수학 나형 정답

1	③	2	②	3	⑤	4	④	5	③
6	①	7	④	8	④	9	⑤	10	①
11	②	12	③	13	②	14	⑤	15	④
16	③	17	①	18	①	19	②	20	⑤
21	⑤	22	32	23	24	24	6	25	17
26	15	27	56	28	80	29	50	30	9

나형 해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 27 TIMES 3 ^{-2} =3 ^{3} TIMES 3 ^{-2} =3]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log` _{2} `2+log` _{3} `9=1+2=3]

3. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `3} {{(x-3)(x+2)} over {x-3}} = lim _{x` -> `3} {`(x+2)=5}]

4. [출제의도] [eqn: smallsum`]의 성질 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} +b _{k} right) = 2sum_k=1^10{a_k} +sum_k=1^10{b_k = 2times2+3=7]

5. [출제의도] 사건의 독립 이해하기

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rm P it (`A SMALLINTER B`)= rm P it (A) TIMES rm P it (B`)= {1} over {2} TIMES rm P it (B`)= {1} over {6}]

따라서 [eqn: rm P it (B`)= {1} over {3}]

6. [출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: f` prime (x)=2x-2]

따라서 [eqn: f` prime (2)=2]

7. [출제의도] 두 집합의 포함관계 이해하기

[eqn: a ^{2} -2=2`]이므로 [eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=2]

(ⅰ) [eqn: a= -2 `]일 때 [eqn: A=left{ -1,`2 right }`], [eqn: B = left{2,``5,``7 right}]이므로 [eqn: A smallinter B ne A]

(ⅱ) [eqn: a=2`]일 때 [eqn: A= LEFT { 2,`7 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,``5,``7 RIGHT }]

이므로 [eqn: A smallinter B =A]

따라서 [eqn: a=2]

8. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x `-> -1+} {f(x)} =0`], [eqn: lim _{x` -> `1-} {f(x)} =2]

따라서 [eqn: lim _{x` -> -1+} {f(x)}` + lim _{x `-> ``1-} {f(x)} =2]

9. [출제의도] 정적분의 성질 이해하기

[eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT ( 3x ^{2} +2x+1` RIGHT ) `dx} `=` 2 int_0 ^2 { left( `3x^2 + 1 right) }` dx]

[eqn: = 2 left[ pile{ `#` } x^3 + x right] _0^2 = 20]

10. [출제의도] 유리함수 이해하기

함수 [eqn: y= 2 overx-1`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로

[eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼 평행이동하면 [eqn: y= 2 over x-a-1 +4`]의 그래프와 일치하므로

[eqn: a+1 =3]

[eqn: a=2`], [eqn: b=4]

따라서 [eqn: a+b =6]

11. [출제의도] 명제와 조건 이해하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면

[eqn: P `= left{ ``x ``left| ` -4 le x le 6 ` right]

[eqn: Q `= left{ ``x ``left| ` -a +2 le x le a+2 `right]

명제 [eqn: p ``-> ``q `]가 참이므로 [eqn: P` subset ` Q `]에서

[eqn: -a+2 le -4 `], [eqn: a ge 6]

[eqn: a+2 ge 6`], [eqn: a ge 4]

그러므로 [eqn: a `ge 6]

따라서 자연수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 6]

12. [출제의도] 합성함수의 값 계산하기

[eqn: (f circ f)(-2) = f(f(-2))=f(1)=3]

13. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기

흰 공의 개수가 [eqn: 3`]일 확률은

[eqn: {{} _{6} rmC _{3} TIMES _{4} C _{1}} over {{} _{10} rmC _{4}} = {20 TIMES 4} over {210} = {8} over {21}]

흰 공의 개수가 [eqn: 4`]일 확률은

[eqn: {{} _{6}rm C _{4}} over {{} _{10}rm C _{4}} = {15} over {210} = {1} over {14}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {8} over {21} + {1} over {14} = {19} over {42}]

14. [출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기

이 고등학교 학생 중 임의로 선택한 [eqn: 1`]명의 학생이 진로 체험 행사에 참가한 학생인 사건을 [eqn: A`], 여학생인 사건을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: {rmP}(B ``|` A) = {{rmP}(A smallinter B )} over{{rmP}(A)}= {75 over300 }over {200 over300}= 3 over 8]

15. [출제의도] 정규분포를 활용하여 문제해결하기

이 양계장에서 생산하는 계란 [eqn: 1`]개의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N` LEFT ( `52`,``8 ^{2} ` RIGHT ) `]을 따른다.

[eqn: Z= {X-52} over {8} `]라 하면 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포 [eqn: rm N`(`0`,``1)`]을 따르므로

[eqn: rm P it (60 LEQ X LEQ 68)]

[eqn: = {rmP }left( 60-52 over 8 le Z le {68 -52} over 8 right)]

[eqn: = rm P it (`1 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: = rm P it (`0 LEQ Z LEQ 2)- rm P it (`0 LEQ Z LEQ 1)]

[eqn: =0.4772-0.3413=0.1359]

16. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: a _{n} `=`1+3+5+` CDOTS `+`(2n-1)=`n ^{2}`]

[eqn: log` _{4`} ` LEFT ( ``2 ^{a _{1}} ` TIMES 2 ^{a _{2}} ` TIMES 2 ^{a _{3}} TIMES CDOTS TIMES `2 ^{a _{12}} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} ` ({a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{12}} )`]

[eqn: = {1} over {2} `(1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +12 ^{2} )]

[eqn: = {1} over {2} ` TIMES ` {12 TIMES 13 TIMES 25} over {6} =325]

17. [출제의도] 접선의 방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c`]라 하면

[eqn: f `'(x) = 3x^2 + 2ax + b]

이고, 두 점 [eqn: (2,~4)`], [eqn: (-1,~1)`]을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: y=x+2`]이므로

[eqn: rm (-1,~1)]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y = f(x)]

[eqn: y]

[eqn: y = x+2]

[eqn: rm (2,~4)]

[eqn: f(2) = 4`]에서 [eqn: 4a + 2b + c = -4]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: f(-1) = 1`]에서 [eqn: a-b+c = 2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f`` prime (2)=1`]에서 [eqn: 4a+b=-11]	[eqn: cdots cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢ 에 의하여 [eqn: a= -3`], [eqn: b=1`], [eqn: c=6]

[eqn: f`'(x) = 3x^2 -6x +1]

따라서 [eqn: f`'(3) = 10]

(다른 풀이)

두 점 [eqn: (2,~4)`], [eqn: (-1,~1)`]을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: y=x+2`]이므로

[eqn: f(x)-(x+2)= (x-2)^2 (x+1)]

[eqn: f(x) =x^3 -3x^2 +x+6]

[eqn: f prime(x) = 3x^2 -6x+1]

따라서 [eqn: f prime(3) = 10]

18. [출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기

(도형 [eqn: T_1 `]의 넓이)

[eqn: = root3 over4 times 1^2 times2 - 1 over6 times pi times 1^2 = {3root3 -pi} over6]

(도형 [eqn: T_2`]의 넓이)[eqn: =](도형 [eqn: T_3 `]의 넓이)

[eqn: = root3 over4 times left(1 over 2 right)^2 times 2 - 1 over6 times pi times left(1 over2 right)^2]

[eqn: = 1 over4 times {3root3 - pi } over6]

[eqn: S_1 `][eqn: =](도형 [eqn: T_1`]의 넓이)[eqn: +][eqn: 2 times](도형 [eqn: T_2`]의 넓이)

[eqn: ={3root3 - pi} over6 + 2 times left( 1 over4 times {3root3 - pi } over6 right) = {3root3 - pi } over4]

정삼각형 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n {rmC}_n`]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n`]이라 하면 [eqn: 2 times left(root3 over2 times a_n+1 right) = 1 over2 times a_n`]이므로

[eqn: a_n+1 = 1 over {2root3}` a_n]

그림 [eqn: R_n+1`]의 새로 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: b_n+1`]이라 하면 [eqn: b_n+1 = 1 over12 b_n `], [eqn: b_1 = S_1`]

수열 [eqn: left{b_n right}`]은 첫째항이 [eqn: {3root3 - pi} over4`]이고 공비가 [eqn: 1 over12`]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: lim_{n`->`inf}{S_n =lim_{n`->`inf}`{ sum_k=1^n {b_k }]

[eqn: `= {{3root3 - pi} over4} over{1- 1 over12} = {3 left(3root3 - pi right) } over 11]

세 수 [eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3`]을 순서쌍 [eqn: (`x _{1} `,``x _{2} `,``x _{3} `)`]과 같이 나타내자.

[eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3`] 중에서 최댓값을 [eqn: p`], 최솟값을 [eqn: q`], 나머지 수를 [eqn: r`], [eqn: p-q =k] [eqn: (k`=`0, `1, cdots, `5`)]라 하면 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.

⑴ [eqn: k=0`]일 때

세 수가 모두 같으므로
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: {BOX{``6``}}]이고,
[eqn: rm P it ( it X=0)= {1} over {6 ^{3}} TIMES {BOX{``6``}}]

⑵ [eqn: k ne 0`]일 때 [eqn: (`1 LEQ k` LEQ `5`)]

순서쌍 [eqn: (`p,``q`)`]의 개수는 각각의 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 6-k`]이고

ⅰ) [eqn: k=1`]일 때
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` ) `]의 개수는
[eqn: 5` TIMES ` LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} RIGHT ) `]

ⅱ) [eqn: 2 LEQ k` LEQ 5]일 때

① [eqn: r=p`] 또는 [eqn: r=q`]인 경우
[eqn: p`], [eqn: p`], [eqn: q`]와 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: 3! over 2! + 3!over2!]
② [eqn: r!= p`]이고 [eqn: r!=q`]인 경우
[eqn: r`]의 개수는 각각의 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: k-1 `]이고
[eqn: p`], [eqn: r`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는
[eqn: {}_3 rm P_3 = 3!]이므로 [eqn: (k-1)`times`3!]

①, ②에 의하여
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는
[eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} `+` {3!} over {2!} + LEFT ( `k-1` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }]

그러므로 [eqn: 1 LEQ k LEQ 5`]일 때,

순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는

[eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} `+` {3!} over {2!} + LEFT ( ` {BOX{``k-1``}} ` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }]

(예를 들어)

[eqn: k=3 `]인 경우

[eqn: (`p,`r,`q`)`]는 [eqn: (`4,`r,`1)`], [eqn: (`5,`r,`2)`], [eqn: (`6,`r,`3)`]
이므로 개수는 [eqn: 3`]

[eqn: (`p,`r,`q)]가 [eqn: (`4`,`r,`1)`]일 때

① [eqn: r=4] 또는 [eqn: r=1`]인 경우
[eqn: 4`], [eqn: 4`], [eqn: 1`]과 [eqn: 4`], [eqn: 1`], [eqn: 1`]을 일렬로 나열하는
방법의 수는 [eqn: {3!} over {2!} + 3! over2!]

② [eqn: r!=4]이고 [eqn: r!=1`]인 경우

[eqn: r]는 [eqn: 3] 또는 [eqn: 2`]이므로 [eqn: r]의 개수는 [eqn: 2`]
[eqn: p`], [eqn: r`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: {}_3 rm P_3 = 3!]이므로 [eqn: 2`times`3!]
①, ②에 의하여
[eqn: 4], [eqn: r], [eqn: 1]을 일렬로 나열하는 방법의 수는
[eqn: ` {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2 TIMES 3!]

[eqn: (`5,`r,`2)`], [eqn: (`6,`r,`3)`]일 때에도 같은 방법으로
구하면 각각 [eqn: {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2 TIMES 3!]
그러므로 [eqn: k=3`]인 경우

순서쌍 [eqn: (x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3} )`]의 개수는
[eqn: 3` TIMES ` LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2times3! RIGHT )]

그러므로

[eqn: rm P( it X=k)]

[eqn: = {1} over {6 ^{3}} TIMES (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} + left(`{BOX{``k-1``}`right)} TIMES 3! RIGHT }]

⑴, ⑵에 의하여 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E (it X`)`]는 다음과 같다.

[eqn: rm E( it X`)`=` sum _{k=0} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT }]

[eqn: =` {1} over {6 ^{2}} sum _{k=1} ^{5} LEFT ( ` BOX{``6k^2 - k^3``} ` RIGHT ) `][eqn: =` 35 over 12]

19. [출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정 추론하기

[eqn: a = 6`], [eqn: f(k) = k-1`], [eqn: g(k) = 6k^2 - k^3]

따라서 [eqn: {f(5) timesg(3)} overa = {4 times 27} over6 =18]

20. [출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 참, 거짓 추론하기

ㄱ. [eqn: g prime(x)=xf(x)`]이므로 [eqn: g `prime(0)=0`] (참)

ㄴ. 함수 [eqn: g(x)`]가 닫힌 구간 [eqn: [`0,``alpha`]`]에서 연속, 열린 구간 [eqn: (`0,``alpha`)`]에서 미분가능, [eqn: g(0)=g(alpha)=0`]이므로 롤의 정리에 의하여 [eqn: g prime (c)=cf(c)=0`]인 [eqn: c`]가 열린 구간 [eqn: (`0,``alpha`)`]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: c ne 0`]이므로 [eqn: f(c)=0]

따라서 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 열린 구간 [eqn: (`0`,`` alpha `)`]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: beta>0`]이고 [eqn: g(beta)=0 `]이므로 ㄴ에 의하여 [eqn: f(gamma)=0`]인 [eqn: gamma`][eqn: (0< gamma < beta )`]가 존재한다.
[eqn: f(x)=a(x-gamma)(x-beta)`] [eqn: (a>0)`]이고

[eqn: S_1 = int_0^gamma{left|`xf(x) right|`dx`], [eqn: S_2 = int_gamma^beta{left|`xf(x)right|`dx`]라 하면 [eqn: y=xf(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y= xf(x)]

[eqn: S_1]

[eqn: S_2]

[eqn: 0]

[eqn: gamma]

[eqn: beta]

[eqn: x]

[eqn: g( beta )= int _{0} ^{beta } {tf(t)`dt=S _{1} -S _{2} =0`}`]이므로

[eqn: S_1 = S_2 `]이다.

[eqn: int_beta ^x {tf(t)}dt `=` g(x)-g(beta)]

[eqn: `=` g(x) `=` int_0 ^x {tf(t)}`dt ge0]

이므로, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: int_beta ^x {tf(t)}`dt ge 0 `] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 추론하기

[eqn: (x-1) LEFT { x ^{2} (x-3)-t RIGHT } =0]

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x^2 (x-3) -t=0]

[eqn: x^2 (x-3) -t=0`]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: y = x^2 (x-3)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= t`]의 교점의 개수와 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: -4]

[eqn: -2]

[eqn: y=x^2 (x-3)]

[eqn: y=t]

따라서 [eqn: y=f(t)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: -2]

[eqn: -4]

[eqn: rm O]

[eqn: y= f(t)]

함수 [eqn: f(t)`]가 [eqn: t=-4`], [eqn: -2`], [eqn: 0`]에서 불연속이다.

함수 [eqn: f(t)g(t)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: t=-4`], [eqn: -2`], [eqn: 0`]에서 연속이어야 한다.

[eqn: t=-4]일 때,

[eqn: lim _{t` -> `-4-} {} f(t)g(t)=2g(-4)`],[eqn: lim _{t` -> `-4+} {} f(t)g(t)=4g(-4)`],

[eqn: f(-4)g(-4)=3g(-4)`]이고

함수 [eqn: f(t)g(t)`]가 [eqn: t=-4`]에서 연속이므로

[eqn: 2g(-4)=4g(-4)=3g(-4)]

따라서 [eqn: g(-4)=0]

같은 방법으로 [eqn: g(-2)=g(0)=0]

(가)에서 [eqn: g(x)`]가 삼차 이하의 다항함수이므로

[eqn: g(x)=a`x(x+2)(x+4)`] [eqn: (a` ne`0 )`]이라 하면

(나)에서 [eqn: g(-3)=6`]이므로 [eqn: a `=` 2]

[eqn: g(x)=2`x(x+2)(x+4)]

따라서 [eqn: g(1)`=30]

22. [출제의도] 등비수열 이해하기

공비를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: r=2]

따라서 [eqn: a _{5} = a_3 times r^2 =8 TIMES 2 ^{2} =32]

23. [출제의도] 순열과 조합 계산하기

[eqn: {} _{5}` rm P _{2} + _{4}` rm C _{3} =20+4=24]

24. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2-} {f(x)`=`12}`],

[eqn: lim _{x`-> `2+} {f(x)`=`4+2a-4} `=`2a`],

[eqn: f(2)`=2a`]이므로 [eqn: 12=2a]

따라서 [eqn: a=6]

25. [출제의도] 적분과 미분의 관계 이해하기

[eqn: f`'(x)`=`3x ^{2} +5]

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}} =f` prime (2)]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}}=`17]

26. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항이 [eqn: 2`], 공차가 [eqn: 4`]이므로 일반항 [eqn: a _{n} =4n-2`], [eqn: a _{5} =18]

[eqn: a _{5} b _{5} = sum _{k=1} ^{5} a _{k} b _{k} - sum _{k=1} ^{4} a _{k} b _{k} `=`270]

따라서 [eqn: b _{5} = {270} over {18} =15]

27. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f(x)=(x+2t)x(x-t)=x ^{3} +tx ^{2} -2t ^{2} x]

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} +2tx-2t ^{2}]

[eqn: f` prime (4)=-2t ^{2} +8t+48]

[eqn: =-2(t-2) ^{2} +56]

따라서 [eqn: f`'(4)`]의 최댓값은 [eqn: t=2`]일 때 [eqn: 56]

28. [출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기

조건을 만족시키는 자연수는 각 자리의 수의 합이 [eqn: 8`]보다 작은 네 자리의 홀수이므로 일의 자리의 수는 [eqn: 1`], [eqn: 3`], [eqn: 5`]이다.

이 네 자리의 자연수를

[eqn: a times 10^3 +b times 10^2 +c times 10 +d`] [eqn: (a != 0)`]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: d=1`]인 경우

부등식 [eqn: a+b+c le6`] [eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (][eqn: a,``b,``c`][eqn: )`]의 개수와 같으므로

[eqn: a+b+c=6`] [eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )]일 때, [eqn: {} _{3} rm H _{5}]

[eqn: a+b+c=5`] [eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]일 때, [eqn: {} _{3} rm H _{4}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a+b+c=1`] [eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]일 때, [eqn: {} _{3} rm H _{0}]

[eqn: {} _{3} rm H _{5} + _{3} H _{4} + CDOTS + _{3} H _{0} = _{7} C _{5} + _{6} C _{4} + CDOTS + _{2} C _{0}]

[eqn: =56]

(ⅱ) [eqn: d=3`]인 경우

부등식 [eqn: a+b+c le4`] [eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (][eqn: a,``b,``c`][eqn: )`]의 개수와 같으므로 (ⅰ)과 같은 방법으로

[eqn: {} _{3} rm H _{3} + _{3} H _{2} + _{3} H _{1} + _{3} H _{0} = _{5} C _{3} + _{4} C _{2} + _{3} C _{1} + _{2} C _{0}]

[eqn: =20]

(ⅲ) [eqn: d=5`]인 경우

부등식 [eqn: a+b+c le2`] [eqn: (][eqn: a GEQ 1][eqn: )`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (][eqn: a,``b,``c`][eqn: )`]의 개수와 같으므로 (ⅰ)과 같은 방법으로

[eqn: {} _{3} rm H _{1} + _{3} H _{0} = _{3} C _{1} + _{2} C _{0} = 4]

따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 [eqn: 80]

(다른 풀이)

(ⅰ) [eqn: d=1`]인 경우

[eqn: a+b+c le6~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의 개수는

[eqn: a+b+c+e =6~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: e`]의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``e)`]의 개수와 같다.

그러므로 [eqn: {} _{4} rm H it _{5} = _{8} rmC _{5} =56]

(ⅱ) [eqn: d=3`]인 경우

[eqn: a+b+c le4~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의 개수는

[eqn: a+b+c+e =4~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: e`]의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``e)`]의 개수와 같다.

그러므로 [eqn: {} _{4} rm H it _{3} = _{6} rmC _{3} =20]

(ⅲ) [eqn: d=5`]인 경우

[eqn: a+b+c le2~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의 개수는

[eqn: a+b+c+e =2~(a ge1)`]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: e`]의 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``e)`]의 개수와 같다.

그러므로 [eqn: {} _{4} rm H it _{1} = _{4} rmC _{1} =4]

따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 [eqn: 80]

29. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 활용하여 문제해결하기

접선 [eqn: l_n`]의 방정식은 [eqn: y = 2nx - n^2`]이므로

[eqn: rm Y _{it n rm}][eqn: LEFT ( 0,``-n` ^{2} RIGHT )]

직선 [eqn: l_n`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm X _{it n rm} `]이라 하면

[eqn: rm X _{it n rm}][eqn: LEFT ( {1} over {2} n,``0 RIGHT )]

[eqn: bar{rmO`X_{itn }} = 1 over2 n]

[eqn: rm bar{X _{it n rm} Q _{it n rm}} it = rm bar{X _{it n rm} P _{it n rm}} it =sqrt {n^4 + 1 over 4 n^2}}]

[eqn: rm bar{Y _{it n rm} R _{it n rm}} it = rm bar{Y _{it n rm} P _{it n rm}} it = sqrt {4n^{4} +n^2 }}]

이므로

[eqn: alpha = lim _{n `-> ` INF } {{bar{rm O`Q _{it n rm} it}} over {bar{rm Y _{it n rm} R _{it n rm} it}}}][eqn: =lim_{n`->`inf}{ {{bar {rm O` X_{it n}}} + {bar {rm X_{it n} Q_{it n}}}} over {bar {rm Y_{it n} R_{it n}}}]
[eqn: = lim_{n`->`inf}{ {1 over 2 n + root{n^4 + 1 over 4 n^2}} over {root{4n^4 + n^2 } }]
[eqn: = lim_{n`->`inf}{ {1 over 2n + root{1+ 1 over 4n^2}} over {root{4 + 1over n^2}} = 1 over2]
따라서 [eqn: 100alpha = 50]

30. [출제의도] 조합을 활용하여 문제해결하기

집합 [eqn: D= LEFT { LEFT ( `x,``y` RIGHT ) ` LEFT | `0 LEQ x LEQ n`,```0 LEQ y LEQ sqrt {x} RIGHT } ` RIGHT .]라 하면 [eqn: D`]의 원소 중 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점을 다음과 같은 [eqn: 4`]개의 집합으로 분류할 수 있다.

[eqn: S_1 = left{(x,``y)`left| `x], [eqn: y`]는 홀수[eqn: `right]

[eqn: S _{2} = LEFT { (x,``y)` LEFT | `x` RIGHT . RIGHT .]는 홀수, [eqn: y`]는 짝수 또는 [eqn: 0` right}]

[eqn: S _{3} = LEFT { (x,``y)` LEFT | `x` RIGHT . RIGHT .]는 짝수 또는 [eqn: 0`], [eqn: y`]는 홀수[eqn: `right]

[eqn: S _{4} = LEFT { (x,``y)` LEFT | `x RIGHT . RIGHT .], [eqn: y`]는 짝수 또는 [eqn: 0` right}]

서로 다른 두 점의 중점의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수이기 위해서는 위의 [eqn: 4`]개의 집합 중 하나에서 서로 다른 두 원소를 선택해야 한다.

[eqn: y]

[eqn: y =rootx]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 9]

[eqn: 10]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: f(2) =1`], [eqn: f(3) = 3`], [eqn: f(4) = 9 `], [eqn: cdots]

[eqn: f(9)`]를 구하면

(ⅰ) 집합 [eqn: S_1 `]에서 선택하는 경우
[eqn: (1,``1)`], [eqn: (3,``1)`], [eqn: (5,``1)`], [eqn: (7,``1)`], [eqn: (9,``1)`], [eqn: (9,``3)`] 중 서로 다른 두 점을 선택해야 하므로 [eqn: {} _{6} rm C it _{2} =15]

(ⅱ) 집합 [eqn: S_2 `]에서 선택하는 경우
[eqn: (1,``0)`], [eqn: (3,``0)`], [eqn: (5,``0)`], [eqn: (5,``2)`], [eqn: (7,``0)`], [eqn: (7,``2)`], [eqn: (9,``0)`], [eqn: (9,``2)`] 중 서로 다른 두 점을 선택해야 하므로 [eqn: {} _{8} rm C it rm _{2} =28]

(ⅲ) 집합 [eqn: S _{3} `]에서 선택하는 경우
[eqn: (2,``1)`], [eqn: (4,``1)`], [eqn: (6,``1)`], [eqn: (8,``1)`] 중 서로 다른 두 점을 선택해야 하므로 [eqn: {} _{4} rm C it rm _{2} =6]

(ⅳ) 집합 [eqn: S _{4} `]에서 선택하는 경우
[eqn: (0,``0)`], [eqn: (2,``0)`], [eqn: (4,``0)`], [eqn: (4,``2)`], [eqn: (6,``0)`], [eqn: (6,``2)`], [eqn: (8,`0)`], [eqn: (8,`2)] 중 서로 다른 두 점을 선택해야 하므로 [eqn: {} _{8} rm C it _{2} =28]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ) 에 의하여

[eqn: f(9)=15+28+6+28=77]

같은 방법으로

[eqn: f(10)= _{6} rm C it rm _{2} + _{8} rm C it rm _{2} + _{6} rm C it rm _{2} + _{10} rm C it rm _{2} =103]

[eqn: f(n)<f(n+1)`]이므로 [eqn: n`]의 최댓값은 [eqn: 9]

(참고)

[eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 각 집합의 원소의 개수는 다음과 같다.

[eqn: n]	[eqn: n(S_1 )]	[eqn: n(S_2 )]	[eqn: n(S_3 )]	[eqn: n(S_4 )]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 4]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
[eqn: 5]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
[eqn: 6]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 3]	[eqn: 6]
[eqn: 7]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 3]	[eqn: 6]
[eqn: 8]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 4]	[eqn: 8]
[eqn: 9]	[eqn: 6]	[eqn: 8]	[eqn: 4]	[eqn: 8]
[eqn: 10]	[eqn: 6]	[eqn: 8]	[eqn: 6]	[eqn: 10]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: f(n)`]은 다음과 같다.

[eqn: f(2) = _2 rmC_2 = 1]

[eqn: f(3) = _2 rmC_2 + _2 C_2 + _2 C_2 =3]

[eqn: f(4) = _2 rmC_2 + _2 C_2 + _2 C_2 + _4 C_2 = 9]

[eqn: f(5) = _3 rmC_2 + _4 C_2 + _2 C_2 + _4 C_2 = 16]

[eqn: f(6) = _3 rmC_2 + _4 C_2 + _3 C_2 + _6 C_2 = 27]

[eqn: f(7) = _4 rmC_2 + _6 C_2 + _3 C_2 + _6 C_2 = 39]

[eqn: f(8) = _4 rm C_2 + _6 C_2 + _4 C_2 + _8 C_2 = 55]

[eqn: f(9)= _{6} rmC _{2} + _{8} C _{2} + _{4} C _{2} + _{8} C _{2} =77]

[eqn: f(10) = _6 rmC_2 + _8 C_2 + _6 C_2 + _10 C_2 = 103]