수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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2014학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: A = pmatrix {``2~&```````0``#``0~&-1``}], [eqn: 2A+B` = pmatrix {``5~&```````2``#``3~&-1``}]일 때, 행렬 [eqn: B`]는? [2점]

① [eqn: pmatrix { ``1```&``2`` # 3&1 }]	② [eqn: pmatrix { ``1```&``2`` # 3&2 }]	③ [eqn: pmatrix { ``2```&``2`` # 3&1 }]	④ [eqn: pmatrix { ``1```&``2`` # 3&3 }]	⑤ [eqn: pmatrix { ``3```&``2`` # 3&1 }]

12

2. [eqn: log _{`2} 4` TIMES `log _{`4} 2 ^{-2} `]의 값은? [2점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 1 over 4]	④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

3. [eqn: lim _{x` -> `0} {} {3x +tanx} over {x} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

4. 부등식 [eqn: left ( 2^x -{1 over 4}right)( 2^x -1)<0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

[3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

5. [eqn: tan theta = 1 over 4 `]일 때, [eqn: sin 2 theta `]의 값은? [3점]

① [eqn: 7 over 17]	② [eqn: 8 over 17]	③ [eqn: 9 over 17]	④ [eqn: 10 over 17]	⑤ [eqn: 11 over 17]

6. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립일차방정식

[eqn: PMATRIX { `3` # `5` }` PMATRIX { 1 ` &` 2 ` } PMATRIX { ` x` # y ` } `= PMATRIX { 6 #` a ` }]

의 해가 존재할 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

7. 다음은 어느 지역에 있는 [eqn: 6`]개의 지점을 꼭짓점으로 하고, 이 지점들을 잇는 도로를 변으로 하는 그래프이다. 이 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낼 때, 행의 성분으로 [eqn: 0`]을 [eqn: 4`]개 포함하는 행의 개수는? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

8. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log `x `]의 지표를 [eqn: f(x)`]라 할 때,

[eqn: lim _x->100-0 left{f(x)+ f(x^2 ) right} `]

의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

9. 함수 [eqn: f`(`x`)=4`sinx+6`cos ^{2} {x} over {2} +1`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

10. 함수 [eqn: f(x) = e ^-x (ln x - 2 ) `]가 [eqn: x=a`]에서 극값을 가질 때, 다음 중 [eqn: a`]가 속하는 구간은? [3점]

① [eqn: (1,~e)`]	② [eqn: (e,~ e^2 )`]	③ [eqn: (e^ 2 ,~e^ 3 )`]

④ [eqn: (e^ 3 ,~ e^4 )`]	⑤ [eqn: ( e^4 ,~ e ^5 )`]

11. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} `]에서 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1} `]을 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{1} `], 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1} `]을 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q _{1} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _{1} D _{1} `] 위의 점 [eqn: rm A _{2} `], 선분 [eqn: rm P _{1} Q _{1} `] 위의 두 점 [eqn: rm B _{2} `], [eqn: rm C _{2} `], 선분 [eqn: rm C _{1} D _{1} `] 위의 점 [eqn: rm D _{2} `]를 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]를 그리고 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]의 내부와 삼각형 [eqn: rm P _{1} B _{1} Q _{1}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.

정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]에서 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2} `]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P _{2} `], 선분 [eqn: rm B _{2} C _{2} `]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자. 선분 [eqn: rm A _{2} D _{2} `] 위의 점 [eqn: rm A _{3} `], 선분 [eqn: rm P _{2} Q _{2} `] 위의 두 점 [eqn: rm B _{3} `], [eqn: rm C _{3} `], 선분 [eqn: rm C _{2} D _{2} `] 위의 점 [eqn: rm D _{3} `]을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} `]을 그리고 정사각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} `]의 내부와 삼각형 [eqn: rm P _{2} B _{2} Q _{2}]의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {375} over {49}]	② [eqn: {400} over {49}]	③ [eqn: {425} over {49}]	④ [eqn: {450} over {49}]	⑤ [eqn: {475} over {49}]

12. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 1+ 2+2 ^{2} +` CDOTS `+`2 ^{n-1} <a _{n} <2 ^{n} `]

[eqn: 3n-1 over n+1 <sum_k=1 ^n b_k < 3n+1 over n]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF `} {} { 8^n -1 } over {4 ^{n-1} a _{n} +8^n+1 b_n } `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 16`]

[13 ~ 14] [eqn: bold2`]보다 큰 실수 [eqn: bolda`]에 대하여 두 곡선 [eqn: bold {y = 2`^x` }], [eqn: bold{y`=`-2` ^{x} +a`}]가 [eqn: boldy`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: bold {rmA}`], [eqn: bold{rmB}`]라 하고, 두 곡선의 교점을 [eqn: bold{rmC}`]라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. [eqn: a=6`]일 때, 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는? [3점]

① [eqn: 2`log _{`2} `3`]	② [eqn: 5 over 2 ` log _{`2} `3`]	③ [eqn: 3 log _{`2} `3`]

④ [eqn: 7 over 2` log _{`2} `3`]	⑤ [eqn: 4log _{`2} 3]

14. 직선 [eqn: rmAC`]의 기울기를 [eqn: f(a)`], 직선 [eqn: rmBC`]의 기울기를 [eqn: g` it(a) `]라 할 때, [eqn: lim _{a` -> `2+0 } { left{ f(a)-g(a) right}}`}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1 over ln2]	② [eqn: 2 over {ln2}]	③ [eqn: ln2 `]	④ [eqn: 2`ln`2`]	⑤ [eqn: 2 `]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =2`]이고

[eqn: {a _{n}} over {n} - {a _{n+1}} over {n+1} = {a _{n} a _{n+1}} over {n+1} `] ([eqn: n`ge`1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 모든 항이 [eqn: 0`]이 아니므로

[eqn: {a _{n}} over {n} - {a _{n+1}} over {n+1} = {a _{n} a _{n+1}} over {n+1}]

을 변형하면

[eqn: {n+1} over {a _{n+1}} - {n} over {a _{n}} =`]

(가)

이다. [eqn: b _{n} = {n} over {a _{n}} `]이라 하면 [eqn: b _{1} = {1} over {2} `]이고

[eqn: b _{n+1} -b _{n} `=`]

(가)

([eqn: n`ge`1])

이므로

[eqn: a _{n} =`]

(나)

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: f(13)g(4)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

16. 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} -x+2a&```` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )#3x+a&```` LEFT ( x<`1 RIGHT ) pile{ # } }}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+3]

에 대하여 합성함수 [eqn: LEFT (` g CIRC f` RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이  되도록 하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 7 over 4]	② [eqn: 15 over 8]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 17 over 8]	⑤ [eqn: 9 over 4]

17. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A ^{2} =BA+E`], [eqn: LEFT ( A-B+2E` RIGHT ) LEFT ( A-B-2E` RIGHT ) `=O`]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: A ^{2} +B ^{2} =2AB+4E`] ㄷ. [eqn: A`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2`]이면 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은 [eqn: -6`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]와 삼차함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 세 점에서 만나고 각 교점의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: alpha`], [eqn: 0`], [eqn: beta`]이다.

무리방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )` -1= sqrt {g LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 RIGHT } +1} `]의 실근의 개수는?

(단, [eqn: alpha<0`], [eqn: beta>2`]) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

19. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2 `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]와 선분 [eqn: rmOA`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 점 [eqn: rmP`]에서 선분 [eqn: rmOA`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`], 선분 [eqn: rmOP`]와 반원의 교점 중 [eqn: rmO`]가 아닌 점을 [eqn: rmR]라 하고, [eqn: rm ANGLE POA= theta `]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPRQ`]의 넓이를 [eqn: S `LEFT ( theta RIGHT )`]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> +0} {{S `LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 3 over 8]	④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 5 over 8]

20. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음과 같이 모든 자연수를 작은 것부터 [eqn: n`]행에 [eqn: n`]개씩 차례로 나열하였다. 이때 [eqn: n`]행에 있는 [eqn: n`]의 배수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a _{5} =15`]이다.

[eqn: 1`]행	[eqn: 1]
[eqn: 2`]행	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: 3`]행	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: 4`]행	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]
[eqn: 5`]행	[eqn: 11]	[eqn: 12]	[eqn: 13]	[eqn: 14]	[eqn: 15]
[eqn: 6`]행	[eqn: 16]	[eqn: 17]	[eqn: 18]	[eqn: 19]	[eqn: 20]	[eqn: 21]
⋮			⋮				⋱

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{30} `a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4800]	② [eqn: 4820]	③ [eqn: 4840]	④ [eqn: 4860]	⑤ [eqn: 4880]

21. [eqn: -1`]과 [eqn: 1`]을 제외한 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)=`- f(x)`]이다.

(나) [eqn: lim_x->1-0 f(x)=f(1) =`-1 `]이고 [eqn: lim_x->1+0 f(x) =1 `]이다.

(다) [eqn: x!=1`]인 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x)<0`]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: y= x`]와 한 점에서 만난다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 세 점에서 만난다. ㄷ. [eqn: f`'(alpha)`=`-1`]인 실수 [eqn: alpha`]가 적어도 두 개 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

단답형

22. 함수 [eqn: f(x) = 8x - 4 over x `]에 대하여 [eqn: f `'( 1 ) `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 분수방정식 [eqn: 3x-7 over {x^2 -1} + 2 over x-1 = 2 `]의 해를 [eqn: alpha`]라 할 때, [eqn: 60 `alpha`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 수열 [eqn: left{a_n right} `]에 대하여 [eqn: lim _n->inf {`a_n} over n = 1 over 3 `]일 때, [eqn: lim _n->inf {root {9n^2 +n}-n} over a_n`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: t`]초 후에 남아 있는 전하량을 [eqn: Q _{`t} ``]라 하면

[eqn: logQ _{`t} -logQ _{`0} =k`t`] (단, [eqn: k`]는 상수)

가 성립한다. 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: a`]초 후에 남아 있는 전하량은 [eqn: {1} over {4} Q _{`0} `]이고, 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: b`]초 후에 남아 있는 전하량은 [eqn: {1} over {10} Q _{`0} `]이다. 충전된 전하량이 [eqn: Q _{`0`} `]인 축전기에 전구를 연결한 지 [eqn: 2a+b`]초 후에 남아 있는 전하량은 [eqn: {Q _{`0}} over {p} `]이다. 상수 [eqn: p`]의 값을 구하시오. (단, 전하량의 단위는 쿨롱([eqn: rmC])이다.) [3점]

26. 두 함수 [eqn: f(x) = (x-a)(x-5)`], [eqn: g it (x) = (x-1)(x-3)^2 `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: left{` x`left|` g(x) over f(x) = 0 right}`]의 원소의 개수는 [eqn: 1`]이다.

(나) 집합 [eqn: left{ `x`left|` f(x) over g(x) le 0 `], [eqn: x`]는 자연수[eqn: pile{ # } right}]의 원소의 개수는 [eqn: 2`]이다.

[eqn: f(10)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

27. [eqn: bar{rmAC}=3`], [eqn: bar{rm BC it} =1`], [eqn: angle rmC` =90DEG `]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 4:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P`], 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm R`], 점 [eqn: rm Q`]에서 선분 [eqn: rm AC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm S`]라 하자.  [eqn: anglermCPR=alpha`], [eqn: anglermCQS= beta `]라 할 때, [eqn: tan( beta - alpha) = q over p `]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28. 첫째항이 [eqn: a]이고 공차가 [eqn: -4`]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n `]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n <200 `]일 때, 자연수 [eqn: a `]의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right} `]이

[eqn: a_1 times a_2 `^2 times a_3 `^3 times `cdots `timesa_n `^n = 10^{n^2 -n}] ([eqn: n ge 1])

을 만족시킨다. [eqn: log `a_k `]의 가수가 [eqn: 0.99`]일 때, [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[4점]

30. 실수 [eqn: t``]에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sint)`]인 직선과 원 [eqn: x^2 + y^2 = e^2t]이 만나는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm P `]라 하고, 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 곡선을 [eqn: C``]라 하자. [eqn: t=pi`]일 때, 곡선 [eqn: C``] 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: a times e ^{b pi}]이다. [eqn: 10(a +b)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.