2004학년도 대학수학능력시험 수리·탐구(I) 영역 자연계

<풀이>

[eqn: log_3 `` 12 `+ log_3 `` 9` - log_3 ``4 ``][eqn: =`log_3 `` 12×9over4 `=`log_3``27``]

[eqn: =`log_3``3^3`=`3``]

답 : ③

<별해>

[eqn: log_3 `` 12 `+ log_3 `` 9` - log_3 ``4 ``][eqn: =`(1`+`log_3``4)`+`2`-`log_3``4`=`3``]

<풀이>

[eqn: { 3 } over { x`- { x`-1 } over { x`+1 } }`=`{3`(x+1)}over{x`(x+1)`-`(x-1)}``][eqn: =`{3`(x+1)}over{x^2`+`1}``][eqn: =`{3`(root2`+`1)}over2+1`=`root2`+`1``]

답 :  ①

<풀이>

[eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`sin theta CDOT sin□over cos□``][eqn: =`{sin^2`□}over cos□``]

그런데 [eqn: sin^2`□`=`1`-`cos^2`□`=`1`-`left(- 1over3right)^2`=`8over9``]이므로

[eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`{8over9}over{- 1over3}`=`- 8over3``]

답 :  ②

<별해> 사인과 탄젠트의 값을 직접 구한다.

[eqn: cos□`＠``0``]이므로 □는 제2, 3사분면의 각이다.

(i) □가 제2사분면의 각일 때,

[eqn: sin□=`root{1`-`cos^2`□}`=`root{1`-`left(- 1over3right)^2`}`=`{2`root2}over3``]

[eqn: tan□=`sin□over cos□`=`{{2`root2}over3}over{- 1over3}`=`-`2`root2``]

∴ [eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`{2`root2}over3`□(-2`root2`)`=`- 8over3``]

(ii) □가 제3사분면의 각일 때,

[eqn: sin□=`-root{1`-`cos^2`□}`=`-root{1`-`left(- 1over3right)^2`}`=`-{2`root2}over3``]

[eqn: tan□=`sin□over cos□`=`{-{2`root2}over3}over{- 1over3}`=`2`root2``]

∴ [eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`-{2`root2}over3`□2`root2`=`- 8over3``]

(i), (ii)에서 [eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`- 8over3``]

<풀이>

모든 항을 좌변으로 이항하면

[eqn: x `-`10_` over x-3``□``0``]

통분하면

[eqn: {x`(x-3) `-`10} over x-3``□``0``], [eqn: {(x-5)`(x+2)} over x-3``□``0``]

양변에 [eqn: (x-3)^2``]을 곱하면

[eqn: (x-5)`(x+2)`(x-3)``□``0``], [eqn: x`□`3``]

∴ [eqn: x``□``-2``,``3``＠``x``□``5``]

[eqn: x``]는 자연수이므로 4, 5만 가능하다.

답 : ②

<풀이>

[eqn: x``→``1``]일 때, (분모)→0이므로 (분자)→0이어야 한다.

∴ [eqn: lim from { x` ->1 } ``left{g`(x`)-2`right}`=`0``]에서 [eqn: g`(1)`=`2``]

∴ [eqn: f``(2)`=`1``]

그러므로 주어진 식은

[eqn: lim from { x` ->1 } ``{g`(x`)-2}_` over {x`-1}`=` lim from { x` ->1 } ``{g`(x`)`-`g`(1)} over {x`-1}`=`g`'(1)`=`3``]

[eqn: f`(x`)`]의 역함수가 [eqn: g`(x`)`]이므로 [eqn: g`(f``(x)`)`=`x``]에서

[eqn: g`'(f``(x)`)□f``'(x)`=`1``]

∴ [eqn: f``'(x)`=`1over{g`'(f``(x)`)}``]

∴ [eqn: f``'(2)`][eqn: =`1over{g`'(f``(2)`)}`=`1over{g`'(1)}`=`1over3``]

답 : ③

<풀이>

일차변환 [eqn: f``]와 [eqn: g``]를 나타내는 행렬을 각각 [eqn: A``]와 [eqn: B``]라 하면

[eqn: A`=`pmatrix{0&1``#1&0``}``,``B`=`pmatrix{cos□&-sin□``#sin□&~~cos□``}``]

합성변환 [eqn: g circ f``]를 나타내는 행렬은

[eqn: B`A`=`pmatrix{cos□&-sin□``#sin□&~~cos□``}`pmatrix{0&1``#1&0``}`=`pmatrix{-sin□&cos□``#~~cos□&sin□``}``]

점[eqn: (1,``0)`]이 점 [eqn: left(-"`1`" over "`2`" ,```sqrt{3`} over 2 right)`]으로 옮겨졌으므로

[eqn: pmatrix{-sin□&cos□``#~~cos□&sin□``}`pmatrix{1``#0``}`=`pmatrix{- 1over2``#~root3over2``}``]

에서 [eqn: sin□=`1over2``,``cos□=`root3over2``]

∴ [eqn: □=`30°``]

즉, [eqn: B`A`=`1over2`pmatrix{-1&root3``#~root3&1``}``]이므로 점[eqn: left("`1`" over "`2`" , ``- sqrt{3``} over 2 right)`]은

[eqn: 1over2`pmatrix{-1&root3``#~root3&1``}`pmatrix{~~1over2``#-root3over2``}``][eqn: =`pmatrix{-1``#~~0``}``]

답 : ⑤

<별해 1>

그림을 그려 보자.

점 P(1, 0)은 [eqn: f``]에 의하여 점 Q(0, 1)로 옮겨지고, 다시 [eqn: g``]에 의하여 R[eqn: left(-"`1`" over "`2`" ,```sqrt{3`} over 2 right)`]로 옮겨졌으므로 [eqn: g``]는 원점을 중심으로 30°회전하는 변환이다.

점 S[eqn: left("`1`" over "`2`" , ``- sqrt{3``} over 2 right)`]는 [eqn: f``]에 의하여 점 T[eqn: left(- sqrt{3``} over 2``,``1over2 right)``]로 옮겨지고, 다시 [eqn: g``]에 의하여 U[eqn: (-1`,``0)``]로 옮겨진다.

<별해 2>

합성변환 [eqn: g circ f``]를 나타내는 행렬을 [eqn: M``]이라 하면, 점[eqn: (1,``0)`]이 점 [eqn: left(-"`1`" over "`2`" ,```sqrt{3`} over 2 right)`]으로 옮겨지므로

[eqn: M`pmatrix{1``#0``}`=`pmatrix{- 1over2``#~root3over2``}``]

양변에 -1을 곱하면

[eqn: -M`pmatrix{1``#0``}`=`-pmatrix{- 1over2``#~root3over2``}``],

즉 [eqn: M`pmatrix{-1``#~~0``}`=`pmatrix{~~1over2``#-root3over2``}``]

따라서 점 (-1, 0)은 점[eqn: left(-"`1`" over "`2`" , `` sqrt{3``} over 2 right)`]으로 옮겨진다.

<풀이>

오른쪽 그림과 같이 꼭지점 P에서 두 평면 ABCD, EFGH에 내린 수선의 발을 각각 L, M이라 하고, 두 모서리 AB, EF의 중점을 각각 K, Q라 하면, 두 선분 PK, QK는 각각 모서리 AB에 수직이므로

∠PKQ[eqn: =`□``]

이다. △PAK에서 [eqn: rmbarPA`=`2``,``barAK`=`1``]이므로

[eqn: rmbarPK`=`root{2^2`-`1^2`}`=`root3``]

△PKL에서 [eqn: rmbarKL`=`1``]이므로

[eqn: rmbarPL`=`root{(root3`)^2`-`1^2`}`=`root2``]

△PQM에서 [eqn: rmbarPM`=`root2`+`2``,``barQM`=`1``]이므로

[eqn: rmbarPQ`=`root{(root2`+`2)^2`+`1^2`}`=`root{7`+`4`root2`}``]

그러므로 △PKQ에 제이코사인법칙을 적용하면

[eqn: cos□=`{4+3-(7`+`4`root2`)`}over{2□2□root3`}``]

[eqn: =`- {4`root2}over{4`root3}`=`- root6over3``]

답 : ①

<별해>

△PAB의 평면 ABCD 위로의 정사영을 △P'AB라 하자.

△PAB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로 그 넓이는

[eqn: S`=`root3over4`□2^2`=`root3``]

△P'AB의 넓이 [eqn: S`'``]은 정사각형 ABCD의 [eqn: 1over4``]이므로

[eqn: S`'`=`1over4`□2^2`=`1``]

평면PAB와 평면 ABCD가 이루는 각의 크기를 □라 하면

[eqn: S`'`=`S`cos□``]에서 [eqn: cos□=`1over root3``]

평면PAB와 평면 AEFB가 이루는 각의 크기 □는 [eqn: □+`pi over2``]와 같으므로

[eqn: cos□=`cos`left(□+`pi over2right)``]

[eqn: =`-`sin□`=`-`root{1`-`cos^2`□}``] (∵ □는 예각)

[eqn: =`-`root{1`-`1over3`}`=`-`root6over3``]

<풀이>

각각의 경우를 그래프로 그리면 다음과 같다.

□	□	□

그림에서 두 그래프가 항상 만나는 것은 □, □이다.

답 :  ⑤

<풀이>

역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: a`d`-`b`c`=`0``]에서 [eqn: a`d`=`b`c``] ……㉠

오른쪽 그림과 같이 좌표축을 잡고 점 P의 좌표를 [eqn: (x`,``y`)``]라 하면

[eqn: a`=`1over2`□2`□x`=`x``]

[eqn: b`=`1over2`□1`□y`=`y over2``]

[eqn: c`=`1over2`□2`□(1-x)`=`1-x``]

[eqn: d`=`1over2`□1`□(2-y)`=`2-y over2``]

㉠에 대입하면

[eqn: x`□`2-y over2`=`(1-x)`□`y over2``]

∴ [eqn: y`=`2`x``] (단, [eqn: 0``＠``x``＠``1``,``0``＠``y``＠``2``])

즉, 점 P의 자취는 원점와 점 (1, 2)를 잇는 선분이므로 그 길이는

[eqn: root{1^2`+`2^2`}`=`root5``]

답 : ④

<참고>

일반적으로 직사각형 내부에 한 점 P를 잡고, 직사각형을 네 조각으로 나누면 항상 [eqn: a+c`=`b+d``]인 관계가 성립한다.

증명해 보자.

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 각 변까지의 길이를 각각 [eqn: x`,``y`,``z`,``w``]라 하면

[eqn: a`=`1over2`x`(z+w)`=`{x`z`+`x`w}over2``]

[eqn: b`=`1over2`z`(x+y)`=`{x`z`+`y`z}over2``]

[eqn: c`=`1over2`y`(z+w)`=`{y`z`+`y`w}over2``]

[eqn: d`=`1over2`w`(x+y)`=`{x`w`+`y`w}over2``]

에서 [eqn: a+c`=`b+d``]임을 알 수 있다.

<별해> <참고>를 이용한 별해임.

㉠에서 [eqn: d`=`bc over a``]이므로 [eqn: a+c`=`b+d``]에 대입하면

[eqn: a+c`=`b+`bc over a``]

양변에 [eqn: a``]를 곱하면[eqn: a`(a+c)`=`b`(a+c)``]에서 [eqn: a`=`b``]

㉠에서 [eqn: c`=`d``]임도 알 수 있다.

[eqn: a`=`b``]이고 [eqn: c`=`d``]이면 [eqn: a+d`=`b+c``]이므로 점 P는 직사각형의 대각선 위에 존재한다.

<풀이>

[eqn: w`=`a`+`b`i``](단, [eqn: a`,``b``]는 실수)라 하자.

ㄱ. [eqn: z`= `bar w_``][eqn: =`a`-`b`i``]

∴ [eqn: | {z`+w}`` |`=`□2`a□=`2`□a□``]

그런데[eqn: □z□=`root{a^2`+`b`^2`}``] 이고, [eqn: 2□a□`□``2`root{a^2`+`b`^2`}``](등호는 [eqn: b`=`0``]일 때 성립)이므로

[eqn: | {z`+w}`` |``□```2``` | ``z ```|`] (참)

ㄴ. [eqn: z`=`iw``][eqn: =`-b`+`a`i``]

∴ [eqn: | {z`-w}`` |`=`□(-a-b`)`+`(a-b`)`i□``]

[eqn: =`root{(-a-b`)^2`+`(a-b`)^2`}`=`root{2`(a^2`+`b`^2`)`}``]

[eqn: =`root2``root{a^2`+`b`^2`}``][eqn: =sqrt{2``} ```|``z```|] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: w`=`i``]이면, [eqn: z`=- {bar w_` }`=`i``]이다. 이 때

[eqn: | {z`+w}`` |`=`□2`i□`=`2``□``1`=` | {z}`` |^2``] (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

답 : ③

<별해>

□. [eqn: z`=`bar w``]에서

[eqn: □z□=`□bar w □=`□w□``]

이므로 [eqn: □z+w□``□``□z□+□w□=`2`□z□``]

□. [eqn: z`=`i`w``]에서

[eqn: □z□=`□i`w □=`□w□``]

이므로 [eqn: □z`-`w□=`□i`w`-`w□``]

[eqn: =`□w`(i-1)□=`□w□□i-1□=`root2`□z□``]

<풀이>

ㄱ. [eqn: f`( SQRT { 2``} )`=`[2]`=`2``,``g` ( SQRT { 2``} )`=`[root2`]^2`=`1^2`=`1``]

∴ [eqn: f`( SQRT { 2``} )` Ｂ g` ( SQRT { 2``} )`] (참)

ㄴ. [eqn: x`=`n``](정수)이면

[eqn: f`(x` )` =`[n^2`]`=`n^2``,`` g`(x` ) `=`[n]^2`=`n^2``]

∴ [eqn: f`(x` ) = g`(x` ) `] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x`=`0.5``]일 때

[eqn: f`(x` )` =`[0.5^2`]`=`[0.25]`=`0``,`` g`(x` ) `]

[eqn: =`[0.5]^2`=`0^2`=`0``]

으로 [eqn: f`(x`) = g`(x`) `]이지만, [eqn: x``]는 정수가 아니다.

이상에서 옳은 것은 □, □이다.

답 : ②

<풀이>

ㄱ. [eqn: 3^1 = 3``], [eqn: 3^2 = 9``], [eqn: 3^3 = 27``], [eqn: 3^4 =81``], [eqn: 3^5 = 243``], … 이므로 [eqn: A`(2) = LEFT { `` 1, ``3, `` 7, `` 9 ``RIGHT } ``]

∴ [eqn: 1``]□[eqn: A`(3)] (참)

ㄴ. [eqn: 6^1`=`6`,``6^2`=`36`,``6^3`=`216``,``…``]이므로

[eqn: A`(6)`=`left{6``right}``]

∴ [eqn: A`(6) ``notSUBSET ``A`(3)``] (거짓)

ㄷ. [eqn: n`=`3``]이면 [eqn: 3^3`=`27``]이고, 일의 자리만 생각하면 [eqn: A`(7)`=`left{1`,``3`,``7`,``9`right}``]이므로

[eqn: A`(27) =A`(3)``] (참)

이상에서 □, □이 참이다.

답 :  ⑤

<풀이>

□. [eqn: f_{ 2 } CIRC f_{ 3 } ``]는 270°회전 후 다시 180°회전한 것이므로 결국 450°, 곧 90°회전시킨 것과 같다.

∴ [eqn: f_{ 2 } CIRC f_{ 3 } ``=`f_{ 1 } ``] (거짓)

□. [eqn: f_{ 1 } ^ {-1}``]은 -90°회전이고, [eqn: f_{ 3 } ``]은 270°회전이므로

[eqn: f_{ 1 } ^ {-1}`` =`f_{ 3 }] (참)

□. [eqn: f_1 □f_3 ``]은 270°회전 후 90° 회전했으므로 결국 360°회전한 셈이다.

[eqn: f_3 □f_1``]은 90°회전 후 270°회전했으므로 역시 360°회전한 것이다.

∴ [eqn: f_1 □f_3 ``=` f_3 □f_1] (참)

이상에서 옳은 것은 □, □이다.

답 ④

<풀이>

우선 세 숫자의 조합을 생각하면

(1, 2, 3, 3), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3), (1, 1, 1, 2),

(1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 2)

가 가능하다. 즉, 1과 2를 두 개 사용할 때와 세 개 사용할 때, 그리고 네 개 사용할 때로 나뉜다.

(i) 1과 2를 두 개 사용할 때 → (1, 2, 3, 3)

[eqn: 4! over2!`=`12``](개)

(ii) 1과 2를 세 개 사용할 때 → (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3)

[eqn: 4! over2!`×`2`=`24``](개)

(iii) 1과 2를 네 개 사용할 때 → (1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 2)

[eqn: 4! over3!`+`4! over{2!`2!}`+`4! over3!`=`4`+6`+`4`=`14``](개)

이상에서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 12+24+14`=`50``](개)

답 : ⑤

<별해 1>

여사건을 구해 보자.

숫자 1, 2, 3을 중복사용하여 만들어지는 네 자리 자연수는

[eqn: 3□3□3□3`=`81``](개)

가 전체집합이다.

(i) 한 숫자로만 된 것은

1111, 2222, 3333의 3개

(ii) 두 숫자로만 된 것 중 1과 3으로만 된 것

[eqn: 2□2□2□2`-`2`=`14``] ←2를 뺀 것은 한 숫자로만 된 것이 (i)과 중복되므로

(iii) 두 숫자로만 된 것 중 2와 3으로만 된 것도 (ii)와 마찬가지로 14개가 있다.

이상에서 여사건의 개수는 31이므로 구하는 개수는

[eqn: 81-31`=`50``](개)

<별해 2>

먼저 네 자리 중 두 자리를 1과 2로 정하고 나머지 두 자리는 다음과 같이 임의로 정하면 된다.

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)

각각의 경우의 수는

[eqn: 4!over3!`,``4! over{2!`2!}`,``4!over2!`,``4!over3!`,``4! over2!`,``4! over2!``]

이고, 이들의 합은 [eqn: 4+6+12+4+12+12`=`50``]

<풀이>

32는 제6행의 첫째항이다.

33은 제5행의 16에 바로 연결되므로

[eqn: N`(32`,``33)`=`2``]

34와 35는 제4행의 8과 제5행의 17에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``34) +N`(32 ,``35)`=`4`+`4`=`4×2`=`8``]

36∼39는 제3행의 4와 제4행의 9에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``36) +N`(32 ,``37) +N`(32 ,``38)+ `N`(32 ,``39)`=`6`+`6`+`6`+`6`=`6×4`=`24``]

40∼47은 제2행의 2에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``40) +N`(32 ,``41) +`…`+ `N`(32 ,``47)`=`8×8`=`64``]

마지막 48∼63은 제1행의 1에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``48) +N`(32 ,``49) +`…`+ `N`(32 ,``63)`=`10×16`=`160``]

이상에서 구하는 값은

[eqn: 2+8+24+64+160`=`258``]

답 : ②

<풀이>

점 [eqn: (a`,``b`)``]가 부등식 [eqn: y``Ｂf`(x`)`]를 만족하므로

[eqn: b``Ｂ``a^2`-`4`a``]

ㄱ. [eqn: b``Ｂ``a^2`-`4`a``]이므로	[eqn: b over2``Ｂ``a^2over2`-`2`a``]

그런데 [eqn: f``` left ( "`a`" over "`2`" right ) `=`a^2over4`-`2`a``]이므로 [eqn: "`b`" over "`2`" Ｂ ` f``` left ( "`a`" over "`2`" right ) ``] (참)

ㄴ. (반례) 점 (3, 0)은 주어진 부등식을 만족하지만,

점 (6, 0)은 주어진 부등식을 만족하지 않는다.

ㄷ. [eqn: b``Ｂ``a^2`-`4`a``]이므로 [eqn: -b``＠``-a^2`+`4`a``]

그런데 [eqn: f`` ( -a ` ) `=`a^2`+`4`a``]이므로	[eqn: -b`` ＠ `f`` ( -a ` ) `] (참)

이상에서 옳은 것은 □, □이다.

답 : ④

<별해>

점 P[eqn: (a`,``b`)``]에 대하여 점 [eqn: left(a over2`,``b over2right)``]는 선분 OP의 중점, 점[eqn: (2`a`,``2`b`)``]는 선분 OP의 두 배 연장선, 점 [eqn: (-a`,``-b`)``]는 원점에 대한 대칭점이므로 오른쪽 그림에서 옳은 것은 □, □이다.

<풀이>

[eqn: rmbarAC`=`root{barAB`^2`+`barBC`^2`}``]

[eqn: =`rm root{4`barBC`^2`+`barBC`^2`}`=`root5`~barBC``] (가)

[eqn: rm bar AE_` = BAR AC_` `- BAR CD_` ` =`root5``barBC`-`barBC`=`(root5`-1)`barBC``] (나)

[eqn: RM BAR EB_` = BAR AB_` ` - BAR AE_` ` =`2`barBC`-`(root5`-1)`barBC`=`(3-root5`)`barBC``]

답 :  ④

<풀이>

(ⅰ) [eqn: x^2`]의 일의 자리의 수가 [eqn: 4`]이고 [eqn: y^2`]의 일의 자리의 수가 [eqn: 6]인 경우에 [eqn: x``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 [eqn: 2] 또는 [eqn: 8`] 뿐이고, [eqn: y``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 [eqn: 4] 또는 [eqn: 6] 뿐이다.

[eqn: 2×4`=`8``,``2×6`=`12`,``8×4`=`32``,``8×6`=`48``]이므로 [eqn: xy``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 2 또는 8뿐이므로 [eqn: N``]은 [eqn: 10`]의 배수가 아니다.

(ⅲ) [eqn: x^2`]과 [eqn: y^2`]의 일의 자리의 수가 모두 [eqn: 4`]이면, [eqn: x`,``y``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 각각 [eqn: 2] 또는 [eqn: 8`]뿐이고

[eqn: 2×2`=`4``,``2×8`=`16`,``8×8`=`64``]

에서 [eqn: xy``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은  4 또는 6뿐이므로 [eqn: N``]은  [eqn: 10`]의 배수가 아니다.

마찬가지로 [eqn: x^2`]과 [eqn: y^2`]의 일의 자리의 수가 모두 6이면, [eqn: x`,``y``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 각각 4 또는 6뿐이고

[eqn: 4×4`=`16``,``4×6`=`24`,``6×6`=`36``]

에서 [eqn: xy``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은  4 또는 6뿐이므로 [eqn: N``]은  [eqn: 10`]의 배수가 아니다.

이상에서 하나만 10의 배수가 아니거나, 모두 10의 배수가 아니면 모순이 생기므로 [eqn: x^2 `+xy `+ y^2 `]이 [eqn: 10`]의 배수이면 [eqn: x`,``y``]는 모두 [eqn: 10`]의 배수이다.

답 : ③

<풀이>

오른쪽 그림에서 타원의 정의를 이용하면

[eqn: rmBARPF `+`BARPF_1`=`16``,``BARPF `+`BARPF_2`=`24``]

이므로

[eqn: rm LEFT |` BARPF_1 `-BARPF_2`` RIGHT | `=`8``]

마찬가지로 [eqn: rmBARQF `+`BARQF_1`=`16``,``BARQF `+`BARQF_2`=`24``]이므로

[eqn: rm LEFT |` BARQF_1 `-BARQF_2`` RIGHT | `=`8``]

∴ [eqn: rm LEFT |` BARPF_1 `-BARPF_2`` RIGHT | `+` LEFT |` BARQF_1`-BARQF_2`` RIGHT | `][eqn: =`16``]

답 : ①

<풀이>

원점을 지나는 직선 [eqn: y`=`k`x``]가 포물선 [eqn: y`=`1over4`x^2`+`3``]과 접하는 순간을 구하기 위해 두 식을 연립하면

[eqn: 1over4`x^2`+`3`=`k`x``], [eqn: x^2`-`4`k`x`+`12`=`0``]

[eqn: D over4`=`4`k`^2`-`12`=`0``]

에서 [eqn: k`=`+-`root3``]

그러므로 두 접선의 방정식은 [eqn: y`=`+-`root3`x``]이다.

[eqn: rmvec OB_` `` =` vec OA_` over {□vec OA □}^`]는 [eqn: rmvecOA``]와 같은 방향의 단위벡터이므로 종점 B의 자취는 두 접선 사이의 단위원이다.

[eqn: y`=`+-`root3`x``]가 원점을 중심으로 하는 단위원과 만나는 점을 P, Q라 하면 종점 B가 그리는 자취는 부채꼴 OPQ의 호이고, 두 접선이 [eqn: x``]축과 이루는 각의 크기는 각각 [eqn: pi over3``]이다.

따라서 부채꼴의 중심각이 [eqn: pi over3``]이므로 구하는 길이는

[eqn: 1`□`pi over3`=`pi over3``]

답 : ①

<풀이>

두 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 것은 오른쪽 그림과 같을 때이다.

[eqn: x`=`t``]에서 접한다면

[eqn: 16over t`=`-`t`^2`+`a``]	……㉠

[eqn: y` = "``16"_` over "`x`"]을 미분하면 [eqn: y`'`=`- 16over x^2``]이고, [eqn: y` = -x^2 +a`]을 미분하면 [eqn: y`'`=`-2`x``]이므로

[eqn: - 16over t^2`=`-2`t``]에서 [eqn: t`=`2``]

㉠에 대입하면

[eqn: 16over 2`=`-`4`+`a``]에서 [eqn: a`=`12``]

답 : ④

<별해>

두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 방정식

[eqn: 16over x`=`-x^2`+`a``]

이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: x^2`+`16over x`=`a``]에서

[eqn: x``]	…	0	…	2	…
[eqn: f``(x)``]	-		-	0	+
[eqn: f``'(x)``]	♩		♩	극소	↖

[eqn: f``(x)`=`x^2`+`16over x``]이라 하면

[eqn: f``'(x)`=`2`x`-`16over x^2`=`{2`x^3`-`16}over x^2`]

[eqn: =`{2`(x-2)`(x^2`+`2`x`+`4)}over x^2``]

증감표를 그리면 아래와 같고, 극소값은

[eqn: x``]	…	0	…	2	…
[eqn: f``(x)``]	-		-	0	+
[eqn: f``'(x)``]	♩		♩	극소	↖

[eqn: x``]	…	0	…	2	…
[eqn: f``(x)``]	-		-	0	+
[eqn: f``'(x)``]	♩		♩	극소	↖

[eqn: x``]	…	0	…	2	…
[eqn: f``(x)``]	-		-	0	+
[eqn: f``'(x)``]	♩		♩	극소	↖

[eqn: f``(2)`=`4`+`16over2`=`12``]

점근선을 조사하면

[eqn: lim_x→-inf``f``(x)`=`inf``], [eqn: lim_x→-0``f``(x)`=`-inf``]

[eqn: lim_x→+0``f``(x)`=`inf``], [eqn: lim_x→inf``f``(x)`=`inf``]

따라서 [eqn: y`=`f``(x)``]의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 그림에서 [eqn: y`=`a``]에 서로 다른 두 점에서 만나려면

[eqn: a`=`12``]

<풀이>

[eqn: 100`=`16`×`6`+`4`=`64_(16)``]

[eqn: 245`=`16`×15`+`5`=`\F5_(16)``]

[eqn: 64`=`16`×`4`=`40_(16)``]

이므로 입력해야 할 문자열은 64F540이다.

답 : ②

<풀이>

사인함수의 최대값이 0.6이므로 [eqn: a`=`0.6``]이다.

주기가 5이므로 [eqn: {2`pi}over b`=`5``]에서 [eqn: b`=`2over5`pi``]

그러므로 주어진 함수는 [eqn: y`=`0.6`sin`2over5`pi`t``]이다.

처음으로 흡입률이 -0.3리터/초가 되는 데 걸리는 시간은

[eqn: -0.3`=`0.6`sin`2over5`pi`t``]에서 [eqn: sin`2over5`pi`t`=`- 1over2``]

∴ [eqn: 2over5`pi`t`=`7over6`pi``]에서 [eqn: t`=`35over12``](초)

답 : ①

<풀이>

최초에 지면에 정지해 있었으므로, [eqn: t`=`35``]일 때의 열기구의 높이를 [eqn: h``]라 하면

[eqn: h`=`0`+`int_0^35``v`(t`)``dt`]

[eqn: =`int_0^20``t``dt`+`int_20^35``(60-2t`)``dt`]

[eqn: =`left[t^2over2right]_0^20`+`left[60`t`-`t`^2`right]_20^35``]

[eqn: =`400over2`+`60`(35-20)`-`(1225`-`400)`=`275``](m)

답 :  ③

<별해>

[eqn: v-t``] 그래프에서의 정적분이 현위치이므로 그래프를 통해서 해결해 보자.

오른쪽 그림에서 35초일 때의 높이는 [eqn: t``]축 위의 넓이에서 [eqn: t``]축 아래의 어두운 부분의 넓이를 빼면 된다.

∴ [eqn: h`=`1over2`×`30×20`-`1over2`×`5×10`=`300`-`25`=`275``]

주관식 문항 (25∼30)

<풀이>

[eqn: A``=`pmatrix{`5&~2``#`7&~3``}B``]의 양변의 오른쪽에 [eqn: B^-1``]을 곱하면

[eqn: A`B^-1`=`pmatrix{`5&~2``#`7&~3``}``]

또한 [eqn: BA^-1`=`(AB^-1`)^-1``][eqn: =`pmatrix{`5&~2``#`7&~3``}`^-1``]

[eqn: =`pmatrix{~~3&-2``#-7&~~5``}``]

∴ [eqn: AB^-1 `+BA^-1`][eqn: =`pmatrix{8&0``#0&8``}``]

따라서 구하는 모든 성분의 합은 16이다.

답 : 16

<풀이>

[eqn: 0over0``]꼴의 무리식이므로 분모를 유리화하면

[eqn: lim_{x`->-2 }` {2x`+4} over {rootx+11 -3}^`][eqn: =`lim_{x`->-2 }` {(2`x`+`4)`(rootx+11 +3)} over {(x+11) -9}``]

[eqn: =`lim_{x`->-2 }` {2`(x+2)`(rootx+11 +3)} over {x+2}``]

[eqn: =`lim_{x`->-2 }``2`(rootx+11 +3)`=`2`(3+3)`=`12``]

답 :  12

<풀이>

실계수 이차방정식의 허근은 켤레로 존재하므로 [eqn: b` + sqrt{3``} i``]이 한 근이면 [eqn: b` - sqrt{3``} i``]도 근이 된다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: (b`+`root3`i`)`+`(b`-`root3`i`)`=`-6``]에서 [eqn: b`=`-3``]

[eqn: (b`+`root3`i`)`(b`-`root3`i`)`=`a``]에서 [eqn: a`=`b`^2`+`3`=`12``]

∴ [eqn: a`+`b`=`12`+`(-3)`=`9``]

답 : 9

<별해>

[eqn: x`=`b`+`root3`i``]를 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: (b`+`root3`i`)^2 `+`6`(b`+`root3`i`)`+a`=0`]

실수부분과 허수부분으로 나누어 정리하면

[eqn: (b^2`+`6`b`+`a`-`3)`+`2`(b+3)`root3`i`=`0``]

∴ [eqn: b^2`+`6`b`+`a`-`3`=`0``,``2`(b+3)`root3`=`0``]

∴ [eqn: a`=`12``,``b`=`-3``]

<풀이>

[eqn: n`(A-B`)`=`n`(A`)`-`n`(A∩B`)``]이므로

[eqn: n`` (C- (A`∪B``))`][eqn: =`n`(C`)`-`n`(C∩ (A`∪B``))`]	……㉠

[eqn: n`` (C- (A`∪B``))`]의 값이 최소일 때는 [eqn: n`(C∩ (A`∪B``))`]의 값이 최대일 때이다.

여기서 [eqn: C∩ (A`∪B`)`=`(C∩A)∪(C∩B`)``]이므로

[eqn: n`(C∩ (A`∪B`)`)`=`n`(C∩A)`+`n`(C∩B`)`]

[eqn: -`n`(A∩B∩C)``]	……㉡

그런데 [eqn: n`(A∩B∩C)`=`5``]로 일정하므로 [eqn: n`(C∩ (A`∪B``))`]의 값이 최대일 때는 [eqn: n`(C∩A)``]와 [eqn: n`(C∩B`)``]가 최대일 때이다.

[eqn: n``( A `∩ B`) = 10], [eqn: n``( A `∩ B``∩ C` ) = 5]이므로

[eqn: n``( (A∩ B`)`-` C` ) =`10`-`5`=`5``]

∴ [eqn: n`(C∩A)``][eqn: □``14`-`5`=`9``],

[eqn: n`(C∩B`)``][eqn: □``16`-`5`=`11``]

㉡에서 [eqn: n`(C∩ (A`∪B`)`)``]의 최대값은 [eqn: 9+11-5`=`15``]이므로 ㉠에서

구하는 최소값은 [eqn: 19`-`15`=`4``]이다.

답 : 4

<별해>

벤 다이어그램을 그려보면 최소인 순간을 찾을 수 있다.

오른쪽 벤 다이어그램이 구하는 최소의 순간이다.

그러므로 최소값은 4이다.

<풀이>

두 원의 중심을 지나는 직선은 두 원의 공통현의 수직이등분선이다.

[eqn: rmbarAB``]의 중점을 M이라 하면, M(3, 3)이고, 직선 AB의 기울기는

[eqn: 1-5over4-2`=`-2``]

이므로 수직이등분선의 기울기는 [eqn: 1over2``]이다.

따라서 중심을 지나는 직선은 점 M을 지나고 기울기가 [eqn: 1over2``]인 직선이므로, 그 방정식은

[eqn: y-3`=`1over2`(x-3)``]

공통외접선은 바로 [eqn: x``]축이므로 이 직선의 방정식에 [eqn: y`=`0``]을 대입하면

[eqn: -3`=`1over2`(x-3)``]에서 [eqn: x`=`-3``]

답 : -3

<풀이>

회전체의 부피는

[eqn: V`=`pi`int_0^ln2``x^2``dy``]

[eqn: y`= "`1`" OVER "`2`" ln`x``]에서 [eqn: x`=`e^2y``]이므로

[eqn: V`=`pi`int_0^ln2``e^4y``dy``]

[eqn: =`pi`left[e^4y over4right]_0^ln2``]

[eqn: =`pi over4`left(e^{4`ln`2}`-`1right)`=`15over4`pi``]

(∵ [eqn: e^{4`ln`2}`=`e^ln16`=`16^lne`=`16``])

∴ [eqn: V over pi `][eqn: =`15over4`=`3.75``]

답 : 3.75

출처 : 수학마을 수학교실에서 다운받아 편집한 것입니다. (http://user.chollian.net/~msjeil/)