수학 영역(A형)

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수학 영역(A형)

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2013학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: 6`log_{`3} sqrt3]의 값은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 9over2]	⑤ [eqn: 5]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`3`& `1` # `1` & `1`}`], [eqn: B= pmatrix{`1`&`1`#`1`&`1`}`]에 대하여 행렬 [eqn: AB``-A`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

12

3. [eqn: lim _{n-> inf}{5n^{`2}+3n}over{(2n+1)(2n-1)} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

4. 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{3} +a _{4} =36`]일 때, [eqn: a _{6} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 48]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 128]

5. 지수방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} = root3 of 4 `]의 해는? [3점]

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 4over3]

6. 무한급수 [eqn: sum_{n=1} ^inf `{1+(-1)^{`n} }over{3^{`n}} `]의 합은? [3점]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 3over8]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 5over8]

7. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 0`]의 개수를 [eqn: m], [eqn: 1]의 개수를 [eqn: n`]이라 할 때, [eqn: m-n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

8. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =3`], [eqn: a _{3} =7`]

(나) 수열 [eqn: LEFT { a _{n+1} -a _{n} RIGHT } `]은 등차수열이다.

[eqn: a _{8}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 49]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 53]	④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 57]

9. 가정의 전력량 요금은 [eqn: 200` rm `kWh] 이하까지는 다음과 같은 방법으로 계산한다.

사용한 전력량 중에서 [eqn: 100` rm `kWh]까지는 [eqn: 1` rm `kWh]에 [eqn: 59]원이고, [eqn: 100` rm`kWh]를 초과한 나머지 전력량에 대해서는 [eqn: 1` rm `kWh]에 [eqn: 122]원이다.

한 달간 사용한 전력량이 [eqn: a` rm `kWh`]([eqn: 100`<`a`le`200`], [eqn: a`]는 자연수)인 어느 가정의 전력량 요금(원)은 행렬 [eqn: {pmatrix{`100`&``a`#`0`&``x`}} ` {pmatrix{`59`#`122`}} `]의 모든 성분의 합과 같다. [eqn: x`]의 값은? [3점]

① [eqn: -100]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 100]

[10 ~ 11] 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=n`]이 두 곡선 [eqn: y=2 `^{x} `], [eqn: y=2 ^{`x-1`}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm`A_{`it n}`], [eqn: rm`B_{`it n}`]이라 하자. 또, 점 [eqn: rm`B_{`it n}`]을 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm`C_{`it n}`]이라 하자. [eqn: 10`]번과 [eqn: 11`]번의 두 물음에 답하시오.

10. [eqn: n=3`]일 때, 직선 [eqn: rm`A_{`it n} rmC_{it n}`]의 기울기는? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: {7} over {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

11. 선분 [eqn: rm`A_{`it n} rmC_{it n}`]의 길이를 [eqn: f(n)`], 선분 [eqn: rm`B_{`it n} rmC_{it n}`]의 길이를 [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: lim_{n-> inf} `n` left{ f(n) -g(n) right}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

12. 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여
[eqn: 75 ^{x} = {1} over {5} `], [eqn: 3 ^{y} =25`]
일 때, [eqn: {1} over {x} + {2} over {y}`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

13. 수열 [eqn: "{" a_{`n} "}" `]에 대하여 무한급수 [eqn: sum_{n=1}^{inf} {a_{`n} -n} over n `]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n-> inf} {5n+ a_{`n} }over{5n- a_{`n} }`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 3over2]

14. 그림과 같이 기울기가 [eqn: 1`]인 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x`]와 서로 다른 두 점 [eqn: rm{A} it(a`,``log _{2} `a)`], [eqn: rm B it (b`,``log _{`2} `b)`]에서 만난다. 직선 [eqn: l`]과 두 직선 [eqn: x=b], [eqn: y=log _{`2} `a`]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 2`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: 0<a<b`]이다.) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 7 over {3} `]	③ [eqn: 8 over 3]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =0`], [eqn: a _{2} =1`], [eqn: a _{3} =2`]이고,

[eqn: a _{n+3} -a _{n+2} =`a _{n+1} -a _{n} +1`] ([eqn: n GEQ 1`])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

[eqn: b _{n} =`a _{n+1} -a _{n}]이라 하면

[eqn: b _{`1}=``b_{`2} =`1`],  [eqn: b _{n+2} =`b _{n} +1] ([eqn: n GEQ 1`])

이므로 두 수열 [eqn: LEFT { b _{`2n-1} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{`2n} RIGHT } `]은 모두 첫째항이 [eqn: 1`]이고, 공차가 [eqn: 1`]인 등차수열이다. 즉,

[eqn: b _{2n-1} =``b _{2n} =`] ([eqn: n GEQ 1`])

(가)

이다.

그러므로 [eqn: n GEQ2`]일 때, [eqn: a _{n} `]은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: n=2m-1`]이라 하면

[eqn: a _{2m-1}][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{2(m-1)} b _{k}]

[eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{m-1} (b _{2k-1} +b _{2k} )]

[eqn: =`][eqn: m ^{2} -m]

(ⅱ) [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: n=2m`]이라 하면

[eqn: a _{2m}][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{2m-1} b _{k}]

[eqn: =`]

(나)

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(10)+g(10)``]의 값은? [4점]

① [eqn: 100]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]	④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 140]

16. 그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{1}]을 그리고, 반원 [eqn: O_1] 위에 [eqn: ANGLE rm C_1 A_1 B_1 = 30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C_1]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
선분 [eqn: rm A_1 C_1]의 중점을 [eqn: rm A_2]라 하고, 호 [eqn: rm A_1 B_2 `]와 호 [eqn: rm C_1 B_2 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_2 `]를 정한다. 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O_2]를 그리고, 반원 [eqn: O _{2}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{2} A _{2} B _{2} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{2} `]를 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자.
선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]의 중점을 [eqn: rm A_3]이라 하고, 호 [eqn: rm A_2 B_3 `]과 호 [eqn: rm C_2 B_3 `]의 길이가 같도록 점 [eqn: rm B_3 `]을 정한다. 선분 [eqn: rm A _{3} B _{3}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{3}]을 그리고, 반원 [eqn: O _{3}] 위에 [eqn: ANGLE rm C _{3} A _{3} B _{3} =30 °]가 되도록 점 [eqn: rm C _{3} `]을 정한다. 이때 삼각형 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3}]의 넓이를 [eqn: S _{3}`]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 [eqn: rm A _{ it`n} B _{`itn} C _{`itn} `]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 2 sqrt {3}}]	② [eqn: {32 sqrt {3}} over {15}]	③	[eqn: {34 sqrt {3}} over {15}]

④ [eqn: {12 sqrt {3}} over {5}]	⑤ [eqn: {38 sqrt {3}} over {15}]

17. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k+1} =n^{`2} +n`]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_{n`=1 `}^{10} {1} over {a _{`n} } `]의 값은? [4점]

① [eqn: 5over11]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: {6} over {11}]	④ [eqn: 13over22]	⑤ [eqn: 7over11]

18. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]를
[eqn: f(x)=x ^{2} -6x+3`], [eqn: g(x)=a ` ^{x} `]([eqn: a>0`], [eqn: a!=1`])
이라 하자. [eqn: 1 LEQ x LEQ 4`]에서 함수 [eqn: (g circ f)(x)`]의 최댓값은 [eqn: 27`], 최솟값은 [eqn: m`]이다. [eqn: m`]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {27} `]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3} `]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3} `]

19. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음과 같은 규칙으로 제[eqn: n`]행에 [eqn: n`]개의 정수를 적는다.

(가) 제[eqn: `1]행에는 [eqn: 100]을 적는다.

(나) 제[eqn: (n+1)]행의 왼쪽 끝에 적힌 수는 제[eqn: n`]행의 오른쪽 끝에 적힌 수보다 [eqn: 1]이 작다.

(다) 제[eqn: n`]행의 수들은 왼쪽부터 순서대로 공차가 [eqn: -1]인 등차수열을 이룬다. ([eqn: n GEQ 2])

제[eqn: n`]행에 적힌 모든 수의 합을 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{13} -a _{12}]의 값은?

[4점]

① [eqn: -136]	② [eqn: -134]	③ [eqn: -132]	④ [eqn: -130]	⑤ [eqn: -128]

제[eqn: 1]행	[eqn: 100]
제[eqn: 2]행	[eqn: 99]	[eqn: 98]
제[eqn: 3]행	[eqn: 97]	[eqn: 96]	[eqn: 95]
제[eqn: 4]행	[eqn: 94]	[eqn: 93]	[eqn: 92]	[eqn: 91]
제[eqn: 5]행	[eqn: 90]	[eqn: 89]	[eqn: 88]	[eqn: 87]	[eqn: 86]
[eqn: vdots]			[eqn: vdots]			[eqn: ddots]

20. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B`]가
[eqn: A` ^{`2} `+B` ^{`2} `=O`], [eqn: (A+B`) ^{`2} `=O`]
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`B```=`-B`A] ㄴ. [eqn: A ^{3} B^{3}```=B`^{`3}A` ^{3}] ㄷ. 행렬 [eqn: A+B+E`]는 역행렬을 갖는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^{`2}] 위의 점 [eqn: {rm P}_ n (n,~n^{`2})`]을 중심으로 하고 [eqn: y`]축에 접하는 원을 [eqn: C_{` it n}`]이라 하자. 원점을 지나고 원 [eqn: C_{` it n}`]에 접하는 직선 중에서 [eqn: y`]축이 아닌 직선의 기울기를 [eqn: a_{`n}]이라 할 때, [eqn: lim_{n -> inf} { `a_{`n}}over n `]의 값은? [4점]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 3over2]

단답형

22. 방정식 [eqn: log_{`2}`(2x-5) = 2 `log_{`2}`3 `]의 해를 구하시오. [3점]

23. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{```3&```-3`#`1-a&````````a}} `]의 역행렬 [eqn: A^{`-1}`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 13`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: sum _{k=1} ^{n+1} k^{`2}`` - sum _{k=1} ^{n} (k^{`2}+k) =78`]

25. 무한등비수열 [eqn: LEFT {` left({ 2x-3 over 5 } right) ^{`n} ` RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 합을 구하시오. [3점]

26. 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: C``]일 때 냄새의 세기 [eqn: I``]는 다음 식을 만족시킨다고 한다.
[eqn: I = k log ` C`` `+ a`] (단, [eqn: k`]와 [eqn: a`]는 상수이다.)
공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: 40`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 5`]이고, 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: 10`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 4`]이다. 공기 중의 암모니아 농도가 [eqn: p`]일 때 냄새의 세기는 [eqn: 2.5`]이다. [eqn: 100`p`]의 값을 구하시오. (단, 암모니아 농도의 단위는 [eqn: rmppm`]이다.) [4점]

27. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 지표를 [eqn: f(x)`]라 하자. 등식
[eqn: 2f(m)-f(2m)=1`]
을 만족시키는 [eqn: 1000] 이하의 자연수 [eqn: m`]의 개수를 구하시오. [4점]

28. 두 실수 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x=alpha`], [eqn: y=beta`]는 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`````````1&``-1`#`-4&`````````1`}} {pmatrix{`x`#`y`}}` =k` {pmatrix{`x`#`y`}} `]의 해이다. (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

(나) 점 [eqn: ( alpha,~ beta)`]는 직선 [eqn: 2x -y +1=0] 위의 점이다.

[eqn: 20(k+ alpha + beta )`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-5}-64`]에 대하여 함수 [eqn: y= left| `f(x)` right|`]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 개수를 구하시오. (단, 좌표축은 어느 사분면에도 속하지 않는다.) [4점]

30. 첫째항이 [eqn: 60`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]을
[eqn: T _{n} =` LEFT |` a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+`a _{n} ` RIGHT | `]
이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: T _{19} <T _{20} `]             (나) [eqn: T _{20}=T _{21} `]

[eqn: T _{n} >T _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.