• 2교시 수리 영역 •

1	⑤	2	⑤	3	①	4	②	5	④	6	①	7	④	8	①
9	②	10	③	11	⑤	12	①	13	③	14	④	15	③	16	③
17	⑤	18	③	19	②	20	④	21	④	22	[eqn: 7]	23	[eqn: 8]	24	[eqn: 19]
25	[eqn: 40]	26	[eqn: 105]	27	[eqn: 26]	28	[eqn: 147]	29	[eqn: 3]	30	[eqn: 17]

1. [출제의도] 다항식의 값 계산하기

[해설] [eqn: a+b=4], [eqn: ab=1`]이므로

[eqn: a^2 +b^2 =(a+b)^2 -2ab=4^2 -2times 1=14]

２. [출제의도] 절대값의 성질 이해하기

[해설] [eqn: |`a`|=a`]이므로 [eqn: a>0`]

[eqn: |`ab`|=-ab`]이므로  [eqn: ab<0`] [eqn: therefore~b<0]

[eqn: |`a-b`|+ sqrt {a ^{2}} + sqrt {(b-a) ^{2}} `]

[eqn: =(a-b)+a-(b-a)=3a-2b]

3. [출제의도] 복소수의 항등원, 역원, 켤레복소수 이해하기

[해설] [eqn: z _{2} =1+i`]이므로 [eqn: z _{1} =-(1+i)`]

[eqn: z _{3} ={1 over {1+i}}= {1-i} over 2`], [eqn: z _{4} = {1+i} over 2`]

[eqn: z _{1} over z _{4} = -(1+i) over {{1+i} over 2}` = -2]

4. [출제의도] 부분집합의 개수 구하기

[해설] [eqn: B`` SMALLUNIONX=B`]이므로 [eqn: X subset B`]

[eqn: n`(A SMALLINTER X)=2`]이므로

집합 [eqn: X`]는 [eqn: LEFT { a,~b` RIGHT }], [eqn: LEFT { a,~c` RIGHT }], [eqn: LEFT { b,~c` RIGHT }], [eqn: LEFT { a,~b,~d` RIGHT }], [eqn: LEFT { a,~c,~d` RIGHT }], [eqn: LEFT { b,~c,~d` RIGHT }]

[eqn: therefore] [eqn: 6]개

5. [출제의도] 연립이차부등식의 해 구하기

[해설] [eqn: x ^{2} -4x-12<0] ⇒ [eqn: (x+2)(x-6)<0] ⇒ [eqn: -2<x<6]     [eqn: CDOTS `①]

[eqn: x ^{2} -8x+16>0] ⇒ [eqn: (x-4)^2 >0] ⇒ [eqn: x !=4]인 모든 실수        [eqn: CDOTS `②]

[eqn: x ^{2} -2x+10<=0] ⇒ [eqn: (x-1)^2 +9 <=0] ⇒ 해는 없다.              [eqn: CDOTS `③]

①, ②, ③에 의하여 [eqn: (A SMALLINTER B`) CUP C`]의 원소 중 정수는 [eqn: -1,~0,~1,~``2,~3,~5]

[eqn: therefore] [eqn: 6]개

6. [출제의도] 이차방정식의 근 구하기

[해설] [eqn: {1} over {a} - {1} over {b} = {1} over {a+b}]을 통분하여 정리하면

[eqn: (a+b)`(b-a)=`]

[eqn: ab]

[eqn: a ^{2} `+ab`-b ^{2} `=0]

양변을 [eqn: b ^{2} `]으로 나누면 [eqn: LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{2} `+ {a} over {b} `-1`=0]에서 근의 공식을 이용하면

[eqn: {-1 +- root5} over 2]

[eqn: therefore][eqn: {a} over {b} =]                 이고 [eqn: b over a = {1+-root5} over2]

[eqn: therefore] [eqn: {b} over {a} + {a} over {b} =]

[eqn: +-root5]

7. [출제의도] 항등식과 나머지 정리 이해하기

[해설] [eqn: x ^{3} +x ^{2} -8x+7=(x-1) ^{3} +a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c`]는 [eqn: x`]에 대한

항등식이다. 주어진 식의 양변에 [eqn: x=0,~1,~2`]를 대입하면

[eqn: cases{7=-1+a-b+c _`# 1=c _`# 3=1+a+b+c]

[eqn: a=4,~b=-3,~c=1]

[eqn: f(x)=ax ^{2} -bx-c=4x^2 +3x -1`]

[eqn: x-2]로 나눈 나머지는 [eqn: f(2)=21]

8. [출제의도] 도형의 평행이동을 이해하고 직선의 방정식 구하기

[해설] [eqn: rm △A'B'C']는 [eqn: rm △ABC]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 9]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 2]만큼

평행이동한 도형이므로 [eqn: rm B'(10,~3),~C'(12,~6)]이다.

두 점 [eqn: rm B',~C']를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-3= {6-3} over {12-10} (x-10)]

[eqn: 3x-2y=24]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=1]

9. [출제의도] 부등식의 영역에서의 최대값, 최소값 구하기

[해설] 네 부등식 [eqn: x >= 0,~y >= 0,~2x+3y <= 18,~2x+y <= 10`]의 영역을

좌표평면에 나타내면

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 10]

[eqn: 6]

[eqn: 5]

[eqn: 9]

[eqn: rm O]

[eqn: x+y=k`]라 하면, [eqn: k`]의 최대값은  [eqn: y=-x+k`]의 그래프가

[eqn: 2x+3y = 18,~2x+y = 10`]의 교점 [eqn: ( 3,~4)`]를 지날 때이다.

[eqn: therefore] [eqn: x+y=7]

10. [출제의도] 원점에 대칭인 도형 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: y=-x`]를 원점에 대하여 대칭이동한  도형의 방정식은

[eqn: -y=-(-x)]이므로 [eqn: y=-x]

ㄴ. [eqn: LEFT | `x` + `y` RIGHT |` =1]를 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은

[eqn: LEFT | `-x` - y` RIGHT |` =1]이므로 [eqn: LEFT | `x` + `y` RIGHT |` =1]

ㄷ. [eqn: x^2 +y^2 =2(x+y)`]를 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은

[eqn: (-x)^2 +(-y)^2 =2(-x-y)`]이므로  [eqn: x ^{2} +y ^{2} =-2(x+y)`]

11. [출제의도] 중선의 정리 증명하기

[해설] 점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm M]

[eqn: rm H]

[eqn: rm C]

직각삼각형 [eqn: rm ABH]에서

[eqn: rm {bar{AB} } ^{2}][eqn: rm = {bar{BH}} ^{2} +{ bar{AH}} ^{2}]

[eqn: =(]  [eqn: rm ) ^{2} `+ {bar{AH}} ^{2}]

[eqn: rm barBM + barMH]

[eqn: rm ={ bar{BM} } ^{2} +2` bar{BM} `․` bar{MH} +(]  [eqn: )^2] [eqn: CDOTS CDOTS `㉠]

[eqn: rm bar AM]

직각삼각형 [eqn: rm AHC]에서

[eqn: rm{ bar{AC}} ^{2}][eqn: rm = {bar{CH}} ^{2} + {bar{AH} }^{2}]

[eqn: =(]  [eqn: rm ) ^{2} `+ {bar{AH}} ^{2}]

[eqn: rm barCM - barMH]

[eqn: rm ={ bar{CM} }^{2} -2` bar{CM} `․` bar{MH} `+(]  [eqn: )^2] [eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: rm bar AM]

[eqn: ㉠,~㉡]에서 [eqn: rm {bar{AB} } ^{2} `+{ bar{AC}} ^{2} `=`2`({ bar{BM}} ^{2} +{ bar{AM}} ^{2} `)]이다.

12. [출제의도] 절대값의 성질을 이해하고 도형의 넓이 구하기

[해설] [eqn: (`x ^{2} ` TRIANGLE `4`)+(`y ^{2} ` TRIANGLE `1) <= 6]에서

[eqn: (sqrt {x ^{2}} + sqrt {4}) + (sqrt {y ^{2}} + sqrt {1} )<= 6]

[eqn: |`x`|+ |`y`| <= 3]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: -3]

[eqn: -3]

[eqn: 3]

따라서 도형의 넓이는[eqn: ( 1 over 2 times 6 times 3 ) times 2 = 18]

13. [출제의도] 명제의 참, 거짓 구별하기

[해설] ㄱ. [eqn: a<b<0`]이면 [eqn: a ^{2} >b ^{2} `]이다.(참)

ㄴ. [eqn: a >= 0`] 또는 [eqn: b >= 0`]이면 [eqn: sqrt {a} sqrt {b}` = sqrt {ab} `]이다. (참)

ㄷ. [eqn: LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | >= LEFT | `a+b` RIGHT |]이면 [eqn: a >= 0`]이고 [eqn: b >= 0`]이다.(거짓)

(반례) [eqn: LEFT | `3` RIGHT | + LEFT | `-4` RIGHT | >= LEFT | `3-4` RIGHT |]이 성립하지만 [eqn: 3 >= 0`]이고 [eqn: -4<= 0]

14. [출제의도] 고차방정식의 해 구하는 과정 이해하기

[해설] [eqn: x ^{3} +y ^{3} =91`]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x+y)(x ^{2} -xy+y ^{2} )=91~ CDOTS CDOTS ~㉠]

이 때, [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2}][eqn: = x^2 -xy + 1over4 y^2 + 3over4 y^2]

[eqn: = LEFT ( x- {y} over {2} RIGHT ) ^{2} + {left (`````{~~~ over `}````` right )}y ^{2} >0]

[eqn: 3 over4]

[eqn: ㉠`]에서 [eqn: x+y`]는 [eqn: 91]의 양의 약수이다. [eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: x+y=k`]라 놓으면

[eqn: ㉠`]에서 [eqn: k(k ^{2} -3xy)=91]이므로  [eqn: xy= {1} over {3} LEFT ( k ^{2} - {91} over {k} RIGHT )]

따라서, [eqn: x,~y`]는 이차방정식

[eqn: t ^{2} -kt+ {1} over {3} LEFT ( k ^{2} - {91} over {k} RIGHT ) =0`]의 두 실근이다.

판별식 [eqn: D=k ^{2} - {4} over {3} LEFT ( k ^{2} - {91} over {k} RIGHT ) >= 0`]

[eqn: 3k^2 -4k^2 +4 times 91>=0]

[eqn: k ^{3} <= `(]  [eqn: ) TIMES 91] [eqn: CDOTS CDOTS `㉢]

[eqn: 4]

주어진 조건과 [eqn: ㉡,~㉢`]을 만족하는 [eqn: k`]의 값은 [eqn: (]  [eqn: )]이다.

[eqn: 1]

15 . [출제의도] 실수의 대소관계 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: ab+1>a+b] (참)

[eqn: ab+1-(a+b)=(a-1)(b-1)>0]

ㄴ. [eqn: ac+b>abc+1] (거짓)

[eqn: ac+b-(abc+1)=-(ac-1)(b-1)<0]

ㄷ. [eqn: {1} over {(a+1) ^{2}} + {1} over {(b+1) ^{2}} >= {2} over {(a+1)(b+1)}] (참)

(산술평균)[eqn: >=](기하평균)

16. [출제의도] 인수분해하기

[해설] [eqn: (x ^{2} -x)(x ^{2} +3x+2)-3`]

[eqn: =x(x-1)(x+1)(x+2)-3]

[eqn: =(x^2 +x)(x^2 +x -2)-3]

[eqn: x ^{2} +x`=A]로 치환하면

(준식)[eqn: =A(A-2)-3=(A+1)(A-3)]

[eqn: =(x^2 +x+1)(x^2 +x -3)]

따라서 [eqn: a+b +c+d=0]

17. [출제의도] 선분의 내분 이해하기

[해설] [eqn: rm barAP``:` barPB`` =it m:n `], [eqn: rm barAQ``:` barQB`` =it n:m `]이므로

[eqn: rm barAB =400]이고, [eqn: rm barAP =it x]라 하면 [eqn: rm barQB =200- it x]

[eqn: rm barAP``:` barPB`` =it m:n `], [eqn: rm barAQ``:` barQB`` =it n:m `]이므로

[eqn: x : (400-x) = (200-x ): (200+x)]

[eqn: therefore] [eqn: x=100]

[eqn: rm barAP``:` barPB`` =100:300]

[eqn: therefore] [eqn: n over m = 3]

18. [출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기

[해설] [eqn: x ^{2} `+y ^{2} `-4x-2y=a-3`] ⇒ [eqn: (x-2)^2 +(y-1)^2 = a+2]

중심이 [eqn: (2,~1)]이고, 반지름이 [eqn: roota+2`]인 원이다.

[eqn: x]축과 만나려면 [eqn: sqrt {a+2} >= 1`]                  [eqn: CDOTS `①]

[eqn: y]축과 만나지 않으려면 [eqn: 0 <sqrt {a+2} <2`]  [eqn: CDOTS `②]

[eqn: ①,~②`]를 동시에 만족하므로

[eqn: therefore] [eqn: -1<=a<2]

19. [출제의도] 이차방정식 활용하기

[해설] [eqn: t`]초 후 첫 번째 원의 반지름은 [eqn: t+1`], 넓이는 [eqn: pi (t+1) ^{2} `]

[eqn: t`]초 후 두 번째 원의 반지름은 [eqn: t-1`], 넓이는 [eqn: pi (t-1) ^{2} `]

[eqn: t`]초 후 세 번째 원의 반지름은 [eqn: t-3`], 넓이는 [eqn: pi (t-3) ^{2} `]

[eqn: pi( t +1) ^{2} =][eqn: pi (t-1) ^{2} +][eqn: pi (t-3) ^{2} `]

이 식을 풀면 [eqn: t=1,~9`]

원은 최소한 3개 이상이므로 [eqn: t>=4`]

[eqn: THEREFORE~t=9]초

20. [출제의도] 점과 직선사이의 거리 구하기

[해설] 원점 [eqn: rm O`]에서 직선 [eqn: (3-k)x-(1+k)y+2=0`]까지의 거리는

[eqn: {|`2`|} over {sqrt {(3-k) ^{2} +(1+k) ^{2}}} = {2} over {sqrt {2k ^{2} -4k+10}}]

거리가 최대가 되려면 분모가 최소일 때이다.

[eqn: 2k ^{2} -4k+10=2(k-1) ^{ 2}+8≧8]이므로

[eqn: {2} over {sqrt {2k ^{2} -4k+10}} <= {2} over {sqrt {8}} = {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: THEREFORE `]최대값 [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

21. [출제의도] 부등식의 영역의 넓이 구하기

[해설] [eqn: left {[``x``]` =0`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=1`right }] 또는 [eqn: left {[``x``]` =1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`right }] 또는

[eqn: left {[``x``]` =-1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`right }]인 경우이다.

(ⅰ) [eqn: [``x``]=0`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=1`]인 경우

[eqn: 0 <= x<1`], [eqn: 1 <= y ^{`2} <2`]이므로

[eqn: 0 <= x<1`], {[eqn: -sqrt { 2} < y <= -1`] 또는 [eqn: 1 <= y < sqrt { 2}`]}[eqn: CDOTS CDOTS㉠]

(ⅱ) [eqn: [``x``]`` =1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`]인 경우

[eqn: 1 <= x<2`], [eqn: -1 < y <1`][eqn: CDOTS CDOTS㉡]

(ⅲ) [eqn: [``x``]=-1`]이고 [eqn: [``y` ^{2} ``]=0`]인 경우

[eqn: -1 <= x < 0`], [eqn: -1 < y <1`][eqn: CDOTS CDOTS㉢]

㉠, ㉡, ㉢을 좌표평면에 나타내면

[eqn: 1]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: root 2]

[eqn: -1]

[eqn: - root 2]

구하는 영역의 넓이는 [eqn: 2LEFT { 1 TIMES2+1 TIMES( sqrt { 2}-1) RIGHT }][eqn: =2(1+ sqrt { 2})]

22. [출제의도] 명제의 참, 거짓과 집합의 포함관계 이해하기

[해설] [eqn: a≧-3] 이고 [eqn: a+2 <= 5]이므로 [eqn: -3<= a <= 3]이다.

[eqn: a]

[eqn: -3]

[eqn: 5]

[eqn: a+2]

부등식을 만족하는 정수 [eqn: a]는 7개이다.

23. [출제의도] 두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기

[해설] 두 점 [eqn: (3,~5),~(5,~3)`]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-5= {3-5} over {5-3} (x-3)]이므로 [eqn: y=-x+8]  [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=3x]

[eqn: y=x]

[eqn: y=-x+8]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

㉠이 [eqn: y=x,~y=3x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B`]라 하면 삼각형 [eqn: rm OAB`]는 [eqn: ANGLE rm A=90 DEG]인 직각삼각형이다.

[eqn: rm A`(4,~4)`], [eqn: rm B`(2,~6)`]이므로

삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이[eqn: = rm {1} over {2} TIMES bar{OA} TIMES bar{AB} = {1} over {2} TIMES 4 sqrt {2} TIMES 2 sqrt {2} =8]

24. [출제의도] 집합의 상등 이해하기

[해설] [eqn: sqrt { ab}=2]에서 [eqn: ab=4]

[eqn: { a+b} over {2 }=3]에서 [eqn: a+b=6]

[eqn: a+1,~b+1`]을 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x^2 -(a+1+b+1)x+(a+1) (b+1)=0`]이므로

[eqn: x^2 -8x+11=0]

∴ [eqn: n-m=19]

25. [출제의도] 원과 접선의 방정식 이해하기

[해설] [eqn: rm bar{AP} `= it x`],  [eqn: rm bar{BP} `= it y`]라 하면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =64`]를 만족하는 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여

[eqn: 3x+4y=k`]라 하면 [eqn: k`]의 최대값은 원에 접할 때이다.

원의 중심 [eqn: (0,````0)`]에서 직선 [eqn: 3x+4y-k`=0`]까지의 거리가 [eqn: 8]

[eqn: THEREFORE ~ {□``3times0+4times0-k`□} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} =8]

[eqn: {□`-k`□} over {5} =8] ([eqn: k>0])

[eqn: THEREFORE ~k=40`]

26. [출제의도] 연립방정식의 해 구하기

[해설] (ⅰ) [eqn: x >= y`]일 때

[eqn: LEFT < `x,~y` RIGHT > =x`]이므로

[eqn: cases{2x-4y ^{2} =x _{`}#x-y+5=x ^{`}}]

[eqn: THEREFORE~ y=5,````x=4y ^{2} =4times5 ^{2} =100]

(ⅱ) [eqn: x<y`]일 때

[eqn: LEFT < `x,~y` RIGHT > =-y`]이므로

[eqn: cases{2x-4y ^{2} =-y _{`}#x-y+5=-y ^{`}}]

[eqn: THEREFORE ~x=-5,````-10-4y ^{2} =-y]

[eqn: y`]에 대한 이차방정식 [eqn: 4y ^{2} -y+10=0]은

판별식 [eqn: rm D=(-1) ^{2} -4times4times10<0`]이 되어 허근을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: alpha=100`], [eqn: beta=5`]

[eqn: THEREFORE ~alpha + beta =105]

27. [출제의도] 평균과 분산 구하기

[해설] (평균)[eqn: ={(a+b)+(b+c)+(c+a)} over {3} = {4} over {3}]

[eqn: therefore~a+b+c=2`]

(분산)[eqn: ={left(a+b- {4} over {3}right ) ^{2} +left(b+c- {4} over {3}right ) ^{2} +left(c+a- {4} over {3} right) ^{2}} over {3}]

[eqn: = {left( {2} over {3} -c right) ^{2} +left( {2} over {3} -a right) ^{2} +left( {2} over {3} -b right) ^{2}} over {3}]

[eqn: = {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} - {4} over {3} (a+b+c)+ {4} over {3}} over {3}]

[eqn: = {7-2times{4} over {3} + {4} over {3}} over {3} = {17} over {9} = {n} over {m}]

[eqn: THEREFORE~ m+n=26`]

28. [출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기

[해설] [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+4=k`]라 하면

[eqn: (x-2)^2 +y^2 =k`]는 중심이 [eqn: (2,````0)]이고 반지름이 [eqn: rootk`]인  원이다.

최대값은 [eqn: rm B(4,~1)] 또는 [eqn: rm C(1,~2)]를 지날 때이므로

[eqn: sqrt {k} `= sqrt {(2-4) ^{2} +(0-1) ^{2}} `=` sqrt {(2-1) ^{2} +(0-2) ^{2}} `=` sqrt {5} `]

[eqn: therefore] 최대값 [eqn: k``=5]

최소값은 점 [eqn: rm A, ~B`]를 지나는 직선 [eqn: 3x-2y-10=0]과 접할 때이므로

[eqn: root k ` = { LEFT | `3 times 2 - 2 times 0 - 10 ` RIGHT | } over {sqrt {3 ^{2} + (-2) ^{2}}} = {4} over {sqrt {13}}]

[eqn: therefore] 최소값 [eqn: k``={16} over {13}]

따라서 [eqn: 39(M-m)`=`39 LEFT ( 5- {16} over {13} RIGHT )` = `{147}]

29. [출제의도] 식의 값 구하기

[해설] [eqn: s=1,````t= sqrt {2} - sqrt {3}]이라 하면 [eqn: a=s+t,````b=s-t`]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =(s+t) ^{3} +(s-t) ^{3} =2s ^{3} +6st ^{2}]

[eqn: =2+6( sqrt {2} - sqrt {3} ) ^{2}]

[eqn: =32-12 sqrt {6}]

[eqn: THEREFORE a ^{3} +b ^{3} +1=33-2 sqrt {216}]

[eqn: sqrt {a ^{3} +b ^{3} +1} = sqrt {(24+9)-2 sqrt {24 TIMES 9}}]

[eqn: = sqrt {24} - sqrt {9} =-3+2 sqrt {6}]

[eqn: THEREFORE p+q=-3+6=3]

30. [출제의도] 복소수 계산하기

[해설] [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^2 = { 1+ root3 i} over 2],  [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^3 = i],  [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^6 =-1]

따라서 [eqn: `n=12k+6(k=0,~1`~,~2,~ cdots)`]일 때, [eqn: LEFT ( {root3 +i} over 2 RIGHT ) ^n =-1]

[eqn: 1<= 12k+6<=200`]을 만족하는 [eqn: k`]는 [eqn: 0,~1,~2,~cdots,~16]

[eqn: therefore] [eqn: 17`]개