• 2교시 수학 영역 •

[A형]

1	⑤	2	④	3	②	4	③	5	①
6	①	7	②	8	④	9	③	10	②
11	②	12	⑤	13	④	14	①	15	④
16	③	17	⑤	18	⑤	19	①	20	③
21	⑤	22	18	23	27	24	14	25	9
26	17	27	505	28	64	29	553	30	79

[출제의도] 지수법칙을 활용하여 계산하기

[eqn: 2 ^{{1} over {2}} TIMES 4 ^{{3} over {4}} =2 ^{{1} over {2}} TIMES 2 ^{{3} over {2}} =2 ^{{1} over {2} + {3} over {2}} =2 ^{2} =4]

[출제의도] 행렬의 실수배와 뺄셈 계산하기

[eqn: 2A-B`=2 {pmatrix{`-1&~1`#~~`2&~3`}} `-` {pmatrix{`~~3&~1`#`-2&~0`}} `= {pmatrix{`-5&~1`#`~~6&~6`}}]

따라서 행렬 [eqn: 2A-B]의 모든 성분의 합은 [eqn: 8]

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {2n ^{2} +1} over {3n ^{2} +n}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {2+ {1} over {n ^{2}}} over {3+ {1} over {n}}} `= {2} over {3}]

[출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

그림과 같이 주어진 그래프의 꼭짓점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 할 때, 이를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A```B```C```D]

[eqn: pile{rm A#B#C#D}]

[eqn: pile{rm 0#1#0#0}]

[eqn: pile{rm 1#0#1#1}]

[eqn: pile{rm 0#1#0#1}]

[eqn: pile{rm 0#1#1#0}]

따라서 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 [eqn: 8]

[다른 풀이]

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는

행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 그래프의 변의 개수의

[eqn: 2]배이므로 [eqn: 8]

[출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: X= LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2} = {pmatrix{`1&~-2`#`0&~~~1`}} ^{2} = {pmatrix{`1&~-4`#`0&~~~1`}}]

[출제의도] 로그부등식 이해하기

로그의 진수는 양수이므로 [eqn: x+1>0], [eqn: x-5>0]

[eqn: therefore] [eqn: x>5] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: log _{`3} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) `<log _{`3} `27]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) `<27]

[eqn: x ^{2} -4x-32<0]

[eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-8 RIGHT ) `<0]

[eqn: therefore] [eqn: -4<x<8] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 5<x<8]

[eqn: 5<x<8]을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 6], [eqn: 7]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 2]

[출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} a _{3} = {1} over {36}]에서 [eqn: a ^{2} r ^{2} = {1} over {6 ^{2}}]이므로

[eqn: ar= {1} over {6}] [eqn: LEFT ( BECAUSE ````ar>0 RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{5} = {4} over {81}]에서 [eqn: ar ^{4} = {4} over {81}] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r= {2} over {3}], [eqn: a= {1} over {4}]

따라서 [eqn: a _{4} =ar ^{3} = {2} over {27}]

[출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: 3 ^{x} =t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]라 하면 주어진 방정식은

[eqn: t ^{2} -11t+28=0]

[eqn: LEFT ( t-4 RIGHT ) LEFT ( t-7 RIGHT ) `=0]

[eqn: t=4] 또는 [eqn: t=7]

[eqn: 3 ^{alpha } =4], [eqn: 3 ^{beta } =7]이라 하면

[eqn: 9 ^{alpha } +9 ^{beta } `= LEFT ( 3 ^{alpha } RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3 ^{beta } RIGHT ) ^{2} =16+49=65]

따라서 [eqn: 9 ^{alpha } +9 ^{beta } `=65]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기

[eqn: 2a _{1} =a _{2} +3] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +3n]에서 [eqn: a _{2} =a _{1} +3] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a _{1} =6]

따라서

[eqn: a _{10} =a _{1} `+ sum _{n=1} ^{9} `3n=6+ {3 TIMES 9 TIMES 10} over {2} `=141]

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT )]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT ) `} =0]
[eqn: therefore] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {a _{n}} over {9 ^{n}}} `=`2]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {9 ^{n}} over {2a _{n} +1}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {1} over {2 TIMES {a _{n}} over {9 ^{n}} `+ {1} over {9 ^{n}}}} `= {1} over {4}]

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

처음 물의 높이가 [eqn: rm64``cm]일 때, 실험을 시작한 지
[eqn: 40]분 후의 물의 높이가 [eqn: rm16``cm]이므로

[eqn: k= {C} over {40} ` LEFT ( log``64`-log``16 RIGHT ) `= {C} over {20} `log``2]

실험을 시작한 지 [eqn: x]분 후의 물의 높이가 [eqn: rm2``cm]이므로

[eqn: {C} over {20} `log``2= {C} over {x} ` LEFT ( log``64`-log``2 RIGHT ) `= {C} over {x} ` TIMES `5`log``2]

따라서 [eqn: x=20times5=`100]

[출제의도] 함수의 우극한과 좌극한 이해하기

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: lim _{x` -> `1+0} {`f(x)} `=`1]

[eqn: 1-x=t]라 하면 [eqn: x` -> `1+0]일 때, [eqn: t` -> `-0]이므로
[eqn: lim _{x` -> `1+0} {`f(1-x)= lim _{t` -> `-0} {`f(t)}} `=`2]

따라서[eqn: lim _{x` -> `1+0} {`f(x)f(1-x)} `=`1 TIMES 2=2]

[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm {bar{OP}} `=`1], [eqn: rm {bar{OR}} `=`it1+r], [eqn: rm {bar{QR}} `=` it 2+r]

[eqn: rm {bar{OP}}], [eqn: rm {bar{OR}}], [eqn: rm {bar{QR}}]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 [eqn: LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{2} =1times LEFT ( 2+r RIGHT )]

[eqn: r ^{2} +r-1=0]

따라서 [eqn: r= {-1`+ sqrt {5}} over {2}] ([eqn: BECAUSE] [eqn: 0<r< sqrt {2}])

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +`y ^{2} =r ^{2}] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: x= {1} over {2} LEFT ( 2-r ^{2} RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( r RIGHT ) `=` {1} over {2} LEFT ( 2-r ^{2} RIGHT )]

따라서 [eqn: lim _{r` -> sqrt {2} -0} {` {f LEFT ( r RIGHT )} over {4-r ^{4}} `= lim _{r` -> sqrt {2} -0} {` {2-r ^{2}} over {2 LEFT ( 4-r ^{4} RIGHT )}}}]

[eqn: = lim _{r` -> sqrt {2} -0} {` {1} over {2 LEFT ( 2+r ^{2} RIGHT )}} `= {1} over {8}]

[출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log` _{`c} `b= {1} over {2} `log` _{`a} `b]이므로 [eqn: log` _{`b} `c=2`log` _{`b} `a]

[eqn: therefore] [eqn: c=a ^{2}]

[eqn: log` _{`b} `c= {1} over {3} `log` _{`a} `c]이므로 [eqn: log` _{`c} `b=3`log` _{`c} `a]

[eqn: therefore] [eqn: b=a ^{3}]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 [eqn: 1]보다 크고 [eqn: 10]보다 작은 자연수이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=8], [eqn: c=4]

따라서 [eqn: a+2b+3c=30]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기

주어진 식의 양변에 [eqn: LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2}]을 곱하면 [eqn: {2n+1} over {n ^{4}} ` TIMES LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2} = {2n+1} over {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}}]이므로

[eqn: LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2} a _{n+1} =` LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) ^{2} a _{n} +` {BOX{{2n+1} over {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}}}} `]

이다. [eqn: b _{n} =` LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) ^{2} a _{n}]이라 하면, [eqn: b _{1} =`0]이고

[eqn: {2n+1} over {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} `= {2n+1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} -n ^{2}} ` LEFT { {1} over {n ^{2}} `- {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {n ^{2}} `- {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}}]이므로

[eqn: b _{n+1} =`b _{n} + {1} over {n ^{2}} `-`` {BOX{`` {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} ` ^{`}}} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

이다. 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} =``b _{1} `+ sum _{k=1} ^{n-1} ` LEFT { {1} over {k ^{2}} `- {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT }]

[eqn: =0+ LEFT ( {1} over {1 ^{2}} `- {1} over {2 ^{2}} RIGHT ) `+ LEFT ( {1} over {2 ^{2}} `- {1} over {3 ^{2}} RIGHT ) `+` CDOTS]

[eqn: + LEFT { {1} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2}} `- {1} over {n ^{2}} RIGHT }]

[eqn: =1- {1} over {n ^{2}}] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이고, [eqn: b _{1} =0]이므로

[eqn: b _{`n} = {BOX{` {n ^{2} -1} over {n ^{2}} `}} ``] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

이다. 그러므로

[eqn: a _{n} =` {cases{``1 _{{} _{`}}&~ LEFT ( n=1 RIGHT )#`` {BOX{` {n ^{2} -1} over {n ^{2}} `}} ` TIMES LEFT ( {n} over {n-1} RIGHT ) ^{2}&~ LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )}}]

이다.

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `= {2n+1} over {n ^{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `= {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: h LEFT ( n RIGHT ) `= {n ^{2} -1} over {n ^{2}}]

따라서 [eqn: {f(1) TIMES h(4)} over {g(7)} `= {{3} over {4} ` TIMES {15} over {16}} over {{1} over {64}} `=`45]

[출제의도] 함수의 연속의 뜻 이해하기

ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {``x ^{2n}} `=`0]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=ax ^{2} +bx-2]

ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {1} over {x ^{2n}}} `=`0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n` -> ` INF } {` {x ^{2n+1} +ax ^{2} +bx-2} over {x ^{2n} +1}}]
[eqn: `= lim _{n` -> ` INF } {` {x+ {ax ^{2}} over {x ^{2n}} `+ {bx} over {x ^{2n}} - {2} over {x ^{2n}}} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}} `=`x]

ⅲ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `= {a+b-1} over {2}]

ⅳ) [eqn: x`=`-1]일 때, [eqn: f(-1)= {a-b-3} over {2}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: x`=`-1], [eqn: x=1]에서 연속이다.
① [eqn: x`=`-1]에서 연속이므로

[eqn: a-b-2`=`-1`=` {a-b-3} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a-b=1] [eqn: cdotscdots]㉠

② [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: a+b-2=1= {a+b-1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=3] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: ab=2]

[출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기

그림과 같이 정사각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}D_{itn}]에서 점 [eqn: rmB _{itn}]을
중심으로 하고 선분 [eqn: rm B _{it n rm} F _{it n rm} it}]을 반지름으로 하는
사분원이 선분 [eqn: rm A _{itn} B _{it n rm} it]과 만나는 점을 [eqn: rmI _{itn}]이라 하고,
[eqn: rm {bar{E _{it n rm} I _{it n rm}}} `=` it l _{n}]이라 하자.

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rmB_{itn}]

[eqn: rm C _{it n rm}]

[eqn: rmD_{itn}]

[eqn: rmA _{itn+1}]

[eqn: rmB _{itn+1}]

[eqn: rmC _{itn+1}]

[eqn: rmD_{itn+1}]

[eqn: rmE_{itn}]

[eqn: rmF_{itn}]

[eqn: rm G _{itn}]

[eqn: rm H _{itn}]

[eqn: l_n]

[eqn: rm T _{itn}]

[eqn: `l _{n+1}]

[eqn: rm I _{it `n rm}]

[eqn: rm E _{it n rm +1}]

[eqn: rm I _{it n+1}]

[eqn: {bar{rm B _{it n rm} F _{it n rm} it}} `=`l _{n}], [eqn: {bar{rm E _{it n rm} B _{it n rm} it}} `=`2l _{n}]이므로 [eqn: {bar{rm E _{it n rm} F _{it n rm} it}} `= sqrt {5} `l _{n}]

점 [eqn: rmB _{itn}]에서 선분 [eqn: rmF _{itn} A _{itn+1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm T _{itn}]이라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE B _{it n rm} rm F _{it n rm} rm T _{itn} `□ rm TRIANGLE E _{it n rm} rm F _{it n rm} rm B _{it n rm}]이므로
[eqn: {bar{rm B _{it n rm} rm F _{it n rm} it}} `:` {bar{rm F _{it n rm} rm T _{it n rm} it}} `=` {bar{rm E _{it n rm} rm F _{it n rm} it}} `:` {bar{rm F _{it n rm} rm B _{it n rm} it}}]

[eqn: therefore] [eqn: {bar{rm F _{it n rm} T _{it n rm} it}} `=` {LEFT ( {bar{rm B _{it n rm} rm F _{it n rm} it}} RIGHT ) ^{2}} over {{bar{rm E _{it n rm} rm F _{it n rm} it}}} `=` {sqrt {5}} over {5} `l _{n}]
[eqn: TRIANGLE rm B _{it n rm} F _{itn} A _{it n+1 rm}]이 이등변삼각형이므로
[eqn: {bar{rm F _{it n rm} A _{it n+1 rm} it}} `=`2 {bar{rm F _{it n rm} T _{it n rm} it}} `=` {2 sqrt {5}} over {5} `l _{n}]

[eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} E _{it n rm} it}} `=` {bar{rm E _{it n rm} F _{it n rm} it}} `-` {bar{rm F _{it n rm} A _{it n+1 rm} it}} `=` {3 sqrt {5}} over {5} `l _{n}]

[eqn: rm TRIANGLE A _{it n+1 rm} E _{it n rm} D _{it n+1 rm} rm == TRIANGLE B _{it n+1 rm} F _{it n rm} A _{it n+1 rm}]이므로
[eqn: {bar{rm F _{it n rm} B _{it n+1 rm} it}} `=` {3 sqrt {5}} over {5} `l _{n}]

[eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} it}} `=` {sqrt {65}} over {5} `l _{n}]

[eqn: l _{n+1} = {1} over {3} ` {bar{rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} it}} `=` {sqrt {65}} over {15} `l _{n}]이므로

[eqn: S_n+1 = 13over45 S_n]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }]은 [eqn: S _{1} =`9- pi]이고, 공비가 [eqn: 13over45]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} =` {9- pi } over {1- {13} over {45}} `=` {45} over {32} LEFT ( 9- pi RIGHT )]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: y=log _{`2} `x]는 함수 [eqn: y=2 ^{x}]의 역함수이므로
점 [eqn: rm Q _{it `n rm}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it `2 ^{n} ,``n` RIGHT )]

직선 [eqn: rmP _{it`n} rmQ _{it`n}]의 방정식은 [eqn: x+y-2 ^{n} -n=0]이고,
원점 [eqn: rmO]와 직선 [eqn: rmP _{it`n} rmQ _{it`n}] 사이의 거리는 [eqn: {2 ^{n} +n} over {sqrt {2}}],

선분 [eqn: rmP _{it`n} rmQ _{it`n}]의 길이는 [eqn: sqrt {2} ` LEFT ( 2 ^{n} -n RIGHT ) `]([eqn: BECAUSE] [eqn: 2 ^{n} >n])

[eqn: THEREFORE] [eqn: S` _{n} `= it {1} over {2} ` TIMES ` {2 ^{n} +n} over {sqrt {2}} ` TIMES sqrt {2} LEFT ( 2 ^{n} -n RIGHT )]

[eqn: = it {4 ^{n} -n ^{2}} over {2}]

따라서 [eqn: 2 sum _{n=1} ^{5} `S _{`n} `=` sum _{n=1} ^{5} ` LEFT ( 4 ^{n} -n ^{2} RIGHT )]

[eqn: `= {4 LEFT ( 4 ^{5} -1 RIGHT )} over {4-1} `-` {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6}]

[eqn: `=1309]

[출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: y= LEFT | x ^{2} -9 RIGHT |]의 그래프는 [eqn: y]축 대칭이므로

[eqn: a _{2} `=`-a _{3}]

이 등차수열의 공차는 [eqn: a _{3} -a _{2} =2a _{3}]이므로

[eqn: a _{4} =a _{3} +2a _{3} =3a _{3}]

점 [eqn: LEFT ( `a _{3} ,``k` RIGHT )]는 곡선 [eqn: y`=`-x ^{2} +9] 위의 점이므로

[eqn: -a _{3} ` ^{2} +9=k] [eqn: cdotscdots]㉠

점 [eqn: LEFT ( `a _{4} ,``k` RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=x ^{2} -9] 위의 점이므로
[eqn: a _{4} ` ^{2} -9=9a _{3} ` ^{2} -9=k] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 10k=72]

따라서 [eqn: k= {36} over {5}]

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: LEFT ( B`+A+E` RIGHT ) B`=E`]이므로

[eqn: B` LEFT ( B`+A+E` RIGHT ) `=E`]이고

[eqn: LEFT ( B`+A+E` RIGHT ) B`=B` LEFT ( B`+A+E` RIGHT )]

[eqn: B ^{2} +AB`+B`=B ^{2} +BA+B]

[eqn: therefore] [eqn: AB`=BA] (참)

ㄴ. [eqn: A ^{2} +2A+E=E], [eqn: LEFT ( A+E` RIGHT ) ^{2} =E]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT ( A+E` RIGHT ) ^{-1} =A+E] (참)

ㄷ. [eqn: B ^{2} +AB`+B`=E]

[eqn: B ^{2} +(A+E`)B`=E]

[eqn: B ^{2} +(A+E`)B`-2E`=`-E]

[eqn: B ^{2} +(A+E`)B`-2(A+E`) ^{2} =`-E]

[eqn: LEFT { B`-(A+E`) RIGHT } LEFT { B`+2(A+E`) RIGHT } `=`-E]

[eqn: (B`-A-E`)(-B`-2A-2E`)=E]

[eqn: therefore] [eqn: B-A-E`]의 역행렬이 존재한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: a _{3} =S _{`3} -S _{`2} = LEFT ( 3 ^{3} -1 RIGHT ) `-` LEFT ( 3 ^{2} -1 RIGHT ) `=`18]

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬 이해하기

[eqn: {pmatrix{`a-5&`````4`#`2&`````a-7`}} LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) `=` LEFT ( ` pile{0#0} ` RIGHT )]이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지려면 행렬 [eqn: {pmatrix{`a-5&`````4`#`2&`````a-7`}}]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 [eqn: LEFT ( a-5 RIGHT ) LEFT ( a-7 RIGHT ) `-`8=0]

[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( a-9 RIGHT ) `=`0]

[eqn: therefore] [eqn: a=3] 또는 [eqn: a=9]

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 27]

[출제의도] 함수의 극한의 성질 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `-2} {LEFT ( x+2 RIGHT )} `=`0]이고 [eqn: lim _{x` -> `-2} {` {x+2} over {sqrt {x+a} `-`b}} `=`6]

이므로 [eqn: lim _{x` -> `-2} {` LEFT ( sqrt {x+a} `-`b RIGHT )} `=``0]

[eqn: therefore] [eqn: b`= sqrt {a-2}]

[eqn: lim _{x` -> `-2} {` {x+2} over {sqrt {x+a} `-`b}}]

[eqn: = lim _{x` -> `-2} {` {x+2} over {sqrt {x+a} `- sqrt {a-2}}}]

[eqn: = lim _{x` -> `-2} {` {(x+2)( sqrt {x+a} `+ sqrt {a-2} `)} over {x+2}}]

[eqn: = lim _{x` -> `-2} {`( sqrt {x+a} `+ sqrt {a-2} `)} `=2 sqrt {a-2} `=`6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=11], [eqn: b=3]

따라서 [eqn: a+b=14]

[출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 3 ^{a-1} =2]에서 [eqn: 3 ^{a} =6]

[eqn: 5=6 ^{2b} = LEFT ( 3 ^{a} RIGHT ) ^{2b} =3 ^{2ab}]

따라서 [eqn: 5 ^{{1} over {ab}} = LEFT ( 3 ^{2ab} RIGHT ) ^{{1} over {ab}} =3 ^{2} =9]

[다른 풀이]

[eqn: 3 ^{a-1} =2]에서 [eqn: 3 ^{a} =6]이므로 [eqn: a=log _{`3} `6]

[eqn: 6 ^{2b} =5]이므로 [eqn: b=` {1} over {2} `log _{`6} `5]

[eqn: ab=` {1} over {2} `log _{`3} `6 TIMES log _{`6} `5= {1} over {2} `log _{`3} `5]

따라서 [eqn: 5 ^{{1} over {ab}} =5 ^{2`log _{`5} `3} `=9]

[출제의도] 지수부등식을 활용하여 추론하기

주어진 부등식의 양변에 [eqn: 3 ^{-2} times3 ^{p}]을 곱하면

[eqn: LEFT ( 3 ^{x} -3 ^{-2} RIGHT ) LEFT ( 3 ^{x} -3 ^{p} RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: p]가 자연수이므로 [eqn: 3 ^{-2} LEQ 3 ^{x} LEQ 3 ^{p}]

[eqn: therefore] [eqn: -2 LEQ x LEQ p]

[eqn: -2 LEQ x LEQ p]를 만족시키는 정수 [eqn: x]는

[eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots`], [eqn: p]

이때, 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: p+3=20]

따라서 [eqn: p=17]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y= {6 ^{n}} over {x}] 위의 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 자연수인 점의 개수는 [eqn: 6 ^{n}]의 양의 약수의 개수와 같다.

[eqn: 6 ^{n} =2 ^{n} TIMES 3 ^{n}]이므로 [eqn: a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n} ``=` sum _{n=1} ^{10} ` LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10} ` LEFT ( n ^{2} +2n+1RIGHT )]

[eqn: = {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} `+2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} `+10]

[eqn: =505]

[출제의도] 무한수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

직각삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} rm OQ _{it n rm}]에서

[eqn: rm ANGLE P _{it n rm} OQ _{it n rm} = {pi} over {3}]이고 [eqn: rm {bar{OP _{itn}}} `=itn+2]이므로

[eqn: rm {bar{OQ _{it n rm}}} `= it {1} over {2} ` LEFT ( n+2 RIGHT )], [eqn: rm {bar{P _{itn} Q _{it n rm}}} `= it {sqrt {3}} over {2} ` LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm} rm OQ _{it n rm} = {1} over {2} ` TIMES ` {bar{rm O _{it rm} rm Q _{it n rm} it rm}} ` TIMES ` {bar{rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm} it rm}} `= it {sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8}]

[eqn: S _{`n}]은 [eqn: TRIANGLE rm P _{it n rm} rm OQ _{itn rm}]의 넓이에서 원 [eqn: C _{`n}]의 넓이의 [eqn: {1} over {6}]을 빼면 된다.

[eqn: therefore] [eqn: S _{`n} = {sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8} `-` {n pi } over {6}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {S _{`n}}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {{sqrt {3} LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {8} `-` {n pi } over {6}} `= {8} over {sqrt {3}}} `=a]

따라서 [eqn: 3a ^{2} =64]

[출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 곡선 [eqn: y=log _{`2n} `x]는 점 [eqn: LEFT ( `4n ^{2} ,``2` RIGHT )]를
지난다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 4n ^{2}]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=log _{`2n} `x]

[eqn: 1]

그러므로 자연수 [eqn: k]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ k,``k+1 RIGHT ]]에서 곡선 [eqn: y=log _{`2n} `x]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 1]이다. (단, [eqn: 1 LEQ k LEQ 4n ^{2} -1])

[eqn: therefore] [eqn: a _{n} =4n ^{2} -1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{7} `a _{n} = sum _{n=1} ^{7} ` LEFT ( 4n ^{2} -1 RIGHT )]

[eqn: =4 TIMES {7 TIMES 8 TIMES 15} over {6} `-7=553]

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

(가)에서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) `+`g LEFT ( b RIGHT ) `=`2+ {1} over {4}]이므로
[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) `=2], [eqn: g(b)= {1} over {4}]

(나)에서 [eqn: g(b)= {1} over {4}]이므로 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) ` != 0]

이때 [eqn: g LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) `=1-g LEFT ( a RIGHT )]이므로

[eqn: g(a)=1-g(a)+ {1} over {4}], 즉 [eqn: g(a)= {5} over {8}]

[eqn: log``a=f LEFT ( a RIGHT ) `+g LEFT ( a RIGHT ) `=2+ {5} over {8} `= {21} over {8}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=10 ^{{21} over {8}}]

(다)에서 [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) `!=0]이므로 [eqn: f LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) `=`-1-f LEFT ( b RIGHT )],

[eqn: a ^{5} =10 ^{{105} over {8}} =10 ^{13+ {1} over {8}}]에서 [eqn: f(a ^{5} )=13]이므로

[eqn: f LEFT ( b RIGHT ) `=`-1-f LEFT ( b RIGHT ) `+`13], 즉 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) `=`6]

[eqn: log``b`=f LEFT ( b RIGHT ) `+g LEFT ( b RIGHT ) `=`6+ {1} over {4} `= {25} over {4}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=10 ^{{25} over {4}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=10 ^{{21} over {8} + {25} over {4}} =10 ^{{71} over {8}}]

따라서 [eqn: m+n=79]

[B형]

1	④	2	②	3	④	4	①	5	③
6	②	7	①	8	⑤	9	④	10	③
11	②	12	③	13	①	14	③	15	②
16	⑤	17	③	18	②	19	①	20	⑤
21	④	22	5	23	102	24	90	25	63
26	36	27	13	28	11	29	120	30	34

1. [A형 2번과 동일]

2. [출제의도] 정적분 계산하기

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) ``dx} = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} +2x RIGHT ] _{0} ^{1} = {7} over {3}]

3. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{x} -1} over {e ^{3x} -1}} = lim _{x` -> `0} {{e ^{x} -1} over {x} TIMES {3x} over {e ^{3x} -1} TIMES {1} over {3}} = {1} over {3}]

4. [출제의도] 일차변환의 성질 이해하기

[eqn: f(2A+B)=2f LEFT ( A RIGHT ) +f LEFT ( B RIGHT ) = LEFT ( ` pile{3`#4`} RIGHT )]

[eqn: f(B)= {pmatrix{`3`#`4`}} - {pmatrix{`4`#`2`}} = {pmatrix{`-1`#`2`}}]

[eqn: f(A-B)=f(A)-f(B)= {pmatrix{`2`#`1`}}-{pmatrix{`-1`#`2`}}={pmatrix{`3`#`-1`}}]

5. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: log_3 3n^2 < log_3 a_n <log_3 3 left(n+1right)^2]

[eqn: 3n ^{2} <a _{n} <3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {3n ^{2}} over {n ^{2}} < {a _{n}} over {n ^{2}} < {3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {n ^{2}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3n ^{2}} over {n ^{2}}} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {n ^{2}}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3n ^{2}} over {n ^{2}}} = lim _{n` -> ` INF } {{3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {n ^{2}} =3}]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}} =3]

6. [출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: 2x ^{2} -x=t]라 하자.

[eqn: t-2= sqrt {-t+14}] [eqn: (2 LEQ t LEQ 14)]

[eqn: t ^{2} -3t-10=0]

[eqn: t=5`] [eqn: ( BECAUSE ````2 LEQ t LEQ 14)]

[eqn: 2x ^{2} -x=5], [eqn: 2x ^{2} -x-5=0]

근과 계수의 관계에 의하여 주어진 방정식의
두 실근의 곱은 [eqn: - {5} over {2}]

7. [출제의도] 함수의 극대, 극소 이해하기

함수 [eqn: f left(x right)]가 극값을 가지려면
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+(a ^{2} -4a)=0]이 서로 다른
두 실근을 가져야 하므로

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -3` LEFT ( a ^{2} -4a RIGHT ) `>0], [eqn: 2a ^{2} -12a`<0]

[eqn: 0<a<6]이므로 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]

따라서 주어진 함수가 극값을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의
개수는 [eqn: 5]

8. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) `=`-1]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )=3]
[eqn: {1} over {n} =h]라 하면 [eqn: n`->`inf]일 때 [eqn: h`->`0]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`n` LEFT { f` LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) -f` LEFT ( 1- {1} over {3n} RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 1+ {h} over {2} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {h} over {3} RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {LEFT { {f LEFT ( 1+ {h} over {2} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {{h} over {2}} TIMES {1} over {2} + {f LEFT ( 1- {h} over {3} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {- {h} over {3}} TIMES {1} over {3} RIGHT }}]

[eqn: = {1} over {2} f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) + {1} over {3} f`' LEFT ( 1 RIGHT ) = {5} over {2}]

9. [출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 3 LEFT ( 2cos ^{2} x-1 RIGHT ) -2 LEFT ( 1-cos ^{2} x RIGHT ) -4cos`x+5=0]

[eqn: 8cos ^{2} x-4cosx=0]

[eqn: cos`x=0] 또는 [eqn: cos`x= {1} over {2}]

[eqn: 0 LEQ x< pi]에서 [eqn: x= {pi } over {2}] 또는 [eqn: x=` {pi } over {3} `]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: {5} over {6} pi]

10. [출제의도] 닮음변환 이해하기

주어진 일차변환은 원점을 닮음의 중심으로 하고
닮음비가 [eqn: k]인 닮음변환이므로 원 [eqn: C`]의 중심 [eqn: left(k,``k right)]는
점 [eqn: left(k^2 ,``k^2 right)]으로 옮겨지고, 원 [eqn: C`]의 반지름의 길이 [eqn: k]는
[eqn: k^2]이 된다.

[eqn: LEFT . C`` prime `:` LEFT ( x-k ^{2} ` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-k` ^{2} RIGHT ) ^{2} =k ^{4} RIGHT .]

[eqn: C``prime]이 [eqn: C``]의 중심 [eqn: LEFT ( k,``k RIGHT )]를 지나므로

[eqn: LEFT ( k-k ^{2} ` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( k-k` ^{2} RIGHT ) ^{2} =k ^{4} RIGHT .]

[eqn: k^2 left(k^2 -4k+2right)=0]

[eqn: k=2+root2] [eqn: LEFT ( BECAUSE ````k>1 RIGHT )]

따라서 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2+root2]

11. [A형 11번과 동일]

12. [A형 16번과 동일]

13. [출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -1]이고

[eqn: 1` LEQ x` LEQ e`]에서 [eqn: lnx`-1` LEQ 0`]이므로

[eqn: int _{1} ^{e} {sqrt {g(ln`x)+1} `dx`= int _{1} ^{e} {sqrt {LEFT . LEFT ( lnx-1 RIGHT . RIGHT ) ^{2}} `dx`}}]

[eqn: = int _{1} ^{e} {` LEFT | `lnx-1 RIGHT | `dx`} = int _{1} ^{e} {LEFT ( 1-lnx RIGHT ) dx}]

[eqn: = LEFT [ x`-x`lnx`+x pile{`#`} RIGHT ] _{1} ^{e} `=e-2]

14. [출제의도] 분수부등식 이해하기

[eqn: {LEFT ( `f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} LEQ 1]

[eqn: {LEFT ( `f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} LEQ 0]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT (g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } LEQ 0], [eqn: g(x) !=0]

ⅰ) [eqn: LEFT . g` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT .>0]일 때 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) LEQ g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]라 하면

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) LEQt]

[eqn: 0<t LEQ3] [eqn: LEFT ( BECAUSE ````t>0 RIGHT )]

[eqn: 0<g LEFT ( x RIGHT ) LEQ 3]이므로 [eqn: -1 LEQ x < 0] 또는 [eqn: 2<x LEQ 3]

[eqn: therefore] 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 3]

ⅱ) [eqn: LEFT . g` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT .<0]일 때 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =t][eqn: LEFT ( t<0 RIGHT )]라 하면

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) GEQ t]

[eqn: -2 LEQ t<0] [eqn: LEFT ( BECAUSE ````t<0 RIGHT )]

[eqn: -2 LEQ g LEFT ( x RIGHT ) <0]이므로 [eqn: 0<x<2]

[eqn: therefore] 정수 [eqn: x]는 [eqn: 1]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 3]

15. [출제의도] 치환적분법 이해하기

주어진 등식의 좌변에서 [eqn: lnx=s]라 하면

[eqn: int _{e ^{2}} ^{e ^{3}} {{a+lnx} over {x} `dx} `= int _{2} ^{3} {LEFT ( a+s` RIGHT ) `ds}]

[eqn: = LEFT [ as+ {1} over {2} s ^{2} RIGHT ] _{2} ^{3} =a+ {5} over {2}]

주어진 등식의 우변에서 [eqn: sinx=t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( 1+sinx RIGHT ) cosx`dx`} = int _{0} ^{1} {left(1+t right)dt}]

[eqn: =` LEFT [ t+` {1} over {2} `t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} = {3} over {2}]

[eqn: a+ 5over2 = 3over2] [eqn: therefore] [eqn: a=`-1]

따라서 [eqn: a]의 값은 [eqn: -1]

16. [A형 18번과 동일]

17. [출제의도] 함수의 연속성 추론하기

ㄱ. [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}]은 연속이고,

[eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4 LEFT | x RIGHT | +3]은 연속이다.

ⅰ) [eqn: x=`-1]일 때

[eqn: lim _{x` -> `-1-0} {f LEFT ( x RIGHT )} =0], [eqn: lim _{x` -> `-1+0} {f LEFT ( x RIGHT )} =1]

ⅱ) [eqn: x=1]일 때

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {f LEFT ( x RIGHT )} =1], [eqn: lim _{x` -> `1+0} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]

[eqn: therefore] [eqn: x=`-1]과 [eqn: x=1]에서 불연속이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 불연속인 점은 [eqn: 2]개이다. (참)

ㄴ. ⅰ) [eqn: x=`-1]일 때

[eqn: lim _{x` -> `-1-0} {f LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x`} = lim _{x` -> `-1+0} {f LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x=0}]
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) cos LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT ) =0]

ⅱ) [eqn: x=1]일 때

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {f LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x`} = lim _{x` -> `1+0} {f LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x=0}]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) cos {pi } over {2} =0]

[eqn: therefore] 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x]는 [eqn: x=`-1]과 [eqn: x=1]에서
연속이다. (참)

ㄷ. [반례] [eqn: a=2]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=`-1], [eqn: 1]에서 불연속이고,
[eqn: f LEFT ( x-2 RIGHT )]는 [eqn: x=`1], [eqn: 3]에서 불연속이므로

[eqn: x=`-1], [eqn: 1], [eqn: 3]에서의 연속성을 조사해 보면

[eqn: lim _{x` -> `-1-0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x-2 RIGHT )} & = lim _{x` -> `-1+0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x-2 RIGHT )} ` _{{} _{}}# & =f LEFT ( -1 RIGHT ) f LEFT ( -3 RIGHT ) =0 ^{{} ^{{} ^{}}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x-2 RIGHT )} & = lim _{x` -> `1+0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x-2 RIGHT )} ` _{{} _{}}# & =f LEFT ( 1 RIGHT ) f LEFT ( -1 RIGHT ) =0 ^{{} ^{{} ^{}}}]

[eqn: lim _{x` -> `3-0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x-2 RIGHT )} & = lim _{x` -> `3+0} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x-2 RIGHT )} ` _{{} _{}}# & =f LEFT ( 3 RIGHT ) f LEFT ( 1 RIGHT ) =0 ^{{} ^{{} ^{}}}]

[eqn: THEREFORE] 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x-2 RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서

연속이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

18. [출제의도] 여러 가지 수열 추론하기

[eqn: A _{1} LEFT ( 0,`0 RIGHT )]

[eqn: A _{2} LEFT ( 0,` LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3 RIGHT )]

[eqn: A _{3} LEFT ( LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3,` LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3 RIGHT )]

[eqn: A _{4} LEFT ( LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3,` LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5 RIGHT )]
[eqn: A _{5} LEFT ( LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5,` LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5 RIGHT )]

[eqn: A _{6} ( LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5,# ```````````````````````````````````````````` LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} TIMES 7)]

[eqn: A _{7} ( LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} TIMES 7,# ```````````````````````````````````````````` LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} TIMES 7)]

[eqn: cdots]

[eqn: therefore] [eqn: p= LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} TIMES 7]

[eqn: +` CDOTS `+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{14} TIMES 29]

[eqn: =`-3+5-7+9-` CDOTS `+29=14]

[eqn: q= LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 5+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} TIMES 7]

[eqn: +` CDOTS `+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{15} TIMES 31]

[eqn: =`-3+5-7+9-` CDOTS `-31=`-17]

따라서 [eqn: p+q=`-3]

19. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rmTRIANGLE ABP]에서 [eqn: angle`rmABP= {theta} over {2}]이고 [eqn: rm bar{rmAB}=2]이므로
[eqn: bar{rmAP} =2sin {theta } over {2}], [eqn: bar{rmBP}=2cos {theta} over {2}]

[eqn: TRIANGLE rmAOP]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{1}],
[eqn: TRIANGLE rmBOP]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{2}]라 하면
사인법칙에 의하여

[eqn: R _{1} = {1} over {2cos {theta} over {2}}]이고 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = pi ` {1} over {4cos ^{2} {theta } over {2}}]

[eqn: R _{2} = {1} over {2sin {theta} over {2}}]이고 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = pi {1} over {4sin ^{2} {theta } over {2}}]

[eqn: lim _{theta `` -> ` {pi } over {2} -0} {` {g LEFT ( theta RIGHT ) -f LEFT ( theta RIGHT )} over {{pi } over {2} - theta } ``} `]
[eqn: = lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -0} {} {{pi } over {4sin ^{2} {theta } over {2}} - {pi } over {4cos ^{2} {theta } over {2}}} over {{pi } over {2} - theta }]
[eqn: = lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -0} {` {pi LEFT ( cos ^{2} {theta } over {2} -sin ^{2} {theta } over {2} RIGHT )} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) 4sin ^{2} {theta } over {2} `cos ^{2} {theta } over {2}}} ```]
[eqn: = lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -0} {} {pi `cos theta } over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) sin ^{2} theta `}]
[eqn: {pi} over {2} -theta=t]라 하면 [eqn: theta`->` {pi} over {2} -0]일 때 [eqn: t`->`+0]

따라서 [eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -0} {} {pi `cos theta } over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) sin ^{2} theta `} = lim _{t` -> `+0} {{pi `sint} over {t`cos ^{2} t}} = pi]

20. [A형 21번과 동일]

21. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점을 [eqn: rmP]라 하자.

동경 [eqn: {rm OP it}]가 나타내는 각을 [eqn: theta]라 하면 공통부분이
생기는 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: - {pi} over {2} <theta< {pi} over {2}]이다.

점 [eqn: rm P it LEFT ( cos theta `,``sin theta RIGHT )], 점 [eqn: rm G it LEFT (cos theta +1,``sin theta +1 RIGHT )]이므로

공통부분의 넓이 [eqn: LEFT . S` LEFT ( theta RIGHT ) =cos theta LEFT ( sin theta +1 RIGHT ) RIGHT .]

[eqn: S` prime LEFT ( theta RIGHT ) =cos2 theta -sin theta]

[eqn: =`- LEFT ( sin theta +1 RIGHT ) LEFT ( 2sin theta -1 RIGHT ) =0]

[eqn: sin theta =`-1] 또는 [eqn: sintheta= {1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: theta = {pi } over {6}] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```- {pi } over {2} < theta < {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: theta]	[eqn: - {pi } over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {6}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi} over {2}]
[eqn: S` prime ( theta )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]는 [eqn: theta= {pi} over {6}]에서 극대이고 최댓값을 갖는다.
따라서 최댓값은 [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]

22. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬 이해하기

[eqn: LEFT ( {matrix{`k-2``&1`#`2``&k-3`}} RIGHT ) LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) = LEFT ( pile{`0`#`0`} RIGHT ) `]이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지려면
행렬[eqn: LEFT ( {matrix{`k-2``&1`#`2``&k-3`}} RIGHT ) `]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

[eqn: therefore] [eqn: (k-2)(k-3)-2=0]

[eqn: k ^{2} -5k+4=0], [eqn: k=1] 또는 [eqn: k=4]

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 5]

23. [출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =3a+3d=21]
[eqn: a _{7} +a _{8} +a _{9} =3a+21d=75]

[eqn: therefore] [eqn: a=4], [eqn: d=3]

따라서 [eqn: a _{10} +a _{11} +a _{12} =3a+30d=102]

24. [출제의도] 음함수의 미분법 이해하기

[eqn: 3x ^{3} -xy ^{2} =6]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 9x ^{2} -y ^{2} -2xy` {dy} over {dx} =0]

[eqn: {dy} over {dx} = {9x ^{2} -y ^{2}} over {2xy}]

따라서 점 [eqn: LEFT ( 2,``3 RIGHT )]에서 [eqn: m= {9} over {4}]이고 [eqn: 40m=90]

25. [출제의도] 지수부등식을 활용하여 추론하기

[eqn: 2 LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) 2 ^{x} +n LEQ 0]

[eqn: LEFT ( 2times2 ^{x} -1 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{x} -n RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: 2 ^{-1} LEQ 2 ^{x} LEQ n]

부등식을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 7]이므로
정수 [eqn: x=`-1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]

[eqn: therefore] [eqn: 2 ^{5} LEQ n<2 ^{6}]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 63]

26. [출제의도] 일차변환의 합성을 활용하여 문제해결하기

[eqn: g CIRC f]에 의해 점 [eqn: rmA LEFT ( -2,``0 RIGHT )]은 점 [eqn: rmA' LEFT ( 1,`` sqrt {3} RIGHT )]으로,
점 [eqn: rmB LEFT ( -2,``2 sqrt {3} RIGHT )]은 점 [eqn: rmB' LEFT ( -2,``2 sqrt {3} RIGHT )]으로 옮겨진다.

[eqn: -2]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A prime]

[eqn: rm B']

[eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: sqrt {3}]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm C]

삼각형 [eqn: rmOA'B']에서 [eqn: {bar{rm OC it}}]는 [eqn: angle{rmA'OB'}]의 이등분선
이므로 [eqn: {bar{rm A prime C it}} `:` {bar{rm CB prime it}} = {bar{rm OA prime it}} `:` {bar{rm OB prime it}} =1`:`2]

[eqn: therefore] 삼각형 [eqn: rmOA'B']의 넓이는 삼각형 [eqn: rm OA'C]의 넓이의
[eqn: 3]배이다.

따라서 [eqn: 4k ^{2} =36]

27. [출제의도] 지표와 가수를 활용하여 문제해결하기

(가)에서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =1]

(나)에서 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {2}], [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =0]

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =0]이면 [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =g LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) =0]이므로 (다)를 만족하지
않는다.

(다)에서 [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) != 0]이고 [eqn: g LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) =1-g LEFT ( b RIGHT )]이므로

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =1-g LEFT ( b RIGHT ) + {1} over {2}]
[eqn: therefore] [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) = {3} over {4}]

[eqn: log``a=f LEFT ( a RIGHT ) +g LEFT ( a RIGHT ) = {3} over {2}], [eqn: log``b=f LEFT ( b RIGHT ) +g LEFT ( b RIGHT ) = {3} over {4}]이므로
[eqn: a=10 ^{{3} over {2}}], [eqn: b=10 ^{{3} over {4}}]

따라서 [eqn: ab=10 ^{{9} over {4}}]이고 [eqn: m+n=13]

28. [출제의도] 무한급수와 정적분을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm D _{it k rm} LEFT ( 0,`` it {k} over {n} RIGHT )]이므로 직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]의 방정식은
[eqn: y= {k} over {n} x+ {k} over {n} `]

직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]와 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +1`]과의 교점 [eqn: rm P _{it k rm} `]는
[eqn: rm P _{it k rm} LEFT ( it1- {k} over {n} ,`` {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT ) `]이므로

[eqn: △ rm AP _{itk} Q _{it k rm}]의 밑변의 길이는 [eqn: 2- {k} over {n}]이고
높이는 [eqn: {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: therefore] [eqn: S _{k} = {1} over {2} LEFT ( 2- {k} over {n} RIGHT ) LEFT { {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k}} `= lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( 2- {k} over {n} RIGHT )} LEFT { {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = int _{0} ^{1} {{1} over {2} LEFT ( 2-x RIGHT ) LEFT ( 2x-x ^{2} RIGHT ) `dx`} = {11} over {24}]

따라서 [eqn: alpha= {11} over {24}]이고 [eqn: 24alpha=11]

29. [출제의도] 삼각함수의 합성을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmO]에서 두 직선에 내린 수선의 발을 각각
[eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: angle{rmOAP}=theta][eqn: LEFT ( 0<theta< {pi} over {6} RIGHT )]라 하면 [eqn: angle{rmOAQ}= {pi} over {6} -theta]

[eqn: l=2sintheta], [eqn: m=2sin LEFT ( {pi } over {6} - theta RIGHT ) =cos theta - sqrt {3} `sin theta]

[eqn: rmA]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: theta]

[eqn: {pi} over {6} -theta]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: l]

[eqn: m]

[eqn: 2l ^{2} +m ^{2} =8`sin ^{2} ` theta + LEFT ( cos` theta - sqrt {3} `sin theta ` RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =`8sin ^{2} theta `+cos ^{2} theta `-2 sqrt {3} `sin theta `cos theta `+3sin ^{2} theta `]

[eqn: =1+`10sin ^{2} theta ``- sqrt {3} `sin2 theta ``]

[eqn: =6-5cos`2 theta ``- sqrt {3} `sin2 theta ``]

[eqn: =6-2 sqrt {7} `sin`(2 theta + alpha )```]

[eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: sin alpha `= {5 sqrt {7}} over {14}], [eqn: cos alpha = {sqrt {21}} over {14}][eqn: pile{`#`} RIGHT )]

[eqn: tan`alpha= {5 sqrt {3}} over {3}] [eqn: therefore] [eqn: {pi} over {3} <alpha< {pi} over {2}]

[eqn: 0<theta< {pi} over {6}]이고 [eqn: alpha<2theta+alpha< {pi} over {3} +alpha]이므로

[eqn: 2theta+alpha= {pi} over {2}]일 때 [eqn: sin LEFT ( 2theta+alpha RIGHT ) =1]

[eqn: 2l ^{2} +m ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 6-2 sqrt {7}]이므로 [eqn: p=6], [eqn: q=`-2]

따라서 [eqn: 30 LEFT ( p+q RIGHT ) =120]

30. [출제의도] 함수의 그래프의 개형으로 문제해결하기

[eqn: f(x)= {ln`x ^{2}} over {x}]에 대하여

ⅰ) [eqn: x>0]일 때

[eqn: f(x)= {2ln`x} over {x}],  [eqn: f`'(x)`=` {2-2lnx} over {x ^{2}}]

[eqn: x=e``]에서 [eqn: f` prime (x)=0``]이고

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: e]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {2} over {e}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: THEREFORE] 극댓값 [eqn: alpha= {2} over {e}]

ⅱ) [eqn: x != 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =`-f LEFT ( x RIGHT )]가 성립하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 원점에
대하여 대칭이다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: {2} over {e}]

[eqn: - {2} over {e}]

[eqn: e]

[eqn: -e]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y= {2} over {en} x]는 원점을 지나는 직선이고 원점에서
곡선 [eqn: y= {2lnx} over {x}]에 그은 접선의 접점을 [eqn: (t,``f(t))`]라
하면 접선의 방정식은
[eqn: y= {2-2`ln`t} over {t ^{2}} (x-t)+ {2`ln`t} over {t} `]이고 [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 0= {2-2`ln`t} over {t ^{2}} (0-t)+ {2`ln`t} over {t} `]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: t= sqrt {e}]

[eqn: THEREFORE `] 접점은 [eqn: left(` sqrt {e} ,`` {1} over {sqrt {e}} right)]이고
접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {e} `x`]

[eqn: n=1]일 때, 직선 [eqn: y= {2} over {e} x`]와 함수 [eqn: f(x)`]의
그래프의 교점의 개수는 [eqn: 0] [eqn: THEREFORE] [eqn: a _{1} =0]

[eqn: n=2]일 때, 직선 [eqn: y= {1} over {e} x`]와 함수 [eqn: f(x)`]의
그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2] [eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2} =2]

[eqn: 3 LEQ n LEQ 10]일 때, 직선 [eqn: y= {2} over {en} x`]와 함수 [eqn: f(x)`]의
그래프의 교점의 개수는 [eqn: 4] [eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n} =4]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n} `=0+2+4times8=34]