• 수 리 영 역 •

정 답

1	③	2	②	3	①	4	⑤	5	③	6	③	7	①	8	⑤
9	④	10	②	11	③	12	①	13	④	14	④	15	②	16	②
17	⑤	18	⑤	19	①	20	④	21	⑤	22	②	23	③	24	②
25	12	26	32	27	9	28	13	29	16	30	5.56

해 설

[출제 의도] 복소수의 계산을 할 수 있다.

[eqn: 1 over 1+i + i over 2 = {1-i} over {(1+i)(1-i)} + i over 2 = 1-i over 2 + i over 2 = 1 over 2]

[출제 의도] 무리식의 계산을 할 수 있다.

[eqn: sqrt{4+ 2 sqrt3} - sqrt{4- 2 sqrt3}][eqn: = sqrt{(sqrt3`+ 1)^2 } - sqrt{(sqrt3 - 1)^2}]

[eqn: = (sqrt3 + 1) - (sqrt3 - 1)][eqn: = 2]

[출제 의도] 유리식의 계산을 할 수 있다.

[eqn: {a^2 - b^2} over {a^2 + b^2 - 2ab}][eqn: = {(a+b)(a-b)} over {(a-b)^2}][eqn: = {a+b} over {a-b}]

[출제 의도] 이차방정식의 근과 계수를 구할 수 있다.

[eqn: alpha + beta `=6,~ alpha beta `=2`]이므로

[eqn: { 1} over { alpha } + { 1} over { beta } ` ={ alpha + beta } over { alpha beta } ` = { 6} over {2 }`=3`]

[출제 의도] 도형의 넓이를 구할 수 있다.

도형의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S=(x+1)^2 +2x(3x+5)=7x^2 +12x+1]

6. [출제 의도] 필요조건과 충분조건을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: p] : [eqn: a=0~그리고~b=0]  [eqn: q] : [eqn: a=0~또는 ~b=0]

∴ [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건

ㄴ. [eqn: p] : [eqn: a``≦``0]   [eqn: q] : [eqn: a^2``≧``0]    ∴[eqn: p]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건

ㄷ. [eqn: a=-3], [eqn: b=2]일 때,  [eqn: p``not→``q]이고,

[eqn: b``＜``0]일 때 [eqn: |``a``|``＞``b] 는 항상 성립

∴[eqn: p]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건

따라서 조건 [eqn: p]가 조건 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은  ㄷ

7. [출제 의도] 실수의 성질을 이해할 수 있다.

[eqn: a`＜`b,~ab`＜`0]이므로 [eqn: a``＜``0], [eqn: b``＞``0]이다.

(준식)[eqn: =-a+(a-b)+b=0]

8. [출제 의도] 유리수의 성질을 이해할 수 있다.

ⅰ) [eqn: x=0]일 때 모두 유리수

ⅱ) [eqn: x not=0]일 때 [eqn: x^3 +10 ,~x^5 +100]이 유리수이므로

[eqn: x^3 ,~x^5]도 유리수이다. 따라서

[eqn: x^5 over x^3 = x^2] 도 유리수, [eqn: x^3 over x^2 = x] 도 유리수,

[eqn: x^2 cdot x^5 =x^7`]도 유리수

유리수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로, [eqn: x+1], [eqn: x^2 +1] [eqn: x^7 - 10] 은 모두 유리수이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. [출제 의도] 평면 위에서 직선을 이해할 수 있다.

[eqn: l~:``y= ax+b]에서  [eqn: a<0,~b>0]

[eqn: m~:``y= cx+d]에서 [eqn: c>0,~d<0]

∴ [eqn: ac<0], [eqn: b>d]

또, 직선 [eqn: l,~m]이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 각각

[eqn: - b over a ,~ - d over c]

그런데 그림에서 [eqn: - b over a < - d over c] ∴ [eqn: b over a > d over c]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

10. [출제 의도] 직사각형의 성질을 이해할 수 있다.

직사각형[eqn: rmABCD]의 둘레의 길이는 둘레의 길이가[eqn: 14, 12, 10, 10]인 직사각형의 둘레의 길이의 합에서 가운데 직사각형의 둘레의 길이를 뺀 것과 같다.

따라서 직사각형[eqn: rmABCD]의 둘레의 길이 [eqn: l]은

[eqn: l=(14+12+10+10)-6=40]

11. [출제 의도] 실생활에서 연립일차방정식을 활용할 수 있다.

현재 아버지와 아들의 나이를 각각 [eqn: x,~y]라고 하면, 문제의 뜻으로부터

[eqn: x+y=62] ……㉠

[eqn: x+11=2(y+11)] ……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: x=45], [eqn: y=17]

∴ [eqn: x-y=28]

12. [출제 의도] 실생활에서 일차방정식을 활용할 수 있다.

제자의 수를 [eqn: x`]명이라고 하면

[eqn: x= 1 over 2 x + 1 over 4 x + `1 over 7 x + 3]

이를 풀면 [eqn: x= 28] (명)

13. [출제 의도] 방정식의 해의 관계를 추론할 수 있다.

[eqn: omega `]는 [eqn: x^3`-1`=(x-1)(x^2`+x+1)=0`]의 근이므로

[eqn: omega^3`=1`], [eqn: omega^2`+ omega +1`=0`]

따라서

[eqn: 1+ omega `= -omega ^2`]

[eqn: (1+ omega)^2`=(-omega^2`)^2 `=omega^4`=omega`]

[eqn: (1+ omega)^3`=(- omega^2`)^3`=-( omega^3`)^2`=-1^2`=-1`]	[eqn: (1+ omega)^4`= (1+ omega)^3`(1+ omega`)`][eqn: =-(1+ omega`)`]

[eqn: (1+ omega)^5`=(1+ omega)^3`(1+ omega)^2`][eqn: =-(1+ omega)^2`]

[eqn: (1+ omega)^6 = (1+ omega)^3`(1+ omega)^3`=(-1)(-1)=1`]

……

∴ [eqn: (1+ omega)^10 `=(1+ omega)^6 (1+ omega)^4 =(1+ omega)^4]

[eqn: `= -(1+omega)=omega^2]

또, [eqn: (1+ omega )^3 = (1+ omega)^9 `=…`=-1]

[eqn: (1+ omega )^6 = (1+ omega)^12 `=…`=1]

이므로 [eqn: (1+omega)^3n`][eqn: `= (-1 )^n `]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

14. [출제 의도] 문장의 논리적 흐름을 추론할 수 있다.

ⅰ) 영훈이의 말이 참일 때

영훈: 농구장,   인수: 농구장,     민지: 극장

이 경우 독서실에 간 사람이 없어 모순

ⅱ) 인수의 말이 참일 때

영훈: 독서실 또는 극장,    인수: 독서실 또는 극장,

민지: 극장

이 경우 농구장에 간 사람이 없어 모순

ⅲ) 민지의 말이 참일 때

영훈: 독서실 또는 극장,    인수: 농구장,

민지: 독서실 또는 농구장

이로부터 영훈이, 인수, 민지가 간 곳은 차례로 극장, 농구장, 독서실이다.

이상으로부터 독서실, 농구장, 극장에 간 사람은 차례로	민지, 인수, 영훈이다.

15. [출제 의도] 삼각형과 내접원의 관계를 이용한 도형문제를 해결 할 수 있다.

C

A

B

․O1

A

r

․O2

A

H

오른쪽 그림의 이등변삼각형[eqn: rm ABC``]의 점[eqn: rm A``]에서[eqn: rm barBC``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H``]라 하면[eqn: rm barAH``]는 두 원에 동시에 접하고 [eqn: rm barBH =barCH =6``]

따라서    피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: rm barAH =8``] 이때 원 [eqn: rmO_1]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

△ABH의 넓이는

[eqn: 1 over 2 ․ 6․8 = 1 over 2 ․(6+8+10)․r]	∴[eqn: r = 2]

16. [출제 의도] 도형의 이동을 통하여 도형의 문제를 해결할 수 있다.

어두운 부분은 중심이 [eqn: rmB]이고 반지름의 길이가 [eqn: b]인 사분원이    [eqn: a-b]만큼 오른쪽으로 이동되면서 생긴 부분이므로 구하는 부분  의 넓이는 [eqn: b(a-b)]이다.

17. [출제 의도] 조건의 이해를 통하여 방정식의 문제를 해결할    수 있다.

ⅰ) [eqn: x=k](정수)일 때 [eqn: [x]=<x> `= k] 에서

[eqn: [x] + <x> =2k = 9]

따라서 [eqn: k = 9 over 2]가 되어 모순

ⅱ) [eqn: k<x<k+1]일 때 [eqn: [x]=k,~<x> `= k+1]에서

[eqn: [x] + <x> =2k+1 = 9] ∴[eqn: k=4]

따라서 [eqn: m=4 ,~n=5]  ∴[eqn: mn = 20]

18. [출제 의도] 약수 배수의 성질을 이용하여 자연수의 문제를 증명할 수 있다.

[eqn: N`]이 [eqn: m]자리 자연수일 때,

[eqn: N = a_1 ×10^m-1 + a_2 × 10^m-2 + …]([eqn: a_i]는 한자리 자연수) 꼴이 되어 [eqn: bar{AN} = A×10^m + a_1 ×10^m-1 + …][eqn: =][eqn: +N`]이다.

[eqn: A×10^m]

또한 [eqn: m=2]일 때 [eqn: 10^2]의 약수 중 두 자리수는 의 네 가지. 따라서, [eqn: bar{AN``}]이 [eqn: N]으로 나누어 떨어질 때의 [eqn: N]의 개수는 모두 개.

[eqn: 10,``20,``25,``50]

7

19. [출제 의도] 삼각형의 중선의 성질을 이용하여 도형의 문제를 증명할 수 있다.

[eqn: rm bar EG]와 [eqn: rm bar FH]의 교점을 O라 하면 점 E가 [eqn: rm bar AB]의 중점이므로

△OAE =

△OBE

또한 점 F가 [eqn: rm bar BC]의 중점이므로

△OBF =

△OCF

∴	[eqn: S_2] = △OAE +

△OCF

같은 방법으로

[eqn: S_4] = △OAH + △OCG

∴

[eqn: S_1 +S_3 =S_2 +S_4]

20. [출제 의도] 방정식의 개념을 이용하여 실생활의 문제를 해      결할 수 있다.

비행기의 전 운행시간을 [eqn: 3t`] 라고 하면

서울에서 제주까지의 운행거리는

[eqn: 700×3t =2100t]

이 비행기의 전 운행시간 중 처음 [eqn: 1over3 `]부분의 운행거리는

[eqn: 800 × t = 800t`] 이므로 나머지 [eqn: 2over3 `]부분의 운행거리는

[eqn: 2100t - 800t = 1300t`]

따라서 구하는 평균속력은

[eqn: 1300t over 2t = 650][eqn: rm (km/시)]

21. [출제 의도] 나머지 정리를 이용하여 정수의 문제를 해결할 수 있다.

세 수 [eqn: 195,~153,~48``]을 각각 [eqn: N``]으로 나누었을 때의 몫을 각각 [eqn: a,``b,``c`]라 하고 나머지를 모두 [eqn: r``]라 하면

[eqn: 195=Na +r``] …㉠

[eqn: 153=Nb +r``] …㉡

[eqn: 48=Nc +r``] …㉢

㉠㉡ ; [eqn: 42= N(a-b)]

㉡㉢ ; [eqn: 105= N(b-c)]

에서 [eqn: N``]은 [eqn: 42``]와 [eqn: 105``]의 공약수이고, [eqn: m``]은 [eqn: N``]의 최대값이므   로 [eqn: 42]와 [eqn: 105]의 최대공약수이다.

[eqn: ∴~m=21``]

한편 [eqn: 48``]을 [eqn: 21``]로 나누었을 때 나머지는 [eqn: 6``]이므로 [eqn: r=6``]

∴ [eqn: m+r=27``]

22. [출제 의도] 실생활의 문제해결에 내재된 논리적 흐름을 추론할 수 있다.

(나)단계에서 [eqn: 5]는 빈 정거장으로, [eqn: 3]은 [eqn: 5]가 있던 곳으로, [eqn: 2]는   [eqn: 3]이 있던 곳으로 각각 이동한다.

따라서 (나)의 결과와 (라)단계를 서로 비교하면 [eqn: 6]은 빈 정거장으로, [eqn: 1]은 [eqn: 6]의 위치로, [eqn: 7`]은 1의 위치로 각각 이동했음을 알 수 있다.

따라서 옳은 그림은 ②

23. [출제 의도] 부분집합의 개수의 개념을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있다.

사무실의 구분은 철거되는 칸막이 판넬에 따라 결정되므로 철거 대상이 될 수 있는 [eqn: 5``]개 칸막이의 집합을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A=left{a ,~b,~c,~d,~e` right}``]

이때, 구하는 방법의 수는 [eqn: A]의 공집합이 아닌 부분집합의 개수 (∵[eqn: A]의 부분집합이 [eqn: phi]이면 칸막이 판넬을 한 개도 철거하지 않음)이므로  [eqn: 2^5 -1 =31`]

24. [출제 의도] 실생활에서 수학적 요소를 찾아 수학적으로 해결할 수 있다.

평년의 경우 [eqn: 365=7×52+1]이므로 [eqn: 1]년 후 같은 날의 요일은 하루씩 뒤로 밀리게 되고, 윤년의 경우는 이틀씩 밀리게 된다. [eqn: 2003]년과 [eqn: 2403]년 사이의 윤년은 [eqn: 4]의 배수의 해 중 [eqn: 2100]년, [eqn: 2200]년, [eqn: 2300]년은 제외되고 [eqn: 2400]년은 포함되므로 [eqn: 97]번 존재하게 된다.

그러므로 요일은[eqn: (2403-2003)+97=497]번 뒤로 밀리게 된다.

[eqn: 497=7×71] 이므로 [eqn: 2403]년 [eqn: 6]월 [eqn: 11]일은 [eqn: 2003]년 [eqn: 6]월 [eqn: 11]일과 같은 수요일이 된다.

25. [출제 의도] 집합에서 원소의 개수와 그 합을 구할 수 있다.

[eqn: A= LEFT { 1,~3,~5,~7,~9 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,~3,~5,~7RIGHT }]이므로

[eqn: (A-B) ∪ (B-A)][eqn: = LEFT { 1,~9RIGHT } ∪ LEFT { 2 RIGHT } = LEFT { 1,~2,~9 RIGHT }]

따라서  구하는 원소의 총합은 [eqn: 1+2+9 = 12]이다.

26. [출제 의도] 무리수가 서로 같을 조건을 이해할 수 있다.

[eqn: ( a+ sqrt3 )^2 = a^2 +3+ 2a sqrt3 = 19 + b sqrt3]

∴ [eqn: a^2 +3 = 19], [eqn: 2a=b]

∴ [eqn: a=+-4], [eqn: b=+-8](복부호 동순)

따라서 [eqn: a`b = (+-4 )․ (+-8) = 32]

27. [출제 의도] 다항식의 나머지정리를 이해할 수 있다.

다항식 [eqn: f``(x)`]를 [eqn: (x`-`1`)(x+1)]로 나눈 몫과 나머지를 각각   [eqn: Q(x)], [eqn: R(x)=ax+b]([eqn: a,``b]는 상수)라 하면

[eqn: f``(x)`=`(x`-`1)(x+1)`Q`(x)`+ax+b]

[eqn: f`(1) = 5], [eqn: f`(-1) = -3]이므로

[eqn: a+b = 5], [eqn: -a+b = -3]

이를 풀면 [eqn: a=4,~ b=1] ∴ [eqn: R(x) = 4x+1]

∴[eqn: R(2) = 4․2+1 = 9]

28. [출제 의도] 이진법의 수의 집합을 통해서 수의 전개를 추론할 수 있다.

집합 [eqn: A_n]의 원소를 [eqn: 10]진법의 수로 고쳐 나타낼 때

[eqn: A_1 = left{ 1,``3,``5,``7,``9,`` 11,``13,``15,``… right}]

[eqn: A_2 = left{ 2,``3,``6,``7,``10,``11,``14,``15,``… right}]

[eqn: A_3 = left{ 4,``5,``6,``7,``12,``13,``14,``15,``… right}]

[eqn: A_4 = left{ 8,``9,``10,``11,``12,``13,``14,``15,``… right}]

따라서 [eqn: A_1 ∩A_3 ∩A_4][eqn: = left{ 13,``15,`… right}]가 되어

가장 작은 원소는 [eqn: 13]이다.

29. [출제 의도] 계수가 실수인 이차방정식의 성질을 이용한 문제를 해결할 수 있다.

계수가 실수인 이차방정식이므로 다른 한 근은 [eqn: 3- i]이다.

따라서 두 근의 합 [eqn: a= (3+ i) + (3- i ) = 6]

두 근의 곱 [eqn: b = (3+ i ) ( 3 - i ) = 9+1 = 10]

∴ [eqn: a+b = 6+10 = 16]

30. [출제 의도] 여러 도형의 위치관계를 통하여 부채꼴의 넓이를 구할 수 있다.

삼각형[eqn: rmOCA``]는[eqn: rmbarOA =barOC``]이고,[eqn: rmANGLE OAC=55DEG``]이므로

[eqn: rmANGLE OCA=55DEG``]

한편 [eqn: rmANGLE OCA=ANGLE COB+ANGLE CBO``]에서

[eqn: rmANGLE COB=20DEG``]

따라서 부채꼴[eqn: rmOCD``]의 넓이 [eqn: S``]는

[eqn: S= {20DEG}over{360DEG}×100 = 5.555…][eqn: ≒5.56]