Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1994년 11월 23일
대상	고3 자연계 A형

1995학년도 수능《자연계》

이차방정식 [eqn: 2x^2 -4x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할

때, [eqn: alpha^3 +beta^3]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 2x^2 -4x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 하면

[eqn: alpha + beta =2,``` alpha beta =- {1} over {2}]

[eqn: α^3 + β^3 `][eqn: =( alpha + beta ) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )][eqn: =2 ^{3} + {3} over {2} ·2][eqn: = 11]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 3]	③　[eqn: 4]

④　[eqn: 8]	⑤　[eqn: 11]

지수방정식 [eqn: 3^x+2 =96]의 근을 [eqn: alpha]라 할 때, 다음 중

옳은 것은?

정답 ③

[eqn: 3^x+2 = 96]이고 [eqn: 3 ^{4} =81,```3 ^{5} =243]

[eqn: 81<96 <243]이므로 [eqn: 3 ^{4} <3 ^{alpha +2} <3 ^{5}] [eqn: RARROW ```4< alpha +2<5]

[eqn: THEREFORE ```2< alpha <3]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0＜alpha＜1]	②　[eqn: 1＜alpha＜2]	③　[eqn: 2＜alpha＜3]

④　[eqn: 3＜alpha＜4]	⑤　[eqn: 4＜alpha＜5]

이차 방정식 [eqn: A],[eqn: B]에 대하여

[eqn: A= {pmatrix{2&&-4#-1&&2}} ,```B= {pmatrix{1&&2#2&&4}}]일 때, 행렬 [eqn: 1 over 3 AB-BA]

는?

정답 ①

[eqn: A= {pmatrix{2&&-4#-1&&2}}], [eqn: B= {pmatrix{1&&2#2&&4}}]에서

[eqn: 1 over 3 AB - BA ``]

[eqn: = {1} over {3} {pmatrix{2&&-4#-1&&2}} {pmatrix{1&&2#2&&4}} - {pmatrix{1&&2#2&&4}} {pmatrix{2&&-4#-1&&2}}]

[eqn: = {1} over {3} {pmatrix{-6&&-12#3&&6}} - {pmatrix{0&&0#0&&0}} = {pmatrix{-2&&-4#1&&2}}]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: {pmatrix{-2&&-4#1&&2}}]	②　[eqn: {pmatrix{-2&&8#2&&-4}}]	③　[eqn: {pmatrix{-4&&-8#2&&4}}]

④　[eqn: {pmatrix{-6&&-12#3&&6}}]	⑤　[eqn: {pmatrix{0&&0#0&&0}}]

정적분 [eqn: INT _{ 0}^{ pi} (1-cos^3 `x) cosx``sinx``dx] 의 값은?

정답 ③

[eqn: cosx=t ``]로 치환하면[eqn: - sinx `dx = dt ``]

[eqn: cases {x=0``→``t=1#x=pi ``→``t =-1}]

(준식)[eqn: = int_-1^1 (1-t`^3 `) t `(-dt `)][eqn: = int_-1 ^1 t `(1-t`^3 `) dt ``]

[eqn: = int_-1 ^1 (t - t`^4 `) dt ``][eqn: = 2 int_0^1 (-t`^4 `) `dt ``] [eqn: = 2 left[ - {t`^5} over 5 right]_0^1][eqn: = - 2 over 5]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: - 1 over 5]	③　[eqn: - 2 over 5]

④　[eqn: - 3 over 5]	⑤　[eqn: - {4} over {5}]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A,```B]에 대하여 [eqn: A⊂B]

일 때, 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?

정답 ③

[eqn: A SUBSET B]이면 [eqn: A CUP B=B,```A SMALLINTER B=A]

또, [eqn: A ^{c} SUPERSET B ^{c} ,```A-B= phi]

그런데 [eqn: (A∩B)^c = A^c ``]

[eqn: THEREFORE ```(A SMALLINTER B) ^{c} != B ^{c}]

(단, [eqn: U`≠∅])

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: A∪B=B]	②　[eqn: A∩B=A]	③　[eqn: (A∩B)^c =B^c]

④　[eqn: B^c ⊂A^c]	⑤　[eqn: A-B=phi]

[eqn: f``(x)=2x-1]이다. 함수 [eqn: g`(x)]는 모든 함수 [eqn: h`(x)]에

대하여 [eqn: (h`◦`g`◦`f``)(x)=h`(x)]를 만족시킨다.

[eqn: g`(3)]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: (h circ g circ f``)(x) = h``(x)] [eqn: RARROW ````h(g CIRC f``)(x))=h`(x)]

[eqn: f``(x)= 2x-1]에서

[eqn: h``(g``(2x-1)) = h``(x)] [eqn: RARROW ```g`(2x-1)=x]

[eqn: x=2]로 놓으면 [eqn: g``(3)=2]

(단, [eqn: f``(x)], [eqn: g`(x)], [eqn: h`(x)]는 실수 전체의 집합 [eqn: R]에서

[eqn: R]로의 함수이다.)

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 2]

아래 그림과 같이 반원 위에 [eqn: 7]개의 점이 있다.

이 중 세 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수는?

정답 ④

[eqn: {} _{7} C _{3} - _{4} C _{3}][eqn: = {7 TIMES 6 TIMES 5} over {3!} - {4 TIMES 3 TIMES 2} over {3!}][eqn: = 35 - 4 = 31]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 34]	②　[eqn: 33]	③　[eqn: 32]

④　[eqn: 31]	⑤　[eqn: 30]

다음 식의 분모를 [eqn: 0]으로 만들지 않는 모든 실수

[eqn: x]에 대하여

[eqn: {1} over {(x-1)(x-2)` CDOTS `(x-10)}]

[eqn: = {a _{1}} over {x-1} + {a _{2}} over {x-2} +` CDOTS `+ {a _{10}} over {x-10}]

이 성립할 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +` CDOTS `a _{10}]의 값은?

정답 ①

[eqn: {1} over {(x-1)(x-2) CDOTS (x-10)}]

[eqn: = {a _{1}} over {x-1} + {a _{2}} over {x-2} + CDOTS + {a _{10}} over {x-10}]

양변에 [eqn: (x-1)(x-2) CDOTS (x-10)]을 곱하면

[eqn: 1=a _{1} (x-2)(x-3) CDOTS (x-10)]

[eqn: +a _{2} (x-1)(x-3) CDOTS (x-10)+]

[eqn: CDOTS +a _{10} (x-1)(x-2) CDOTS (x-9)]

[eqn: 1=(a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} )x ^{9} + CDOTS]

이 식은 [eqn: x``]의 항등식이므로 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} =0]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: -10]	⑤　[eqn: 10]

[eqn: x]와 [eqn: y]는 [eqn: (x+y)(x-y)≠0]인 실수이고

[eqn: root {x+y over x-y} = - {root x+y} over {root x-y}]가 성립할 때, 점 [eqn: (x,~y)]가 존재

하는 영역을 좌표평면 위에 검게 나타내면?

정답 ③

경계선 제외

[eqn: (x+y)(x-y``)!= 0]

[eqn: sqrt {x+y over x-y } = - sqrt x+y over sqrt x-y]에서

[eqn: x-y<0,```x+y>0]

[eqn: RARROW ```y>x,```y>-x]

(단, 점선은 제외)

[1점][1995학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

함수 [eqn: f``(x)]는 [eqn: x=0] 에서 연속이지만 미분가능하

지 않다. 다음 <보기> 중 [eqn: x=0] 에서 미분가능한 함수

를 모두 고르면?

정답 ⑤

[eqn: lim_x->0 f``(x) = f``(0)]이지만 [eqn: f``'(0)]이 존재하지 않는다.

Ⅰ. [eqn: y `'= lim_h->0 {h f``(h)} over h][eqn: = lim_h->0 f``(h)][eqn: = f``(0)]

Ⅱ. [eqn: y `'= lim_h->0 {h^2 ` f``(h)} over h][eqn: = lim_h->0 h` f``(h)]

Ⅲ. [eqn: y `'= lim_h->0 { 1 over{1+ h f``(h)} -1 } over h][eqn: = lim_h->0 {-h` f``(h) } over {h (1+hf``(h))}]

[eqn: = lim_h->0 {- f``(h) } over { 1+hf``(h)}][eqn: = - f``(0)]

[1.5점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: y=xf``(x)] ㄴ. [eqn: y=x^2 f``(x)] ㄷ. [eqn: y= 1 over {1+xf``(x)}]

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄴ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

원점을 출발하여 수직선 위를 [eqn: 7]초 동안 움직이는

점 [eqn: rmP]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v`(t)]가 다음 그림과 같을 때,

<보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: v`(t`)=0]인 [eqn: t``]의 값은 [eqn: t=2,```4]이고 이 시각에

[eqn: v`(t`)]의 부호가 바뀌었으므로 운동방향이 바뀐 것이다.

또, [eqn: int _0 ^t v`(t) `dt `=0]이므로 [eqn: t =4]인 순간의 동점 [eqn: P ``]의

위치는 원점이다.

[1.5점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 1]초 동안 멈춘 적이 있었다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]는 움직이는 동안 방향을 [eqn: 4]번 바꿨다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 4]초 후 출발점에 있었다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

폐구간 [eqn: [0,```1]]에서 정의된 모든 확률밀도함수

[eqn: f``(x)]와 [eqn: g`(x)]에 대하여 다음 중 확률밀도함수인 것은?

정답 ④

[eqn: [0,```1]]에서 [eqn: f``(x)]와 [eqn: g``(x)]가 확률밀도함수이므로

[eqn: f``(x) >=0 ,~g``(x) >=0]이고[eqn: int_0 ^1 f``(x)`dx`` = int_0 ^1 g``(x)`dx`` =1]

① [eqn: int_0 ^1 left{ f``(x) - g``(x) right}`dx`` =0]

② [eqn: int_0 ^1 left{ f``(x) + g``(x) right}`dx`` =2]

③ [eqn: int_0 ^1 1 over 2 left{ f``(x) - g``(x) right}`dx`` =0]

④ [eqn: int_0 ^1 1 over 3 left{ 2f``(x) + g``(x) right}`dx`` ``]

[eqn: = 2 over 3 int_0 ^1 f``(x) `dx`` + 1 over 3 int_0 ^1 g``(x) `dx``][eqn: = 2 over 3 + 1 over 3 =1]<참>

⑤ [eqn: int_0 ^1 left{ 2f``(x) - g``(x) right}`dx`` =1]이지만

[eqn: 2 f``(x) - g``(x) <0]일 수도 있다.

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: f``(x)-g`(x)]	②　[eqn: f``(x)+g`(x)]

③　[eqn: {1} over {2} LEFT { f``(x)-g`(x) RIGHT }]	④　[eqn: {1} over {3} LEFT { 2`f``(x)-g`(x) RIGHT }]

⑤　[eqn: 2`f``(x)-g`(x)]

[eqn: |``z``|=1] 인 모든 복소수 [eqn: z] 에 대하여 [eqn: |`z-alpha`|] 의

값을 일정하게 만드는 복소수 [eqn: alpha] 의 개수는?

정답 ①

[eqn: |`z`|=1]을 만족하는 복소수 [eqn: z``]의 자취는 단위원

즉, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이

다.

[eqn: |`z- alpha `|]는 [eqn: alpha]에서의 거리를 나타내므로, 이 값이 일정하

기 위해서는 [eqn: alpha]는 원의 중심, 원점일 때뿐이다.

즉, [eqn: alpha =0]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: 4]	⑤　무수히 많다.

다음 순서도에 의하

여 인쇄되는 [eqn: m,```n,```k]의

값을 순서대로 적으면?

정답 ⑤

[eqn: (m,```n,```k)]를 순서대로 적으면

[eqn: (m,```n,```k)] [eqn: -> ```(17,```3,```0)``` -> ```(14,```3,```1)]

[eqn: -> ```(11,```3,```2)``` -> ```(8,```3,```3)``` -> ```(5,```3,```4)][eqn: -> ```(2,```3,```5)``` -> ```(-1,```3,```6)] [eqn: -> ```(2,```3,```5)]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0,````2,````5]

②　[eqn: 0,````2,````6]

③　[eqn: 0,````5,````3]

④　[eqn: 2,````3,````6]

⑤　[eqn: 2,````3,````5]

좌표공간에 두 점 [eqn: rmO(0,```0,```0)], [eqn: rmA(1,```0,```0)]이 있고,

점 [eqn: rmP(itx,```y,```z)]는 [eqn: rm TRIANGLE OAP]의 넓이가 [eqn: 2] 가 되도록 움직인

다. [eqn: 0≦x≦1]일 때, 점 [eqn: rmP]의 자취가 만드는 도형을

평면 위에 펼쳤을 때의 넓이는?

정답 ②

[eqn: P(x,```y,```z)]에서 [eqn: barOA `]에 내린 수선의 발을 [eqn: H`(a,```0,```0)]라

하면 [eqn: barOA =1]로 일정하므로 [eqn: barPH = 4]

[eqn: barPH = sqrt {(x-a)^2 + y^2 + z^2 } =4]

[eqn: RARROW ```(x-a) ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =16]

한편, [eqn: vecPH ``⊥vecOA]이므로

[eqn: (x-a,```y,```z) BULLET (1,```0,```0)=0]

[eqn: ~ Rarrow~x-a=0]

[eqn: ∴ x=a ``]

[eqn: y^2 + z^2 = 16]

[eqn: 0<=x <=1]이므로

옆면의 넓이는 [eqn: 2pi ×4 ×1 = 8 pi ``]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 16 `pi]	②　[eqn: 8`pi]	③　[eqn: 5`pi]

④　[eqn: 2`pi]	⑤　[eqn: pi]

[eqn: rm ANGLE C]가 직각이고 [eqn: rm ANGLE B]의 크기가

[eqn: pi over 3]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 변 [eqn: rmBC] 위에

점 [eqn: rmD]를 잡고, [eqn: rm ANGLE BAD]의 크기를 [eqn: theta]라 할

때, [eqn: rm {overline BD} over {overline AB}]를 [eqn: theta]의 함수로 나타내면?

정답 ④

[eqn: bar{BC} =k,``` bar{BD} =x]라 하면

[eqn: bar{AB} =2k], [eqn: barAC = sqrt 3 k `,] [eqn: barCD = k- x``]

[eqn: △ACD``]에서 [eqn: {k-x} over {sqrt {3} k} =tan LEFT ( {pi } over {6} - theta RIGHT )]

[eqn: {1} over {sqrt {3}} - {x} over {sqrt {3} `k} = {tan {pi } over {6} -tan theta } over {1+tan {pi } over {6} `tan theta }]

[eqn: = {{1} over {sqrt {3}} -tan theta } over {1+ {1} over {sqrt {3}} `tan theta }][eqn: = {1- sqrt {3} `tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }]

[eqn: THEREFORE ```1- {x} over {k} = {sqrt {3} -3tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }]

[eqn: {x} over {k} =1- {sqrt {3} -3tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }][eqn: = {4tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }]

[eqn: = {4 {sin theta } over {cos theta }} over {sqrt {3} + {sin theta } over {cos theta }}][eqn: = {4sin theta } over {sqrt {3} `cos theta +sin theta }]

[eqn: THEREFORE ``` {bar{BD}} over {bar{AB}} = {x} over {2k}][eqn: = {2sin theta } over {sqrt {3} `cos theta +sin theta }]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: sin`theta]	②　[eqn: {sin`theta} over {1+cos`theta}]	③　[eqn: {2`sin`theta} over {1+2`cos`theta}]

④　[eqn: {2`sin`theta} over {sin`theta+root 3 `cos`theta}]	⑤　[eqn: {1- cos`theta} over 2]

오른쪽 그림과 같이 원점을

출발하여 나선형의 경로를 따라

일정한 속력으로 움직이는 물체

가 있다. 이 물체의 시각 [eqn: t] 에서

의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x(t)]라 할 때,

[eqn: t]와 [eqn: x(t)] 사이의 관계를 나타낸

그래프의 개형은?

정답 ②

일정한 속력으로 움직이는 동점의 [eqn: x``]좌표는

[eqn: y``]축을 경계로 좌우에서 부호가 간헐적으로 바뀐다.

또, [eqn: t``]가 증가하면 나선형의 크기가 점점 증가함에 따라

[eqn: x``]좌표의 변화량도 점점 커진다.

또, 동점이 [eqn: x``]축을 통과할 때 [eqn: dx over dt =0]이므로

조건을 만족하는 그래프는 ②번이다.

[1점][1995학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

아래 그림은 함수 [eqn: y=f``(x)]의 그래프이다.

[eqn: x]에 관한 방정식 [eqn: f``(f``(x+2))=4]의 서로 다른 실근의

개수와 합을 순서대로 적으면?

정답 ①

[eqn: f``(f``(x+2) )=4]에서 [eqn: f``(x+2) = t``]라 하면

[eqn: f``(t)=4]인 [eqn: t``]의 값의 집합은 [eqn: LEFT { 6,```11,```15,```17 RIGHT }]

[eqn: f``(x)<=6]이므로 [eqn: f``(x+2)=6]

[eqn: x+2 =8] 또는 [eqn: 16]   [eqn: THEREFORE ```x=6,```14]

[eqn: THEREFORE ```2]개, [eqn: 6+14 = 20]

(단, [eqn: x＜2] 또는 [eqn: x＞19]일 때 [eqn: f``(x)＜0]이다.)

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 2,````20]	②　[eqn: 2,````22]	③　[eqn: 3,````30]

④　[eqn: 4,````42]	⑤　[eqn: 4,````50]

자연수 [eqn: n]을

[eqn: n=2^p ․k] ([eqn: p]는 음이 아닌 정수, [eqn: k]는 홀수)

로 나타냈을 때, [eqn: f``(n)=p]라 하자. 예를 들면,

[eqn: f``(12)=2]이다. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르

면?

정답 ④

[eqn: n= 2^p ․ k ``]에서

Ⅰ) [eqn: n``]이 홀수이면 [eqn: k``]가 홀수이므로 [eqn: 2^p `]이 홀수

[eqn: THEREFORE ```p=0]   즉, [eqn: f``(n)=0]

Ⅱ) [eqn: f``(8) = f``(2^3 ․1 ) =3]

[eqn: f``(24)= f`(2^3 ․ 3) =3]	[eqn: THEREFORE ```f`(8)=f`(24)]

Ⅲ) [eqn: f``(n)=3]에서 [eqn: n= 2^3 ․k ``]

홀수인 [eqn: k``]는 무한하므로 [eqn: n``]은 무한히 존재한다.

[1점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: n]이 홀수이면, [eqn: f``(n)=0]이다. ㄴ. [eqn: f``(8)＜f``(24)]이다. ㄷ. [eqn: f``(n)=3]인 자연수 [eqn: n]은 무한히 많다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,``` CDOTS ,```100 RIGHT }]이다. 다음 [eqn: U]의 부분

집합 [eqn: A] 중 아래 조건 (가)와 (나)를 만족시키며 원소

의 개수가 가장 적은 것은?

정답 ②

Ⅰ)에 의하여 [eqn: 3inA`]이고

Ⅱ)에 의하여 집합 [eqn: A``]가 덧셈에 관하여 닫혀 있으므로

[eqn: 3+3=6 inA `,] [eqn: 3+6=9 IN A], [eqn: CDOTS]

따라서, 집합 [eqn: A``]는 [eqn: 3]의 배수의 집합이다.

[1점][1995학년도 수능]

(가) [eqn: 3 IN A]

(나) [eqn: m,```n IN A]이고 [eqn: m+n IN U]이면, [eqn: m+n IN A]

이다.

①　[eqn: A= LEFT { 3,```9,```15,```21,``` CDOTS ,```99 RIGHT }]

②　[eqn: A= LEFT { 3,```6,```9,```12,``` CDOTS ,```99 RIGHT }]

③　[eqn: A= LEFT { 3,```4,```5,```6,``` CDOTS ,```100 RIGHT }]

④　[eqn: A= LEFT { 1,```3,```5,```7,``` CDOTS ,```99 RIGHT }]

⑤　[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,``` CDOTS ,```100 RIGHT }]

아래 그림과 같은 사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 있다.

[eqn: rm overline AB = overline AD =1,~ overline BC =2], [eqn: rmANGLE A]와 [eqn: rm ANGLE B]의 크기는 [eqn: pi over 2]이다.

윗변 [eqn: rmAD]에 임의의 점 [eqn: rmP]를 잡아 [eqn: rm overline PB =itx], [eqn: rm overline PC it=y]라 할

때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: △PBC``]에서 [eqn: ANGLE BPC= theta]라 하면 [eqn: △PBC``]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 × 2×1 =1]이고, [eqn: 1= {1} over {2} x`y``sin theta ``` CDOTS CDOTS ```①]

한편, 점 [eqn: P``]가 [eqn: A``]에 있을 때, [eqn: sin theta = {2} over {sqrt {5}}]

점 [eqn: P ``]가 [eqn: D``]에 있을 때 [eqn: ∠ BPC = pi over 2]이므로 [eqn: sin theta =1]

[eqn: THEREFORE ``` {2} over {sqrt {5}} <= sin theta <= 1``` CDOTS CDOTS ```②]

①에서 [eqn: sin theta = {2} over {xy}]이므로 [eqn: 2 over sqrt 5 <= 2 over xy <=1]

[eqn: THEREFORE ```2 <= xy <= sqrt {5}]  <Ⅰ, Ⅱ 참>

한편, [eqn: xy =2]일 때는 ①에서 [eqn: sin theta =1]

[eqn: THEREFORE ``` theta = {pi } over {2}]

[eqn: ∴ `△BCP``]는 직각삼각형이다.<Ⅲ 참>

[1.5점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: xy GEQ 2]이다. ㄴ. [eqn: xy=2]이면, [eqn: rm TRIANGLE BCP]는 직각삼각형이다. ㄷ. [eqn: xy LEQ sqrt {5}]이다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 사이

의 관계인 제이코사인법칙을 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 [eqn: rm ANGLE A]가 둔각

인 경우에 대하여 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 [eqn: a,```b,```c] 인 [eqn: rm TRIANGLE ABC]를 좌표평면 의 원점에 꼭지점 [eqn: rmA]가 놓이도록 하자. 꼭지점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 하면, [eqn: x= BOX{~~㈎~~}], [eqn: y= BOX{~~㈏~~}]이므로, 피타고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다. [eqn: a ^{2} = LEFT ( BOX{~~㈐~~} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cosA]

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대

로 적으면?

정답 ④

[eqn: C``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H``]라 하면

[eqn: x = -b`` cos(pi - A `)][eqn: = [b`` cosA `]]

[eqn: y = b `` sin (pi - A `)][eqn: = [b `` sin A ``]]

[eqn: △CHB]에서

[eqn: a`^2 = barBC` `^2][eqn: = barCH``^2 + barBH ``^2][eqn: = (`barHA` + barAB ``)^2 + barCH``^2]

[eqn: = (-b ``cosA + c^2 ``) + y^2 ``][eqn: = [``(c-x)^2 ``] + y`^2 ``]

[1점][1995학년도 수능]

(가)	(나)	(다)

①　[eqn: b`cos`A],	[eqn: b`sin`A],	[eqn: c+x]

②　[eqn: b`cos`A],	[eqn: b`sin`A],	[eqn: c-x]

③　[eqn: b`cos`A],	[eqn: -b`sin`A],	[eqn: c+x]

④　[eqn: -b`cos`A],	[eqn: -b`sin`A],	[eqn: c-x]

⑤　[eqn: -b`cos`A],	[eqn: -b`sin`A],	[eqn: c+x]

세 개의 실근을 갖는 삼차방정식

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라 하자.

다음은 세 근의 절대값 중 적어도 하나는 [eqn: {|`a`|} over 3]보다

크거나 같음을 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
결론을 부정하여 [eqn: BOX{~~㈎~~}] 라 가정하면, [eqn: |`alpha`| ＜ {|`a`|} over 3], [eqn: |`beta`| ＜ {|`a`|} over 3], [eqn: |`gamma`| ＜ {|`a`|} over 3]이다. 근과 계수와의 관계에서 [eqn: a= BOX{~~㈏~~}]이므로 [eqn: |`a`| LEQ |` alpha + beta `|+|` gamma `| LEQ BOX{~~㈐~~}] [eqn: PREC {|`a`|} over {3} + {|`a`|} over {3} + {|`a`|} over {3} =|`a`|]이다. 그런데 이것은 모순이므로, 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 크거나 같은 근이 적어도 하나 존재한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대

로 적으면?

정답 ①

결론 ｢세 근의 절대값 중 적어도 하나는 [eqn: {|a`|} over 3]보다

크거나 같다.｣를 부정하면

㈎는 ｢모든 근의 절대값이 [eqn: {|a`|} over 3]보다 작다.｣이다.

또, 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha + beta + gamma =-a``]이므로

㈏는 [eqn: [~-( alpha + beta + gamma )~]]이다.

[eqn: |a`|=| alpha + beta + gamma |][eqn: <= | alpha + beta |+| gamma |]

[eqn: <= | alpha |+| beta |+| gamma |][eqn: < {|a`|} over {3} + {|a`|} over {3} + {|a`|} over {3}][eqn: =|a`|]에서

㈐는 [eqn: [~| alpha |+| beta |+| gamma |~]]이다.

[1점][1995학년도 수능]

①　어떤 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작다고,

[eqn: -( alpha + beta + gamma ),~~~|` alpha `|+|` beta `|+|` gamma `|]

②　어떤 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작거나 같다고,

[eqn: alpha + beta + gamma ,~~~|` alpha `|+|` beta `|+|` gamma `|]

③　모든 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작다고,

[eqn: alpha + beta + gamma ,~~~|` alpha `+` beta `+` gamma `|]

④　모든 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작다고,

[eqn: -( alpha + beta + gamma ),~~~|` alpha `|+|` beta `|+|` gamma `|]

⑤　모든 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작거나 같다고,

[eqn: alpha + beta + gamma ,~~~|` alpha `+` beta `+` gamma `|]

다음은 조화평균에 관한 어떤 수학적 사실을

증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: H]에 대하여, 적당한 실수 [eqn: r]가 존재하 여 [eqn: a= H + a over r], [eqn: H=b+ {b} over {r} ``` CDOTS CDOTS ```(A)]가 성립한다 고 하자. 그러면 [eqn: a≠b]이고 [eqn: {a-H} over {a} = BOX{~~㈎~~} ``` CDOTS CDOTS ```(B)]이므로 [eqn: H= BOX{~~㈏~~}]이다. 역으로, [eqn: a≠b]인 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: H= BOX{~~㈏~~}]이면, 식 [eqn: (B)]가 성립하고 [eqn: a-H over a ≠0]이다. [eqn: (B)]에서 [eqn: a-H over a = 1 over r]이라 놓으면 식 [eqn: (A)]가 성립한다. 따라서 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: H]에 대하여 적당한 실수 [eqn: r]가 존재하여 식 [eqn: (A)]가 성립하기 위한 [eqn: BOX{~~㈐~~}] 조건은 [eqn: a≠b]이고 [eqn: H= BOX{~~㈏~~}]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대

로 적으면?

정답 ③

[eqn: a=H+ {a} over {r} ,```H=b+ {b} over {r}]

[eqn: a- H = a over r]이므로 [eqn: a-H over a = 1 over r]

[eqn: H-b = b over r ``] [eqn: RARROW ``` {1} over {r} = {H-b} over {b}]

[eqn: THEREFORE ``` {a-H} over {a} = {H-b} over {b} ``` CDOTS CDOTS ```㈎]

[eqn: ab - bH = aH - ab ``] [eqn: Rarrow`` (a+b)H = 2ab ``]

[eqn: H= {2ab} over {a+b} ``` CDOTS CDOTS ```㈏]

㈐ 필요충분조건

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: H-b over b], [eqn: 2ab over a+b], 필요충분	②　[eqn: H-b over b], [eqn: ab over a+b], 필요충분

③　[eqn: H-b over b], [eqn: 2ab over a+b], 충분	④　[eqn: b-H over b], [eqn: 2ab over a+b], 필요

⑤　[eqn: b-H over b], [eqn: ab over a+b], 충분

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여, 다항식 [eqn: f_n (x)]는 다음

두 성질 (가)와 (나)를 갖는다.

(가) [eqn: f_1 (x)=x^2]

(나) [eqn: f_n+1 (x) = f_n (x) + f_n ' (x)]

[eqn: f_25 (x)]의 상수항은?

정답 ⑤

[eqn: f``_1 (x) = x^2]에서 [eqn: f``‘ _1 (x) = 2x``]

[eqn: f`` _ n+1 (x) = f``_n (x) + f``' _n (x) ``]에서

[eqn: f`` _ 2 (x) = f``_1 (x) + f``' _1 (x) `` = x^2 + 2x``]

즉, [eqn: f``_n (x)]는 [eqn: x^2 ``]인 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: 2]차식이므로

[eqn: f``_n (x) = x^2 + a_n `x + b_n ``]으로 놓을 수 있다.

[eqn: f``_n+1 (x) = x^2 + a_n+1 `x + b_n+1 ``]로 놓으면

[eqn: f``_n+1 (x) - f``_n (x) = f``' _n (x)]에서

[eqn: x^2 + a_n+1 `x + b_n+1 - (x^2 + a_n `x + b_n `)][eqn: = 2x + a_n ``]

[eqn: (a_n+1 - a_n `) `x + b_n+1 - b_n = 2x + a_n ``]

[eqn: THEREFORE ```a _{n+1} -a _{n} =2,```b _{n+1} -b _{n} =a _{n}]

[eqn: a_n+1 - a_n =2]에서 [eqn: a_n = a_1 + 2(n-1)]

[eqn: a_1 =0]이므로[eqn: a_n = 2(n-1)]

[eqn: b_n+1 - b_n = 2(n-1)]에서[eqn: b_n = b_1 + sum_k=1 ^ n-1 2 (k-1)]

[eqn: THEREFORE ```b _{25} =b _{1} + sum _{k=1} ^{24} 2(k-1)][eqn: =0 + 2 left( 24․25 over 2 right)- 2․24][eqn: = 552]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 548]	②　[eqn: 550]	③　[eqn: 552]

④　[eqn: 554]	⑤　[eqn: 556]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(2,```0)]과 직선

[eqn: y=2] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP(itt,```2)]가 있다. 선분 [eqn: rmAP]와

직선 [eqn: y= 1 over 2 x]가 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE QOA]의 넓이가 [eqn: rm TRIANGLE POA]의 넓이의 [eqn: 1 over 3]일 때 [eqn: t]의 값을

[eqn: t_1], [eqn: 1 over 2]일 때 [eqn: t]의 값을 [eqn: t_2], [eqn: CDOTS], [eqn: n over n+2]일 때 [eqn: t]의 값을

[eqn: t_n]이라 하면 [eqn: lim from { n -> inf } t_n]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: {△QOA``} over {△POA``}][eqn: = {barAQ } over bar{AP }][eqn: = n over n+2]으로 놓으면

점 [eqn: Q``]는 [eqn: barAP `]를 [eqn: n```:```2]로 내분한 점이므로

[eqn: Q LEFT ( {t`n+4} over {n+2} ,``` {2n} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: n``` -> ``` INF]일 때, [eqn: Q``` -> ```(t,```2)]이고

이 때, 두 점 [eqn: P,```Q]는 모두 [eqn: (4,```2)]로 수렴한다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} t _{n} =4]

[2점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 3]	⑤　[eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)=log _{9} (5-x)+log _{3} (x+4)]의 최대값은?

정답 ④

[eqn: f``(x) = log_9 (5-x) + log _3 (x+4 )]

[eqn: = 1 over 2 log_3 (5-x) + log_3 (x+4 )]

[eqn: = 1 over 2 left{ log_3 (5-x`) + 2 ` log_3 (x+4 `) right}]

[eqn: = 1 over 2 log_3 (5-x)(x+4)^2]

진수 조건에서 [eqn: 5-x>0,```x+4>0] [eqn: RARROW ```-4<x<5`]

[eqn: g``(x) = (5-x)(x+4)^2 `]이라 놓으면

[eqn: g``'(x) = -(x+4)^2 + (5-x)․ 2 (x+4)][eqn: = -3 (x-2)(x-4)]

[eqn: -4 <`x `<5]에서 [eqn: g``'(x) =0]인 [eqn: x``]의 값은 [eqn: x=2]

증감을 조사하면 [eqn: g``(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대이면서

최대이고, 최대값은 [eqn: g``(2) = 3․ 6^2 ``][eqn: = 108]

[eqn: f``(x)]의 최대값은

[eqn: {1} over {2} `log _{3} 108][eqn: = {1} over {2} `log _{3} (3 ^{3} ․2 ^{2} `)][eqn: = 1 over 2 (3+ 2 ` log _3 `2 `)]

[eqn: = 3 over 2 + log_3 `2]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 7 over 2]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 2 over 5 + log_3 4]

④　[eqn: 3 over 2 + log_3 2]	⑤　[eqn: 4+log_3 6]

좌표평면 위의 세 점 P, Q, R 가 다음 두 조건

(가)와 (나)를 만족시킨다.

(가) 두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭

이다.

(나) [eqn: rm vec{OP} + vec{OQ} = vec{OR}] (단, [eqn: rmO]는 원점)

점 [eqn: rmP]가 원점을 중심으로 하는 단위원 위를 움직일 때,

점 [eqn: rmR]는 어떤 도형 위를 움직이는가?

정답 ③

[eqn: |vecOP `| =1]이므로

[eqn: vec{OP} =(cos theta ,```sin theta )]라 놓으면

[eqn: vec{OQ} =(sin theta ,```cos theta )]

[eqn: vecOR = vecOP + vecOQ ``]

[eqn: =(cos theta +sin theta ,```cos theta +sin theta )]

[eqn: vec{OR} =(x,```y)]로 놓으면 [eqn: x=y ``]이고,

[eqn: x=cos theta +sin theta][eqn: = sqrt {2} `sin` LEFT ( theta + {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: |`x`| LEQ sqrt {2}]

즉, 자취는 선분이다.

[2점][1995학년도 수능]

①　점	②　타원	③　선분

④　쌍곡선	⑤　평행사변형

어떤 산업에서 노동의 투입량을 [eqn: x], 자본의 투입

량을 [eqn: y]라 할 때, 그 산업의 생산량 [eqn: z]는 다음과 같다.

[eqn: z= 2x^alpha y^1-alpha] ([eqn: alpha]는 [eqn: 0＜alpha＜1]인 상수)

자료에 의하면 [eqn: 1993]년도의 노동 및 자본의 투입량은

[eqn: 1980]년도보다 각각 [eqn: 4]배와 [eqn: 2]배이고, [eqn: 1993]년도 산업생

산량은 [eqn: 1980]년도 산업생산량의 [eqn: 2.5]배이다. 이 사실로

부터 상수 [eqn: alpha]의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하

면? (단, [eqn: log_10 `2=0.30])

정답 ②

[eqn: 1980]년도의 노동, 자본, 생산량을 각각 [eqn: x,```y,```z]라고

하면 [eqn: z=2x ^{alpha } `y ^{1- alpha }]이고

[eqn: 1993]년도의 노동, 자본, 생산량은 각각

[eqn: 4x,```2y,```2․5z]이므로

[eqn: 2․5z=2(4x) ^{alpha } (2y) ^{1- alpha } ``][eqn: =4 ^{alpha } ․2 ^{1- alpha } ․(2x ^{alpha } y ^{1- alpha } `)]

[eqn: z=2x ^{alpha } y ^{1- alpha } ``]이므로 [eqn: 2․5=4 ^{alpha } ․2 ^{1- alpha } `]

[eqn: {5} over {2} =2 ^{1+ alpha } ``] [eqn: RARROW ```5=2 ^{2+ alpha }] [eqn: RARROW ```log5=(2+ alpha )log2]

[eqn: alpha +2= {log5} over {log2} ``]에서

[eqn: alpha = {log5} over {log2} -2][eqn: = {1-log2 } over log2 -2][eqn: = {1-0.30} over 0.30 -2][eqn: = 1 over 3][eqn: ≒0.33]

[2점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0.50]	②　[eqn: 0.33]	③　[eqn: 0.25]

④　[eqn: 0.20]	⑤　[eqn: 0.10]

사각형 모양의 철판 세 장을 구입하

여, 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과

윗면으로, 나머지 한 장은 몸통으로 하여

오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양의 보일

러를 제작하려 한다.

철판은 사각형의 가로와 세로의 길이를

임의로 정해서 구입할 수 있고, 철판의 가격은 [eqn: rm 1m^2]당

[eqn: 1]만원이다. 보일러의 부피가 [eqn: rm 64m^3]가 되도록 만들기

위해 필요한 철판을 구입하는데 드는 최소 비용은?

정답 ④

그림과 같이 원기둥의 밑면의

반지름을 [eqn: x`,] 높이를 [eqn: y `]로 놓으면

부피 [eqn: V = pi x^2 `y `][eqn: =64]

철판의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S = (2x)^2 ×2 + 2pi ` x`y ``][eqn: = 8x^2 + 2x ․ pi ` y `]

[eqn: = 8x^2 + 2x ․ 64 over {x^2 }][eqn: = 8 x^2 + 128 over x `]

이것을 [eqn: S(x)]로 놓으면

[eqn: S`'(x) = 16x - 128 over {x^2 }][eqn: = {16x^3 - 128} over x^2][eqn: = {16(x^3 - 8)} over x^2 `]

[eqn: = {16(x-2)(x^2 + 2x +4 )} over x^2]

[eqn: x=2]에서 극소이면서 최소이다.

[eqn: S(x)]의 최소값은

[eqn: S(2) = 8 × 4 + 128 over 2][eqn: = 32 + 64][eqn: =96]

[eqn: THEREFORE ```96]만원

[2점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 110]만원	②　[eqn: 104]만원	③　[eqn: 100]만원

④　[eqn: 96]만원	⑤　[eqn: 90]만원

정답과 해설