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정 답

1	③	2	④	3	④	4	②	5	③
6	①	7	①	8	③	9	②	10	⑤
11	②	12	⑤	13	⑤	14	②	15	①
16	③	17	④	18	⑤	19	②	20	①
21	⑤	22	12	23	5	24	7	25	27
26	40	27	11	28	60	29	16	30	146

해 설

1. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: LEFT ( 3+i RIGHT ) -2i`]

[eqn: =3+ LEFT ( 1-2 RIGHT ) i]

[eqn: =3-i]

2. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: LEFT ( 2x+3y RIGHT ) LEFT ( 4x-y RIGHT ) =8x ^{2} +10xy-3y ^{2}`]에서 [eqn: xy`]의 계수는 [eqn: 10]이다.

3. [출제의도] 이차부등식 계산하기

[eqn: x ^{2} -6x+5= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) LEQ 0`]

이므로 해는

[eqn: 1 LEQ x LEQ 5`]

이다. 그러므로 [eqn: alpha =1,``` beta =5`]이다.

따라서 [eqn: beta - alpha =5-1=4`]이다.

4. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

등식

[eqn: x ^{3} -x ^{2} +x+3= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) +a]

가 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로 [eqn: x`]에 어떤 값을 대입하여도 항상 참이 되어야 한다. [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: 1-1+1+3=a]

이다. 따라서 [eqn: a=4`]이다.

[다른 풀이]

등식의 우변을 정리하면

[eqn: x ^{3} -x ^{2} +x+3=x ^{3} -x ^{2} +x-1+a]

이다. 항등식의 성질을 이용하여 양변의 동류항을
비교하면

[eqn: 3=`-1+a]

이다. 따라서 [eqn: a=4`]이다.

5. [출제의도] 조립제법 이해하기

[eqn: a]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: 3]			[eqn: 4]
		[eqn: 2a]
	[eqn: 2]	[eqn: 2a]				[eqn: b]

에서 [eqn: 2a=2`]이므로 [eqn: a=1`]이다.

조립제법을 이용하면

[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
		[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 5]
	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 5]	[eqn: 9]

이므로 [eqn: b=9`]이다. 따라서 [eqn: a+b=1+9=10`]이다.

6. [출제의도] 인수분해 이해하기

[eqn: x LEFT ( x+2 RIGHT ) +a][eqn: =x ^{2} +2x+a`]

이고

[eqn: LEFT ( x+b RIGHT ) ^{2} `][eqn: =x ^{2} +2bx+b ^{2}]

이므로 [eqn: x ^{2} +2x+a`=x ^{2} +2bx+b ^{2} `]에서

[eqn: 2=2b`], [eqn: a=b ^{2} `]이다. 그러므로 [eqn: a=1,```b=1]이다.

따라서 [eqn: ab=1`]이다.

7. [출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식 이해하기

[eqn: LEFT | x-a RIGHT | <2`]를 풀면 [eqn: -2+a<x<2+a`]이다.

[eqn: a`]가 자연수이므로 부등식을 만족하는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: -1+a,```a,```1+a]

이다. 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합이

[eqn: LEFT ( -1+a RIGHT ) +a+ LEFT ( 1+a RIGHT ) =3a]

이므로	[eqn: 3a=33`]이다. 따라서 [eqn: a=11`]이다.

8. [출제의도] 삼차방정식 이해하기

[eqn: ax ^{3} +x ^{2} +x-3=0`]의 한 근이 [eqn: 1]이므로

[eqn: a+1+1-3=0`]

이고 [eqn: a=1`]이다. 그러므로 주어진 방정식은

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x-3=0`]

이다. 조립제법을 이용하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -3]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 0]

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x-3= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+3 RIGHT )]

이다. 그러므로 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +x-3=0`]의
나머지 두 근은 이차방정식

[eqn: x ^{2} +2x+3=0`]

의 두 근과 같다. 따라서 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하면
두 근의 곱 [eqn: alpha beta =3`]이다.

9. [출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계를 이용하여 문제 해결하기

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -5x+k`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x+k=0`]이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
그러므로 이차방정식의 판별식 [eqn: D>0`]이어야 하므로	[eqn: D= LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2} -4k=25-4k>0`]

에서 [eqn: k< {25} over {4} =6.25`]이다. 따라서 자연수 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 6]이다.

10. [출제의도] 연립이차방정식을 이용하여 도형 문제 해결하기

연립이차방정식

[eqn: {cases{`r+2h=8 _{{}_{{}_{}}}&#`r ^{2} -2h ^{2} =8&}}]

에서 [eqn: LEFT ( 8-2h RIGHT ) ^{2} -2h ^{2} =8`]이고 [eqn: h ^{2} -16h+28=0`]이므로

[eqn: h=2] 또는 [eqn: h=14]

이다. [eqn: h=2`]일 때, [eqn: r=4`]이고 [eqn: h=14`]일 때, [eqn: r=`-20`]이다.

그러므로 [eqn: r=4], [eqn: h=2`]이다.

따라서 이 용기의 부피는 [eqn: 32 pi `]이다.

11. [출제의도] 연립이차방정식을 이용하여 문제 해결하기

두 연립방정식

[eqn: {cases{`3x+y=a _{{}_{{}_{}}}&#`2x+2y=1&}}],  [eqn: {cases{`x ^{2} -y ^{2} =`-1 _{{}_{{}_{{}_{{}_{{}_{}}}}}}&#`x-y=b&}}]

의 일치하는 해는 연립방정식

[eqn: {cases{`x ^{2} -y ^{2} =`-1&#`2x+2y=1&}}]

의 해와 같다. 연립방정식

[eqn: {cases{`x ^{2} -y ^{2} =`-1&#`2x+2y=1&}}]

을 풀면

[eqn: x=`- {3} over {4}], [eqn: y= {5} over {4} `]

이다. 그러므로 [eqn: 3x+y=a`]에

[eqn: x=`- {3} over {4}], [eqn: y= {5} over {4} `]

를 대입하면

[eqn: a=`-1`]

이다. 또한 [eqn: x-y=b`]에 [eqn: x=`- {3} over {4}], [eqn: y= {5} over {4} `]를 대입하면

[eqn: b=`-2]

이다. 따라서 [eqn: ab=2`]이다.

12. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기

다항식 [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +x-1`]을 일차식 [eqn: x-a`]로 나누었을 때 몫은 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지는 [eqn: 3]이므로

[eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +x-1`= LEFT ( x-a RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +3]

이다. 나머지정리에 의해 양변에 [eqn: x=a`]를 대입하면

[eqn: 2a ^{3} +a ^{2} +a-1=3]

이므로 [eqn: 2a ^{3} +a ^{2} +a-4=0`]이고 [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( 2a ^{2} +3a+4 RIGHT ) =0`]이다. [eqn: 2a ^{2} +3a+4=0`]이 실근을 갖지 않으므로 [eqn: a=1`]이다. [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +x-1`= LEFT ( x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +3`]에서
조립제법을 이용하면

[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -1]
		[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 3]

[eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +x-1`= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} +3x+4 RIGHT ) +3]

이다. 따라서 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +3x+4`]이고,

[eqn: Q LEFT ( a RIGHT ) =Q LEFT ( 1 RIGHT ) =9`]이다.

13. [출제의도] 복소수의 연산을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: {z} over {{bar{z}}} `=` {a+bi} over {a-bi} `][eqn: = {LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( a-bi RIGHT ) LEFT ( a+bi RIGHT )} `][eqn: = {a ^{2} -b ^{2} +2abi} over {a ^{2} +b ^{2}} `]

이므로 [eqn: {z} over {bar{z}} `]의 실수부분이 [eqn: 0]이 되기 위해서는

[eqn: a ^{2} -b ^{2} =0`]

이어야 한다. [eqn: a`,] [eqn: b`]가 자연수이므로 [eqn: a=b`]이다.
[eqn: a`,] [eqn: b`]가 [eqn: 5]이하의 자연수이므로
[eqn: z=`1+i`], [eqn: 2+2i`], [eqn: 3+3i`], [eqn: 4+4i`], [eqn: 5+5i`]이다. 따라서 조건을 만족하는 모든 복소수 [eqn: z`]의 개수는 [eqn: 5]이다.

14. [출제의도] 인수정리를 이용하여 삼차방정식 문제해결하기

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -3x+4=0`]의 세 근이 [eqn: alpha,```beta,```gamma`]이므로

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} -3x+4][eqn: = LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) LEFT ( x- gamma RIGHT )]

이다.

이때 [eqn: LEFT ( 3+ alpha RIGHT ) LEFT ( 3+ beta RIGHT ) LEFT ( 3+ gamma RIGHT )]의 값은 양변에 [eqn: x=`-3`]을
대입한 다음 [eqn: -1]을 곱해준 것과 같으므로

[eqn: - LEFT ( -3- alpha RIGHT ) LEFT ( -3- beta RIGHT ) LEFT ( -3- gamma RIGHT )]

[eqn: =`- LEFT { LEFT ( -3 RIGHT ) ^{3} +2 TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} -3 TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) +4 RIGHT }]

[eqn: =`-4]

따라서 [eqn: LEFT ( 3+ alpha RIGHT ) LEFT ( 3+ beta RIGHT ) LEFT ( 3+ gamma RIGHT ) =`-4`]이다.

15. [출제의도] 인수분해 이해하기

[eqn: a=2018], [eqn: b=3`]이라 하면

[eqn: 2018 TIMES 2021+9=a LEFT ( a+b RIGHT ) +b ^{2} =a ^{2} +ab+b ^{2} `]

이고

[eqn: 2018 ^{3} -27`=`a ^{3} -b ^{3}]

이다. 인수분해 공식 [eqn: a ^{3} -b ^{3} = LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) `]을
이용하면

[eqn: 2018 ^{3} -27=a ^{3} -b ^{3}]

[eqn: = LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT )]

[eqn: =2015 TIMES LEFT ( 2018 TIMES 2021+9 RIGHT )]

따라서 몫은 [eqn: 2015]이다.

16. [출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 이차함수의 최대, 최소 이해하기

[eqn: z ^{2} = LEFT ( a+2bi RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( a ^{2} -4b ^{2} RIGHT ) +4ab`i]

[eqn: LEFT ( {bar{z}} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a-2bi RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a ^{2} -4b ^{2} RIGHT ) -4abi]

이다. [eqn: z ^{2} + LEFT ( {bar{z}} RIGHT ) ^{2} =2 LEFT ( a ^{2} -4b ^{2} RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: a ^{2} =4b ^{2} `]이다.

[eqn: 6a+12b ^{2} +11`][eqn: =3a ^{2} +6a+11][eqn: =3 LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} +8`]

이므로 [eqn: a=`-1`]일 때, [eqn: 6a+12b ^{2} +11`]의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

17. [출제의도] 다항식을 이용하여 통합 교과적 문제 해결하기

실린더 [eqn: A`]에 담긴 액체의 높이를 [eqn: h _{A} `], 실린더 [eqn: B`]에
담긴 액체의 높이를 [eqn: h _{B} `], 실린더 [eqn: A`]에 담긴 액체의 밀도를 [eqn: rho _{A} `], 실린더 [eqn: B`]에 담긴 액체의 밀도를 [eqn: rho _{B} `]라 하면, 실린더 [eqn: A`]에 담긴 액체의 높이가 실린더 [eqn: B`]에 담긴 액체의 높이의 [eqn: 15]배이므로

[eqn: h _{A} `=15`h _{B}]

이고 실린더 [eqn: A`]에 담긴 액체의 밀도는 실린더 [eqn: B`]에 담긴 액체의 밀도의 [eqn: {3} over {5}]배이므로

[eqn: rho _{A} `= {3} over {5} rho _{B`}]

이다. 따라서

[eqn: {P _{A}} over {P _{B}} = {rho _{A} `g`h _{A}} over {rho _{B} `g`h _{B}} = {LEFT ( {3} over {5} rho _{B} RIGHT ) `g` LEFT ( 15h _{B} RIGHT )} over {rho _{B} `g`h _{B}} =9]

이다.

18. [출제의도] 이차함수의 성질 추론하기

[eqn: y=x ^{2} `]의 꼭짓점은 [eqn: LEFT ( `0,```0` RIGHT ) `]이고, [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프를
[eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n]([eqn: n`]은 자연수)만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 그래프를 나타낸 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 꼭짓점은 [eqn: LEFT ( n,```3 RIGHT ) `]이다. 그러므로 함수

[eqn: f(x)= LEFT ( x-n RIGHT ) ^{2} +3]

이다.

ㄱ. [eqn: f(x)= LEFT ( x-n RIGHT ) ^{2} +3`]이므로 함수 [eqn: LEFT . f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: 3]이다. (참)

ㄴ. [eqn: n=3`]일 때, [eqn: f(x)= LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +3`]이므로

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +3=10]

[eqn: x ^{2} -6x+2=0]

이므로 근과 계수의 관계에 의해 서로 다른 두 실근의 합은 [eqn: 6]이다. (참)

[다른 풀이]

[eqn: n=3`]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +3`]이므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의
대칭축은 [eqn: x=3`]이다. 따라서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=10`]의 서로 다른 두 실근의 합은 [eqn: 6`]이다.

ㄷ.	[eqn: LEFT ( x-n RIGHT ) ^{2} +3= x- {3n-4} over {2}]

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) x+n ^{2} + {3} over {2} n+1=0]

에서 [eqn: x ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) x+n ^{2} + {3} over {2} n+1=0`]의 판별식

[eqn: D= LEFT ( 2n+1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( n ^{2} + {3} over {2} n+1 RIGHT ) =`-2n-3]

이고 [eqn: n`]이 자연수이므로 [eqn: D<0`]이다. 그러므로
이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x- {3n-4} over {2} `]는 만나지 않는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

19. [출제의도] 연립이차방정식을 이용하여 도형 문제 추론하기

[eqn: rm {bar{rm AB}} `= {bar{rm AC}} `+ {bar{rm CB}}]이므로

[eqn: 6=2a+2b], [eqn: a+b`=3]

이다. 두 반원 [eqn: O _{1} `]과 [eqn: O _{2} `]의 교점을 [eqn: rm P _{3}]이라 하자.
그림과 같이 반원에 대한 원주각은 [eqn: 90 ^{DEG }]이므로 삼각형 [eqn: rm `P _{1} P _{2} P _{3}]은 직각삼각형이다.

[eqn: rm rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P _{3}]

[eqn: a+ {1} over {2}]

[eqn: b+ {1} over {2}]

[eqn: a+b]

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `+ LEFT ( b+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `]에서

[eqn: a ^{2} +2ab+b ^{2} `=`a ^{2} +a+ {1} over {4} `+b ^{2} +b+ {1} over {4}]

[eqn: 2ab`=a+b+ {1} over {2}]

이므로 [eqn: ab`= {7} over {4} `]이다.

20. [출제의도] 삼차방정식과 도형과의 관계 추론하기

삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} -5x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x-k=0`]에서

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( ` {BOX{~ ^{{}^{{}^{}}} 2x ^{2} -3x _{{}_{}} ~}} `+k RIGHT ) =0`]

이므로 삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} -5x ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) x-k=0`]의 서로 다른 세 실근은 [eqn: 1]과 이차방정식 [eqn: {BOX{~ ^{{}^{{}^{}}} 2x ^{2} -3x _{{}_{}} ~}} `+k=0`]의 두 근이다. 이차방정식 [eqn: {BOX{~ ^{{}^{{}^{}}} 2x ^{2} -3x _{{}_{}} ~}} `+k=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta] [eqn: LEFT ( alpha > beta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta `]가 직각삼각형의 세 변의 길이가 되는 경우는 다음과 같이 [eqn: 2]가지로 나눌 수 있다.

(ⅰ) 빗변의 길이가 [eqn: 1]인 경우

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =1`]이므로 [eqn: LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =1`]이다.
이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -3x+k=0`]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta `]이므로 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha + beta = {3} over {2}], [eqn: alpha beta = {k} over {2} `]이다.

[eqn: LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} -2times {k} over {2} =1`]

이므로 [eqn: k`=` {BOX{~ _{{}_{}}^{{}^{{}^{}}} {5} over {4} ~}} `]이다.

그런데 [eqn: {BOX{~ ^{{}^{{}^{}}} 2x ^{2} -3x _{{}_{}} ~}} `+ {5} over {4} =0`]에서 판별식 [eqn: D<0`]이므로 [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 실수가 아니다. 따라서 [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta `]가 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다.

(ⅱ) 빗변의 길이가 [eqn: alpha`]인 경우

[eqn: 1+ beta ^{2} = alpha ^{2} `]이므로 [eqn: LEFT ( alpha+beta RIGHT ) LEFT ( alpha-beta RIGHT ) =1`]이다.

[eqn: alpha + beta = {3} over {2}], [eqn: alpha beta = {k} over {2} `]에서 [eqn: alpha - beta = {2} over {3} `]이고,

[eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta `]

[eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} -4 TIMES {k} over {2} `]

이므로 [eqn: k`=` {BOX{~ ^{{}^{{}^{}}} {65} over {72} _{{}_{}} ~}} `]이다. 이때 [eqn: alpha= {13} over {12}], [eqn: beta= {5} over {12} `]이므로 [eqn: 1], [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있다.

따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 [eqn: k= {BOX{~ ^{{}^{{}^{}}} {65} over {72 _{{}_{}}} ~}} `]이다.

그러므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -3x], [eqn: p= {5} over {4}], [eqn: q= {65} over {72} `]이다.
따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES {q} over {p} =9 TIMES {{65} over {72}} over {{5} over {4}} = {13} over {2} `]이다.

21. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} + LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} =12x ^{4} +24x ^{3} +12x ^{2} +16`]에서

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} -3P` LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =12x ^{4} +24x ^{3} +12x ^{2} +16]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) =4`]이므로

[eqn: 64-12P` LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) =12x ^{4} +24x ^{3} +12x ^{2} +16`]	[eqn: -12P` LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) =12x ^{4} +24x ^{3} +12x ^{2} -48`]

[eqn: -P` LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2x ^{3} +x ^{2} -4`]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+2 RIGHT )]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) =4`]이고 [eqn: P`(x)`]의 최고차항의 계수가 음수이므로 조건(가), (나)를 만족시키는 두 이차다항식

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT )], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{2} -x+2], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+2`]

이다. 따라서 [eqn: P` LEFT ( 2 RIGHT ) +Q` LEFT ( 3 RIGHT ) =10`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c`][eqn: LEFT ( a<0 RIGHT )]

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =4- LEFT ( ax ^{2} +bx+c RIGHT ) `]

라 하자.

[eqn: LEFT { `P` LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT } ^{3} +` LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} `]

[eqn: = LEFT ( ax ^{2} +bx+c RIGHT ) ^{3} +64-48 LEFT ( ax ^{2} +bx+c RIGHT )]

[eqn: +12 LEFT ( ax ^{2} +bx+c RIGHT ) ^{2} - LEFT ( ax ^{2} +bx+c RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =12a ^{2} x ^{4} +24abx ^{3} + LEFT ( 12b ^{2} +24ac-48a RIGHT ) x ^{2} +]

[eqn: LEFT ( 24bc-48b RIGHT ) x+ LEFT ( 12c ^{2} -48c+64 RIGHT ) `]

[eqn: =12x ^{4} +24x ^{3} +12x ^{2} +16`]

에서 [eqn: 12a ^{2} =12`]이므로 [eqn: a=`-1`` LEFT ( BECAUSE ```a<0 RIGHT )]이다.
[eqn: 24ab=24`]에서 [eqn: b=`-1`]이다. [eqn: 12b ^{2} +24ac-48a=12`]에서 [eqn: c=2`]이다.

[eqn: b=`-1`], [eqn: c=2`]를 [eqn: 24bc-48b=0`], [eqn: 12c ^{2} -48c+64=16`]에 대입하면 등식이 성립하므로

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{2} -x+2`]

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =4- LEFT ( -x ^{2} -x+2 RIGHT ) `][eqn: =x ^{2} +x+2`]

이다. 따라서 [eqn: P` LEFT ( 2 RIGHT ) +Q` LEFT ( 3 RIGHT ) =`-4+14=10`]이다.

22. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: x ^{2} y+xy ^{2} `]

[eqn: =xy LEFT ( x+y RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES 6]

[eqn: =12]

23. [출제의도] 이차방정식 계산하기

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: 3+4=`-a`], [eqn: 3 TIMES 4=b`]

이므로 [eqn: a+b=`-7+12=5`]이다.

[다른 풀이]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b`]의 두 근이 [eqn: 3], [eqn: 4]이므로

[eqn: 3 ^{2} +3a+b=0], [eqn: 4 ^{2} +4a+b=0]

이다. 연립방정식

[eqn: {cases{`3a+b=`-9 _{{}_{{}_{}}}&#`4a+b=`-16&}}]

에서 [eqn: a=`-7], [eqn: b=12`]이다.

따라서 [eqn: a+b=`-7+12=5`]이다.

24. [출제의도] 연립부등식 이해하기

부등식 [eqn: x-1 GEQ 2`]의 해는

[eqn: x ge 3]

이고

[eqn: x ^{2} -6x+8=(x-2)(x-4) LEQ 0`]의 해는

[eqn: 2 LEQ x LEQ 4]

이다. 그러므로 주어진 연립부등식의 해는

[eqn: 3 LEQ x LEQ 4]

이다. 따라서 [eqn: alpha =3], [eqn: beta =4]이므로 [eqn: alpha + beta =7`]이다.

25. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질 이해하기

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +6x-9=0`]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta`]이므로

[eqn: 2 alpha ^{2} +6 alpha -9=0], [eqn: 2 beta ^{2} +6 beta -9=0]

이다.

[eqn: 2 LEFT ( 2 alpha ^{2} + beta ^{2} RIGHT ) +6 LEFT ( 2 alpha + beta RIGHT )]

[eqn: =4 alpha ^{2} +2 beta ^{2} +12 alpha +6 beta `]

[eqn: =2 LEFT ( 2 alpha ^{2} +6 alpha RIGHT ) + LEFT ( 2 beta ^{2} +6 beta RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES 9+9]

[eqn: =27]

26. [출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기

[eqn: x ^{4} +ax+b= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} Q LEFT ( x RIGHT ) `]

조립제법을 이용하면

[eqn: 2`]	[eqn: 1`]	[eqn: 0`]	[eqn: 0`]	[eqn: a`]	[eqn: b`]
		[eqn: 2`]	[eqn: 4`]	[eqn: 8`]	[eqn: 2a+16]
	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: 4`]	[eqn: a+8]	[eqn: b+2a+16]

[eqn: x ^{4} +ax+b`]는 [eqn: x-2`]로 나누어떨어지므로

[eqn: b+2a+16=0`]

이고 [eqn: (x-2)Q(x)=x ^{3} +2x ^{2} +4x+a+8`]이다.

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} +4x+a+8`]을 [eqn: x-2`]로 나누면

[eqn: 2`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: 4`]	[eqn: a+8]
		[eqn: 2`]	[eqn: 8`]	[eqn: 24`]
	[eqn: 1`]	[eqn: 4`]	[eqn: 12`]	[eqn: a+32`]

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} +4x+a+8`]은 [eqn: x-2`]로 나누어떨어지므로

[eqn: a+32=0`]

이고

[eqn: x ^{4} +ax+b= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} +4x+12 RIGHT )]

이다. 그러므로 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4x+12`]이다.

따라서 [eqn: a=`-32], [eqn: b=48], [eqn: Q LEFT ( 2 RIGHT ) =4+8+12`=`24`]이고

[eqn: a+b+Q LEFT ( 2 RIGHT ) =40`]이다.

27. [출제의도] 이차함수 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax- LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( x+ {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} - LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2}]

이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=`-1]에서 최솟값을 가지므로

[eqn: - {a} over {2} =`-1`]에서 [eqn: a=2`]이다.

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=cx`]가 한 점에서 만나므로 [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -cx=0]

[eqn: x ^{2} +ax- LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2} -cx=0`]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( a-c RIGHT ) x- LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2} =0`]

이 중근을 가지고 판별식

[eqn: D=][eqn: LEFT ( a-c RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2} =0]

이다. [eqn: LEFT ( a-c RIGHT ) ^{2} GEQ 0], [eqn: 4 LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2} GEQ 0`]이므로

[eqn: LEFT ( a-c RIGHT ) ^{2} =0], [eqn: 4 LEFT ( b-7 RIGHT ) ^{2} =0]

이다. 따라서 [eqn: a=c=2], [eqn: b=7`]이고 [eqn: a+b+c=11`]이다.

28. [출제의도] 연립이차방정식을 이용하여 도형 문제 해결하기

남아 있는 입체도형의 겉넓이 [eqn: S``]는

[eqn: S=6a ^{2} -2 pi b ^{2} +2 pi ab]

[eqn: =6a ^{2} +2 pi LEFT ( ab-b ^{2} RIGHT )]

[eqn: =216+16 pi]

이고 [eqn: a], [eqn: b]가 유리수이므로

[eqn: 6a ^{2} =216], [eqn: ab-b ^{2} =8]

이다. 그러므로 [eqn: a=6`]이고 [eqn: b ^{2} -6b+8=0`]에서

[eqn: b=2] 또는 [eqn: b=4]

이다. [eqn: a>2b`]이므로 [eqn: b=2`]이다.

따라서 [eqn: 15(a-b)=60`]이다.

29. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +x`]가 이차다항식이므로

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +5 RIGHT ) +9`]

도 이차다항식의 완전제곱식이어야 한다.

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +5 RIGHT ) +9`]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -a ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +5 RIGHT ) +9`]

[eqn: =x ^{4} + LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) x ^{2} -5a ^{2} +9`]

[eqn: =x ^{4} + LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) x ^{2} + {LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) ^{2}} over {4} - {LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) ^{2}} over {4} -5a ^{2} +9`]

[eqn: = LEFT { x ^{4} + LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) x ^{2} + {LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) ^{2}} over {4} RIGHT } - {LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( -5a ^{2} +9 RIGHT )} over {4} `]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} + {5-a ^{2}} over {2} RIGHT ) ^{2} - {LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( -5a ^{2} +9 RIGHT )} over {4} `]

에서

[eqn: LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( -5a ^{2} +9 RIGHT ) =0`]

[eqn: a ^{4} +10a ^{2} -11=0`]

[eqn: LEFT ( a ^{2} +11 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) =0`]

이고 [eqn: a=`1`]([eqn: BECAUSE ```a>0])이다.

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +x RIGHT } ^{2} = LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) ^{2} `]에서

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x+2`] 또는 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{2} -x-2`]

이고 이차항의 계수가 음수이므로

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{2} -x-2`]

이다. 따라서 [eqn: LEFT { P(a) RIGHT } ^{2} = LEFT { P(1) RIGHT } ^{2} =16`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +x RIGHT } ^{2} = LEFT ( x ^{2} -a ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +5 RIGHT ) +9`]

[eqn: =x ^{4} + LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) x ^{2} -5a ^{2} +9`]

이고 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항의 계수가 음수이므로

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +x=`-x ^{2} +px+q`]

라 하자.

[eqn: LEFT ( -x ^{2} +px+q RIGHT ) ^{2} =x ^{4} -2px ^{3} + LEFT ( p ^{2} -2q RIGHT ) x ^{2} +2pqx+q ^{2} ``]

[eqn: =x ^{4} + LEFT ( 5-a ^{2} RIGHT ) x ^{2} -5a ^{2} +9`]

에서

[eqn: -2p=0`]

[eqn: p ^{2} -2q=5-a ^{2} ``]

[eqn: 2pq=0`]

[eqn: q ^{2} =`-5a ^{2} +9``]

이므로 [eqn: p=0`]이고 [eqn: a ^{2} =2q+5`]이다.

[eqn: q ^{2} +10q+16=0`]

[eqn: LEFT ( q+8 RIGHT ) LEFT ( q+2 RIGHT ) =0`]

[eqn: q=`-8`] 또는 [eqn: q=`-2`]

[eqn: q=`-8`]이면 [eqn: a ^{2} =`-11<0`]이므로 모순이다.

그러므로 [eqn: q=`-2`]이다. [eqn: a ^{2} =2q+5`]에 [eqn: q=`-2`]를 대입하면 [eqn: a`]가 양수이므로 [eqn: a=1`]이다.

그러므로 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +x=`-x ^{2} -2] 즉, [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{2} -x-2`]이다. 따라서 [eqn: LEFT { P LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT { P LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =16`]이다.

30. [출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식 추론하기

다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]가 일차식 [eqn: x-a`]를 인수로 가지므로

조립제법을 이용하면

[eqn: a]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -290]	[eqn: 0]	[eqn: b]
		[eqn: a]	[eqn: a ^{2}]	[eqn: a ^{3} -290a]	[eqn: a ^{4} -290a ^{2}]
	[eqn: 1]	[eqn: a]	[eqn: a ^{2} -290]	[eqn: a ^{3} -290a]	[eqn: b+a ^{4} -290a ^{2}]

에서 몫은 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( a ^{2} -290 RIGHT ) x+a ^{3} -290a`]이고 나머지 [eqn: b+a ^{4} -290a ^{2} =0`]이다. 따라서 [eqn: b=a ^{2} LEFT ( 290-a ^{2} RIGHT )]이고 [eqn: b`]가 자연수이므로 [eqn: 290-a ^{2} >0`]에서 이를 만족하는 [eqn: a`]의 값은

[eqn: 1,````2,````3,` CDOTS ,```17`]

이다. 몫 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( a ^{2} -290 RIGHT ) x+a ^{3} -290a`]가 [eqn: x+a`]를
인수로 가지므로 조립제법을 이용하면

[eqn: -a]	[eqn: 1]	[eqn: a]	[eqn: a ^{2} -290]	[eqn: a ^{3} -290a]
		[eqn: -a]	[eqn: 0]	[eqn: -a ^{3} +290a]
	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: a ^{2} -290]	[eqn: 0]

이고 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: x ^{4} -290x ^{2} +b= LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +a ^{2} -290 RIGHT )]

으로 인수분해된다.

조건에 의해 [eqn: x ^{2} +a ^{2} -290`]이 계수와 상수항이
모두 정수인 서로 다른 두 개의 일차식의 곱으로
인수분해되는 경우는 제외한다.

[eqn: x ^{2} +a ^{2} -290=x ^{2} - LEFT ( 290-a ^{2} RIGHT ) `]

이 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 두 개의 일차식의 곱으로 인수분해되는 경우는 [eqn: 290-a ^{2} `]이
제곱수인 경우이다.

[eqn: 290=1 ^{2} +17 ^{2} `=11 ^{2} +13 ^{2} `]

이므로 [eqn: 290-a ^{2}`]이 제곱수가 되는 자연수 [eqn: a`]는 [eqn: a=1], [eqn: a=11], [eqn: a=13], [eqn: a=17`]인 경우이다.

그러므로 조건을 만족하는 자연수 [eqn: a`]의 값의 개수는 [eqn: 17-4=13]이므로 모든 다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]의 개수는 [eqn: 13`]이다. [eqn: b=a ^{2} LEFT ( 290-a ^{2} RIGHT ) =- LEFT ( a ^{2} -145 RIGHT ) ^{2} +145 ^{2} `]이고 [eqn: a`]가 자연수이므로 [eqn: b`]의 최댓값은 [eqn: a=12`]일 때

[eqn: 12 ^{2} TIMES LEFT ( 290-12 ^{2} RIGHT )]

이다. 그러므로 [eqn: p=13`]이고 [eqn: q=12 ^{2} TIMES LEFT ( 290-12 ^{2} RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: {q} over {LEFT ( p-1 RIGHT ) ^{2}} = {12 ^{2} TIMES LEFT ( 290-12 ^{2} RIGHT )} over {LEFT ( 13-1 RIGHT ) ^{2}} =146`]이다.

[다른 풀이]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]가 일차식 [eqn: x-a`]를 인수로 가지므로

[eqn: P LEFT ( a RIGHT ) =a ^{4} -290a ^{2} +b=0`]을 만족한다.

[eqn: b=`-a ^{4} +290a ^{2}], [eqn: b=a ^{2} LEFT ( 290-a ^{2} RIGHT )]

에서 [eqn: b]가 자연수이므로 이를 만족하는 [eqn: a]의 값은

[eqn: 1,````2,````3,` CDOTS ,```17`]

이고

[eqn: P(x)=x ^{4} -290x ^{2} +b`]

[eqn: =x ^{4} -290x ^{2} +a ^{2} LEFT ( 290-a ^{2} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -a ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -290+a ^{2} RIGHT )]

이다.

[eqn: a=1]이면 [eqn: b=1 ^{2} TIMES LEFT ( 290-1 ^{2} RIGHT ) =289]

[eqn: P(x)= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -289 RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+17 RIGHT ) LEFT ( x-17 RIGHT )] 으로 인수분해된다.

[eqn: a=2]이면 [eqn: b=2 ^{2} TIMES LEFT ( 290-2 ^{2} RIGHT ) =1144]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -2 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -286 RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -286 RIGHT )]

으로 인수분해된다.

[eqn: a=3`]이면 [eqn: b=3 ^{2} TIMES LEFT ( 290-3 ^{2} RIGHT ) =2529]

[eqn: P(x)= LEFT ( x ^{2} -3 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -281 RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -281 RIGHT )]

으로 인수분해된다.

[eqn: a=4`]이면 [eqn: b=4 ^{2} TIMES LEFT ( 290-4 ^{2} RIGHT ) =4384]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -4 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -274 RIGHT ) = LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -274 RIGHT )]

로 인수분해된다.

[eqn: a=5`]이면 [eqn: b=5 ^{2} TIMES LEFT ( 290-5 ^{2} RIGHT ) =6625]

[eqn: P(x)= LEFT ( x ^{2} -5 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -265 RIGHT ) = LEFT ( x+5 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -265 RIGHT )]

로 인수분해된다.

[eqn: a=6`]이면 [eqn: b=6 ^{2} TIMES LEFT ( 290-6 ^{2} RIGHT ) =9144]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -6 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -254 RIGHT ) = LEFT ( x+6 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -254 RIGHT )]

로 인수분해된다.

[eqn: a=7`]이면 [eqn: b=7 ^{2} TIMES (290-7 ^{2} )=11809]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -7 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -241 RIGHT ) = LEFT ( x+7 RIGHT ) LEFT ( x-7 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -241 RIGHT )]

으로 인수분해된다.

[eqn: a=8`]이면 [eqn: b=8 ^{2} TIMES LEFT ( 290-8 ^{2} RIGHT ) =14464]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -8 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -226 RIGHT ) = LEFT ( x+8 RIGHT ) LEFT ( x-8 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -226 RIGHT )]

으로 인수분해된다.

[eqn: a=9`]이면 [eqn: b=9 ^{2} TIMES LEFT ( 290-9 ^{2} RIGHT ) =16929]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -9 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -209 RIGHT ) = LEFT ( x+9 RIGHT ) LEFT ( x-9 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -209 RIGHT )]

로 인수분해된다.

[eqn: a=10`]이면 [eqn: b=10 ^{2} TIMES LEFT ( 290-10 ^{2} RIGHT ) =19000]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -10 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -190 RIGHT ) = LEFT ( x+10 RIGHT ) LEFT ( x-10 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -190 RIGHT )]

으로 인수분해된다.

[eqn: a=11`]이면 [eqn: b=11 ^{2} TIMES LEFT ( 290-11 ^{2} RIGHT ) =20449]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -11 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -169 RIGHT ) = LEFT ( x+11 RIGHT ) LEFT ( x-11 RIGHT ) LEFT ( x+13 RIGHT ) LEFT ( x-13 RIGHT )] 으로 인수분해된다.

[eqn: a=12`]이면 [eqn: b=12 ^{2} TIMES LEFT ( 290-12 ^{2} RIGHT ) =21024]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -12 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -146 RIGHT ) = LEFT ( x+12 RIGHT ) LEFT ( x-12 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -146 RIGHT )]

으로 인수분해된다.

[eqn: a=13`]이면 [eqn: b=13 ^{2} TIMES LEFT ( 290-13 ^{2} RIGHT ) =20449]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -13 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -121 RIGHT ) = LEFT ( x+13 RIGHT ) LEFT ( x-13 RIGHT ) LEFT ( x+11 RIGHT ) LEFT ( x-11 RIGHT )] 으로 인수분해된다.

[eqn: a=14`]이면 [eqn: b=14 ^{2} TIMES LEFT ( 290-14 ^{2} RIGHT ) =18424]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -14 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -94 RIGHT ) = LEFT ( x+14 RIGHT ) LEFT ( x-14 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -94 RIGHT )]

로 인수분해된다.

[eqn: a=15`]이면 [eqn: b=15 ^{2} TIMES LEFT ( 290-15 ^{2} RIGHT ) =14625]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -15 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -65 RIGHT ) = LEFT ( x+15 RIGHT ) LEFT ( x-15 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -65 RIGHT )]

로 인수분해된다.

[eqn: a=16`]이면 [eqn: b=16 ^{2} TIMES LEFT ( 290-16 ^{2} RIGHT ) =8704]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -16 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -34 RIGHT ) = LEFT ( x+16 RIGHT ) LEFT ( x-16 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -34 RIGHT )]

로 인수분해된다.

[eqn: a=17`]이면 [eqn: b=17 ^{2} TIMES LEFT ( 290-17 ^{2} RIGHT ) =289]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -17 ^{2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) = LEFT ( x+17 RIGHT ) LEFT ( x-17 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]
으로 인수분해된다.

계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 세 개의
다항식으로 인수분해되는 경우는 [eqn: a`]가 [eqn: 1,```11,```13`,```17]일 때를 제외한 [eqn: 13]가지이므로 모든 다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]의 개수 [eqn: p=13`]이고 [eqn: a=12`]일 때, [eqn: b`]의 최댓값 [eqn: q=12 ^{2} TIMES LEFT ( 290-12 ^{2} RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: {q} over {LEFT ( p-1 RIGHT ) ^{2}} = {12 ^{2} TIMES LEFT ( 290-12 ^{2} RIGHT )} over {LEFT ( 13-1 RIGHT ) ^{2}} =146]이다.