• 2교시 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	④	2	①	3	④	4	①	5	②
6	②	7	③	8	⑤	9	③	10	②
11	④	12	②	13	④	14	①	15	③
16	③	17	①	18	90	19	380	20	13
21	22	22	16	23	10	24	241	25	84
26	①	27	⑤	28	⑤	29	⑤	30	10

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ` ^{3} sqrt {2 sqrt {2} ``} ` TIMES `` ^{6} sqrt {8``}][eqn: `=` left(2 `․`2^ {1over2} right) ^ {1over3} times (2^3 ) ^ { 1over6 }][eqn: `=`` left(2^ {3over2} right) ^ {1over3} times 2^ {3over6}]

[eqn: `=``2 ^{{1} over {2}} TIMES 2 ^{{1} over {2}} `=``2]

2. [출제의도] 조건부확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P it (A``|B)- rm P it (B``|A)= {rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (B)} - {rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (A)}]

[eqn: = rm P it (A SMALLINTER B) LEFT ( {1} over {rm P it (B)} - {1} over {rm P it (A)} RIGHT ) = {3} over {20} times left({- {2} over {5}right) `= -{3} over {50} ``]

3. [출제의도] 확률분포표에서 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a+ {1} over {3} +a+ {1} over {6} =1``]에서 [eqn: a= {1} over {4} ``]

따라서 확률변수 [eqn: X``]의 평균은

[eqn: 2 TIMES {1} over {4} +3 TIMES {1} over {3} +4 TIMES {1} over {4} +6 TIMES {1} over {6} = {7} over {2} ``]

4. [출제의도] 행렬의 연산과 곱셈공식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{`x`&`y`#`1`&`1`} pmatrix{`y`#`x`} = pmatrix{`2xy`#`y+x`} = pmatrix{`14`#`6`}]에서 [eqn: x+y=6,~xy=7`]

[eqn: THEREFORE `x ^{2} +y ^{2} =(x+y) ^{2} -2xy=6 ^{2} -2 times 7=22`]

5. [출제의도] 로그함수에서 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{rm AH it} `=`a-1`], [eqn: bar{rm PH it} `=`log _{2} `a`]이고, [eqn: rm bar{AH} `=` bar{PH} `]이므로

[eqn: a-1`=`log _{2} `a`]   ∴ [eqn: a-log _{2} `a`=`1`]

따라서 점 [eqn: rm P it ``]에서 직선 [eqn: y=x`] 까지의 거리는

[eqn: ` {vert a-log _{2} `a vert } over {sqrt {1+1}} `=` {1} over {sqrt {2}} = sqrt2 over 2 ``]

6. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

등차수열 [eqn: LEFT { ``a _{n} `` RIGHT }]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: (`a _{1} `+`a _{2} ``)````:````(`a _{3} `+`a _{4} ``)`]

[eqn: `=`(`a _{1} `+`a _{1} `+`d`)```:```(``a _{1} `+`2d`+`a _{1} `+`3d`)`=`1``:```2`]에서

[eqn: 2a _{1} `+`5d`=`4`a _{1} `+`2d`]    [eqn: THEREFORE ``2a _{1} `=`3`d`]

[eqn: THEREFORE ``a _{1} ````:````a _{4} `=`a _{1} ```:````(a _{1} `+`3d`)`=`a _{1} ```:``3a _{1} `=`1````:````3]

7. [출제의도] 행렬의 정의를 이해하고 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f`(1)=2``,``f`(2)=1]이므로 [eqn: a _{12} =a _{21} =1``,``a _{11} =a _{22} =0]

따라서[eqn: A= pmatrix{0&1`#1&0`}], [eqn: A ^{2} = pmatrix{0&1`#1&0`} pmatrix{0&1`#1&0`} = pmatrix{1&0`#0&1`} =E]

[eqn: THEREFORE ``A ^{2006} =(A ^{2} `) ^{1003} =E ^{1003} =E]

8. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

서로 악수를 나누지 않은 사람들끼리 모으면 대표 2명, 부대표 3명, 나머지 4명의 세 그룹으로 나누어진다.

따라서 구하는 확률은 이 세 그룹에서 한 명씩 택할 확률과 같다.   [eqn: THEREFORE `` {2`` TIMES ``3`` TIMES ``4`} over {` _{9} rm C it rm _{3} it} `=` {2} over {7} ``]

9. [출제의도] 로그의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 1<a<b`]에서 [eqn: 0<log`a`<log`b`]이다.

[eqn: log` _{b} a= {loga} over {logb} < {logb} over {loga} =log _{a} b`](참)

ㄴ. (반례) [eqn: a=10`,~b=100`]일 때

[eqn: 10<100]이지만 [eqn: {1} over {`10`} `` rm log``10> {1} over {`100`} `` rm log``100``](거짓)

ㄷ. [eqn: 2log``(a+b)`<log`2(a ^{2} +b ^{2} )` LRARROW `log(a+b) ^{2} <log2(a ^{2} +b ^{2} )`]

[eqn: 2(a ^{2} +b ^{2} )`-(a+b) ^{2} =a ^{2} -2ab+b ^{2} =(a-b) ^{2} >0`( BECAUSE a<b)]

[eqn: (a+b) ^{2} <2(a ^{2} +b ^{2} )`]

[eqn: THEREFORE ```2log``(a+b)`<log`2(a ^{2} +b ^{2} )``](참)

10, [출제의도] 행렬을 추론하여 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} = LEFT ( matrix{``2&``0``#``0&``3``} RIGHT ) LEFT ( matrix{``2&``0``#``0&``3``} RIGHT ) = LEFT ( matrix{``2 ^{2}&``0``#0&``3 ^{2}} RIGHT )]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= LEFT ( matrix{``2 ^{2}&``0``#``0&``3 ^{2} ``} RIGHT ) LEFT ( matrix{``2&``0``#``0&``3``} RIGHT ) = LEFT ( matrix{``2 ^{3}&``0``#0&``3 ^{3}} RIGHT )], … , [eqn: A ^{n} = LEFT ( matrix{``2 ^{n}&``0``#0&``3 ^{n}} RIGHT )]

이므로 [eqn: a _{n`} =2 ^{n} ```,``b _{n} `=3 ^{n}]

[eqn: THEREFORE `` lim _{n`` -> ` INF } {} {3a _{n} -2b _{n}} over {2a _{n} +3 b_n}}][eqn: = lim _{n`` -> ` INF } {} {3 CDOT 2 ^{n} -2 CDOT 3 ^{n}} over {2 CDOT 2 ^{n} +3 CDOT 3 ^{n}}][eqn: = lim _{n`` -> ` INF } {} {3 CDOT LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} -2} over {2 CDOT LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} +3}][eqn: =`- {2} over {3}]

11. [출제의도] 행렬의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례)[eqn: A= 3E ``,``B= O ``]일 때,

[eqn: A+B=3E``], [eqn: AB=4B``]이지만  [eqn: A!=4E````] (거짓)

ㄴ. [eqn: A+B=3E``]이고 [eqn: AB=4B``]이므로

[eqn: (A+B)B=3E`B`,~AB+B ^{2} =3B`,~4B+B ^{2} =3B]

[eqn: THEREFORE ``B ^{2} +B=O``] (참)

ㄷ. [eqn: A+B=3E``]에서 [eqn: B=3E-A``]

[eqn: AB=A(3E-A)= 3A -A^2 =(3E-A)A=BA``]

[eqn: THEREFORE ``A ^{2} -B^2 =(A+B)(A-B) =3E(A-B) =3(A-B)``](참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

12. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

:[eqn: (좌변)=H _{2 ^{0}} =H _{1} =1``]

(가)

:[eqn: H _{2 ^{k+1}} ```=``1+ {1} over {2} + CDOTS + {1} over {2 ^{k}} + LEFT ( {1} over {2 ^{k} +1} + CDOTS + {1} over {2^k+1} RIGHT )]

(나)

[eqn: =1+ {1} over {2} + CDOTS + {1} over {2 ^{k}} + LEFT ( {1} over {2 ^{k} +1} + CDOTS + {1} over {2^k +2^{k}} RIGHT )]

[eqn: =H _{2 ^{k}} + sum _{l=1} ^{2 ^{k}} {1} over {2 ^{k} +l} ``]

:[eqn: {1} over {2 ^{k} +1} + CDOTS + {1} over {2 ^{k+1}}]에서 항수는 [eqn: 2 ^{k}]개 이고,

(다)

각 항은[eqn: {1} over {2 ^{k+1}}]보다 크거나 같으므로

[eqn: {1} over {2 ^{k} +1} + CDOTS + {1} over {2 ^{k+1}} `` >= ``2 ^{k} cdot {1} over {2 ^{k+1}}]

13. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선택한 두 집합 [eqn: X,``Y```]가 [eqn: X SUBSET Y```]인 경우의 수는

ⅰ) [eqn: n(Y)=4`]일 때, [eqn: `_4 rmC_4 CDOT (2 ^{4} -1)=15`]

ⅱ) [eqn: n(Y)=3`]일 때, [eqn: `_4 rm C _ 3 CDOT (2 ^{3} -1)=28`]

ⅲ) [eqn: n(Y)=2`]일 때, [eqn: `_4 rm C_ 2 CDOT (2 ^{2} -1)=18`]

ⅳ) [eqn: n(Y)=1`]일 때, [eqn: `_4 rm C_ 1 CDOT (2 ^{} -1)=4`]

와 같이 [eqn: 15+28+18+4=65`]이고, [eqn: A`]의 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 두 집합을 택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{16} rm C it rm _{2} =120`]이다. 따라서 구하는 확률은[eqn: {65} over {120} = {13} over {24} `]

14. [출제의도] 등차중항을 이용하여 직선의 기울기를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm `A``]의 좌표를 [eqn: (-1,0)]이라 놓고 풀어도 일반성을 잃지 않는다. 직선 [eqn: rm AB``]의 기울기를 [eqn: m``]이라 하면, 점

[eqn: rm `B``]의 좌표는 [eqn: (0,~m)`], 점 [eqn: rm C``]의 좌표는 [eqn: (m ^{2} ,~0)``], 점 [eqn: rm D``]의 좌표는 [eqn: (0,~-m ^{3} )``],  점 [eqn: rm E``]의 좌표는 [eqn: (-m ^{4} `,0)`]이다.

그런데 [eqn: rm bar{AO} ,~ bar{OC} ,~ bar{EA} ``]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: rm 2 bar{OC} ``= bar{AO} + bar{EA} ``] 즉, [eqn: 2m ^{2} =1+(m ^{4} -1)]

따라서 [eqn: m ^{4} `=`2m ^{2`}]에서 [eqn: m>0]이므로 [eqn: m=` sqrt {2}]

15. [출제의도] 주어진 규칙을 이해하여 극한값을 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{1} =20 pi ``,``S _{n} = {1} over {4} S _{n-1} +12`pi ``(n >= 2`)``]

[eqn: S _{n}-16 pi= {1} over {4} (S _{n-1} -16pi)``]이므로

[eqn: S _{n} -16 pi =(20 pi -16 pi ) LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-2} pi ``]

[eqn: S _{n} =16` pi + LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-2} pi ``] [eqn: THEREFORE `` lim _{n -> INF } {} S _{n} = 16pi]

16. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 실생활에 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2006]년도의 인구수를 [eqn: P``]라 하면

[eqn: P=5 cdot 2 ^{{2006 -2001} over {15}}`=` 5 cdot 2 ^ { 5over15}= 5 cdot 2 ^ { 1over3}]이므로

[eqn: 2P=5 cdot 2 ^{{4} over {3}} =5 cdot 2 ^{{t-2001} over {15}}]에서 [eqn: {4} over {3} = {t-2001} over {15}]

[eqn: THEREFORE ``t=2021]

17. [출제의도] 표준정규분포표를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

자동차의 속력을 확률변수 [eqn: X```]라고 하면, [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rmN`(`104,```8 ^{2} `)]을 따른다.

[eqn: THEREFORE ```` rm P it (`X`>120`)=` rm P it LEFT ( Z> {120-104} over {8} RIGHT ) `][eqn: =` rm P it (`Z`>2)]

[eqn: =`0.5-` rm P it (`0 <= `Z` <= 2)][eqn: =`0.5-`0.48]

[eqn: =0.02= {1} over {50}]

따라서 자동차 [eqn: rm A,`B`]가 모두 과속으로 단속될 확률은 [eqn: {1} over {50} TIMES {1} over {50} = {1} over {2500}]

18. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1} over {log _{3} `2} + {1} over {log _{5} `2} + {1} over {log _{6} `2} =log _{2} `3+log _{2} `5+log _{2} `6`]

[eqn: =log _{2} `(3`․`5`․`6)]

[eqn: =log _{2} `90= {1} over {log _{90} `2}]

[eqn: THEREFORE `k=90`]

19. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 7`]의 개수에 따라  나누어 생각하면

(ⅰ) [eqn: 7`]이 두 개인 경우 : ∨ □ ∨ □ ∨ □ ∨의

꼴에서 □의 자리에 [eqn: 1,~2,~3,~5,~9``]중 세 개를 넣고, 나머지 ∨의 자리에 [eqn: 2`]개의 [eqn: 7`]을 배열하는 방법과 같으므로 [eqn: {} _{5} rm P it _{3} TIMES ` _{4} rm C it _{2} =60 TIMES 6=360`](개)

(ⅱ) [eqn: 7`]이 세 개인 경우 : [eqn: 7`] □ [eqn: 7`] □ [eqn: 7`]의 꼴에서    □ 의 자리에 [eqn: 1,~2,~3,~5,~9``]중에서 두 개의 수를 배열하는 방법과 같으므로 [eqn: ` _{5} rm P it _{2} =20`](개) 이다.

따라서 구하는 다섯 자리 자연수의 개수는

[eqn: 20+360=380`](개)

20. [출제의도] 조합의 수를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

네 팀이 짝지어서 경기를 치르게 되는 경우는

[eqn: rm (A,B)``,``(A,C)``,``(A,D)``,``(B,C)``,``(B,D)``,``(C,D)``]의 [eqn: 6](가지)

(ⅰ) 전승팀이 존재할 확률 :

[eqn: rm A]가 전승팀이 될 확률은

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1= {1} over {8} ``]이고, 네팀이므로 전승팀이 존재할 확률은 [eqn: {1} over {8} ` TIMES `4= {1} over {2} ``]

(ⅱ) 전패팀이 존재할 확률 : [eqn: {1} over {2} `]

(ⅲ) (전승,전패)가 동시에 존재할 확률 :

[eqn: rm `(A,B )]가 (전승,전패)일 확률은

[eqn: {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES 1 over2 TIMES 1 over 2 TIMES 1= {1} over {32} ``]이므로 (전승,전패)가 동시에 존재할 확률은 [eqn: {1} over {32} TIMES _{4}rm C _{2} TIMES 2= {12} over {32} = {3} over {8} ``]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {1} over {2} + 1 over2 - 3 over 8 = 5 over 8]

[eqn: THEREFORE `m+n=8+5=13`]

21. [출제의도] 이차방정식과 역행렬의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+2=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha ,~ beta `]라 하면, [eqn: alpha + beta =6,~ alpha beta =2``]

[eqn: A= pmatrix{alpha `&`1#1`&` beta } ``]의 역행렬은

[eqn: A ^{-1} = {1} over {alpha beta -1} pmatrix{beta `&`-1#-1`&` alpha } = pmatrix{beta `&`-1#-1`&` alpha }``]

이므로

[eqn: (A ^{2} ) ^{-1} =(A ^{-1} ) ^{2} = pmatrix{beta `&`-1#-1`&` alpha } pmatrix{beta `&`-1#-1`&` alpha } = pmatrix{beta ^{2} +1`&`-beta - alpha #-beta - alpha `&` alpha ^{2} +1}``]

따라서 행렬 [eqn: (A ^{2} `) ^{-1} ``]의 모든 성분의 합은

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} -2( alpha + beta )+2=( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta -2( alpha + beta )+2`]

[eqn: =6 ^{2} -2`․`2-2`․`6+2`=`22]

22. [출제의도] 수열의 규칙을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{50} =a _{25} +1=(a _{13} +1)+1=a _{13} +2=(a _{7} +1)+2]

[eqn: =a _{7} +3=(a _{4} +1)+3=a _{4} +4=(a _{2} +1)+4]

[eqn: =a _{2} +5=(a _{1} +1)+5=16]

[참고][eqn: a _{1} =10``,``a _{2} =11``,``a _{2n-1} =a _{2n} `=`a _{n} +1~(n >= 2)]

23. [출제의도] 로그방정식에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{3} x=X,``log _{3} y=Y``]라 하면

[eqn: LEFT ( log _{3} x RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{3} y RIGHT ) ^{2} =2log _{9} x+2log _{9} y=log _{3} x`+log _{3} y``]는

[eqn: X `` ^{2} +Y `` ^{2} =X+Y``], [eqn: LEFT ( X- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( Y- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {2} `` CDOTS ㉠]

[eqn: log _{3} xy=log _{3} x+log _{3} y=X+Y```]에서 직선

[eqn: X+Y-log _{3} xy=0]과 ㉠이 만나야 하므로

[eqn: {LEFT | {1} over {2} + {1} over {2} -log _{3} xy RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} <= {1} over {sqrt {2}}], [eqn: LEFT | 1-log _{3} xy ``RIGHT | <= 1]

[eqn: ∴``0 <= log _{3} xy <= 2]

[eqn: THEREFORE ``1 <=xy <= 9`]     ∴ [eqn: M`+`m`=`9`+`1`=`10`]

24. [출제의도] 수열의 규칙을 찾아 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 제[eqn: n``]행에 있는 항의 수는 [eqn: n``]개이고

[eqn: 1+2+3+ `cdots` +10+11=66]이므로 제[eqn: 66]항은 제[eqn: 11]행의 끝항이다. 각 행에 있는 첫째항은 [eqn: 1,```3,```9,```19,```33,```cdots] 이므로 제[eqn: n``]행의 첫째항은

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} (4k-2)=1+ {4n(n-1)} over {2} -2(n-1)``]

[eqn: =2n ^{2} -4n+3``]

따라서 제[eqn: 11]행의 첫째항은 [eqn: 2times11 ^{2} -4times11+3=201]이고 각 행은 공차가 4인 등차수열이므로 제[eqn: 66]항은

[eqn: 201+10times4=241]

25. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

다음 그림에서 [eqn: rm C`]에서 [eqn: rm D`]까지 최단거리의 경로의 수는

ⅰ) [eqn: rm A -> C -> X -> D -> B``]: [eqn: 1`]

ⅱ) [eqn: rm A -> C -> Y -> D -> B``]: [eqn: 1times {4!} over {3!} TIMES {4!} over {3!} times 1 =16`]

ⅲ) [eqn: rm A -> C -> Z -> D -> B`]: [eqn: 1times LEFT ( {4!} over {2!2!} -1 RIGHT ) LEFT ( {4!} over {2!2!} -1 RIGHT ) times 1 =25 `]

이므로 [eqn: 1+16+25=42`](가지)

마찬가지로 [eqn: rm E``]에서 [eqn: rm F``]까지 최단거리의 경로의 수도 [eqn: 42`](가지)이다.

따라서 구하는 최단거리의 경로의 수는

[eqn: 42`+42=84`](가지)

26. [출제의도] 로그가 정의되는 조건을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

로그의 정의에서 밑은 [eqn: 1]이 아닌 양수이고, 진수는 양수이어야 한다.

ㄱ. 밑의 조건: [eqn: a ^{2} `-`a`+2`=left( a - 1over2 right) ^2 + 7 over4 >1]

진수의 조건: [eqn: a ^{2} +1 >= 1]

따라서 항상 로그를 정의할 수 있다.

ㄴ. (반례)[eqn: a=0]일 때 밑은 [eqn: 2` vert `a` vert `+1`=1]이므로 로그를 정의할 수 없다.

ㄷ. (반례)[eqn: a=1]일 때 진수는 [eqn: a^2 -2a+1=0]이므로 로그를 정의할 수 없다.

따라서 항상 로그를 정의할 수 있는 것은 ㄱ뿐이다.

27. [출제의도] 지수방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{x} =t`(t>0)], [eqn: g(t)=t ^{2} -2at+a ^{2} -a-6`]이라 하자. 방정식 [eqn: 4 ^{x} -a CDOT 2 ^{x+1} +a ^{2} -a-6`=0`]이 서로 다른 두 실근을 가지면, 방정식 [eqn: g(t)=0]이 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다.

방정식 [eqn: g(t)=0]의 서로 다른 두 양의 실근을 [eqn: alpha ,`` beta ``] 라 하면, [eqn: alpha >0,`` beta >0``]이므로

[eqn: D/4=a ^{2} -(a ^{2} -a-6)=a+6>0`]에서 [eqn: a>`-6`] [eqn: CDOTS ㉠]

[eqn: alpha + beta =2a>0``]에서 [eqn: a>0`] [eqn: CDOTS ㉡]

[eqn: alpha beta =a ^{2} -a-6=(a-3)(a+2)>0`]에서

[eqn: a>3``,``a< `-2] [eqn: CDOTS ㉢]

㉠, ㉡, ㉢ 에서 구하는 범위는 [eqn: a>3`]

28. [출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꺼낸 세 개의 전구 중에서 두 개가 노란 전구일 확률은

[eqn: {2} over {6} TIMES {3} over {6} TIMES {5} over {6} + {2} over {6} TIMES {3} over {6} TIMES {1} over {6} + {4} over {6} TIMES {3} over {6} TIMES {1} over {6} = {16} over {72} = {2} over {9} `]

이 때, [eqn: rm A`]에서 꺼낸 전구가 노란 전구일 확률은

[eqn: {2} over {6} TIMES {3} over {6} TIMES {5} over {6} + {2} over {6} TIMES {3} over {6} TIMES {1} over {6} = {12} over {72} = {1} over {6} `]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {{1} over {6}} over {{2} over {9}} = {9} over {12} = {3} over {4} `]

29. [출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {rm barOA} _{n} `} it `=`a _{n} `] 이라 하면 [eqn: a _{n} = pi CDOT {a _{n+1}} over {2} ``] 에서

[eqn: a _{n+1} `=` {2} over {pi } `a _{n} `]이므로 [eqn: a _{n} `=` a_1 cdot left({2} over {pi }right)^n-1 = (6pi-12) left( 2 over pi right)^n-1]

[eqn: THEREFORE`````` arch{rm OA } _{n} = pi CDOT {a _{n}} over {2} = {pi } over {2} (6 pi -12) LEFT ( {2} over {pi } RIGHT ) ^{n-1}]

따라서 구하는 값은 첫째항이 [eqn: {pi } over {2} `(6 pi -12)], 공비가 [eqn: 2over pi]인 무한등비급수이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` arch {rm OA}_n `=` {pi } over {2} CDOT {6` pi -12} over {1- {2} over {pi }} `=`3` pi ^{2} `]

30. [출제의도] 확률변수의 표준편차를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: c` sum _{k=1} ^{n} k=1`]에서 [eqn: c= {2} over {n(n+1)}]

[eqn: X`]의 표준편차가 [eqn: sqrt {6} `]이므로 [eqn: X``]의 분산 [eqn: V(X)`]는

[eqn: V(X)= sum _{k=1} ^{n} k ^{2} CDOT (c``k)- LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k CDOT c``k RIGHT ) ^{2} =6]에서

[eqn: c sum _{k=1} ^{n} k ^{3} - LEFT ( sum _{k=1} ^{n} c``k ^{2} RIGHT ) ^{2} =6]

위 식에 [eqn: c= {2} over {n(n+1)}]를 대입하여 정리하면

[eqn: {2} over {n(n+1)} TIMES LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2} - LEFT { {2} over {n(n+1)} TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} RIGHT } ^{2} =6]

[eqn: {n(n+1)} over {2} - {(2n+1) ^{2}} over {9} =6`], [eqn: n ^{2} +n-110=0`]

[eqn: (n+11)(n-10)=0``][eqn: THEREFORE ```n=10``]

수리‘나’형 정답

1	④	2	⑤	3	④	4	①	5	④
6	②	7	③	8	⑤	9	①	10	②
11	④	12	②	13	③	14	①	15	③
16	③	17	⑤	18	90	19	102	20	20
21	22	22	16	23	100	24	241	25	375
26	①	27	⑤	28	②	29	⑤	30	150

해 설

1. ‘가’형과 동일

2. [출제의도] 합의 기호를 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{10} `(k+1) ^{2} -2` sum _{k=1} ^{10} `(k+2)+ sum _{k=1} ^{10} 3]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} `left{(k+1) ^{2} -2(k+2)+3right}`]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} `k ^{2} `= {10times 11times 21} over 6 =385]

3. [출제의도] 수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {`(n+3)(n+4)`-`n ^{2} `} over {(n+1)(n+2)`-`n ^{2}}][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} {(n ^{2} `+`7n`+12`)-n ^{2}} over {(n ^{2} `+`3n`+2`)-n ^{2}} `][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} {7n+12} over {3n+2} `=` lim _{n -> INF } {} {7+{12over n }} over {3+ {2over n }} `= {7} over {3}]

4. ‘가’형과 동일

5. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 적용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( {1} over {256} RIGHT ) ^{{1} over {n}} =(2 ^{-8} ) ^{{1} over {n}} =2 ^{- {8} over {n}} `]에서 [eqn: 2 ^{- {8} over {n}} `]이 자연수이려면

[eqn: n=`-1,~-2,~-4,~-8`]이어야 하고, 이 때 [eqn: 2 ^{- {8} over {n}} `]의 값은 각각 [eqn: 256,``16,``4,``2]이다.

따라서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 4]이다.

6 ~ 7.  ‘가’형과 동일

8. [출제의도] 역행렬의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{4} =O`]의 양변에 [eqn: -E`]를 더하면 [eqn: A ^{4} -E=-E``]이므로

[eqn: E-A ^{4} =E`]

[eqn: E-A ^{4}][eqn: =(E-A)(E+A)(E+A ^{2} )`][eqn: =E``]이므로

[eqn: (E-A) ^{-1} =(E+A)(E+A ^{2} )`],

[eqn: (E+A) ^{-1} =(E-A)(E+A ^{2} )`],

[eqn: (E+A ^{2} ) ^{-1} =(E-A)(E+A)=E-A^2 ``]

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 역행렬이 존재한다.

9. [출제의도] 논리적 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

네 사람은 수리영역 문항을 각각 1문항씩 풀어야 하며,

[eqn: rm C]가 언어영역을 풀었다고 할 때, 네 사람이 푼 문항

을 표로 나타내면 다음과 같다.

	언어	수리	외국어	사탐	계
A	○	○	☆		3
B		○	○		3
C	○	○		○	3
D		○	○		3
계	3	4	3	2	12

[eqn: rm B``]와 [eqn: rm D``]는 언어영역 문항을 풀 수도 있고 사회탐구영역 문항을 풀 수도 있다.

따라서 ‘[eqn: rm A]는 외국어영역 문항을 풀었다.’가 참이다.

10 ~ 12. ‘가’형과 동일

13. [출제의도] 로그와 행렬에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{-1} BA=B``]에서[eqn: A(A ^{-1} BA)=AB``]이므로

[eqn: BA=AB``]

[eqn: BA= pmatrix{`logx`&`logy`#`0`&`logz`} pmatrix{`x`&`y`#`1`&`z`} = pmatrix{`x`logx`+`logy`&`y`logx+z`logy`#`logz&`z`logz`} ``]

[eqn: AB= pmatrix{`x`&`y`#`1`&`z`} pmatrix{`logx`&`logy`#`0`&`logz`} = pmatrix{`x`logx`&`x`logy+y`logz`#`logx&``logy+z`logz`} ``]

[eqn: BA=AB``]에서[eqn: logy=0``,``logx=logz``]

[eqn: THEREFORE ``y=1``,``x=z``]

한편,[eqn: A ^{-1}]가 존재하므로[eqn: x != 1``]

따라서 조건을 만족하는 행렬[eqn: A`]는

[eqn: pmatrix{2&1`#1&2`} ``,`` pmatrix{3&1`#1&3`} ``,`` pmatrix{4&1`#1&4`} ``,`` pmatrix{5&1`#1&5`} ``]의 [eqn: 4] 개이다.

14 ~ 16. ‘가’형과 동일

17. [출제의도] 행렬을 이용하여 실생활에 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

<표1>을 행렬로 나타내면

[eqn: A= pmatrix{30000~&10000#20000~&20000} =10000 pmatrix{3~&1#2~&2}]

이고, <표2>를 행렬로 나타내면 [eqn: B= pmatrix{1~&2#1~&3}]이다.

그러므로 갑과 을이 P약국과 Q약국에서 1개월간 구입한 약값은 [eqn: AB=10000 pmatrix{3&`1#2&`2} pmatrix{1&`2#1&`3} =10000 pmatrix{4&`9#4&`10}]이다.

따라서  [eqn: 10000 pmatrix{4&`9#4&`10} pmatrix{x#y} = pmatrix{600000#640000}]에서

[eqn: pmatrix{4&`9#4&`10} pmatrix{x#y} = pmatrix{60#64}]이므로 [eqn: pmatrix{x#y} = {1} over {4} pmatrix{10&`-9#-4&`4} pmatrix{60#64}]

[eqn: THEREFORE ``a=10``,``b=4]

[eqn: THEREFORE ``a+b=10+4=14]

18. ‘가’형과 동일

19. [출제의도] 넓이에 관한 수학적 기초 지식을 묻는 문제이다.

다음 그림과 같이 직사각형에서 가로, 세로의 길이를 [eqn: l,~m,~n,~x,~y``]라 하면, [eqn: lx=8,~nx=9,~my=6``]

	[eqn: l]	[eqn: m]	[eqn: n]
[eqn: x]	[eqn: 8]	[eqn: a]	[eqn: 9]
[eqn: y]	[eqn: b]	[eqn: 6]	[eqn: c]

[eqn: ∴``a(b+c`)=mx(ly+ny)``][eqn: =(lx)(my)+(nx)(my)``]

[eqn: =8 CDOT 6`+`9 CDOT 6`][eqn: =102`]

20. [출제의도] 주사위의 눈에 관한 수학적 기초 지식을 묻는 문제이다.

윗 면의 눈의 수가 [eqn: 1], [eqn: 6`] 일 때, 옆 면의 눈의 수는

각각 다음과 같다.

	2
4	1	3
	5

	2
3	6	4
	5

따라서 이웃한 주사위와 접한 네 개의 면에 있는 수의 합은 [eqn: 5`+`4`+`5`+`6`=`20`]

21 ~ 22. ‘가’형과 동일

23. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제를  해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log`x=f(x)+g(x)``]이므로

[eqn: log``a=f(a)+g(a)````` CDOTS ``㉠``,``log``b=f(b)+g(b)````` CDOTS ``㉡``]

㉠-㉡에서

[eqn: log``a - log``b=f(a)-f(b) +g(a)-g(b)=2- log3``]

이므로 [eqn: `log`` {a} over {b} `=`log` {100} over {3} `],[eqn: ` {a} over {b} `=`` {100} over {3} `]

[eqn: ` THEREFORE] [eqn: 3a=``100`b``]

산술평균과 기하평균의 관계에 의해

[eqn: 3`a`+` {25} over {b} `=`100`b`+` {25} over {b} `` >= `2` sqrt {100b` TIMES {25} over {b} `} `=`100`]이고, 등호는 [eqn: a= {50} over {3} ``,``b= {1} over {2}]일 때 성립한다.

따라서 구하는 최소값은 [eqn: `100`]

24. ‘가’형과 동일

25. [출제의도] 등차수열을 이용하여 실생활에 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선미가 매일 푸는 문제수는 공차가 [eqn: d``]인 등차수열이므로

[eqn: x=15+(15+d)+(15+2d)+`cdots`+(15+8d)+24``]

[eqn: ``=30+(30+d)+(30+2d)+`cdots`+(30+6d)+39``]

즉, [eqn: {9(15+15+8d)} over {2} +24= {7(30+30+6d)} over {2} +39`]

[eqn: 9(15+4d)+24=7(30+3d)+39`]에서

[eqn: 15d=90~~ THEREFORE ~d=6`]

따라서 수학 책의 문제수는

[eqn: x=9(15+4d)+24=9(15+4`․`6)+24=375`]

26. ‘가’형과 동일

27. [출제의도] 등비수열을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

공비를 [eqn: r``]라 하면 [eqn: a+b+c`=`a`+`ar`+ar ^{2} `=` {7} over {2}]에서

[eqn: a(1+r+r ^{2} `)`=` {7} over {2} ~ CDOTS `㉠]

또, [eqn: abc=a cdot ar cdot ar ^{2} =1]에서 [eqn: a ^{3} `r ^{3`} =(ar) ^{3} =1]이고

[eqn: a``,``r``]는 실수이므로 [eqn: ar=1~ CDOTS ㉡``]

㉠, ㉡ 에서

[eqn: {1+r+r ^{2}} over {r} = {7} over {2}``,`` 2r^2 +2r +2 = 7r ``,``2r^2 -5r+2=0]

[eqn: (r-2)(2r-1)=0]   [eqn: THEREFORE ``r=2] 또는 [eqn: r=` {1} over {2} `]

㉠에서 [eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a=`2]

따라서 세 수는 [eqn: 2``,``1``,`` {1} over {2}]이다.

[eqn: THEREFORE ``a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =2 ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {21} over {4}]

[다른 풀이][eqn: b ^{2} =ac``]이므로 (나)에서 [eqn: b ^{3} =1``]   [eqn: THEREFORE ``b=1``]

[eqn: b=1``]이므로 [eqn: ac=1``]이고, (가)에서 [eqn: a+c= {5} over {2} ``]이므로

[eqn: ab+bc=` {5} over {2} ``]

[eqn: THEREFORE ``a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} = (a+b+c) ^{2}- 2(ab+bc+ca) = {21} over {4}``]

28. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {n} ,~b _{n} =n+1`]이라 하면

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} =0,~ lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} b _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} {n+1} over {n} =1`]이지만

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 발산한다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { (a _{n} -2b _{n} )+2b _{n} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} (a _{n} -2b _{n} )+2 lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} =0+2=2] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} =n- {1} over {n} ,~b _{n} =n,~c _{n} =n+ {1} over {n} `]이라 하면

[eqn: a _{n} `<`b _{n} `<`c _{n} `]이고, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (c _{n} -a _{n} )= lim _{n` -> ` INF } {} {2} over {n} =0`]이지만

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 발산한다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

29. [출제의도] 행렬과 두 점 사이의 거리에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 등식에서

[eqn: pmatrix{`4(x ^{2} +y ^{2} )-(x-y)&~~``x ^{2} +y ^{2}#x ^{2} +y ^{2}&~~-(x-y)``}][eqn: = pmatrix{`17&```4#4&```1`}] 이므로

[eqn: cases{`x ^{2} +y ^{2} =4#`x-y=- 1} `]

이를 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같다.

[eqn: rm bar{OH} =sqrt2 over 2`], [eqn: rm bar{OP} =2`]이므로 [eqn: rm bar{PH} = sqrt {14} over2 `]

∴[eqn: rm bar{PQ} =2 rm bar{PH} =sqrt {14} `]

30. [출제의도] 수열의 합에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꼭지점 [eqn: rm C``]에서 변[eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

[eqn: bar{rm `AB it} =25]이므로 [eqn: bar{rm `CH it} ={15 times 20} over 25 =12]

[eqn: `bar{rm `AH it} =sqrt{ 15^2 - 12^2 } =9] 이고 [eqn: rm P _{9} ``,``Q_9 ``]가 각각 [eqn: rmH``,``C]와 일치하므로 [eqn: ``bar{rm `P_9 Q_9 it} = bar { rm CH } =12]

삼각형[eqn: rm AHC]에서

[eqn: rm bar{P _{1} Q _{1}} `+` rm bar{P _{2} Q _{2}} `+` rm bar{P _{3} Q _{3}} `+` CDOTS `+` rm bar{P _{9} Q _{9}}=(1+2+3+cdots+9) tan A ``]

[eqn: = {4} over {3} TIMES {9 TIMES 10} over {2} =60]

또, 삼각형[eqn: rm BHC]에서

[eqn: rm bar{P _{10} Q _{10}} `+` rm bar{P _{11} Q _{11}} `+` CDOTS `+` rm bar{P _{24} Q _{24}}= ( 15 + 14 + 13 + cdots + 2 + 1)tan B``]

[eqn: = {3} over {4} TIMES {15 TIMES 16} over {2} =90]

따라서

[eqn: rm bar{P _{1} Q _{1}} `+` rm bar{P _{2} Q _{2}} `+` rm bar{P _{3} Q _{3}} `+` CDOTS `+` rm bar{P _{24} Q _{24}}=60+90=150]

[다른 풀이] 다음 그림에서

[eqn: (rm bar{P _{1} Q _{1}} `+` CDOTS `+` rm bar{P _{8} Q _{8}}`) `+` rm bar{P _{9} Q _{9}}+(rm bar{P _{10} Q _{10}} `+` CDOTS `+` rm bar{P _{24} Q _{24}}`)]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 12 TIMES 8+12+ {1} over {2} TIMES 12 TIMES 15 =150]