} `=48times {{11} over {20}} over {{6} over {5}} =48times {11} over {24} =22]이다.

21. [출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기

[eqn: RMA _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm O]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: 60 DEG]

그림 [eqn: R _{1}]에서 두 선분 [eqn: rm A _{1} C _{1} `]과 [eqn: rm B _{1} D _{1} `]의 교점을 [eqn: rm E`,] 두 선분 [eqn: rm OC _{1} `]과 [eqn: rm B _{1} D _{1} `]의 교점을 [eqn: rm F`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OB _{1} F`]와 삼각형 [eqn: rm C _{1} EF`]는 세 내각의 크기가 [eqn: 30 ^{DEG }], [eqn: 60 ^{DEG }], [eqn: ``90 ^{DEG } `]인 직각삼각형이므로 삼각비에 의해

[eqn: {bar{rm B _{1} F it}} = sqrt {3} `],[eqn: `` {bar{rm OF it}} = {bar{rm C _{1} F it}} =1`],[eqn: `` {bar{rm EF it}} = {sqrt {3}} over {3}]

이다. [eqn: S_1 `]은 부채꼴 [eqn: rm OB _{1} C _{1} `]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C _{1} EF`]의 넓이를 더한 값에서 삼각형 [eqn: rm OB _{1} F`]의 넓이를 뺀 값의 [eqn: 2`]배와 같으므로

[eqn: S _{1} = LEFT { pi TIMES 2 ^{2} TIMES {60 ^{DEG }} over {360 ^{DEG }} + {1} over {2} TIMES 1 TIMES {sqrt {3}} over {3} - {1} over {2} TIMES sqrt {3} TIMES 1 RIGHT } TIMES 2]

[eqn: = {4 pi } over {3} - {2 sqrt {3}} over {3} `]

이다. 그림 [eqn: R_n `]에서 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n `]이라 하고, 그림 [eqn: R_n `]을 얻는 과정에서 새로 얻은  모양의 넓이를 [eqn: a_n `]이라 하자.

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm A _{it`n+1}]

[eqn: rm B _{it `n+1 rm}]

[eqn: rm B _{it `n}]

[eqn: r _{n+1}]

[eqn: rmO]

[eqn: r _{n}]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: r_n+1 : r_n = 1:2`]이므로

[eqn: a _{n+1} :a _{n} = LEFT ( r _{n+1} RIGHT ) ^{2} : LEFT ( r _{n} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: a _{n+1} :a _{n} =1 ^{2} :2 ^{2}]

[eqn: a _{n+1} = {1} over {4} a _{n} `]

이다. 따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {4 pi } over {3} - {2 sqrt {3}} over {3} `]이고 공비가 [eqn: {1} over {4}]인 등비수열이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {{4 pi } over {3} - {2 sqrt {3}} over {3}} over {1- {1} over {4}} = {16 pi -8 sqrt {3}} over {9} `]

이다. 그러므로 [eqn: a+b=16-8=8`]이다.

22. [출제의도] 함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x -> `4} {` {(x-4)(x+12)} over {x-4}} `= lim _{x-> `4} {} (x+12)=16`]

23. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`3} `18- {1} over {2} rm log _{`3} `4` & =`log _{`3} `18- rm log _{`3} `2# & =log _{`3} ` {18} over {2}# & =log _{`3} `9# & =2]

24. [출제의도] 급수의 성질 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {9} over {2} -a _{n} RIGHT ) `]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` LEFT ( {9} over {2} -a _{n} RIGHT ) `} =0`]이고

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} `=` {9} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 8a _{n} +7 RIGHT )} `=8times {9} over {2} +7`=43``]이다.

25. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 실생활 문제 해결하기

두 동아리 [eqn: A,``B`]에 가입한 학생의 집합을 각각 [eqn: A,``B`]라고 하면

[eqn: n(A CUP B)=56,```n(A)=35,```n(B)=27`]

이다. [eqn: n(A CUP B) & =n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)`]이므로

[eqn: 56=35+27-n(A SMALLINTER B)`]

[eqn: n(A SMALLINTER B)=6`]

이다. 따라서

[eqn: n(A-B)=n(A)-n(A SMALLINTER B)=35-6=29`]

이다.

[다른 풀이]

동아리 [eqn: A`]에만 가입한 학생의 수를 [eqn: x`]라 하자.

조건을 벤다이어그램으로 나타내면 아래와 같다.

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: x]

[eqn: 35-x]

[eqn: x-8]

따라서

[eqn: x+(35-x)+(x-8)=56]

[eqn: x=29]

이다.

26. [출제의도] 수열의 합의 성질 이해하기

[eqn: a _{1} +2a _{2} + CDOTS +na _{n} =2n ^{2} +3n`]

에서 [eqn: b _{n} =na _{n} `]이라 하고 [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =S _{n} `]이라 하면

[eqn: b _{n} & =S _{n} -S _{n-1}# &# & =2n ^{2} +3n- LEFT { 2(n-1) ^{2} +3(n-1) RIGHT }# &# & =4n+1```````````(n GEQ 2)`]

이다. [eqn: b _{1} =5`]이므로 [eqn: b _{n} =4n+1``][eqn: (n GEQ 1)`]이다. 따라서

[eqn: a _{n} = {b _{n}} over {n} =4+ {1} over {n} `] [eqn: (n GEQ 1)`]

이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {2} over {a _{n} -`4} `` & = sum _{n=1} ^{10} {2} over {LEFT ( 4+ {1} over {n} RIGHT ) -`4}# &# & = sum _{n=1} ^{10} 2n=2 sum _{n=1} ^{10} n`=2 TIMES 55=110`]

27. [출제의도] 거듭제곱근을 이용하여 수열의 합 문제 해결하기

[eqn: 4 ^{2} <20<5 ^{2} `]이고 [eqn: 4< root {2} of {20`} <5]이므로

[eqn: f(2)`=`4`]

이다.

[eqn: 2 ^{3} <20<3 ^{3} `]이고 [eqn: 2< root {3} of {20} <3`]이므로

[eqn: f(3)`=2]

이다.

[eqn: 2 ^{4} <20<3 ^{4} `]이고 [eqn: 2< root {4} of {20`} <3]이므로

[eqn: f(4)`=2``]

이다.

[eqn: n GEQ 5`]일 때 [eqn: 1 ^{n} <20<2 ^{n} `]이고 [eqn: 1< root {n} of {20} <2`]이므로

[eqn: f(n ) `=` 1]

이다. 따라서

[eqn: sum _{n=2} ^{10} f(n)=`4+2+2+1 TIMES 6=14`]

이다.

28. [출제의도] 정[eqn: n`]각형의 대각선의 성질을 이용하여 수열의 규칙성 추론하기

정[eqn: n]각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 [eqn: n-3]개다.

ⅰ) [eqn: n=2k```(k GEQ 2)`]일 때

[eqn: k-1`]개

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 [eqn: 2k-3`]이고 지름을 제외하면 [eqn: 2k-4`]이다. 그런데 지름을 기준으로 상하 대칭이므로 서로 다른 길이의 대각선의 개수는

[eqn: {2k-4} over {2} =k-2`]

이다. 따라서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 서로 다른 길이의 대각선의 개수는 지름을 포함하여

[eqn: (k-2)+1=k-1`]

이다.

ⅱ) [eqn: n=2k+1``(k GEQ 2)``]일 때

[eqn: k-1]개

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는

[eqn: (2k+1)-3=2k-2`]

이다. 그런데 지름을 기준으로 상하 대칭이므로 서로 다른 길이의 대각선의 개수는

[eqn: {2k-2} over {2} =k-1`]

이다.

ⅰ)과 ⅱ)에 의해

[eqn: a _{22} =10`], [eqn: a _{25} =11`]

이다. 따라서 [eqn: a _{22} +a _{25} =21`]이다.

29. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수열 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

점 [eqn: rmP`]는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선

[eqn: y=-x+n+2`]와의 교점이다.

[eqn: x ^{2} +nx=-x+n+2]

[eqn: x ^{2} +(n+1)x-(n+2)=0`]

[eqn: (x-1)(x+n+2)=0`]

[eqn: x=1```( BECAUSE x GEQ 0)`]

따라서 [eqn: rmP(it1,```n+1)`]이다. 점 [eqn: rmQ`]는 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: y=x`]에 대한 대칭인 점이므로

[eqn: rm Q(itn+1,```1)`]

이다. 그러므로

[eqn: {bar{rmPQ}} & = sqrt {LEFT { (n+1)-1 RIGHT } ^{2} + LEFT { 1-(n+1) RIGHT } ^{2}}# # & = sqrt {2n ^{2}}# # & = sqrt {2} `n]

이고 점 [eqn: rmO`]에서 직선 [eqn: y=-x+n+2`]까지의 거리([eqn: d])는

[eqn: d= {LEFT | n+2 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {n+2} over {sqrt {2}} `]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이 [eqn: S _{n} `]은

[eqn: S _{n} = {1} over {2} times {n+2} over {sqrt {2}} times sqrt {2} n= {n(n+2)} over {2} `]

이다. 그러므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {50} over {S _{n}} & =50 sum _{n=1} ^{INF } ` {2} over {n(n+2)}# & =50 sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )# & =50 lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + CDOTS ` RIGHT .# & LEFT . ~~~~~~~~~~ CDOTS + LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }# & =50 TIMES {3} over {2}# & =75]

[다른 풀이]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이를 다음과 같이 구할 수도 있다.

(삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이)

[eqn: =](삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이)[eqn: -][eqn: 2`](삼각형 [eqn: rm OAQ`]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} (n+2) ^{2} -2 TIMES LEFT { {1} over {2} TIMES (n+2)times1 RIGHT }]

[eqn: = {n(n+2)} over {2}]

30. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 수열 문제 해결하기

[eqn: ab<0`]이므로 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 부호가 다르다.

1) [eqn: a<0], [eqn: b>0]일 때

세 수 [eqn: a,```b,```ab`]에서 [eqn: a`]와 [eqn: ab`]는 음수, [eqn: b`]는 양수이다. 음수 두 개와 양수 한 개가 등비수열이 되는 배열은

(음수, 양수, 음수)이므로 세 수의 배열은

[eqn: a,```b,````ab`] 또는 [eqn: ab,```b,```a`]

뿐이다. 그러므로 [eqn: b`]가 등비중항이므로

[eqn: b ^{2} =a`times`ab`]

[eqn: b=a ^{2} `]

이다. 따라서 세 수 [eqn: a,```b,```ab`]는 [eqn: a,```a ^{2} ,```a ^{3} `]이다.

[eqn: a<0,```a ^{2} >0,```a ^{3} <0`]이므로 세 수를 배열하여 등차수열로 되는 경우의 등차중항은 음수인 [eqn: a`] 또는 [eqn: a ^{3} `]이다.

ⅰ) [eqn: a``]가 등차중항인 경우

[eqn: 2a=a ^{3} +a ^{2} `]

[eqn: a(a+2)(a-1)=0`]

[eqn: a<0`]이므로 [eqn: a=-2`]이고 [eqn: b=4`]이다.

ii) [eqn: a ^{3} `]이 등차중항인 경우

[eqn: 2a ^{3} =a+a ^{2} `]

[eqn: a(a-1)(2a+1)=0`]

[eqn: a<0`]이므로 [eqn: a=- {1} over {2} `]이고 [eqn: b= {1} over {4} `]이다.

따라서 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -2,```- {1} over {2} `]이다.

2) [eqn: a>0], [eqn: b<0]일 때

1)과 같은 방법에 의해 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 4,``` {1} over {4} `]이다.

1)과 2)에 의해 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -2,```- {1} over {2} ,```4,``` {1} over {4} `]이다. 따라서 [eqn: k=-2- {1} over {2} +4+ {1} over {4} = {7} over {4} `]이고 [eqn: 48k=84`]이다.