• 2교시 수리 영역 •

1	③	2	①	3	①	4	③	5	③
6	③	7	②	8	④	9	⑤	10	④
11	①	12	①	13	⑤	14	②	15	②
16	②	17	④	18	⑤	19	④	20	③
21	②	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 13]	25	[eqn: 500]
26	[eqn: 4]	27	[eqn: 15]	28	[eqn: 8]	29	[eqn: 70]	30	[eqn: 999]

1. [출제의도] 무리식을 계산하기

[eqn: sqrt {3+2 sqrt {2}} + sqrt {3-2 sqrt {2}} & = sqrt {2} +1+ sqrt {2} -1# `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````` & =2 sqrt {2}]

2. [출제의도] 다항식을 덧셈, 곱셈하기

[eqn: LEFT ( x -1RIGHT ) (x+1)(x ^{2} +1)+1 = LEFT ( x^2 -1 RIGHT ) LEFT ( x^2 +1 RIGHT )+1]

[eqn: &= LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) +1# &=x ^{4}]

3. [출제의도] 실수의 연산에 관한 성질을 이해하기

[eqn: 1+ sqrt {2}]의 덧셈에 대한 역원을 [eqn: x]라 하면,

[eqn: (1+ sqrt {2} )+x=x+(1+ sqrt {2} )=0]에서

[eqn: x=-1- sqrt {2}]이다.

또한, [eqn: 1+ sqrt {2}]의 곱셈에 대한 역원을 [eqn: y]라 하면,

[eqn: (1+ sqrt {2} )`․`y=y`․`(1+ sqrt {2} )=1`]에서

[eqn: `y= {1} over {1+ sqrt {2}}][eqn: = sqrt {2} `-1]이다.

따라서 [eqn: `x+y=-2]

4. [출제의도] 충분조건을 이해하기

두 조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q]라 하면

[eqn: P= LEFT { x`|`|`x-1`| LEQ 5 RIGHT } = LEFT { x`|`-4 LEQ x LEQ 6 RIGHT }],

[eqn: Q=left{ x`|`x LEQa+2 right}]이다.

이때, [eqn: p`]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되려면 [eqn: P subset Q]이므로 아래 그림과 같이 [eqn: a+2` GEQ 6 CDOTS]①이어야 한다.

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: -4]

[eqn: a+2]

[eqn: Q]

[eqn: P]

①의 식을 풀면, [eqn: a GEQ 4]이다.

따라서 상수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

5. [출제의도] 합성함수와 역함수를 이해하기

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ),~y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프로부터

[eqn: f(1)=1], [eqn: g(1)=2], [eqn: g ^{-1} LEFT ( 4 RIGHT ) =4], [eqn: f ^{-1``} LEFT ( 3 RIGHT ) =4]이다.

그러므로 [eqn: (g CIRC f)(1)=g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이고

[eqn: (f CIRC g) ^{-1} (3)=(g ^{-1} CIRC f ^{-1} )(3)=g ^{-1} (f ^{-1} (3))``]

[eqn: =g ^{-1} (4)=4``]이다.

따라서 [eqn: (g` CIRC `f)(1)+ LEFT ( f CIRC g RIGHT ) ^{-1} (3)][eqn: =2+4=6]

6. [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 추론하기

유리함수 [eqn: y= {3x+5} over {x-1} = {8} over {x-1} +3]의 그래프는

아래 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y= { 3x+5} over {x-1 }]

[eqn: 1]

[eqn: -{5 } over {3 }]

[eqn: -5]

[eqn: 3]

[eqn: y]

위의 그림으로부터

ㄱ. 점근선의 방정식은 [eqn: x=1], [eqn: `y=3]이다. (참)

ㄴ. 그래프는 제[eqn: 3]사분면을 지난다. (참)

ㄷ. 그래프는 점근선의 교점 [eqn: (1,`3)]을 지나고 기울기가 [eqn: 1] 또는 [eqn: -1]인 직선에 대하여 대칭이다.

이때, 이 직선의 방정식을 구하면,

[eqn: y-3=±1 LEFT ( x-1 RIGHT )]

즉 , [eqn: `y=x+2] 또는  [eqn: y=-x+4]이다.

그러므로 그래프는 직선 [eqn: y=x+3]에 대하여

대칭이 아니다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

7. [출제의도] 일대일 대응, 항등함수, 상수함수를 이해하기

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 항등함수이므로 [eqn: g(3)=3]이고

[eqn: f(2)=h(6)=3]이다.

한편, [eqn: f LEFT (x RIGHT )]가 일대일 대응이고 [eqn: `f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]이므로

[eqn: f` LEFT ( 2 RIGHT ) f` LEFT ( 3 RIGHT ) =f(6)]이 성립하려면 [eqn: `f LEFT ( 3 RIGHT ) =2]이어야 한다. 또한 [eqn: h(x)]가 상수함수이므로 [eqn: h(2)=3]이다.

따라서 [eqn: f(3)+h(2)=2+3=5]

8. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이해하기

무리함수 [eqn: y=f(x)]와 그 역함수 [eqn: y=f ^{`-1} (x)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나려면 아래 그림과 같이 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x-1} +k]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]와 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

[eqn: x]

[eqn: RM O]

[eqn: 1]

[eqn: y=x]

[eqn: y]

[eqn: y=rootx-1 +k]

[eqn: 1]

[eqn: (1,``k)]

위 그림에서 [eqn: y= sqrt {x-1} +k]의 그래프가 직선[eqn: y=x]와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

9. [출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수의 뜻을 알고 추론하기

[eqn: A=aG,``B=bG][eqn: ```(a,b]는 서로소[eqn: )]라고 하면,

[eqn: G(A,B)=G], [eqn: L(A,B)=abG``]이다.

ㄱ. [eqn: G(A,AB)=G LEFT ( aG,`abG ^{2`} RIGHT ) =aG=A`] (참)

ㄴ. [eqn: L(G(A,B),L(A,B))=L(G,abG)]

[eqn: =abG=L(A,B)](참)

ㄷ. [eqn: G(L(A,B),B)=G(abG,bG)=bG=B`]

[eqn: L(G(A,B),B)=L(G,bG)=bG=B``] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

10. [출제의도] 이차방정식의 판별식의 의미를 이해하기

ⅰ) [eqn: k =1]일 때, 주어진 방정식은 [eqn: -8x+1=0]

이므로 해는 한 개이다. ∴ [eqn: k =1]

ⅱ) [eqn: k != 1]일 때, 주어진 방정식이 중근을 가져야

하므로 판별식은 [eqn: D=0]이다.

[eqn: { D} over {4 } = LEFT ( -4 RIGHT )^2 -k LEFT ( k-1 RIGHT ) =0]

즉, [eqn: k^2 -k-16=0]을 만족하는 [eqn: k]의 값들의

합은 [eqn: 1]이다.

따라서 ⅰ), ⅱ)로부터 모든 상수 [eqn: k]의 합은 [eqn: 2]이다.

11. [출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질을 이해하기

복소수 [eqn: z_0]를 이 연산장치에 입력하면 [eqn: z _{1} = {z _{0}} over {i}]가 출력된다. 출력된 값 [eqn: z _{1}]을 다시 이 연산장치에 입력하면 [eqn: z_2 = z_0 overi^2]가 출력된다. [eqn: z_2]를 이 연산장치에 입력하면 [eqn: z_3 = z_0 overi^3]가 출력된다. 이와 같은 과정을 계속해 나갈 때, [eqn: z_2009 = z_0 overi^2009]가 출력된다.

한편, [eqn: i^2009 =(i^4 )^502 cdoti=i] [eqn: ( BECAUSE `i ^{4}=1)]이므로

[eqn: z _{2009} = {z_0} over {i} =2+i]이다. 그러므로

[eqn: z_0 =(2+i)cdoti=-1+2i=a+bi]에서

[eqn: a,``b]가 실수이므로 [eqn: a=-1], [eqn: b=2]이다.

따라서 [eqn: a-b=-3]

12. [출제의도] 연립부등식을 풀기

ⅰ)   [eqn: x ^{2} -2x-24` LEQ 0]

⇔ [eqn: (x-6)(x+4)le0]

⇔ [eqn: -4 le x le6]

ⅱ)   [eqn: -1 LEQ LEFT [ x-1 RIGHT ] le6]

⇔ [eqn: -1 LEQ x-1<7]

⇔ [eqn: 0 le x <8]

ⅰ), ⅱ)로부터 연립부등식의 해는 [eqn: 0 le x le6]이다.

따라서 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 7]이다.

13. [출제의도] 집합의 연산법칙을 이해하여 추론하기

[eqn: A,`B ^{C}]이 서로소 ⇔ [eqn: A SMALLINTER B ^{C} = EMPTYSET] ⇔ [eqn: A SUBSET B]

ㄱ. [eqn: A-B=emptyset] (참)

ㄴ. [eqn: A capB=A]이므로 [eqn: (A SMALLINTER B) ^{C} =A ^{C}] (참)

ㄷ. [eqn: (A ^{C} CUP B) SMALLINTER A=(A ^{C} SMALLINTER A) CUP (B SMALLINTER A)]

[eqn: = emptyset cupA][eqn: =A] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

14. [출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계를 이해하기

이차함수와 이차부등식의 관계에 의하여 주어진 그림으로부터 이차부등식 [eqn: f(x) le0]의 해는

[eqn: -1 le x le2]이다.

이때, [eqn: f left( x+k over2 right) le0]에서 [eqn: x+k over2 =t]라 하면 [eqn: f(t) le0]이고, 이차부등식 [eqn: f(t) le0]의 해는 [eqn: -1 le t le2]이다.

그러므로 [eqn: -1 le x+k over2 le2]

⇔ [eqn: -2 LEQ x+k LEQ 4]

⇔ [eqn: -2-k le x le4-k] … [eqn: ①]이다.

또한, [eqn: f left( x+k over2 right) le0]의 해가 [eqn: -3 le x le3] … [eqn: ②]

이라 하였으므로 [eqn: ①]의 식과 [eqn: ②]의 식은 같아야 한다.

따라서 [eqn: -2-k=-3], [eqn: 4-k=3]에서 [eqn: k=1]이다.

15. [출제의도] 절대부등식을 증명하기

양의 실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여

[eqn: (a+b)^2 -4ab=(a-b)^2 ge0]이므로

[eqn: 4ab le(a+b)^2]이고, 같은 방법으로

[eqn: 4bc LEQ (b+c) ^{2} ,``4ca LEQ (c+a) ^{2}]이므로

[eqn: 4abc LEFT ( {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} RIGHT )]

[eqn: = {4ab} over {a+b} c+ {4bc} over {b+c} a+ {4ca} over {c+a} b]

[eqn: LEQ {(a+b) ^{2}} over {a+b} c+ {(b+c) ^{2}} over {b+c} a+ {(c+a) ^{2}} over {c+a} b]

[eqn: =`2(ab+bc+ca)] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]이다.

한편, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca ge0]

⇔ [eqn: (a+b+c) ^{2} -3(ab+bc+ca) GEQ 0]

⇔ [eqn: ab+bc+ca le (a+b+c)^2 over3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]이다.

따라서 [eqn: ㉠], [eqn: ㉡]으로부터

[eqn: 4abc left( 1 overa+b + 1overb+c + 1 overc+a right)]

[eqn: le 2over3 (a+b+c)^2] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]이다.

이때, [eqn: ㉢]의 양변을 [eqn: 4abc]로 나누면

[eqn: 1overa+b + 1 overb+c + 1overc+a le (a+b+c)^2 over6abc]이다.

∴ (가) [eqn: (a-b) ^{2}], (나) [eqn: 2(ab+bc+ca)], (다) [eqn: 3]

16. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하기

[eqn: (x-3)(x-1)(x+2)+1=x]

⇔ [eqn: (x-3)(x-1)(x+2)-(x-1)=0]

⇔ [eqn: (x-1)(x^2 -x-7)=0]

이므로 삼차방정식의 한 근은 [eqn: 1]이고 나머지 두 근 은 [eqn: x^2 -x-7=0]의 근이다.

이때, [eqn: gamma =1]이라 하고 이차방정식 [eqn: x^2 -x-7=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`beta]라 하면, 근과 계수의 관계로부터

[eqn: alpha+beta=1,`alphabeta=-7]이다.

그러므로 [eqn: alpha^3 +beta^3 =(alpha+beta)^3 -3alpha beta(alpha+beta)]

[eqn: =22]

따라서 [eqn: alpha^3 +beta^3 +gamma^3 =23]

17. [출제의도] 부등식의 영역의 의미를 이해하여 문제해결하기

함수 [eqn: LEFT . f(x RIGHT ) = {cases{`````````x ^{2} ```` _{{} _{{} _{}}} ````&(x GEQ 0)#sqrt {-x}&(x<`0)}}] 에 대하여

연립부등식 [eqn: {cases{y GEQ f LEFT ( x RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} LEQ 1}}]을 만족하는

점 [eqn: (x,`y)]가 나타내는 영역은 아래 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: y=x^2 ``(x ge0)]

[eqn: y=root-x]

[eqn: 1]

한편, [eqn: y=x^2 `(x ge0)]의 역함수는 [eqn: y=rootx]이고,

[eqn: y=rootx]와 [eqn: y=root-x]는 [eqn: y]축에 대칭이므로 아래 그림과 같이 ①, ②의 영역의 넓이가 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: y=x^2 ``(x ge0)]

[eqn: y=root-x]

[eqn: 1]

[eqn: y=x]

[eqn: y=-x]

②

①

[eqn: RMA]

[eqn: RMB]

그러므로 위 그림에서 구하는 영역의 넓이는 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반원의 넓이와 직각삼각형 [eqn: rm BOA]의 넓이의 합이다.

따라서 구하는 영역의 넓이는 [eqn: pi over2 +1]이다.

18. [출제의도] 고차방정식을 이용하여 정십각형의 한 변의 길이를 추론하기

그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 [eqn: rm A]와 정십각형의 한 꼭짓점 [eqn: rm B]를 이으면 원의 지름이 된다. 이때, 지름 [eqn: rm AB]와 정오각형의 한 변 [eqn: rm CD]가 만나는 점을 [eqn: rm E]라 하자.

[eqn: rm `A]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `C]

[eqn: rm `D]

[eqn: rm `E]

[eqn: x]

[eqn: a]

[eqn: 1]

이때, 정십각형의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면,

[eqn: rmbar{AC} it= sqrt {4-x ^{2}}] 이다.

한편, 삼각형 [eqn: rm ABC]에서

[eqn: {1} over {2} TIMES rm bar{AC} TIMES bar{BC} = {1} over {2} TIMES bar{AB} `` TIMES bar{CE}]이므로

[eqn: sqrt {4-x ^{2}}][eqn: ․``x=a CDOTS CDOTS ㉠]이고,

[eqn: ㉠]의 식을 정리하면

[eqn: x ^{4} `-][eqn: 4][eqn: `x ^{2} +a ^{2} =0` CDOTS CDOTS ㉡]이다.

[eqn: ㉡]의 방정식을 풀면, [eqn: x ^{2} =2± sqrt {4-a ^{2}}]이다.

이때, [eqn: 0<`x<1]이어야 하므로

[eqn: x ^{2} =2- sqrt {4-a ^{2}}]에서

[eqn: x =][eqn: root{2-root4-a^2 }]이다.

∴ (가) [eqn: sqrt {4-x ^{2}}], (나) [eqn: 4], (다) [eqn: sqrt {2- sqrt {4-a ^{2}}}]

19. [출제의도] 이차함수의 최대, 최소를 이해하여 문제해결하기

주어진 조건 [eqn: rm bar{PA} `^{2} + bar{PB} ` ^{2} =4]를 만족하는

점 [eqn: rmP]는 원 [eqn: x^2 +(y-1)^2 =1] 위의 점이고 [eqn: y]의

범위는 [eqn: 0 le y le2]이다.

그러므로 [eqn: y-x^2 =y-left{1-(y-1)^2 right}]

[eqn: = y^2 -y]

[eqn: =left( y- 1over2 right)^2 - 1 over4] ([eqn: 0 le y le2])

에서 [eqn: y-x^2]은 [eqn: y=2]일 때, 최댓값 [eqn: 2]를 갖고

[eqn: y= 1over2]일 때, 최솟값 [eqn: - {1} over {4}]을 갖는다.

따라서 [eqn: y-x^2]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: {7} over {4}]이다.

20. [출제의도] 선분의 내분과 외분을 이해하여 추론하기

선분 [eqn: rm AC]를 [eqn: m``:`n]으로 내분하는 점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: p= {mc+na} over {m+n} CDOTSCDOTS①]

이고, 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: m``:`n]으로 외분하는 점 [eqn: rm P]의

좌표는 [eqn: p= {mc-nb} over {m-n} CDOTS CDOTS ②]이다.

따라서 [eqn: mc+na overm+n][eqn: = {mc-nb} over {m-n}cdotscdots③]이다.

ㄱ. [eqn: a=1,```b=5,```m=1,```n=`2]를 [eqn: ③]식에 대입      하면, [eqn: {c+2} over {3} = {c-10} over {-1}]에서 [eqn: c=7]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a=0,```c=3,```m=2,```n=`1]을 [eqn: ③]식에 대입    하면, [eqn: {6+0} over {3} = {6-b} over {1}]에서 [eqn: p=2], [eqn: b=4]가 되어

[eqn: a<p<c<b]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: ①]식의 양변에 [eqn: m+n]을 곱하면

[eqn: LEFT ( m+n RIGHT ) p=mc+na` CDOTS CDOTS ④]이다.

[eqn: ②]식의 양변에 [eqn: m-n]을 곱하면

[eqn: LEFT ( m-n RIGHT ) p=mc-nb` CDOTS CDOTS ⑤]이다.

이때, [eqn: ④]식과 [eqn: ⑤]식을 연립하여 [eqn: p]에 관하여    정리하면 [eqn: p= a+b over2]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

21. [출제의도] 평행이동과 대칭이동의 의미를 이해하여 문제해결하기

점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면, 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a, ``a ^{ 2} RIGHT )]이 된다. 그런데 사각형 [eqn: RMABCD]가 정사각형이고

두 점 [eqn: RMB, ``D]가 직선 [eqn: y=x] 위의 점이므로,

점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a ^{ 2}, ```a ^{ 2} RIGHT )], 점 [eqn: rm D]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,``a RIGHT )], 점 [eqn: RMA]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a ^{2} ,```a RIGHT )]가 된다.

한편, 점 [eqn: RMA]가 곡선 [eqn: y=- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1 CDOTS ①]

위의 점이므로 [eqn: RMA][eqn: LEFT ( a ^{2} ,```a RIGHT )]를 [eqn: ①]의 식에 대입하면,

[eqn: a=- LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) ^{2} +1 CDOTS ②]가 성립한다.

[eqn: ②]의 식을 [eqn: a]에 관하여 정리하면,

[eqn: a ^{4} -2a ^{2} +a=0]

⇔ [eqn: a LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +a-1 RIGHT ) =0]이다.

이때, [eqn: a != 0,``a != 1]([eqn: BECAUSE][eqn: rm B], [eqn: rm D]는 서로 다른 점)이므로 [eqn: a ^{2} +a-1=0]에서

[eqn: `a= {-1+ sqrt {5}} over {2} `` LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]이다.

따라서 정사각형의 한 변의 길이는 다음과 같다.

[eqn: a-a ^{2} =a-(-a+1)][eqn: =2a-1][eqn: = sqrt {5} -2]

22. [출제의도] 나머지정리의 의미를 이해하기

다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x+2]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때,몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R]라 하면,

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x+2= LEFT ( x-2 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R cdots①]이다.

이때, [eqn: ①]의 식에 [eqn: x=2]를 대입하면,

[eqn: R=2 ^{3} +3․2 ^{2} -2+2=20]이다.

23. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이해하기

[eqn: y=x ^{2} +ax+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+b]의 두 교점의 [eqn: x]좌표는

이차방정식 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a-2 RIGHT ) x+3-b=0]의 두 근이다.

이때, 주어진 조건에서  [eqn: x ^{2} + LEFT ( a-2 RIGHT ) x+3-b=0]의 두 근이 [eqn: -2]와 [eqn: 1]이므로

근과 계수의 관계로부터

[eqn: -2+1=-a+2,``` LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES 1=3-b]이다.

그러므로 [eqn: ``a=3,```b=5]이다.

따라서 [eqn: 2b-a=7]

24. [출제의도] 두 직선의 평행조건과 수직조건을 이해하기

직선 [eqn: y=mx+3]이 직선 [eqn: y=` {n} over {2} x-1]과 수직이므로 [eqn: m․ {n} over {2} =-1]에서 [eqn: `mn=-2]이다.

한편, 직선 [eqn: y=mx+3]이 직선 [eqn: y= LEFT ( 3-n RIGHT ) x-1]과는 평행하므로 [eqn: m=3-n]에서 [eqn: ``m+n=3]이다.

따라서 [eqn: m ^{2} +n ^{2} = LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2} -2mn=13]

25. [출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 최소문제 해결하기

수험생이 하루에 구입해야 할 제품 [eqn: rm P]의 알의 개수를 [eqn: x], 제품 [eqn: rm Q]의 알의 개수를 [eqn: y]라 하면,

하루에 비타민[eqn: rmB _{ 1}]과 비타민[eqn: RMC]의 섭취량은 각각

[eqn: 20x+10y`( rm `mg)], [eqn: 20x+20y (rm mg)]이다.

이때, 주어진 조건에서 수험생이 하루에 비타민[eqn: rm B _{1}]을 [eqn: 60 rm mg]이상, 비타민[eqn: rm C]를 [eqn: 80` rm mg]이상 섭취해야 하므로 [eqn: `` {cases{x GEQ 0,`y GEQ 0`&#eqalign{20x+10y GEQ 60 ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}# 20x+20y GEQ 80 ^{{} ^{{} ^{{} ^{} ^{}}}}}&}} ````` CDOTS ①]이다.

한편, 수험생이 하루에 제품을 구입할 비용은

[eqn: 150x+100y]이므로 [eqn: 150x+100y=k`` CDOTS ②]라

하자. 이때, 아래 그림과 같이 [eqn: ②]의 직선을

연립부등식 [eqn: ①]의 영역 위에서 움직일 때,

[eqn: k]의 값의 최소는 두 직선 [eqn: 2x+y=6, ``x+y=4]의 교점 [eqn: LEFT ( 2,```2 RIGHT )]를 지날 때이다.

따라서 제품 [eqn: rm P]를 [eqn: 2]알, 제품 [eqn: rm Q]를 [eqn: 2]알 구입하면 되므로 필요한 최소비용은 [eqn: 150 TIMES2+100 TIMES2=500](원)이다.  ∴ [eqn: a=500]

[eqn: y=-2x+6]

[eqn: y=-x+4]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: rmO]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: (2,``2)]

26. [출제의도] 유리식을 계산하여 문제해결하기

[eqn: {x} over {1+ {2} over {x+1}} & = {x} over {{x+3} over {x+1}} & = {x ^{2} +x} over {x+3}]

[eqn: =x-2+ {6} over {x+3}]

따라서 [eqn: x-2+ {6} over {x+3} =x+a+ {b} over {x+3}]에서

[eqn: a=-2,``b=6]이므로 [eqn: a+b=4]이다.

27. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 문제해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: RMD(0,```6)]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: rmM(0, ```3)]

[eqn: rm S]

[eqn: rm 4]

[eqn: rm 6]

[eqn: x]

[eqn: y]

위 그림과 같이 점 [eqn: rm `C]를 원점으로 하고, 선분 [eqn: RMBC]를 [eqn: x]축, 선분 [eqn: rm DC]를 [eqn: y]축과 일치시키면, 점 [eqn: rm `A], [eqn: rm `M]의 좌표는 [eqn: rm `A LEFT ( -4,`6 RIGHT )], [eqn: rm M it LEFT ( 0,`3 RIGHT )]이다.

이때, 선분 [eqn: RMPR]의 길이를 [eqn: a]라 하면,

직선 [eqn: rmAC]의 방정식은 [eqn: y=- { 3} over {2 }x]이므로

점 [eqn: rm Q,``P]의 좌표는 [eqn: rm `Q it LEFT ( -a`,``0 RIGHT )], [eqn: RM P ITLEFT ( -a`,`` {3} over {2} a RIGHT )]이다.

한편, 직선 [eqn: RMAM]의 방정식은 [eqn: 3x+4y-12=0]이므로 점 [eqn: rm P LEFT ( it -a,``` {3} over {2} a RIGHT )]에서 직선 [eqn: 3x+4y-12=0]까지의 거리는 [eqn: {LEFT | 3a-12 RIGHT |} over {5}]이다.

또한 주어진 조건에서 [eqn: bar{rm PQ it} = bar{rm PS it}]이므로

[eqn: {3} over {2} a= {LEFT | 3a-12 RIGHT |} over {5} ``] ⇔ [eqn: 5a=2 LEFT | a-4 RIGHT |]이다.

그런데 상수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 0<a<4]이므로

[eqn: 5a=-2a+8]에서 [eqn: a= {8} over {7}]이다.

따라서 [eqn: a= {8} over {7} = {q} over {p}]([eqn: p,`q]는 서로소)에서 [eqn: p=7,``q=8]이므로 [eqn: p+q=15]이다.

28. [출제의도] 두 점 사이의 거리를 이용하여 실생활 문제해결하기

[eqn: RMA LEFT ( -12, ```0 RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B LEFT ( 0,``6 RIGHT )]

[eqn: x]

•

•

•

[eqn: rm C LEFT ( 3,```0 RIGHT )]

위 그림과 같이 두 지점 [eqn: RMA,```C]를 지나는 직선을 [eqn: x]축으로 하고, 지점 [eqn: RMB]를 지나면서 [eqn: x]축에 수직인 직선을 [eqn: y]축이라 하면, 각 지점 [eqn: rm `A,``B,``C]의 좌표는

[eqn: RMA LEFT ( -12, ```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,``6 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,```0 RIGHT )]이다.

이때, 구하는 [eqn: RMD]지점의 좌표를 [eqn: rm D ITLEFT ( a,```b RIGHT )]라 하자.

동일평면 위의 [eqn: RMA ,``B,``C] 각 지점에서 [eqn: rm`D]지점까지의 각각의 직선 도로 건설비용이 모두 같다고 하였으므로

[eqn: bar{rm AD it} `:` bar{rm BD it} `: bar{rm `CD it} `=`4``:`2:1]임을 알 수 있다.

ⅰ) [eqn: bar{rm AD it} `:` bar{rm BD it} ``=`4``:`2`=`2`:`1]에서 [eqn: 2 bar{rm BD it} `=` bar{RMAD}]

즉, [eqn: 4`{ bar{rm BD it rm }}^2 `=` {bar{rm AD it}}^2]

⇔ [eqn: 4LEFT { a ^{ 2}+ LEFT ( b-6 RIGHT ) ^{ 2} RIGHT }= LEFT ( a+12 RIGHT ) ^{ 2}+b^2]

⇔ [eqn: a ^{2} -8a+b ^{2} -16b=0 CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ①]

ⅱ) [eqn: ` bar{rm BD it} `: bar{rm `CD it} `=`2:1]에서 [eqn: 2 bar{rm CD it} `=` bar{rm BD it}]

즉, [eqn: 4` {bar{rm CD} }^2 `=`{ bar{rm BD it}} ^{2}}]

⇔ [eqn: 4 LEFT { LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} +b ^{2} RIGHT } =a ^{2} + LEFT ( b-6 RIGHT ) ^{2}]

⇔ [eqn: a ^{2} -8a+b ^{2} +4b=0 CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ②]

[eqn: ①], [eqn: ②]를 연립하여 풀면, [eqn: (a,b)= LEFT ( 0,```0 RIGHT ) ,``` LEFT ( 8,```0 RIGHT )]이다. 그러므로 두 지점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT ) ,``` LEFT ( 8,```0 RIGHT )]이다. 따라서 두 지점 사이의 거리는 [eqn: 8 rm km]이다.

∴ [eqn: x=8]

29. [출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하기

아래 그림과 같이

ⅰ) 직선 [eqn: y=ax+b]가 이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프에 접하므로 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -ax-b=0]의 판별식은 [eqn: D=0]이다. 그러므로 [eqn: a ^{2} =-8b] [eqn: CDOTS `①]

ⅱ) 직선 [eqn: y=ax+b]가 원 [eqn: x ^{2}+ LEFT ( y+1 RIGHT )^2 =1]에

접하므로 [eqn: {LEFT | 1+b RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +1}} =1]이다.

그러므로 [eqn: a^2 +1=b^2 +2b +1] [eqn: CDOTS `②]

[eqn: ①], [eqn: ②]를 연립하여 풀면,

[eqn: b=-10``` LEFT ( b<0 RIGHT )], [eqn: a^2 =80]이다.

따라서 [eqn: `a ^{2`} +b=70]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: y=ax+b]

[eqn: y=2x^2]

[eqn: b]

[eqn: x^2 + LEFT ( y+1 RIGHT )^2 =1]

30. [출제의도] 항등식을 이용하여 문제해결하기

[eqn: (x+9)(x+99)(x+999)]

[eqn: =x ^{3} +A _{1} x ^{2} +A _{2} x+A _{3} `` CDOTS ①]에서

[eqn: A _{1} =9+99+999],

[eqn: A _{2} =9 TIMES 99+99 TIMES 999+999 TIMES 9],

[eqn: A _{3} =9 TIMES 99 TIMES 999] 이므로

[eqn: ①]의 식에 [eqn: x=1]을 대입하면,

[eqn: 10 TIMES 100 TIMES 1000=1+A _{1} +A _{2} +A _{3}]이다.

따라서 [eqn: A _{1} +A _{2} +A _{3} =999999]를 [eqn: 1000]으로

나눈 나머지는 [eqn: 999]이다.