• 2교시 수학 영역 •

[나 형]

1	④	2	③	3	②	4	②	5	④
6	⑤	7	③	8	⑤	9	①	10	②
11	①	12	①	13	④	14	③	15	⑤
16	③	17	①	18	③	19	②	20	②
21	④	22	8	23	5	24	220	25	16
26	3	27	4	28	29	29	59	30	127

1. [출제의도] 함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {LEFT ( x ^{2} -4x+9 RIGHT )} =9]

2. [출제의도] 여집합의 뜻 이해하기

[eqn: A ^{C} = LEFT { `1,``3,``5 RIGHT }]이므로 집합 [eqn: A ^{C} `]의 원소의 개수는 [eqn: 3]

3. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`3} `1+log _{`3} `9=0+2=2]

4. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{an+2} over {2n-1} = lim _{n` -> ` INF } {{a+ {2} over {n}} over {2- {1} over {n}}}} = {a} over {2} =1]

따라서 [eqn: a=2]

5. [출제의도] 도함수 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +4x+1]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =8]

6. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 5 RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 5 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) =2 ^{2} +1=5]

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =it-1]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]

8. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +C`](단, [eqn: C`]는 적분상수)
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C`=7]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +7]
따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5]

9. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

직선 [eqn: x=2]가 한 점근선이므로 [eqn: a=2]
[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x+b} over {x-2}]
유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `3,``7 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: 7= {3+b} over {3-2}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: b=4]
따라서 [eqn: a+b=6]

10. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

무리함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 무리함수 [eqn: y= sqrt {x}]의
그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로
[eqn: -1]만큼 평행이동한 것이므로
[eqn: a=2], [eqn: b=it-1]
[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x+2} -1]
따라서 [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =2]

11. [출제의도] 지수의 성질 이해하기

[eqn: root {3n} of {8 ^{4}} =8 ^{{4} over {3n}} =2 ^{{12} over {3n}} =2 ^{{4} over {n}}]이 자연수이므로
[eqn: n=1] 또는 [eqn: n=2] 또는 [eqn: n=4]
따라서 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 7]

12. [출제의도] 수학적 귀납법으로 추론하기

[eqn: a _{2} = {5} over {1} TIMES a _{1} =5]

[eqn: a _{3} = {6} over {3} TIMES a _{2} =10]

[eqn: a _{4} = {7} over {5} TIMES a _{3} =14]

[eqn: a _{5} = {8} over {7} TIMES a _{4} =16]

따라서 [eqn: a _{5} =16]

13. [출제의도] 등비급수의 성질 이해하기

등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {x-3} over {2} RIGHT ) ^{n}]은 [eqn: -1< {x-3} over {2} <1]일 때
수렴하므로 [eqn: 1<x<5]

[eqn: 1<x<5]를 만족시키는 정수 [eqn: x]는
[eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=4]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 9]

14. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} =f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =1]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x-a]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =4-a=1]

따라서 [eqn: a=3]

15. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]([eqn: t>0])에서의 위치 [eqn: x]가

[eqn: x=t ^{3} -9t ^{2} +8t=t LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t-8 RIGHT )]이므로

[eqn: t=1]에서 처음으로 원점을 지난다.

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v]라 하면

[eqn: v= {dx} over {dt} =3t ^{2} -18t+8]이므로
[eqn: t=1]에서의 속도는 [eqn: -7]

16. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 연속이려면

[eqn: lim _{x`->`1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x`->`1+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )]

이어야 하므로

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =}a-8]

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} g LEFT ( x RIGHT ) =4 LEFT ( a-8 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) =4 LEFT ( a-8 RIGHT )]에서

[eqn: a-8=4 LEFT ( a-8 RIGHT )]

따라서 [eqn: a=8]

17. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x LEFT ( x-2 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]
닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `1,``4 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를
표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 6]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 4]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 24]

따라서 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `1,``4 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: 4], [eqn: x=4]에서 최댓값 [eqn: 24]를

갖는다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: M=24], [eqn: m=4]

따라서 [eqn: M`+m=28]

18. [출제의도] 수열의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: a], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: b]는 이 순서대로 등차수열을
이루므로 [eqn: a], [eqn: y], [eqn: b]도 이 순서대로 등차수열을
이룬다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=2y] (참)

ㄴ. [반례] [eqn: a=1], [eqn: p= sqrt {2}], [eqn: q=2], [eqn: r=2 sqrt {2}], [eqn: b=4]
일 때, [eqn: aprb=16], [eqn: q ^{3} =8]이므로 [eqn: aprb!=q ^{3}]
(거짓)

ㄷ. [eqn: x+z=2y=a+b], [eqn: pr=q ^{2} =ab]이므로

[eqn: LEFT ( x+z RIGHT ) ^{2} -4pr][eqn: = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -4ab]
[eqn: = LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} GEQ 0] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

19. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R _{1}]에서

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm F]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: rm E]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rmG]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm 60 DEG]

원 [eqn: O _{1}]의 중심 [eqn: rmO _{1}]과 세 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG]가 있다.

두 삼각형 [eqn: rm O _{1} EF], [eqn: rm O _{1} FG]는 정삼각형이다.

[eqn: S _{1}]은 점 [eqn: rm F]를 중심으로 하는 부채꼴 [eqn: rm FGE]의
넓이에서 삼각형 [eqn: rm FGE]의 넓이를 뺀 값의
두 배이므로

[eqn: S _{1}][eqn: =2 LEFT { LEFT ( 2 ^{2} TIMES pi TIMES {120 DEG} over {360 DEG} RIGHT ) - LEFT ( {1} over {2} TIMES 1 TIMES 2 sqrt {3} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {8} over {3} pi -2 sqrt {3}]

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부에 선분 [eqn: rmD _{itn+1} rmO _{itn}]을 그린
그림이다.

[eqn: rm D _{itn}]

[eqn: O _{itn}]

[eqn: O _{itn+1}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm C _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{itn+1}]

[eqn: rm O _{itn}]

[eqn: rm A _{itn+1}]

[eqn: rm B _{itn+1}]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: {bar{rm A _{it n } rm D _{it n } it}} = it a]([eqn: a != 0])이라 하면 [eqn: {bar{rm D _{it n+1 rm} rm O _{it n rm} it}} = {a} over {2}]이고,
삼각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} rm O _{it n rm} rm D _{it n rm +1}]이 직각삼각형이므로

[eqn: {bar{rm A _{it n+1} rm D _{it n+1}}} = {a} over {sqrt {5}}]

정사각형 [eqn: rm A _{it n} rm B _{it n} rm C _{it n} rm D _{it n}]과

정사각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} rm B _{it n+1 rm} rm C _{it n+1 rm} rm D _{it n+1 rm}]은 서로 닮음이고

[eqn: {bar{rm A _{it n rm} rm D _{it n rm} it}} : {bar{rm A _{it n+1 rm} rm D _{it n+1 rm} it}} =a: {a} over {sqrt {5}} =1: {1} over {sqrt {5}}]

따라서 그림 [eqn: R _{n}]과 [eqn: R _{n+1}]에서 새로 얻어진
모양의 도형도 서로 닮음이고
닮음비가 [eqn: 1: {1} over {sqrt {5}}]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1: {1} over {5}]이다.

[eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: {8} over {3} pi -2 sqrt {3}]이고 공비가 [eqn: {1} over {5}]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: lim _{n`->`inf} {S _{n}}][eqn: = {{8} over {3} pi -2 sqrt {3}} over {1- {1} over {5}}]
[eqn: = {5} over {4} LEFT ( {8} over {3} pi -2 sqrt {3} RIGHT )]
[eqn: = {5} over {2} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

20. [출제의도] 집합의 성질을 활용하여 추론하기

[eqn: S` LEFT ( X` RIGHT )]의 값이 최대, [eqn: S` LEFT ( Y` RIGHT )]의 값이 최소일 때,
[eqn: S` LEFT ( X` RIGHT ) -S` LEFT ( Y` RIGHT )]는 최댓값을 갖는다.

집합 [eqn: X`]의 임의의 서로 다른 두 원소가 서로 나누어
떨어지지 않으려면 [eqn: k IN X`]일 때, [eqn: k]를 제외한 [eqn: k]의
약수와 배수가 집합 [eqn: X`]의 원소가 아니어야 한다.
[eqn: 11], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: cdots], [eqn: 21]은 서로 나누어떨어지지
않으므로 [eqn: S` LEFT ( X` RIGHT )]가 최댓값을 가지려면
집합 [eqn: X`]는 [eqn: 11], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: cdots], [eqn: 21]을 원소로 가져야
한다.
이때 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 7]은 [eqn: 21]의 약수이고,
[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 10]은 [eqn: 20]의 약수,
[eqn: 6], [eqn: 9]는 [eqn: 18]의 약수,
[eqn: 8]은 [eqn: 16]의 약수이므로
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: 10]은 집합 [eqn: X`]의 원소가 될 수 없다.

또한 [eqn: n LEFT ( X` CUP Y` RIGHT ) =17], [eqn: n LEFT ( X` SMALLINTER Y` RIGHT ) =1]이므로 [eqn: S` LEFT ( Y` RIGHT )]가
최솟값을 가지려면 집합 [eqn: Y``]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 11]
을 원소로 가져야 한다.
따라서 [eqn: X`= LEFT { `11,``12,``13,` CDOTS ,``20,``21 RIGHT }],
[eqn: Y`= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6,``11 RIGHT }]일 때
[eqn: S` LEFT ( X` RIGHT ) -S` LEFT ( Y` RIGHT )]는 최댓값 [eqn: 144]를 갖는다.

21. [출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]라 하면

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +3ax ^{2} +2bx+c]이다.

(가)에서 방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]의 실근이 [eqn: 1], [eqn: 4]뿐이므로
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1)(x-4) ^{2}]이거나
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1) ^{2} (x-4)]이다.

(ⅰ) [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1)(x-4) ^{2}]일 때

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형과 실수 [eqn: t]에 대한
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 값은 그림과 같다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2]

[eqn: t<f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: t=f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <t<f LEFT ( 4 RIGHT )]

[eqn: t=f LEFT ( 4 RIGHT )]

[eqn: t>f LEFT ( 4 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =1]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =0]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =0]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: t=f LEFT ( 4 RIGHT )]에서 불연속이므로
(나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = it -25], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

이때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 두 실근이 모두 [eqn: 4]보다
작으므로 (다)를 만족시키지 못한다.

(ⅱ) [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4(x-1) ^{2} (x-4)]일 때

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형과 실수 [eqn: t]에 대한
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 값은 그림과 같다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2]

[eqn: t<f LEFT ( 4 RIGHT )]

[eqn: t=f LEFT ( 4 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) <t<f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: t=f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: t>f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =1]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =0]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =0]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: t=f LEFT ( 1 RIGHT )]에서 불연속이므로
(나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = 2], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =it-25]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

이때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 [eqn: 4]보다 큰 실근을 갖는다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-4 RIGHT )]
[eqn: =4x ^{3} -24x ^{2} +36x-16]

[eqn: therefore] [eqn: a=it-8], [eqn: b=18], [eqn: c=it-16]

또한 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로 [eqn: d=7]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -8x ^{3} +18x ^{2} -16x+7]이므로
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =50]

22. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 2 ^{{1} over {2}} TIMES 4 ^{{5} over {4}} =2 ^{{1} over {2}} TIMES 2 ^{{5} over {2}} =2 ^{3} =8]

23. [출제의도] 역함수의 성질 이해하기

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 8 RIGHT ) =a]라 하면

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =8]

[eqn: 3a-7=8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=5]

따라서 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 8 RIGHT ) =5]

24. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} - sum _{k=1`} ^{10} LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT { LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} RIGHT }]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} 4k]
[eqn: =4 TIMES {10 TIMES 11} over {2} =220]

25. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `2-} {LEFT ( x+k RIGHT )} =2+k]

[eqn: lim _{x` -> `2+} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `2+} {LEFT ( x ^{2} +4x+6 RIGHT )} =18]

[eqn: 2+k=18]

따라서 [eqn: k=16]

26. [출제의도] 진리집합의 포함관계 추론하기

조건 [eqn: p]의 진리집합을 [eqn: P`]라 하면

[eqn: P`= LEFT { x`□-2n<x<2n RIGHT }]

조건 [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: Q`]라 하면

[eqn: Q`= LEFT { `1,``5 RIGHT }]

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되려면
[eqn: Q SUBSET P`]이어야 하므로 [eqn: n> {5} over {2}]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 3]

27. [출제의도] 급수의 성질 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n ^{2}} -2 RIGHT )]가 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {a _{n}} over {n ^{2}} -2 RIGHT )} =0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}} =2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{2n ^{2} +5a _{n}} over {n ^{2} +a _{n}}} = lim _{n` -> ` INF } {{2+ {5a _{n}} over {n ^{2}}} over {1+ {a _{n}} over {n ^{2}}} =} {2+5times2} over {1+2} =4]

28. [출제의도] 등차수열의 성질을 활용하여 문제해결하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2 sqrt {a _{n}} x+a _{n+1} -3=0]의 판별식을
[eqn: D`]라 하면 [eqn: D`=4a _{n} -4 LEFT ( a _{n+1} -3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n+1} -a _{n} =3]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: 3]인
등차수열이므로 [eqn: a _{10} =2+9 TIMES 3=29]

29. [출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가하므로
[eqn: a]는 양수이다. [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -2bx- LEFT ( a-4 RIGHT )]이므로
방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D`=4b ^{2} + {BOX{`````4a ^{2} -16a`````}} LEQ 0] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 [eqn: 2]개의 실근을
가지므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} ax ^{3} +ax ^{2} -3ax-3a ^{2} =0]이고

[eqn: a>0]에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x-9a=0]

따라서 방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x= {BOX{`````9a`````}}]의 서로 다른
실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -9x]라 하자.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h` prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 27]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -5]	[eqn: NEARROW]

방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x=9a]가 서로 다른 [eqn: 2]개의
실근을 가지려면 [eqn: 9a=27] 또는 [eqn: 9a=it-5]이어야 하고
[eqn: a>0]이므로 [eqn: a= {BOX{`````3`````}}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b ^{2} LEQ 3]이므로 [eqn: - sqrt {3} LEQ b LEQ sqrt {3}]

[eqn: therefore] [eqn: F` LEFT ( a RIGHT ) =4a ^{2} -16a], [eqn: G` LEFT ( a RIGHT ) =9a], [eqn: k=3]

따라서 [eqn: F` LEFT ( 5 RIGHT ) +G` LEFT ( 4 RIGHT ) +k=59]

30. [출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

집합 [eqn: A _{m}]에서

[eqn: log _{`2} `a+log _{`4} `b=log _{`4} `a ^{2} b]가 [eqn: 100] 이하의 자연수이므로

[eqn: log _{`4} `a ^{2} b=alpha]([eqn: 1 LEQ alpha LEQ 100], [eqn: alpha]는 자연수)라 하면

[eqn: a ^{2} b=4 ^{alpha}]이다.

따라서 [eqn: a ^{2} b=4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: 4 ^{3}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{100}]이어야 한다.

[eqn: a=1]일 때

[eqn: b=4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: 4 ^{3}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{100}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)를

만족시킨다.

[eqn: ab=4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{100}]

따라서 [eqn: m=1]일 때 [eqn: a=1]이므로

[eqn: ab=4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: 4^3], [eqn: cdots], [eqn: 4^100]

[eqn: therefore] [eqn: A _{1} = LEFT { `4 ^{1} ,``4 ^{2} ,``4 ^{3} ,` CDOTS ,``4 ^{100} RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{1} RIGHT ) =100]

[eqn: a=2]일 때

[eqn: b=4 ^{0}], [eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{99}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)를

만족시킨다.

[eqn: ab=2times4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}]

따라서 [eqn: m=2]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2]이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100],
[eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}]

[eqn: therefore] [eqn: A _{2} = LEFT { `4 ^{1} ,``4 ^{2} ,` CDOTS ,``4 ^{100} ,``2 TIMES 4 ^{0} ,` CDOTS ,``2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{2} RIGHT ) =200]

[eqn: a=3]일 때

[eqn: b= {4 ^{1}} over {9}], [eqn: {4 ^{2}} over {9}], [eqn: {4 ^{3}} over {9}], [eqn: cdots], [eqn: {4 ^{100}} over {9}]이므로

[eqn: b = 2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)를 만족시키지 못한다.

따라서 [eqn: a=3]일 때 조건을 만족하는 [eqn: ab]는 존재하지
않는다.

따라서 [eqn: m=3]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: a=3]이므로
집합 [eqn: A_3]의 원소의 개수는 집합 [eqn: A _{2}]의 원소의 개수와
같다.

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{3} RIGHT ) =200]

[eqn: a=4]일 때

[eqn: b=4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{0}], [eqn: 4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{98}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)를

만족시킨다.

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{0}], [eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4 ^{2}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{99}]

따라서 [eqn: m=4]일 때
[eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: a=3], [eqn: a=4]이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100],
[eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}],
[eqn: 4 ^{0}]

[eqn: therefore] [eqn: A _{4} = LEFT { `4 ^{0} ,``4 ^{1} ,` CDOTS ,``4 ^{100} ,``2 TIMES 4 ^{0} ,` CDOTS ,``2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{4} RIGHT ) =201]

[eqn: a=5], [eqn: a=6], [eqn: a=7]일 때

[eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)를 만족시키지 못한다.

이와 같이 [eqn: a!=2 ^{beta }]([eqn: beta]는 자연수)일 때

[eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)를 만족시키지 못한다.

따라서 [eqn: a=5], [eqn: a=6], [eqn: a=7]일 때 조건을 만족하는
[eqn: ab]는 존재하지 않으므로 [eqn: m=5], [eqn: m=6], [eqn: m=7]일
때의 집합 [eqn: A _{m}]의 원소의 개수는 집합 [eqn: A _{4}]의 원소의
개수와 같다.

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{m} RIGHT ) =201]([eqn: m=5], [eqn: 6], [eqn: 7])

[eqn: a=8]일 때

[eqn: b=4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{0}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{97}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)를

만족시킨다.

[eqn: ab=2times4 ^{-1}], [eqn: 2times4 ^{0}], [eqn: cdots], [eqn: 2times4 ^{98}]

따라서 [eqn: m=8]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: cdots], [eqn: a=8]이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100],
[eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}],
[eqn: 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{-1}]

[eqn: therefore] [eqn: A _{8} = LEFT { `4 ^{0} ,` CDOTS ,``4 ^{100} ,``2 TIMES 4 ^{-1} ,``2 TIMES 4 ^{0} ,` CDOTS ,``2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{8} RIGHT ) =202]

[eqn: cdots]

[eqn: a=64]일 때

[eqn: b=4 ^{-5}], [eqn: 4 ^{-4}], [eqn: 4 ^{-3}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{94}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)
를 만족시킨다.

[eqn: ab=4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{97}]

따라서 [eqn: m=64]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: cdots], [eqn: a=64]이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100],
[eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}],
[eqn: 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: 2times4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-2}]

[eqn: therefore][eqn: A _{64} = LEFT { 4 ^{-2} ,4 ^{-1} , CDOTS ,4 ^{100} ,2 TIMES 4 ^{-2} ,2 TIMES 4 ^{-1} , CDOTS ,2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{64} RIGHT ) =205]

[eqn: cdots]

[eqn: a=128]일 때

[eqn: b=4 ^{-6}], [eqn: 4 ^{-5}], [eqn: 4 ^{-4}], [eqn: cdots], [eqn: 4 ^{93}]이므로 [eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)
를 만족시킨다.

[eqn: ab=2 TIMES 4 ^{-3}], [eqn: 2 TIMES 4 ^{-2}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{96}]

따라서 [eqn: m=128]일 때 [eqn: a=1], [eqn: a=2], [eqn: cdots], [eqn: a=128]
이므로

[eqn: ab=][eqn: 4 ^{1}], [eqn: 4^2], [eqn: cdots], [eqn: 4^100],
[eqn: 2 TIMES 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{1}], [eqn: cdots], [eqn: 2 TIMES 4 ^{99}],
[eqn: 4 ^{0}], [eqn: 2times4 ^{-1}], [eqn: 4 ^{-1}], [eqn: 2times4 ^{-2}], [eqn: 4 ^{-2}], [eqn: 2 TIMES 4 ^{-3}]

[eqn: therefore] [eqn: A _{128} = LEFT { `4 ^{-2} , CDOTS ,`4 ^{100} ,`2 TIMES 4 ^{-3} ,`2 TIMES 4 ^{-2} ,CDOTS ,`2 TIMES 4 ^{99} RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: n LEFT ( A _{128} RIGHT ) =206]

[eqn: cdots]

이와 같이 임의의 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]([eqn: p<q])에 대하여
[eqn: n LEFT ( A _{p} RIGHT ) LEQ n LEFT ( A _{q} RIGHT )]가 성립한다.

따라서 [eqn: n LEFT ( A _{m} RIGHT ) =205]가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의
최댓값은 [eqn: 127]