• 2교시 수학 영역 •

[A 형]

1	①	2	④	3	③	4	④	5	①
6	⑤	7	②	8	②	9	②	10	⑤
11	⑤	12	③	13	④	14	①	15	②
16	⑤	17	④	18	①	19	③	20	③
21	③	22	88	23	8	24	3	25	65
26	330	27	89	28	10	29	16	30	100

[출제의도] 로그의 성질을 알고 계산하기

[eqn: (2 ^{`2} ) ^{{1} over {2}} TIMES log` _{2} `2 ^{`3} =2 TIMES 3=6]

[출제의도] 행렬의 덧셈의 뜻을 알고 계산하기

[eqn: A+2B= {pmatrix{`5&``````-1`#`2&`````````````5`}}]이므로

행렬 [eqn: A+2B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 11]

[출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: 3 ^{2x} LEQ 3 ^{x+4} `]에서 [eqn: 2x LEQ x+4`]

[eqn: THEREFORE ``x LEQ 4`]

따라서 자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: 10]

[출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

그래프를 행렬로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: {pmatrix{`0`&1`&0`&0`&1`#`1`&`0`&`0`&`1`&0#0&0&0&1&1#0&1&1&0&1#1&0&1&1&0}}]

따라서 행렬의 성분 중 [eqn: 0]의 개수는 [eqn: 13]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y``= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} -`3]은 밑이 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: x]가 증가할 때, [eqn: y]는 감소한다.

따라서 [eqn: x=`-2]일 때, 최댓값 [eqn: M``=`1],

[eqn: x=1]일 때, 최솟값 [eqn: m=`- {5} over {2}]

따라서 [eqn: M``-m= {7} over {2}]

[출제의도] [eqn: sum _{`} ^{} `]의 뜻과 성질 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{10} left(2a _{n} -1right) ^{2} = sum _{n=1} ^{10} left(4a _{n} ^{````2} -4a _{n} +1right)]

[eqn: =4 sum _{n=1} ^{10} a _{n} ^{````2} -4 sum _{n=1} ^{10} a _{n} + sum _{n=1} ^{10} 1]

[eqn: =4 sum _{n=1} ^{10} a _{n} ^{````2} -4 TIMES 4+10=34]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} ^{````2} =10]

[출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: {a _{5}} over {a _{2}} `=2]에서 [eqn: {ar ^{`4}} over {ar} `=`r ^{`3} =2]

[eqn: a _{4} +a _{7} =12`]에서

[eqn: a _{4} +a _{7} =ar ^{`3} ` LEFT ( 1+r ^{`3} RIGHT ) `=`12]이므로 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: a _{13} =ar ^{`12} =32]

[출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 3 ^{3x} =5], [eqn: 5 ^{3y} =9`]에서 [eqn: 5 ^{3y} `= LEFT ( 3 ^{3x} RIGHT ) ^{3y} ``=`3 ^{2}]이므로

[eqn: 3 ^{9xy} =3 ^{2}]

따라서 [eqn: 9xy=2`]이므로 [eqn: xy= {2} over {9}]

[출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: LEFT ( log _{`2} `x RIGHT ) ^{2} -6log _{`2} `x+8 LEQ 0]

[eqn: LEFT ( log _{`2} `x-4 RIGHT ) LEFT ( log _{`2} `x-2 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: 2 LEQ log _{`2} `x LEQ 4]이므로 [eqn: 4 LEQ x LEQ 16]

따라서 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: cdots`], [eqn: 16]이므로
[eqn: x`]의 개수는 [eqn: 13]

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기

[eqn: LEFT ( B+E` RIGHT ) {pmatrix{`x`#`y`}} ``=B` {pmatrix{`2`#`4`}}]의 양변에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A LEFT ( B+E` RIGHT ) {pmatrix{`x`#`y`}} ``=AB` {pmatrix{`2`#`4`}}]이므로 [eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} ``=AB` {pmatrix{`2`#`4`}}]

(나)에 의하여 [eqn: LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) ``=AB` {pmatrix{`2`#`4`}} `= {pmatrix{`0`#`6`}}]

따라서 [eqn: x=0], [eqn: y`=6]이므로 [eqn: x+y=6]

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} ` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이므로

[eqn: a _{n} = {n(n+3)} over {2} `- {(n-1)(n+2)} over {2} `=n+1`(n GEQ 2)]

[eqn: a _{1} =S _{`1} =2]이므로 [eqn: a _{n} =n+1`(n GEQ 1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{20} {1} over {a _{n} a _{n+1}}]  [eqn: = sum _{n=1} ^{20} {1} over {(n+1)(n+2)} `= sum _{n=1} ^{20} LEFT ( {1} over {n+1} `- {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = LEFT { LEFT ( {1} over {2} `- {1} over {3} RIGHT ) `+ LEFT ( {1} over {3} `- {1} over {4} RIGHT ) `+` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {21} `- {1} over {22} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} `- {1} over {22} `= {5} over {11}]

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

로켓의 질량과 속력을 표로 나타내면

로켓의 질량(ton)	[eqn: 200]	[eqn: 160]	[eqn: a]
로켓의 속력([eqn: rm km/]초)	[eqn: 2]	[eqn: 2.5]	[eqn: 3]

[eqn: 2.5=k alpha `log` {200} over {160} `+2]

[eqn: 0.5=k alpha `log` {5} over {4} `] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 3=k alpha `log` {200} over {a} `+2]

[eqn: 1=k alpha `log` {200} over {a} `] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 2k alpha `log` {5} over {4} `=][eqn: k alpha `log` {200} over {a} `]

따라서 [eqn: {200} over {a} = LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{2}]이므로 [eqn: a=128]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나므로 [eqn: 4 ^{`x} =2 ^{`x+2}], [eqn: x=2]

따라서 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (`2,``16)]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) `=1]이므로 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (`0,``1)]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는
[eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: (`-2,``16)]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 15 TIMES 4=30]

[출제의도] 등비중항을 활용하여 문제해결하기

ⅰ) [eqn: 0<k<2`]일 때,
[eqn: f(k)<g(k)<h(k)]이므로 크기 순서대로 나열하여    등비수열을 이루면 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]가 등비중항이다.

[eqn: LEFT ( 4 ^{k} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{k} TIMES 2 ^{`k+2}]

[eqn: 2 ^{`4k} `=`2 ^{-2k} TIMES 2 ^{`k+2}]

[eqn: THEREFORE ``k= {2} over {5}]

ⅱ) [eqn: k``=2`]일 때,
[eqn: f(2)<g(2)``=`h(2)]이므로 등비수열을 이루지

않는다.

ⅲ) [eqn: k>2`]일 때,
[eqn: f(k)<h(k)<g(k)]이므로 크기 순서대로 나열하여    등비수열을 이루면 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]가 등비중항이다.

[eqn: LEFT ( 2 ^{`k+2} RIGHT ) ^{2} `= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{k} times4 ^{`k}]

[eqn: 2 ^{`2k+4} =2 ^{`-2k} TIMES 2 ^{`2k}]

[eqn: THEREFORE ``k=`-2]

[eqn: k=`-2`]는 [eqn: k>2`]를 만족하지 않으므로 조건을

만족하는 등비수열은 존재하지 않는다.

따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: {2} over {5}]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a ^{x}]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동하고 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동하면
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =a ^{- LEFT ( x-m RIGHT )}]의 그래프가 된다.

(가)에 의하여 두 함수 [eqn: y`=`f(x)], [eqn: y`=`g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는
[eqn: x`=1]에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(1)=g(1)]이다.

[eqn: a=a ^{- LEFT ( 1-m RIGHT )}]
[eqn: THEREFORE ``m=2]

함수 [eqn: f(x)=a ^{x} `]은 지수함수이므로 [eqn: a>0], [eqn: a != 1]

(나)에 의하여 [eqn: a ^{3} =16a ^{-3+m}]이므로 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: `a+m=2+2=4]

[출제의도] 지표와 가수의 성질을 활용하여 추론하기

ㄱ. (가)에서 [eqn: {10A} over {B} `=10 ^{`3}]이므로 [eqn: A=100B] (참)

ㄴ. [eqn: B= {A} over {100}]이고 (나)에서 [eqn: 4 LEQ log`AB<5]이므로

[eqn: 3 LEQ log`A< {7} over {2}]

[eqn: log`A`]의 지표가 [eqn: 3]이므로 [eqn: A]는 네 자리 자연수 (참)

ㄷ. [eqn: A=100B]이고 [eqn: 4 LEQ log`AB<5]이므로

[eqn: 4 LEQ log`100B ^{2} <5]

[eqn: 4 LEQ 2+2log`B<5], [eqn: 1 LEQ log`B< {3} over {2}]이므로

[eqn: 0 LEQ alpha < {1} over {2}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f(x)=2 ^{`x} -k]의 그래프의
점근선의 방정식이 [eqn: y=`-k`]이고,

함수 [eqn: g(x)=log _{`2} (x-2k)]의 그래프의
점근선의 방정식이 [eqn: x=2k`]이므로

두 점근선이 만나는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `2k`,``-k` RIGHT )]

[eqn: bar{rm AB it} `=`2k-1]이므로 [eqn: rm (it2k+1)-log _{2} `k] [eqn: =2k-1]

[eqn: therefore``k=4]

따라서 [eqn: a=8], [eqn: b``=`-4]이므로 [eqn: 2a+b``=12]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 추론하기

[eqn: n LEFT ( n+2 RIGHT ) b _{n+1} =S _{n}]에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: 3b _{`2} =S _{`1`}]이므로 [eqn: b _{`2} = {1} over {3}]

[eqn: b _{n} =S _{n} -S _{n-1} ` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이므로

[eqn: b _{n} =n LEFT ( n+2 RIGHT ) b _{n+1} - LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT ) b _{n}]

[eqn: THEREFORE `b _{n+1} = {n} over {n+2} ` TIMES `b _{n} ` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

이때, [eqn: b _{1} =1]이고 [eqn: b _{`2} = {1} over {3}]이므로

[eqn: ㉠]은 [eqn: n=1]인 경우에도 성립한다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n+1} = BOX{` {n} over {n+2} `} `` TIMES b _{n}] [eqn: CDOTS CDOTS LEFT ( ＊ RIGHT )]

[eqn: LEFT ( ＊ RIGHT )]의 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots`], [eqn: n-1]을 차례로 대입하여 얻어진 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개의 등식을 변끼리 곱하면

[eqn: b _{`n} = {1} over {3} ` TIMES {2} over {4} `times {3} over {5}][eqn: TIMES ` CDOTS ` TIMES {n-2} over {n} ` TIMES {n-1} over {n+1} `b _{`1}]

[eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: b _{n} = BOX{` {2} over {n(n+1)} `} ``]

따라서 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `= {n} over {n+2}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `= {2} over {n(n+1)}]이므로

[eqn: {f LEFT ( 11 RIGHT )} over {g LEFT ( 12 RIGHT )} `=66]

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`2} LEFT ( x-4 RIGHT )]의 그래프는

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`2} `x]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 그래프이므로 [eqn: bar{rm BA it} ``= rm bar{DE} ``=4`]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`4} `x]의 그래프와

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=log _{`2} LEFT ( x-4 RIGHT )]의 그래프가 만나는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면 [eqn: rm A( it `a,``log _{`4} `a)], [eqn: rm D( it `a,``log _{`2} `a)]

이므로 [eqn: rm bar{AD} ``= {1} over {2} `log _{`2} `a]

점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: log _{`4} `a]로 같으므로

[eqn: log` _{2} `x=log _{`4} `a], [eqn: x= sqrt {a}]

[eqn: rm B LEFT ( it sqrt {a} `,``log _{`2} sqrt {a} ` RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( it sqrt {a} ,``log _{`4} sqrt {a} ` RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm BC it} `= {1} over {4} `log _{`2} it `a]

[eqn: THEREFORE ``S _{1} = {1} over {2} TIMES 4 TIMES {1} over {4} `log _{`2} `a], [eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES 4 TIMES {1} over {2} `log _{`2} `a]

따라서 [eqn: {S _{1}} over {S _{2}} `= {1} over {2}]

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: ABA-A ^{2} =E`]에서
[eqn: LEFT ( AB``-A RIGHT ) A=E] [eqn: CDOTS cdots]㉠

[eqn: A LEFT ( BA-A RIGHT ) `=E`]이고 양변에 [eqn: AB``-A]를 곱하면

[eqn: LEFT ( AB-A RIGHT ) A LEFT ( BA-A RIGHT ) ``=AB``-A]

[eqn: BA-A```=AB-A]

[eqn: THEREFORE ``AB```=BA] (참)

ㄴ. [eqn: AB``-A=`-B]이므로 ㉠에서 [eqn: -BA=E]

[eqn: AB``=BA]이므로

[eqn: A ^{3} B ^{3} = LEFT ( AB RIGHT ) ^{3} =`-E] (거짓)

ㄷ. [eqn: AB=`-E``]이므로 [eqn: ABA``-A ^{2} =E``]에서

[eqn: A ^{2} +A+E`=O] [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉡의 양변에 [eqn: A-E``]를 곱하면

[eqn: LEFT ( A-E` RIGHT ) LEFT ( A ^{2} +A+E` RIGHT ) ``=O]

[eqn: THEREFORE ``A ^{3} ``=E]

㉡에서 [eqn: A ^{2} =`-A-E]이므로

[eqn: LEFT ( A-E` RIGHT ) ^{2} =A ^{2} -2A+E``=`-3A]

[eqn: LEFT ( A-E` RIGHT ) ^{30} = LEFT ( -3A RIGHT ) ^{15} =`-3 ^{15} E] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[출제의도] 계차수열을 활용하여 추론하기

[eqn: a _{1} =1+4], [eqn: a _{2} =1+4+12], [eqn: a _{3} =1+4+12+36],

[eqn: a _{4} =1+4+12+36+108], [eqn: CDOTS] 이므로

[eqn: b _{n} `=`a _{n+1} -a _{n}]이라 하면

[eqn: b _{1} =4 TIMES 3], [eqn: b _{2} =4 TIMES 3 ^{`2}], [eqn: b _{3} =4 TIMES 3 ^{`3}], [eqn: CDOTS], [eqn: b _{n} =4 TIMES 3 ^{`n}]

[eqn: a _{n} =5``+ sum _{k=1} ^{n-1} (4 TIMES 3 ^{`k} )]

[eqn: =5+12 TIMES {3 ^{`n-1} -1} over {3-1} `=2 TIMES 3 ^{`n} -1]

따라서 [eqn: {a _{15} +1} over {a _{10} +1} = {2 TIMES 3 ^{15}} over {2 TIMES 3 ^{10}} `=3 ^{5} =243]

[출제의도] 등차수열 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로 [eqn: a _{n} =`3n-2]

따라서 [eqn: a _{30} =88]

[출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: 2 ^{`a-1} `+2 ^{-a} =3`]이므로

[eqn: 4 ^{a-1} `+4 ^{-a} `][eqn: = LEFT ( 2 ^{`a-1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 ^{-a} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{`a-1} +2 ^{-a} RIGHT ) ^{2} -1=8]

[출제의도] 행렬과 그 연산 이해하기

행렬 [eqn: A]의 역행렬 [eqn: A ^{-1} ``= {pmatrix{````````2&``````-1`#`-1&`````````````1`}}]이므로

[eqn: C``=ABA ^{-1} ``= {pmatrix{`1``&``````1`#`1``&``````2`}} {pmatrix{`a&``````0`#`1&``````a`}} {pmatrix{````````2&````````-1`#`-1&```````````````1`}} `]            [eqn: = {pmatrix{`a+2&``````-1`#`4&``````a-2`}}]

행렬 [eqn: C`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 9`]이므로 [eqn: 2a+3=9]

따라서 [eqn: a=3]

[출제의도] 로그방정식을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm B]는 선분 [eqn: rm OA]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점이므로

점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( it ` {sqrt {23}} over {4} ,`` {log` _{2} `k} over {4} ` RIGHT )]

[eqn: rm bar{OB} ` ^{2} = it {23+(log _{`2} `k) ^{2}} over {16} `=2]

[eqn: log _{`2} `k``=3] 또는 [eqn: log _{`2} `k```=`-3]

[eqn: k=8] 또는 [eqn: k= {1} over {8}]이므로 [eqn: S```= {65} over {8}]

따라서 [eqn: 8S=65]

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a _{n} +b _{n} =`2n+1]이고 [eqn: a _{n} b _{n} =`n LEFT ( n+1 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT { 1- LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) `+a _{n} b _{n} RIGHT }]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT { 1- LEFT ( 2n+1 RIGHT ) `+n LEFT ( n+1 RIGHT ) RIGHT }][eqn: =` sum _{n=1} ^{10} LEFT ( n ^{2} -n RIGHT )]

[eqn: =` {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} `- {10 TIMES 11} over {2}][eqn: =`330]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 1-a _{n} RIGHT ) LEFT ( 1-b _{n} RIGHT ) `=330]

[출제의도] 알고리즘과 순서도를 이해하여 추론하기

[eqn: n]	[eqn: a]
[eqn: 1]	[eqn: 2 TIMES 1+1`=````3]
[eqn: 2]	[eqn: 2 TIMES 3+2`=````8]
[eqn: 3]	[eqn: `2` TIMES `8+3`=19]
[eqn: 4]	[eqn: 2 TIMES 19+4`=42]
[eqn: 5]	[eqn: 2 TIMES 42+5`=89]

따라서 인쇄되는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 89]

[출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 할 때, [eqn: a _{1} `=`1]이므로
[eqn: a _{n} =1+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d]

(가)에 의하여 [eqn: LEFT ( 1+d RIGHT ) + LEFT ( 1+5d RIGHT ) + LEFT ( 1+9d RIGHT ) =8]

[eqn: THEREFORE ``d= {1} over {3}]

(나)에 의하여 [eqn: {n LEFT { 2+ {1} over {3} LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} =25]

[eqn: n ^{2} +5n-150=0]

[eqn: LEFT ( n-10 RIGHT ) LEFT ( n+15 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: n=10]

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: y``=`f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 그 역함수의 그래프가
만나는 점은 함수 [eqn: y``=`f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 만나는 점과 같다.

[eqn: rm A it LEFT ( `alpha ,``a ^{alpha } - {5} over {4} RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( `beta ,``a ^{beta } - {5} over {4} RIGHT )]이라 하면

선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` {alpha + beta } over {2} ,`` {a ^{alpha } +a ^{beta }} over {2} `- {5} over {4} RIGHT )]

선분 [eqn: rmAB]의 중점이 원점이므로
[eqn: beta =`- alpha], [eqn: a ^{alpha } +a ^{`beta } - {5} over {2} `=0]

[eqn: a ^{alpha } +a ^{`- alpha } - {5} over {2} `=0], [eqn: 2a ^{2 alpha } -5a ^{alpha } +2=0],

[eqn: LEFT ( 2a ^{alpha } -1 RIGHT ) LEFT ( a ^{alpha } -2 RIGHT ) `=0] [eqn: therefore``a ^{ alpha }= { 1} over {2 }] 또는 [eqn: ``a ^{alpha } =2]

ⅰ) [eqn: a ^{ alpha }= { 1} over {2 }]일 때

[eqn: a ^{alpha } - {5} over {4} `= alpha]이므로 [eqn: alpha =`- {3} over {4}] [eqn: therefore``a=2 root {3} of {2}]

ⅱ)  [eqn: a ^{ alpha }= 2]일 때

[eqn: a ^{alpha } - {5} over {4} `= alpha]이므로 [eqn: alpha = {3} over {4}] [eqn: therefore``a=2 root {3} of {2}]

따라서 [eqn: a ^{3} =16]

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식 [eqn: {cases{ax+by=p _{{} _{{} _{}}}#cx+dy=q ^{{} ^{{} ^{}}}}}]가
오직 한 쌍의 해 [eqn: x=alpha], [eqn: y= beta]를 가지므로

[eqn: ad-bc != 0]이고 [eqn: {pmatrix{`a&``````b`#`c&``````d`}} {pmatrix{` alpha `#` beta `}} `= {pmatrix{`p`#`q`}}] [eqn: CDOTS cdots]㉠

주어진 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`b&``````a`#`d&``````c`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`p`#`q`}}] [eqn: CDOTS cdots]㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: {pmatrix{`b&``````a`#`d&``````c`}} {pmatrix{`x`#`y`}} ``= {pmatrix{`a&``````b`#`c&``````d`}} {pmatrix{`alpha `#`beta `}}]

[eqn: ` {pmatrix{`x`#`y`}} ``= {1} over {bc-ad} {pmatrix{~~`c&``````-a`#`-d&````````````b`}} {pmatrix{`a&``````b`#`c&``````d`}} {pmatrix{`alpha `#`beta `}}] [eqn: THEREFORE `` {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{` beta `#` alpha `}}]

[eqn: THEREFORE ``x _{1} = beta], [eqn: y _{1} = alpha]

㉡의 해가 [eqn: x= beta], [eqn: y= alpha]이므로 [eqn: {pmatrix{`b&``````a`#`d&`````c`}} {pmatrix{` beta `#` alpha `}} `= {pmatrix{`p`#`q`}}]

[eqn: THEREFORE `` {pmatrix{`b&``````a`#`d&`````c`}} {pmatrix{`- beta `#`- alpha `}} ``= {pmatrix{`-p`#`-q`}}]

주어진 연립방정식 [eqn: ` {pmatrix{`b&``````a`#`d&``````c`}} {pmatrix{`x`#`y`}} ``= {pmatrix{`-p`#`-q`}}]에서

[eqn: `` {pmatrix{`x`#`y`}} ``= {pmatrix{`- beta `#`- alpha `}}]

[eqn: THEREFORE ``x _{2} =`- beta], [eqn: y _{2} =`- alpha]

따라서 [eqn: bar{rmBC} ``=20]이므로

세 점 [eqn: rm A it LEFT ( `alpha ,`` beta ` RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( `beta ,`` alpha ` RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( `- beta ,``- alpha ` RIGHT )]는

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} ``=`100] 위의 점이다.

점 [eqn: rmA]에서 [eqn: bar{rm BC it}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

삼각형 [eqn: rmABC]는 밑변이 [eqn: bar{rm BC it}], 높이가 [eqn: bar{rmAH}]이므로

[eqn: bar{rm AH it} `=10]일 때 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 최대이다.

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

[eqn: rm A LEFT ( ` alpha ,`` beta ` RIGHT )]

[eqn: rm C LEFT ( `- beta ,``- alpha ` RIGHT )]

[eqn: rm B LEFT ( ` beta ,`` alpha ` RIGHT )]

[eqn: rmH]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} TIMES 20 TIMES 10=100]

[참고] 그림과 같이 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( `10,``0 RIGHT )]일 때, [eqn: rmB][eqn: LEFT ( `0,``10 RIGHT )],

[eqn: rmC][eqn: LEFT ( `0,``-10 RIGHT )]이고, 이때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 최대이다.

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

[eqn: rm A LEFT ( `10,``0 RIGHT )]

[eqn: rm C LEFT ( `0,``-10 RIGHT )]

[eqn: rm B LEFT ( `0,``10 RIGHT )]

이 이외에 점 [eqn: rmA]의 좌표가 [eqn: LEFT ( `0,``10 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -`10,``0 RIGHT )],

[eqn: LEFT ( `0,``-10 RIGHT )]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 최대이다.