수학 영역

가형 정답

1	②	2	⑤	3	①	4	⑤	5	①
6	①	7	②	8	②	9	④	10	③
11	④	12	③	13	④	14	①	15	③
16	⑤	17	④	18	③	19	②	20	⑤
21	⑤	22	50	23	8	24	10	25	21
26	110	27	18	28	45	29	22	30	196

가형 해설

1. [출제의도] 거듭제곱근 계산하기

[eqn: root {3} of {2} TIMES root {6} of {16} =2 ^{` {1} over {3} `+` {4} over {6}} =2]

2. [출제의도] 명제의 참, 거짓 이해하기

명제 ‘[eqn: x=2]이면 [eqn: x ^{3} -k=0]이다.’가 참이 되려면

[eqn: 8-k=0`]

따라서 [eqn: k=8`]

3. [출제의도] 함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x`` -> `5} {`` {x ^{2} -25} over {x-5}} `= lim _{x`` -> `5} {`` {` LEFT ( x-5 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT )} over {x-5} =10}]

4. [출제의도] 등비수열의 수렴조건 계산하기

수열 [eqn: LEFT { ` LEFT ( ` {x-3} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]은 공비가 [eqn: {x-3} over {2} `]인 등비수열이므로 수렴할 조건은 [eqn: -1`<` {x-3} over {2} `leq1`]

따라서 [eqn: 1<`x`leq`5`]이므로 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: 2+3+4+5=14`]

5. [출제의도] 미분계수의 정의 이해하기

[eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 4+2h RIGHT ) -f LEFT ( 4-5h RIGHT )} over {3h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 4+2h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {3h} + lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 4 RIGHT ) -f LEFT ( 4-5h RIGHT )} over {3h}}}]

[eqn: = {2} over {3} lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 4+2h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {2h}} + {5} over {3} lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 4-5h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {-5h}}]

[eqn: = {2} over {3} f` prime (4)+ {5} over {3} f` prime (4)][eqn: = {7} over {3} f` prime (4)=7]

6. [출제의도] 합성함수와 역함수 이해하기

[eqn: h(3)`=`k`]라 하면

[eqn: f LEFT ( h(3) RIGHT ) =][eqn: g(3)`]이므로 [eqn: f(k)=-4`]

[eqn: {1} over {2} k+1=-4], [eqn: k=-10`]

따라서 [eqn: h(3)=-10`]

(별해)

[eqn: h=(f ^{`-1} CIRC f) CIRC h]

[eqn: =f` ^{-1} CIRC (f CIRC h)=f ^{`-1} CIRC g]이므로

[eqn: h(3)=f ^{`-1} (g(3))=f ^{`-1} (-4)=k`]라 하면,

역함수의 성질에 의하여

[eqn: f(k)= {1} over {2} k+1=-4`]이므로 [eqn: k=-10`]

따라서 [eqn: h(3)=-10`]

7. [출제의도] 절대부등식의 최대 ․ 최소 이해하기

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `= {x+y} over {xy} = {3} over {xy}]            …… ①

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 절대부등식의 성질에 의하여

[eqn: x+y GEQ 2 sqrt {xy}]                     …… ②

(단, 등호는 [eqn: x=y`]일 때 성립)

그러므로 [eqn: (x+y) ^{2} GEQ 4xy]이고 정리하면

[eqn: {1} over {xy} GEQ {4} over {(x+y) ^{2}}]                     …… ③

①, ②, ③에 의하여

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `= {3} over {xy} GEQ {12} over {(x+y) ^{2}} = {4} over {3}]

따라서 [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `]의 최솟값은 [eqn: {4} over {3}]

(별해)

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 절대부등식의 성질에 의하여

[eqn: {1} over {x} + {1} over {y} `= {1} over {3} LEFT ( {1} over {x} + {1} over {y} RIGHT ) (x+y)][eqn: = {1} over {3} LEFT ( 2+ {y} over {x} + {x} over {y} RIGHT )]

[eqn: GEQ {1} over {3} LEFT ( 2+2 sqrt {{y} over {x} times {x} over {y}} RIGHT ) = {4} over {3}]

(단, 등호는 [eqn: x=y`]일 때 성립)

따라서 최솟값은 [eqn: 4over3]

8. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} `-3 RIGHT ) `]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {n} `=3}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{2a _{n}} over {n+a _{n} +3}} = lim _{n -> INF } {{{2a _{n}} over {n}} over {{n} over {n} + {a _{n}} over {n} + {3} over {n}}} = {3} over {2}]

9. [출제의도] 정적분을 활용하여 넓이 구하기

주어진 곡선과 직선이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=1]

둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`]라고 하면

[eqn: S= int _{-3} ^{1} {LEFT | `(-x ^{2} +6)-(2x+3)` RIGHT | dx}]

[eqn: = int _{-3} ^{1} {(-x ^{2} -2x+3)dx}]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} +3x RIGHT ] _{-3} ^{````1} = {32} over {3}]

10. [출제의도] 기울기가 주어진 접선의 방정식 이해하기

직선 [eqn: x+2y-8=0]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: 2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{4} +6x-2`]라 하면

[eqn: f prime (x)=-4x ^{3} +6=2]이므로 [eqn: x=1`]

[eqn: f(1)=-1+6-2=3]이므로

접선의 방정식은 [eqn: y=2(x-1)+3=2x+1]

따라서 [eqn: m=2], [eqn: n=1]이므로 [eqn: m+n=3]

11. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} a _{k} =n ^{2} +n`]이므로 [eqn: a _{1} =2`],

[eqn: n ^{2} a _{n} = LEFT ( n ^{2} +n RIGHT ) - LEFT { (n-1) ^{2} +n-1 RIGHT } =2n(n` GEQ 2)`]

이므로 [eqn: a _{n} = {2} over {n} LEFT ( n` GEQ `1 RIGHT )]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {a _{k}} over {k+1} = sum _{k=1} ^{10} {2} over {k(k+1)} = {20} over {11}]

12. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: 10^a =1+ sqrt { 2}]이므로 [eqn: 10 ^{2a} =3+2 sqrt {2}]

[eqn: {10 ^{a} +10 ^{-a}} over {10 ^{a} -10 ^{-a}} = {10 ^{2a} +1} over {10 ^{2a} -1} = {4+2 sqrt {2}} over {2+2 sqrt {2}} = sqrt {2}]

13. [출제의도] 유리함수의 성질 이해하기

[eqn: n=3]일 때 [eqn: f(x)= {x+21} over {x-3} = {24} over {x-3} +1]

이므로 점근선의 방정식은 [eqn: x=3], [eqn: y=1]

따라서 [eqn: p+q=3+1=`4]

14. [출제의도] 유리함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: f(x)= {x+2`k ^{2} +k} over {x-k}]의 그래프와

직선 [eqn: y=x]의 제[eqn: 1]사분면 위의 교점은

[eqn: rm P _{it k rm} LEFT ( it 2k+1,~2k+1 RIGHT )]이므로 [eqn: A _{k} =(2k+1) ^{2}]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} A _{k} = sum _{k=1} ^{10} (4k ^{2} +4k+1)=1770]

15. [출제의도] 미분계수 이해하기

함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]라 하면

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)g(x)-f(1)g(1)} over {x-1}}# = lim _{x` -> `1} {{h(x)-h(1)} over {x-1}} =h` prime (1)]

[eqn: h` prime (1)=f` prime (1)g(1)+f(1)g` prime (1)=13]

16. [출제의도] 역함수의 성질 추론하기

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =2`]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2`]이므로 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1`]

이와 같은 방법으로

[eqn: g(2)=5], [eqn: g(3)=2], [eqn: g(4)=3], [eqn: g(5)=4]

[eqn: g(2)+ LEFT ( g CIRC f RIGHT ) ^{-1} (1)][eqn: =5+f` ^{`-1} LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =10]

17. [출제의도] 집합의 원소의 개수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

전체집합을 [eqn: U], [eqn: n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)=x],

[eqn: n( LEFT ( B` SMALLINTER C`` RIGHT ) -A)=y]라 하고 벤다이어그램에

각각의 영역에 해당하는 원소의 개수를 표시하면

[eqn: 15+x]

[eqn: U]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: C]

[eqn: 10-x]

[eqn: 15-x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 20-y]

[eqn: 7]

[eqn: 42-y]

[eqn: n(A CUP B CUP C)=102-y=93]이므로 [eqn: y=9]

[eqn: x]의 범위는 [eqn: 0LEQx LEQ10]

두 문제 이상 맞힌 학생 수는 [eqn: 34-x]이므로

최솟값은 [eqn: x=10]일 때 [eqn: 24]명

18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명하기

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때,
(좌변)[eqn: =2+a _{1} =3`],
(우변)[eqn: =2a _{`2} =2 LEFT ( `1+ {BOX{````` {1} over {2} ````}} ` RIGHT ) =3`]
이므로 (★)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`][eqn: (m GEQ 2)]일 때
(★)이 성립한다고 가정하면
[eqn: m+a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{m-1} =ma _{m}]이므로
[eqn: LEFT ( `m+1` RIGHT ) +a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} `+a _{m} `]
[eqn: =m`a _{m} +`][eqn: {BOX{`````a _{m} +1`````}} `]
[eqn: =(`m+1) LEFT ( `a _{`m+1} -` {BOX{````` {1} over {m+1} `````}} ` RIGHT )+1]
[eqn: =(`m+1)`a _{`m+1} `]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
[eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: n+a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n-1} =na _{`n} `]이 성립한다.

[eqn: p= {1} over {2}], [eqn: f(m)=a _{m} +1], [eqn: g(m)= {1} over {m+1}]

따라서 [eqn: {p` TIMES f(`3)} over {g(`11)} `=17]

19. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: f(x)-g(x)=x ^{3} -6x ^{2} +9x-mx]

[eqn: =x(x-a)(x-b)]

[eqn: int _{0} ^{b} {x(x-a)(x-b)`dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {1} over {3} (a+b)x ^{3} + {1} over {2} abx ^{2} RIGHT ] _{0} ^{b}]

[eqn: = {1} over {4} b ^{4} - {1} over {3} (a+b)b ^{3} + {1} over {2} ab ^{3}]

[eqn: = {b ^{3}} over {12} (2a-b)=0`]이므로 [eqn: b=2a`]

[eqn: x LEFT { x ^{2} -6x+(9-m) RIGHT } =x(x-a)(x-2a)]

[eqn: 6=3a`], [eqn: 9-m=2a ^{2} `]이므로 [eqn: a=2`], [eqn: m=1`], [eqn: b=4]

따라서[eqn: int _{a} ^{b} {"{"g(x)"}" ^{2}} dx= int _{2} ^{4} {x ^{2`}} dx= {56} over {3}]

20. [출제의도] 등비급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: S _{1}]은 삼각형 [eqn: rm P _{1} B _{1} R _{1} `]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm B _{1} C _{1} Q _{1} `]의 넓이의 합이므로 [eqn: S _{1} = {3} over {4} + {3} over {2} = {9} over {4}]

선분 [eqn: rm B _{it n rm} C _{it n rm}]의 중점을 [eqn: rmM _{itn}]이라 하고

정사각형 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} C _{it n rm} D _{it n rm}]의 한 변의 길이를 [eqn: a _{n`}]이라 하자.

[eqn: a _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{it n rm}]

[eqn: a _{it n+1 it}]

[eqn: rm M _{it n+1 rm}]

[eqn: rm B _{it n+1 rm}]

[eqn: rm C _{it n+1 rm}]

[eqn: rm R _{it n rm}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm C _{it n rm}]

[eqn: {1} over {2} a _{it n+1 rm }]

[eqn: {1} over {6} a _{it n+1 rm }]

[eqn: {1} over {6} a _{it n it}]

[eqn: a _{it n rm}]

[eqn: rm M _{it n rm}]

삼각형 [eqn: rm R _{it n rm} rm B _{it n rm} rm M _{it n rm}]과 삼각형 [eqn: rm R _{it n rm} C rm _{it n+1 rm} M _{it n+1 rm}]은

닮음이므로

[eqn: {bar{rm B _{it n rm} rm M _{it n rm} ` it}} `:` {bar{rm R _{it n rm} rm M _{it n rm} it}} = {bar{rm C _{it n+1 rm} rm M _{it n+1 rm} it}} `:` {bar{rm R _{it n rm} M _{it n+1 rm} rm }} `]

[eqn: =3``:`1]

[eqn: {bar{rm B _{it n rm} rm M _{itn}}} `=` {1} over {2} a _{n}], [eqn: {bar{rm R _{it n rm} M _{it n rm} it}} `=` {1} over {6} a _{n}]

[eqn: {bar{rm C _{it n+1 rm} rm M _{it n+1 rm} it}} `=` {1} over {2} a _{n+1}], [eqn: {bar{rm R _{it n rm} M _{it n+1 rm} it}} `=` {1} over {6} a _{n+1}]

[eqn: {bar{rm A _{it n rm} B rm _{it n rm} ` it}} `=` {bar{rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} it}} + {bar{rm R _{it n rm} M _{it n+1 rm} rm }} `+` {bar{rm R _{it n rm} rm M _{it n rm} it}}]

[eqn: a _{n} =a _{n+1} + {1} over {6} a _{n+1} + {1} over {6} a _{n}]

그러므로 [eqn: a _{n+1} = {5} over {7} a _{n} `]

따라서 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {S _{n}} = {{9} over {4}} over {1- LEFT ( {5} over {7} RIGHT ) ^{2}} = {147} over {32} `]

21. [출제의도] 미적분의 기본정리를 이용하여 다항함수 추론하기

ㄱ. [eqn: x=4]의 좌우에서 [eqn: f` prime (x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=4]에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ. 사차함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: LEFT ( `a`,``t` RIGHT ) `]에서 미분가능하고
구간 [eqn: [`a`,`t`]]에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여
[eqn: {f(t)-f(a)} over {t-a} =f` prime (c)]
인 [eqn: c]가 구간 [eqn: LEFT ( `a`,``t` RIGHT ) `]에 존재한다. 또한
사차함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (`t`,`b`)`]에서 미분가능하고
구간 [eqn: [`t`,`b`]]에서 연속이므로 평균값 정리에 의하여
[eqn: {f(t)-f(b)} over {t-b} = {f(b)-f(t)} over {b-t} =f` prime (d)]
인 [eqn: d]가 구간 [eqn: (`t`,`b`)`]에 존재한다.
함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `]가 구간 [eqn: LEFT ( `a,`b` RIGHT ) `]에서 감소하고
[eqn: a<c<t<d<b`]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( c RIGHT ) >f` prime LEFT ( d RIGHT ) `]이다.
그러므로
[eqn: {f(t)-f(a)} over {t-a} =f` prime (c)>f` prime (d)= {f(b)-f(t)} over {b-t}]
이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) `]라 하자.
주어진 조건에 의하여 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=0`,``b``,``4`]일 때 극값을 갖는다.
[eqn: 0= int _{a} ^{4} {f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx} =f LEFT ( 4 RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) `]이므로 [eqn: h LEFT ( 4 RIGHT ) =0`]
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 모양은

이므로 곡선 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: x`]축은
서로 다른 세 점에서 만난다.
그러므로 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=f LEFT ( a RIGHT )]는
서로 다른 세 점에서 만난다. (참)

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x`]

[eqn: rmO]

[eqn: y`]

[eqn: b]

[eqn: 4]

[eqn: a]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

22. [출제의도] 등비수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{2`times`5 ^{n+1} +3 ^{n}} over {5 ^{n-1} +4 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{10+ LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}} over {{1} over {5} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{n}}} =50]

23. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

[eqn: LEFT { 1,``2,``4 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT { 1,``2,``3,``4,``6,`12 RIGHT }]이므로

조건을 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8]

24. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`2} `48-log _{`2} `3`+ {log _{`3} `64} over {log _{`3} `2} `][eqn: =log _{2} {48} over {3} +log _{2} 64=4+6=10`]

25. [출제의도] 연속함수의 성질 이해하기

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)=f(1)}]

[eqn: lim _{x -> 1} {{x ^{3} `-ax+1} over {x-1} `=`b}]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {`(x ^{3} -ax+1)} =2-a=0], [eqn: a=2]

[eqn: b= lim _{x -> 1} {` {x ^{3} -2x+1} over {x-1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) =1}]

따라서 [eqn: 10a+b=21]

26. [출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열이므로 [eqn: 2times{{4} over {3}}k =(k-1)+(3k-3)]

그러므로 [eqn: k=3]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: 2]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = {10 LEFT ( 2 TIMES 2+9 TIMES 2 RIGHT )} over {2} =110]

27. [출제의도] 정적분의 성질 이해하기

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} dx- int _{-1} ^{3} {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} dx+} int _{-1} ^{``0} {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} dx}}]

[eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} dx- int _{0} ^{3} {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} dx}}]

[eqn: = int _{0} ^{3} {4xdx}][eqn: = LEFT [ pile{`#`} 2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3}][eqn: =18`]

28. [출제의도] 속도와 거리의 관계 이해하기

점 [eqn: rmP]가 원점을 출발하여 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=a`]까지

움직인 거리가 [eqn: 58]이므로 [eqn: a>2`]

[eqn: int _{0} ^{a} {LEFT | 3t ^{2} -6t RIGHT |} dt]

[eqn: =- int _{0} ^{2} {LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT )} dt+ int _{2} ^{a} {LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT )} dt]

[eqn: =- LEFT [ pile{`#`} t ^{3} -3t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ pile{`#`} t ^{3} -3t ^{2} RIGHT ] _{2} ^{a}]

[eqn: =a ^{3} -3a ^{2} +8=58]

[eqn: (a-5)(a ^{2} +2a+10)=0]

따라서 [eqn: a=5]이므로 [eqn: v(5)=45]

29. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} `= it a _{n}], [eqn: rm {bar{B _{it n rm} C _{it n rm}}} `= it b _{n}], [eqn: rm {bar{C _{it n rm} D _{it n rm}}} `= it c _{n}],

[eqn: rm {bar{D _{it n rm} E _{it n rm}}} `= it d _{n}], [eqn: rm {bar{E _{it n rm} F _{it n rm}}} `= it e _{n} `]이라 하면,

[eqn: b _{n} = {5} over {6} a _{n}], [eqn: c _{n} = {5} over {6} b _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{n}],

[eqn: d _{n} = {5} over {6} c _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3} a _{n}], [eqn: e _{n} = {5} over {6} d _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{n}]

한편, [eqn: a _{n+1} = {5} over {6} a _{n}], [eqn: a _{1} =bar{rmA _{1} B _{1} }=66times {1} over {6} times LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} + {bar{rm B _{2} C _{2} it}} + {bar{rm C _{3} D _{3} it}} + {bar{rm D _{4} E _{4} it}} + {bar{rm E _{5} F _{5} it}}]

[eqn: =a _{1} +b _{2} +c _{3} +d _{4} +e _{5}]

[eqn: =a _{1} + {5} over {6} a _{2} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{3} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3} a _{4} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{5}]

[eqn: =a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{6} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{8} a _{1}]

[eqn: = {a _{1} LEFT { 1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{10} RIGHT }} over {1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}} `=`25 LEFT { 1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{10} RIGHT } =25- {5 ^{12}} over {6 ^{10}}]

[eqn: a=10], [eqn: b=12]

따라서 [eqn: a+b=22]

30. [출제의도] 극댓값과 극솟값의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

주어진 조건에 의하여 함수 [eqn: f(`x)`]의 극댓값은 [eqn: 0], 극솟값은 [eqn: -4`]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의

[eqn: x`]좌표를 [eqn: a`,```b`]라 하면

[eqn: f(`x)=(x-a) ^{2} (x-b)]

[eqn: f` prime (`x) & =2(x-a)(x-b)+(x-a) ^{2} `]

[eqn: =(x-a)(3x-a-2b)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: y=-4]

[eqn: y=f(`x`)]

[eqn: {a+2b} over {3}]

[eqn: f LEFT ( {a+2b} over {3} RIGHT ) = {4} over {27} LEFT ( a-b RIGHT ) ^{3} =-4`]이므로 [eqn: b=a+3]

[eqn: f(`0)=-a ^{2} b=-a ^{2} (a+3)=-20], [eqn: a=2], [eqn: b=5]

[eqn: f(x)= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-5 RIGHT )]

따라서 [eqn: f(9)=196`]

(별해)

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: x=a]에서 극댓값 [eqn: 0]을 갖는다고 하고 함수 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x`]축의 음의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하여 얻은 함수를 [eqn: h(x)=f(x+a)]라 하고 함수 [eqn: y=h(x)`]의 그래프와 [eqn: x`]축의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha`][eqn: (alpha!=0)]라 하자.

[eqn: h(x)=x ^{2} (x- alpha )`]

[eqn: h` prime (x)=2x(x- alpha )+x ^{2} `=x(3x-2alpha)=0`]

함수 [eqn: y=h(x)`]는 [eqn: x= {2 alpha } over {3}]에서 극솟값 [eqn: -4`]를

가지므로

[eqn: LEFT ( {2 alpha } over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2 alpha } over {3} `-` alpha RIGHT ) =- {4 alpha ^{3}} over {27} =-4`]

[eqn: alpha =`3`]이고 [eqn: f(x+a)=x ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: f(x)=(x-a) ^{2} LEFT ( x-a-3 RIGHT )]

[eqn: f(0)=-20`]이므로 [eqn: a ^{2} (a+3)=20`=2 ^{2} times5]

[eqn: a=2`]이므로 [eqn: f(x)= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-5 RIGHT )]

따라서 [eqn: f(9)=196`]