• 2교시 수학 영역 •

[가형]

1	④	2	③	3	③	4	②	5	①
6	⑤	7	③	8	①	9	④	10	⑤
11	③	12	②	13	④	14	④	15	②
16	③	17	①	18	⑤	19	①	20	⑤
21	②	22	25	23	54	24	6	25	13
26	35	27	7	28	180	29	16	30	50

1. [출제의도] 로그함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{ln LEFT ( 1+4x RIGHT )} over {3x}} = {4} over {3} TIMES lim _{x` -> `0} {{ln LEFT ( 1+4x RIGHT )} over {4x} = {4} over {3}}]

2. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

[eqn: -1leq sinx leq1]이므로

[eqn: -2 LEQ 2sinx LEQ 2]

[eqn: -1 LEQ 2sinx+1 LEQ 3]

따라서 [eqn: y=2sinx+1]의 최댓값은 [eqn: 3]

3. [출제의도] 지수함수의 적분 계산하기

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{x} +1 RIGHT ) dx= LEFT [ e ^{x} +x _{` _{`}} RIGHT ] _{0}^{1} =e}]

4. [출제의도] 쌍곡선의 방정식 이해하기

[eqn: {x ^{2}} over {2 ^{2}} - {y ^{2}} over {3 ^{2}} =1]에서 주축의 길이는 [eqn: 2times2=4]

5. [출제의도] 삼각함수의 미분법 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) ={it-}sinx]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = it -sin {pi } over {2} = it -1]

6. [출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: LEFT ( 2 ^{-3} RIGHT ) ^{2-x} =2 ^{x+4}]

[eqn: 2 ^{-6+3x} =2 ^{x+4}]

[eqn: -6+3x=x+4]

따라서 [eqn: x=5]

7. [출제의도] 자연수의 분할 이해하기

구하는 경우의 수는 [eqn: 9]를 [eqn: 3]개의
자연수로 분할하는 경우의 수와 같다.

[eqn: 9][eqn: =7+1+1]
[eqn: =6+2+1]
[eqn: =5+3+1]
[eqn: =5+2+2]
[eqn: =4+4+1]
[eqn: =4+3+2]
[eqn: =3+3+3]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 7]

8. [출제의도] 역함수의 미분법 이해하기

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =k]라 하자.

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =4]이므로 [eqn: k ^{3} +3k-4=0]

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k ^{2} +k+4 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: k=1]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +3]에서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

역함수의 미분법에 의하여

[eqn: lim _{x` -> `4} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 4 RIGHT )} over {x-4}} =g prime LEFT ( 4 RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( 1 RIGHT )} = {1} over {6}]

9. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: LEFT | sin2x RIGHT | = {1} over {2}]에서

[eqn: sin2x= {1} over {2}] 또는 [eqn: sin2x={it-} {1} over {2}]

ⅰ) [eqn: sin2x= {1} over {2}]
[eqn: x= {pi} over {12}] 또는 [eqn: {5} over {12} pi] 또는 [eqn: {13} over {12} pi] 또는 [eqn: {17} over {12} pi]

ⅱ) [eqn: sin2x={it-} {1} over {2}]
[eqn: x= {7} over {12} pi] 또는 [eqn: {11} over {12} pi] 또는 [eqn: {19} over {12} pi] 또는 [eqn: {23} over {12} pi]

따라서 실근의 개수는 [eqn: 8]

10. [출제의도] 정적분의 활용 이해하기

곡선 [eqn: y= sqrt {x} -3]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= sqrt {x} -3]

[eqn: 9]

[eqn: -3]

곡선과 [eqn: x]축이 만나는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `9,``0 RIGHT )]

곡선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{9} {LEFT | sqrt {x} -3 RIGHT | dx}][eqn: = int _{0} ^{9} {LEFT ( - sqrt {x} +3 RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ - {2} over {3} x ^{{3} over {2}} +3x RIGHT ] _{0}^{9} =9]

11. [출제의도] 지수함수의 미분법 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x-2}]이라 하면 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x-2}]

[eqn: f` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =e]

곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( `3,``e RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=ex-2e]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT (`2,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `0,``-2e RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2e=2e]

12. [출제의도] 경우의 수 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =b]라 하자.

조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]는

ⅰ) [eqn: a+b=4]일 때
[eqn: LEFT ( `1,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``1 RIGHT )] [eqn: therefore][eqn: 3]가지

ⅱ) [eqn: a+b=8]일 때
[eqn: LEFT ( `2,``6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `6,``2 RIGHT )] [eqn: therefore][eqn: 5]가지

ⅲ) [eqn: a+b=12]일 때
[eqn: LEFT ( `6,``6 RIGHT )] [eqn: therefore][eqn: 1]가지

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 9]

13. [출제의도] 도함수의 활용 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =12lnx-3x ^{2} +14]

[eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT ) = {12-6x ^{2}} over {x}]

[eqn: f`'' LEFT ( a RIGHT ) =0]에서 [eqn: {12-6a ^{2}} over {a} =0]

[eqn: 12-6a ^{2} =0]

따라서 [eqn: a= sqrt {2}] ([eqn: because][eqn: a>0])

14. [출제의도] 타원의 정의 이해하기

타원의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{PF}} + {bar{PF prime }}=20]

[eqn: rm F LEFT ( ` it c,``0 RIGHT )]([eqn: c>0])이라 하면 [eqn: c ^{2} =100-k]이므로

[eqn: rm {bar{F prime F}} =2 sqrt {100- it k rm}]

삼각형 [eqn: rmPF 'F]의 둘레의 길이는

[eqn: rm {bar{PF}} + rm {bar{PF'}} + {bar{F prime F}} =20+2 sqrt {100- it k rm} =34]

[eqn: sqrt { 100-k}=7]

따라서 [eqn: k=51]

15. [출제의도] 부분적분법 이해하기

부분적분법에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+1], [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =cosx]라 하면

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =1], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =sinx]이므로

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( x+1 RIGHT ) cosx} dx][eqn: = LEFT [ LEFT ( x+1 RIGHT ) sinx _{` _{`}}^{` ^{`}} RIGHT ] _{0}^{{pi } over {2}} - int _{0} ^{{pi } over {2}} {sinx} dx][eqn: = LEFT ( {pi } over {2} +1 RIGHT ) - LEFT [ -cosx _{` _{`}}^{` ^{`}} RIGHT ] _{0}^{{pi } over {2}}]
[eqn: = {pi} over {2}]

16. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 점 [eqn: rm F]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을

[eqn: rmG], 점 [eqn: rm E]에서 선분 [eqn: rmFG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm H]

[eqn: rm G]

[eqn: rm alpha]

[eqn: beta]

[eqn: ANGLE rm EFH=alpha], [eqn: ANGLE rm CFG it = beta]라 하면

[eqn: tan alpha = {3} over {2}], [eqn: tan beta = {3} over {8}]

[eqn: theta = alpha+beta]이므로

[eqn: tan theta =tan LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = {{3} over {2} + {3} over {8}} over {1- {3} over {2} TIMES {3} over {8}} = {30} over {7}]

17. [출제의도] 로그부등식을 활용하여 문제해결하기

집합 [eqn: A= LEFT { x LEFT | 1 LEQ x LEQ 4 RIGHT }]

집합 [eqn: B]에서 [eqn: LEFT ( log _{`2} `x-k+1 RIGHT ) LEFT ( log _{`2} `x-k-1 RIGHT ) leq0]

[eqn: k-1 LEQ log _{`2} `x LEQ k+1]

[eqn: THEREFORE][eqn: 2 ^{k-1} LEQ x LEQ 2 ^{k+1}]

[eqn: A SMALLINTER B!= EMPTYSET]이 되려면

[eqn: 2 ^{k+1} geq1]이고 [eqn: 2 ^{k-1} LEQ 4]

[eqn: -1 LEQ k LEQ 3]

따라서 정수 [eqn: k]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 개수는 [eqn: 5]

18. [출제의도] 이항정리를 활용하여 추론하기

이항정리를 이용하여 [eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n}]을 전개하면

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} = sum _{k=0} ^{n} LEFT ( ` {BOX{````` _{n} {rmC} _{k} _{`}^{`} `````}} ` TIMES x ^{k} RIGHT )]       [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

위 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2 ^{n} = _{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} it + _{it n} rm C _{2} it +` CDOTS `+ _{it n} rm C _{it n rm}]      [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: 0]에서 [eqn: 1]까지 적분하면

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n} dx} = LEFT [ {LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n+1}} over {n+1} RIGHT ] _{0}^{1} = {2 ^{n+1}} over {n+1} - {1} over {n+1}]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( {}_{n} rm C _{0} + _{it n rm} rm C _{1} it x+ _{it n} rm C _{2} it x ^{2} + CDOTS + _{it n rm } rm C _{it n rm} it x ^{n} RIGHT )} dx]

[eqn: = LEFT [ {}_{n} rm C _{0} it `x+ {1} over {2} rm _{it n} rm C _{1} it `x ^{2} + {1} over {3} rm _{it n} rm C _{2} it `x ^{3} + CDOTS + {1} over {n+1} rm _{it n} rm C _{it n rm} ` it `x ^{n+1} RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: = _{n} rm C _{0} + {1} over {2} ` _{it n} rm C _{1} it + {1} over {3} ` _{it n } rm C _{2} it + CDOTS + {1} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n }]이므로

[eqn: {2 ^{n+1}} over {n+1} - {1} over {n+1} = _{n} rm C _{0} + {1} over {2} ` _{it n rm} rm C _{1} it + CDOTS + {1} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n rm}]

[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡에서 ㉢을 빼면

[eqn: {BOX{`````` {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{n} `````}} `+ {1} over {n+1}][eqn: = {1} over {2} ` _{n} rm C _{1} + {2} over {3} ` _{it n } rm C _{2} it + {3} over {4} ` _{it n} rm C _{3} it + CDOTS + {n} over {n+1} ` _{it n} rm C _{it n }][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k } RIGHT )]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {k+1} TIMES _{n} rm C _{it k rm} RIGHT ) = it {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{it n} + {1} over {n+1} <100]

[eqn: h LEFT ( n RIGHT ) = {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{n} + {1} over {n+1}]이라 하면

[eqn: h LEFT ( 7 RIGHT ) = {769} over {8} <100]

[eqn: h LEFT ( 8 RIGHT ) = {1793} over {9} >100]이므로

[eqn: n]의 최댓값은 [eqn: BOX{`````` 7 `````}}] 이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = _{n} rm C it _{1}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = {n-1} over {n+1} TIMES 2 ^{n}], [eqn: p=7]이고

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 5 RIGHT ) +p=6 TIMES {64} over {3} +7=135]

19. [출제의도] 평면곡선을 활용하여 문제해결하기

점근선의 방정식이 [eqn: y=± {sqrt {3}} over {3} x]이므로 [eqn: a ^{2} =3b ^{2}]

초점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 4 sqrt {3}]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =4b ^{2} = LEFT ( 4 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: a ^{2} =36], [eqn: b ^{2} =12]

점 [eqn: rmP]는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {36} - {y ^{2}} over {12} =1] 위의 점이므로

[eqn: rm P LEFT ( `4 sqrt {3} ,``2 RIGHT )]

[eqn: {x ^{2}} over {36} - {y ^{2}} over {12} =1]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {2x} over {36} - {2y} over {12} TIMES {dy} over {dx} =0]

[eqn: {dy} over {dx} = {x} over {3y}]([eqn: y!=0])

따라서 점 [eqn: rm P]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]

20. [출제의도] 여러 가지 적분법을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: 0 LEQ t<3]일 때 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: {rmA} LEFT ( `1,``1 RIGHT )]을 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: t]만큼 평행이동한 점이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는
[eqn: LEFT ( ` t+1,``1 RIGHT )]  [eqn: therefore](참)

ㄴ. 점 [eqn: rm P LEFT ( ` it t+1,``1 RIGHT )]은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2}] 위의 점이므로
[eqn: k= {1} over {LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =2kx]이므로
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f` prime LEFT ( t+1 RIGHT ) = {2} over {t+1}]  [eqn: therefore](참)

ㄷ. [eqn: 3 LEQ t LEQ 7]일 때 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rm B LEFT ( `4,``1 RIGHT )]을 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: LEFT ( t-3 RIGHT )]만큼 평행이동한 점이므로 점 [eqn: rmP]의
좌표는 [eqn: LEFT ( ` 4,``t-2 RIGHT )]이다. 점 [eqn: rmP]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2}]
위의 점이므로 [eqn: k= {t-2} over {16}]
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) = {t-2} over {2}]
[eqn: therefore][eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{````` {2} over {t+1 _{` _{`}}}&`````` LEFT ( 0 LEQ t<` 3 RIGHT ) _{` _{`}}#````` {t-2} over {2} ` ^{`}&`````` it (3 LEQ t LEQ 7) ^{` ^{`}}}}]

[eqn: int _{0} ^{7} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}][eqn: = int _{0} ^{3} {g LEFT ( t RIGHT ) dt+ int _{3} ^{7} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{3} {{2} over {t+1} dt+ int _{3} ^{7} {{t-2} over {2} dt}}]

[eqn: = LEFT [ 2ln LEFT | t+1 RIGHT | _{` _{`}}^{` ^{`}} RIGHT ] _{0}^{3} + LEFT [ {1} over {4} t ^{2} -t RIGHT ] _{3}^{7}]
[eqn: =6+4ln2]  [eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm theta]

[eqn: rm D]

[eqn: rm P]

[eqn: rm H]

[eqn: rm I]

[eqn: {pi } over {4}]

[eqn: rm{barAB}=1]이고 [eqn: rm ANGLE APB= {pi} over {2}]이므로

[eqn: rm {bar{BP}} =sin theta = rm {bar{BC}}], [eqn: rm {bar{AC}} =1-sin theta]

삼각형 [eqn: rm ACD]에서 [eqn: rm ANGLE ACD= {pi } over {2} - {theta} over {2}]이고

삼각형 [eqn: rm BPC]에서 [eqn: rm ANGLE BCP= {pi } over {4} + {theta } over {2}]이므로

[eqn: rm ANGLE PCD= {pi } over {4}]

점 [eqn: rm A]에서 [eqn: rm {bar{CD}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: rm {bar{CD}} =2 {bar{CH}} =2 {bar{AC}} sin {theta } over {2} =2 LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) sin {theta } over {2}]

[eqn: therefore][eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 4 LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2} TIMES {pi } over {4}]
[eqn: = {pi } over {2} TIMES LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2}]

점 [eqn: rm B]에서 [eqn: rm {bar{CP}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면

[eqn: rm {bar{CP}} =2 {bar{CI}} =2 {bar{BC}} cos LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT ) =2sin theta cos LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: T` LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 4sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT ) TIMES {pi } over {4}][eqn: = {pi } over {2} `sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{T` LEFT ( theta RIGHT ) -S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{pi } over {2} LEFT { {sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT ) - LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2}} over {theta ^{2}} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{pi } over {2} LEFT { {sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )} over {theta ^{2}} - {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2}} over {4 TIMES {theta ^{2}} over {4}} RIGHT }}]

[eqn: = {pi } over {2} LEFT ( 1 TIMES {1} over {2} - {1} over {4} TIMES 1 RIGHT ) = {pi } over {8}]

22. [출제의도] 중복순열 계산하기

[eqn: {}_{5} SMALLPROD _{2} =5 ^{2} =25]

23. [출제의도] 몫의 미분법 이해하기

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {x ^{3}}]이므로 [eqn: f`' LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =54]

24. [출제의도] 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 이해하기

[eqn: x=t+2 sqrt {t}]에서 [eqn: {dx} over {dt} =1+ {1} over {sqrt {t}} = {sqrt {t} +1} over {sqrt {t}}]

[eqn: y=4t ^{3}]에서 [eqn: {dy} over {dt} =12t ^{2}]

[eqn: THEREFORE][eqn: {dy} over {dx} = {12t ^{2}} over {{sqrt {t} +1} over {sqrt {t}}} = {12t ^{2} sqrt {t}} over {sqrt {t} +1}]

따라서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은 [eqn: 6]

25. [출제의도] 포물선의 성질 이해하기

포물선 [eqn: y ^{2} =8x]의 초점은 [eqn: {rmF} LEFT ( `2,``0 RIGHT )]이므로
직선은 점 [eqn: rmF]를 지난다.
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]라 하고
두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]에서 준선 [eqn: x={it-}2]에 내린 수선의 발을
각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 하자.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmR]

[eqn: rmS]

[eqn: rmP]

[eqn: rmF]

[eqn: rmQ]

[eqn: y ^{2} =8x]

[eqn: x={it-}2]

[eqn: x _{1}]

[eqn: x _{2}]

[eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PF}} + {bar{FQ}} = {bar{PR}} + {bar{QS}}]

[eqn: 17= LEFT ( x _{1} +2 RIGHT ) + LEFT ( x _{2} +2 RIGHT )]

따라서 [eqn: x _{1} +x _{2} =13]

26. [출제의도] 중복조합을 활용하여 추론하기

자연수 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7]이 선택되어진 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b],
[eqn: c], [eqn: d]라 하면 [eqn: a+b+c+d=8] (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 음이
아닌 정수)

[eqn: 8]개의 수의 곱은

[eqn: 2 ^{a} TIMES 3 ^{b} TIMES 5 ^{c} TIMES 7 ^{d} =60k] (단, [eqn: k]는 자연수)

[eqn: 2 ^{a} TIMES 3 ^{b} TIMES 5 ^{c} TIMES 7 ^{d} = LEFT ( 2 ^{2} TIMES 3 TIMES 5 RIGHT ) TIMES k]이므로

[eqn: a GEQ 2], [eqn: b GEQ 1], [eqn: c GEQ 1], [eqn: d GEQ 0]

[eqn: a prime =a-2], [eqn: b prime =b-1], [eqn: c'=c-1], [eqn: d` prime =d]라 하면

[eqn: a prime +b prime +c prime +d` prime =4]

(단, [eqn: a prime], [eqn: b prime], [eqn: c prime], [eqn: d` prime]은 음이 아닌 정수)

순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a prime ,``b prime ,``c prime ,``d` prime RIGHT )]의
개수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: rm rm it _{4} H _{4} = _{7} C _{4} =35]

27. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( x RIGHT )]라
하면

[eqn: S` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { sqrt {x+ {pi } over {4} `sin LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT ) ^{`}} RIGHT } ^{2}]

입체도형의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V][eqn: = int _{1} ^{4} {S` LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{1} ^{4} {LEFT { x+ {pi } over {4} `sin LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT ) RIGHT } dx}}][eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} - {1} over {2} `cos LEFT ( {pi} over {2} x RIGHT ) RIGHT ] _{1}^{4} =7]

28. [출제의도] 같은 것이 있는 순열을 활용하여 추론하기

[eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적힌 칸의 세 개의 공에 적힌 수의 합이
[eqn: 5]이고 세 개의 공이 모두 같은 색인 경우는 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적힌 칸에 흰 공 ①, ②, ②를 넣는
경우의 수는 [eqn: {3!} over {2!}]
나머지 [eqn: 5]개의 칸에 흰 공 ①, 검은 공 ❶, ❶, ❷,
❷를 넣는 경우의 수는 [eqn: {5!} over {2!2!}]
[eqn: therefore][eqn: {3!} over {2!} times {5!} over {2!2!} =90]

ⅱ) [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적힌 칸에 검은 공 ❶, ❷, ❷를 넣는
경우도 마찬가지이므로 경우의 수는 [eqn: 90]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: 2 TIMES 90=180]

29. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 추론하기

두 곡선 [eqn: y=3 ^{x} -n], [eqn: y=log _{3} LEFT ( x+n RIGHT )]은 직선 [eqn: y=x]에

대하여 대칭이므로 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]가 주어진 영역에

포함되면 점 [eqn: LEFT ( `b,``a RIGHT )]도 포함된다.

영역의 내부 또는 경계에 포함되는 점의 개수가
[eqn: 4]일 때의 네 점은 [eqn: LEFT ( `1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``2 RIGHT )]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x} -n]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ 1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) >3]이어야
한다.

[eqn: 3 ^{2} -n leq1], [eqn: 3 ^{3} -n>3]

[eqn: THEREFORE][eqn: 8 LEQ n<24]

따라서 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 16]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=3 ^{x} -8]

[eqn: y=3 ^{x} -24]

[eqn: y=log _{3} LEFT ( x+24 RIGHT )]

[eqn: y=log _{3} LEFT ( x+8 RIGHT )]

[eqn: y=x]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

(가)에서

[eqn: f(x)=x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}] (단, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수)

(나)에서

[eqn: lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3}} over {x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}} = {cases{``````````0 _{`}^{`}&`````(n=1,``2) _{`}^{`}#````` {1} over {2 ^{m} _{`}^{`}}&`````(n=3) _{`}^{`}#```발산 _{`}^{`}&`````(n GEQ 4) _{`}^{`}}}}]

[eqn: therefore][eqn: n]은 [eqn: 3] 이하의 자연수

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x ^{m-1} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n-1} LEFT { LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m RIGHT }]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x- {x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}} over {x ^{m-1} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n-1} LEFT { LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m RIGHT }}]

ⅰ) [eqn: m GEQ2], [eqn: n GEQ2]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=0], [eqn: x!=2], [eqn: x != {2m} over {m+n}]인 모든
실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT { LEFT ( m+n-1 RIGHT ) x-2 LEFT ( m-1 RIGHT ) RIGHT }} over {LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m}]

[eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {x}][eqn: = {LEFT ( m+n-1 RIGHT ) x-2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m}]
[eqn: = {{2n} over {LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2}}} over {x- {2m} over {m+n}} + {m+n-1} over {m+n}]

이고 점근선의 방정식은
[eqn: x= {2m} over {m+n}], [eqn: y= {m+n-1} over {m+n}]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]

[eqn: x= {2m} over {m+n}]

[eqn: y= {m+n-1} over {m+n}]

[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]

[eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} =0]에서 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]일 때 연속이고
미분가능하지 않다.
(다)에서
[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1} = {5} over {4}]
[eqn: m= {5n+3} over {3}]
[eqn: m]은 자연수이고 [eqn: n le3]인 자연수이므로
[eqn: m=6], [eqn: n=3]

ⅱ) [eqn: m!=1], [eqn: n=1]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=0], [eqn: x != {2m} over {m+1}]인
모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT { mx-2 LEFT ( m-1 RIGHT ) RIGHT }} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) x-2m}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m}]일 때 연속이고
미분가능하지 않다.
[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m} = {5} over {4}]
[eqn: therefore]자연수 [eqn: m]이 존재하지 않는다.

ⅲ) [eqn: m = 1], [eqn: n!=1]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=2], [eqn: x != {2} over {n+1}]인 모든 실수에서
정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {nx ^{2}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) x-2}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 미분가능하므로
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

ⅳ) [eqn: m=n=1]일 때
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=1]인 모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2}} over {2x-2}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 미분가능하므로
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의하여

[eqn: m=6], [eqn: n=3]

[eqn: therefore][eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {2x LEFT ( 4x-5 RIGHT )} over {3 LEFT ( 3x-4 RIGHT )}]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {8 LEFT ( 3x ^{2} -8x+5 RIGHT )} over {3 LEFT ( 3x-4 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x= 5 over3]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 5over 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	↗	[eqn: 2over3]	↘		↘	[eqn: 50 over27]	↗

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값 [eqn: k]는 [eqn: {50} over {27}]

따라서 [eqn: 27k=50]