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정 답

1	①	2	③	3	④	4	③	5	⑤
6	③	7	②	8	⑤	9	①	10	⑤
11	②	12	②	13	⑤	14	④	15	②
16	①	17	④	18	②	19	④	20	③
21	①	22	[eqn: 36]	23	[eqn: 5]	24	[eqn: 6]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 78]	28	[eqn: 144]	29	[eqn: 252]	30	[eqn: 172]

해 설

1. [출제의도] 거듭제곱의 뜻을 알고 식의 값을 계산한다.

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{3}][eqn: = {1} over {4} TIMES LEFT ( -8 RIGHT ) `]
[eqn: =`-2]

2. [출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈을 하여 식을 간단히 한다.

[eqn: 2A-B][eqn: =2 LEFT ( x+y RIGHT ) - LEFT ( 2x-3y RIGHT ) `]
[eqn: =2x+2y-2x+3y`]
[eqn: = LEFT ( 2-2 RIGHT ) x+ LEFT ( 2+3 RIGHT ) y`]
[eqn: =5y`]

3. [출제의도] 일차방정식의 해를 구한다.

[eqn: 3(x-1)=2x-1`]

[eqn: 3x-3=2x-1`]

[eqn: 3x-2x=3-1`]

따라서 [eqn: x=2`]

4. [출제의도] 완전제곱식의 뜻을 이해하여 다항식이 완전제곱식이 되는 상수항을 구한다.

다항식 [eqn: x ^{2} -8x+a`]가 완전제곱식이 되기 위해서는 [eqn: a`]의 값이 일차항의 계수의 [eqn: {1} over {2} `]의 제곱이 되어야 하므로

[eqn: a= LEFT ( {-8} over {2} RIGHT ) ^{2} =(-4) ^{2} `=16`]

5. [출제의도] 삼각형의 무게중심과 평행사변형의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

평행사변형 [eqn: rm `ABCD`]의 두 대각선 [eqn: rm AC`], [eqn: rm BD`]의 교점을 [eqn: rm I`]라 하자.

점 [eqn: rm E`]는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 무게중심이므로

[eqn: rm {bar{EI}} = {1} over {3} {bar{BI}} `]

점 [eqn: rmF`]는 삼각형 [eqn: rmCDA`]의 무게중심이므로

[eqn: rm {bar{IF}} = {1} over {3} {bar{ID}} `]

따라서 구하는 값은

[eqn: rm {bar{EF}}][eqn: rm = {bar{EI}} + {bar{IF}} `]
[eqn: = {1} over {3} rm {bar{BI}} + {1} over {3} {bar{ID}} `]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( rm {bar{BI}} + {bar{ID}} RIGHT ) `]
[eqn: rm = {1} over {3} {bar{BD}} `]
[eqn: = {1} over {3} TIMES 24`]
[eqn: =8`]

[다른풀이]

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 선분 [eqn: rm BD`]는 두 삼각형의 무게중심을 지난다.

따라서 무게중심을 연결한 선분 [eqn: rm`EF`]의 길이는 대각선 [eqn: rm BD`]의 길이의 [eqn: {1} over {3} `]이므로

[eqn: rm {bar{EF}}][eqn: rm = {1} over {3} {bar{BD}} `]
[eqn: = {1} over {3} TIMES 24`]
[eqn: =8`]

6. [출제의도] 직각삼각형에서 삼각비의 뜻을 이해하여 그 값을 구한다.

직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} `]이므로

[eqn: rm {bar{AC}}][eqn: rm = sqrt {{bar{AB}} ^{2} - {bar{BC}} ^{2}} `]
[eqn: = sqrt {4 ^{2} -3 ^{2}} `]
[eqn: = sqrt {7} `]

따라서 [eqn: tanB= rm {{bar{AC}}} over {{bar{BC}}} = {sqrt {7}} over {3} `]

7. [출제의도] 최소공배수의 뜻을 이해하고 소인수분해를 이용하여 최소공배수를 구한다.

과자의 무게의 합은 [eqn: 75`]의 배수이고, 음료수의 무게의 합은 [eqn: 120`]의 배수이다.

두 무게의 합이 같으려면 과자의 무게의 합과 음료수의 무게의 합이 [eqn: 75`]와 [eqn: 120`]의 공배수이어야 한다.

두 수 [eqn: 75`], [eqn: 120`]을 소인수분해하면

[eqn: 75=3 TIMES 5 ^{2} `]

[eqn: 120=2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5`]

따라서 두 수 [eqn: 75`], [eqn: 120`]의 최소공배수는

[eqn: 2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5 ^{2} `]

과자의 무게의 합과 음료수의 무게의 합이 [eqn: 75`]와 [eqn: 120`]의 최소공배수가 될 때 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 값이 각각 최소이므로 [eqn: a+b`]의 값도 최소가 된다.

따라서 과자 [eqn: a`]개의 무게가 [eqn: 2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5 ^{2} `]일 때 [eqn: a`]의 값을 구하면

[eqn: 3 TIMES 5 ^{2} ` TIMES a=2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5 ^{2}]

[eqn: a=2 ^{3} `=`8]

음료수 [eqn: b`]개의 무게가 [eqn: 2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5 ^{2} `]일 때 [eqn: b`]의 값을 구하면

[eqn: 2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5` TIMES b=2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5 ^{2}]

[eqn: b=5]

따라서 구하는 최솟값은

[eqn: a+b][eqn: =8+5]
[eqn: =13`]

8. [출제의도] 닮음비와 부피의 비의 관계를 이해하여 식의 값을 구한다.

두 구슬 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]의 지름의 길이가 각각 [eqn: 8`]cm, [eqn: 12`]cm이므로 닮음비는

[eqn: 8:12=2:3]

따라서 두 구슬의 부피의 비는

[eqn: 2 ^{3} `:`3 ^{3} `=8:27`]

주어진 조건에 의해 두 구슬의 가격은 부피에 비례하므로

[eqn: a`:`b=8`:`27`]

[eqn: 27a=8b`]

따라서 [eqn: b over a = 27 over 8]

[다른풀이]

구슬 [eqn: rm A`]의 부피는

[eqn: {4} over {3} TIMES pi TIMES 4 ^{3} = {256} over {3} pi `]

구슬 [eqn: rm B`]의 부피는

[eqn: {4} over {3} TIMES pi TIMES 6 ^{3} =288 pi `]

두 구슬의 가격은 구슬의 부피에 비례하므로

[eqn: a`:`b`][eqn: = {256} over {3} pi `:`288 pi `][eqn: =8`:`27]

[eqn: 27a=8b]이므로

[eqn: { b} over {a } = {27 } over {8 }]

9. [출제의도] 연립일차부등식의 정수인 해의 개수를 구한다.

연립부등식

[eqn: {cases{`4x`>`x-9#`x+2` GEQ `2x-3}} `]
에서 부등식 [eqn: 4x>x-9`]를 풀면

[eqn: 4x-x>`-9`]

[eqn: 3x>`-9`]

[eqn: x`>`-3`] [eqn: cdots] ㉠

부등식 [eqn: x+2` GEQ 2x-3`]을 풀면

[eqn: x-2x` GEQ `-2-3`]

[eqn: -x` GEQ `-5`]

[eqn: x` LEQ `5`] [eqn: cdots] ㉡

두 부등식 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x`]의 값의 범위를 수직선에 나타내면 다음과 같다.

위 그림에서 구하는 [eqn: x`]의 값의 범위는

[eqn: -3<`x` LEQ `5`]

따라서 구하는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]

이므로 개수는 [eqn: 8`]이다.

10. [출제의도] 도수분포표를 이해하고 실생활 문제와 관련된 확률을 구한다.

주어진 도수분포표에서 도수의 합이 [eqn: 20`]이므로

[eqn: 3+2+6+4+a=20`]

위 등식으로부터

[eqn: a=5`]이다.

한편 주어진 도수분포표에서 한 학기 동안 이수한 방과후학교의 이수시간이 [eqn: 30`]시간 이상인 학생 수는

[eqn: 4+a=4+5=9`]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {9} over {20} `]이다.

11. [출제의도] 무리수의 뜻을 이해하여 도형의 둘레의 길이를 구한다.

한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형의 대각선의 길이는 [eqn: sqrt {2}]이다.

다음과 같이  모양의 도형에서 각 꼭짓점을 차례로

[eqn: rmA`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rm D`], [eqn: rm E`], [eqn: rm F`], [eqn: rm G`], [eqn: rm H`], [eqn: rm I`], [eqn: rm J`], [eqn: rm K`]

라 하자.

이 도형의 각 변의 길이를 구하면 다음과 같다.

[eqn: rm ` {bar{AB}} `= sqrt {2} `]

[eqn: rm ` {bar{BC}} `=2- sqrt {2} `]

[eqn: rm ` {bar{CD}} `= sqrt {2} `]

[eqn: rm ` {bar{DE}} `+` {bar{IH}} =3 sqrt {2} -2 sqrt {2} `][eqn: = sqrt {2}]

[eqn: rm ` {bar{EF}} `=2`]

[eqn: rm ` {bar{FG}} `= sqrt {2}]

[eqn: rm ` {bar{GH}} `=2]

[eqn: rm ` {bar{IJ}} `= sqrt {2} `]

[eqn: rm ` {bar{JK}} `=2- sqrt {2} `]

[eqn: rm ` {bar{KA}} `= sqrt {2} `]

따라서  모양의 도형의 둘레의 길이는

[eqn: LEFT . sqrt {2} +2 LEFT ( 2- sqrt {2} RIGHT ) + sqrt {2} + sqrt {2} +2+ sqrt {2} +2+ sqrt {2} + sqrt {2} RIGHT .]

[eqn: =8+4 sqrt {2}]

12. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해하여 자료의 평균을 구한다.

줄기가 [eqn: 0`]일 때의 자료의 합은

[eqn: 1+1+2+2+3+4+5+9][eqn: =27`]

줄기가 [eqn: 1`]일 때의 자료의 합은

[eqn: 10 TIMES 6+(0+1+1+a+7+8)][eqn: =a+77`]

줄기가 [eqn: 2`]일 때의 자료의 합은

[eqn: 20 TIMES 5+(a+6+8+8+8)][eqn: =a+130`]

줄기가 [eqn: 3`]일 때의 자료의 합은

[eqn: a+30]

주어진 조건에서 [eqn: 20`]개의 자료의 평균이 [eqn: 13.5`]이다.

이때

[eqn: (평균)`=`` {`(변량의```총합)`} over {`(변량의``개수)`}]

이므로 평균을 구하면

[eqn: (평균)][eqn: =` {27+(a+77)+(a+130)+(a+30)} over {20}]
[eqn: = {3a+264} over {20} `]
[eqn: =13.5`]

[eqn: 3a+264=270`]에서 [eqn: 3a=6`]

따라서 [eqn: a=2`]

13. [출제의도] 일차함수의 그래프를 이해하여 직선의 기울기와 [eqn: y`]절편을 구한다.

정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 각 변의 길이가 모두 같으므로

[eqn: rm ` {bar{AB}} `=` {bar{BC}} `= it `a`]라 하자.

그러면 직선 [eqn: rm AC`]의 기울기는

[eqn: {-a} over {a} =`-1]이다.

직선 [eqn: rm AC`]의 [eqn: y`]절편을 [eqn: b`]라 하면 이 직선의 방정식은

[eqn: y=`-`x+b`]

이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT ) `]을 지나므로 [eqn: x=2`], [eqn: y=3`]을 대입하면

[eqn: 3=`-2+b`]에서 [eqn: b=5`]

따라서 직선 [eqn: rm AC`]의 [eqn: y`]절편은 [eqn: 5`]이다.

14. [출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이해하여 점의 좌표를 구한다.

이차함수 [eqn: y`=`x ^{2} `]의 그래프 위의 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하면 점 [eqn: rm A`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm A it LEFT ( t`,```t ^{2} RIGHT ) `]

점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]이고 정사각형 [eqn: rm `ABCD`]의 한 변의 길이가 [eqn: 1`]이므로 점 [eqn: rm C`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: t+1`]이고 점 [eqn: rm`C`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: t ^{2} -1`]이다.

따라서 점 [eqn: rm`C`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm C it LEFT ( t+1`,```t ^{2} -1 RIGHT )] [eqn: CDOTS] ㉠

한편 조건에 의해 점 [eqn: rm C]는 이차함수 [eqn: y`=` {1} over {2} `x ^{2} `]의 그래프 위의 점이므로 점 [eqn: rm C]의 [eqn: x`]좌표 [eqn: t+1`]을 [eqn: y`=` {1} over {2} `x ^{2} `]에 대입하면 점 [eqn: rm C]의 [eqn: y`]좌표는

[eqn: {1} over {2} LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} `]

따라서 점 [eqn: rmC`]의 좌표는

[eqn: rm C LEFT ( it t+1`,``` {1} over {2} LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT ) `] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: t ^{2} -1= {1} over {2} LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} `]

위 등식을 정리하면

[eqn: 2t ^{2} `-2``=``t ^{2} `+`2t`+`1`]

[eqn: `t ^{2} ``-`2t``-3`=`0`]

인수분해하면

[eqn: (t+1)(t-3)=0`]

따라서 [eqn: t`=`-1`] 또는 [eqn: t`=`3`]

점 [eqn: rm A`]는 제[eqn: 1`]사분면의 점이므로

[eqn: t>0`]에서 [eqn: t`=3`]

따라서 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 3`]이므로 [eqn: y`]좌표는

[eqn: 3 ^{2} =9`]이다.

그러므로 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표의 합은

[eqn: 3+9=12`]이다.

15. [출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: rm A`]지점을 원점 [eqn: rm O`], 지면을 [eqn: x`]축, 원점 [eqn: rm O`]를 지나고 지면과 수직인 직선을 [eqn: y`]축으로 하는 좌표평면을 생각하자.

지점 [eqn: rmB`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm B(6 `,```0)`]

지점 [eqn: rmC`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm C LEFT ( {9} over {2} `,```0 RIGHT ) `]

지점 [eqn: rmP`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm P LEFT ( {9} over {2} `,```6 RIGHT ) `]

세 점을 지나는 포물선을 이차함수

[eqn: y=a(x-p)^2 +q`]

의 그래프라 하면 다음과 같다.

이 그래프의 축의 방정식은

[eqn: x=3`]이므로 [eqn: p=3]

따라서 이차함수는

[eqn: y=a(x-3)^2 +q`]

이다. 이차함수 [eqn: y=a(x-3) ^{2} +q`]의 그래프는 원점을 지나므로

[eqn: 0= a(0-3)^2 + q`]

위 식을 정리하면

[eqn: 0=9a+q`] [eqn: cdots] ㉠

이차함수 [eqn: y=a(x-3) ^{2} +q`]의 그래프는 점 [eqn: rm B`]를 지나고 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: (6`,```0)`]이므로

[eqn: 0=a LEFT ( 6-3 RIGHT ) ^{2} +q`]

위 식을 정리하면

[eqn: 0=9a+q`]

이차함수 [eqn: y=a(x-3)^2 +q`]의 그래프는 점 [eqn: rm P`]를 지나고 점 [eqn: rm P`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {9} over {2} `,```6 RIGHT )`]이므로

[eqn: 6=a LEFT ( {9} over {2} -3 RIGHT ) ^{2} +q`]

위 식을 정리하면

[eqn: 6= 9over4 a + q`] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 6= {9} over {4} a-9a`]

[eqn: a=`- {8} over {9} `]

[eqn: q=`-9 TIMES LEFT ( - {8} over {9} RIGHT ) =8`]

[eqn: y=`- {8} over {9} (x-3) ^{2} +8`]

따라서 이차함수

[eqn: y=`- {8} over {9} (x-3) ^{2} +8`]

은 [eqn: x=3`]일 때 최댓값이 [eqn: 8`]이므로 공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 [eqn: 8`rm m`]이다.

[다른풀이]

지면을 [eqn: x`]축, 포물선의 축을 [eqn: y`]축, [eqn: rm A`]지점을

점 [eqn: (-3`,```0)`]으로 하는 좌표평면을 생각하자.

그러면 지점 [eqn: rmB`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm B(3`,```0)`]

지점 [eqn: rmC`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm C` LEFT ( {3} over {2} `,```0 RIGHT ) `]

지점 [eqn: rmP`]의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: rm P` LEFT ( {3} over {2} `,```6 RIGHT ) `]

세 점을 지나는 포물선을 이차함수

[eqn: y=ax ^{2} +q`]

의 그래프라 하면 다음과 같다.

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +q`]의 그래프는 점 [eqn: rm B`]를 지나고 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: (3`,```0)`]이므로

[eqn: 0=a TIMES 3 ^{2} +q`]

위 식을 정리하면

[eqn: 0=9a+q`] [eqn: cdots] ㉠

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +q`]의 그래프는 점 [eqn: rm P`]를 지나고 점 [eqn: rm P`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {3} over {2} `,```6 RIGHT ) `]이므로

[eqn: 6=a TIMES LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +q`]

위 식을 정리하면

[eqn: 6= 9over4 a + q`] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 6= 9 over 4 a - 9a`]

[eqn: a=`- {8} over {9} `]

[eqn: q=`-9 TIMES LEFT ( - {8} over {9} RIGHT ) =8`]

[eqn: y=`- {8} over {9} x ^{2} +8`]

따라서 이차함수 [eqn: y=`- {8} over {9} x ^{2} +8`]은 [eqn: x=0`]일 때 최댓값이 [eqn: 8`]이므로 공이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 [eqn: 8`rm m`]이다.

16. [출제의도] 원주각의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구하는 과정을 추론한다.

두 점 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이 각각 두 선분 [eqn: rmAB`], [eqn: rmAC`]의 중점이므로

[eqn: {bar{rm MN it}} = {1} over {2} {bar{rm BC it}} = {BOX{``3``}}]

[eqn: {bar{rm PM it}} `=x`]라 하자.

점 [eqn: rmA`]에서 선분 [eqn: rm`MN`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm`H`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC`]가 정삼각형이므로 직선 [eqn: rmAH`]는 원의 중심을 지나고 원의 성질에 의해

[eqn: {bar{rm PH it}} = {bar{rm HQ it}} `]

한편 [eqn: {bar{rm MH it}} = {bar{rm HN it}} `]이므로

[eqn: {bar{rm NQ it}} = {bar{rm PM it}} =x`]

호 [eqn: rmPC`]에 대한 원주각의 크기는 일정하므로

[eqn: anglermPAC=anglermPQC`]이고

맞꼭지각의 크기가 같으므로

[eqn: anglermANP=anglermQNC`]이다.

따라서 [eqn: rm TRIANGLE APN`□ ` TRIANGLE QCN`]이므로

[eqn: {bar{rm AN it}} `:` {bar{rm `PN` it}} = {bar{rm QN it}} `:`` {bar{rm CN it}} `]

이때 [eqn: {bar{rm AN it}} = {bar{rm `CN it}} = {1} over {2} {bar{rm AC it}} =3`]이므로

[eqn: 3`:` {BOX{```x+3```}} `=x`:`3`]

이다.

[eqn: x(x+3)=9`]

[eqn: x ^{2} +3x-9=0`]

이차방정식의 근의 공식에 의하여

[eqn: x= {-3+-`3 sqrt {5}} over {2}]

[eqn: x>0`]이므로

[eqn: x= {-3+3 sqrt {5}} over {2}]

그러므로

[eqn: {bar{rm PQ it}}][eqn: =2 {bar{rm PM it}} + {bar{rm MN it}}]
[eqn: =2x+3`]
[eqn: =2Times {-3+3 sqrt {5}} over {2} +3`]
[eqn: =`-3+3 sqrt {5} +`3``]
[eqn: =` {BOX{```3 sqrt {5} ```}}]

따라서 [eqn: a=3`], [eqn: b=3 sqrt {5} `]이므로

[eqn: {b} over {a}][eqn: = {`3 sqrt {5}} over {3`}]
[eqn: = sqrt {5} `]

17. [출제의도] 일차함수의 그래프와 삼각형의 닮음의 성질을 이용하여 점의 좌표를 구한다.

일차함수 [eqn: y=`- {3} over {4} x+3`]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하고 원점을 [eqn: rmO`]라 하자.

일차함수 [eqn: y=`- {3} over {4} x+3`]의 그래프의 [eqn: y`]절편은

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: y=3`]

일차함수 [eqn: y=`- {3} over {4} x+3`]의 그래프의 [eqn: x`]절편은

[eqn: y=0`]을 대입하면 [eqn: 0=`- {3} over {4} x+3`]

[eqn: {3} over {4} x=3`]이므로 [eqn: x=4]

따라서 삼각형 [eqn: rm AOB`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES 3=6`]

한편 두 직각삼각형 [eqn: rm `AQP`], [eqn: rm AOB`]에서

[eqn: rm ANGLE `QAP=�` ANGLE OAB`]이므로

[eqn: rm triangle AQP` □ `triangle AOB`] ([eqn: rmAA`]닮음)

따라서 [eqn: rm triangle AQP = 8 over3 `], [eqn: rm TRIANGLE AOB=`6`]에서

[eqn: rm TRIANGLE AQP`:` TRIANGLE AOB][eqn: = {8} over {3} `:`6][eqn: =4`:`9`]

삼각형 [eqn: rm `AQP``]와 삼각형 [eqn: rm AOB`]의 넓이의 비가 [eqn: 4`:``9`]이므로 두 삼각형 [eqn: rm `AQP`], [eqn: rm AOB`]의 닮음비는 [eqn: 2`:`3`]이다.

[eqn: rm {bar{AO}} =``3], [eqn: rm {bar{AQ}} =`2`]이므로 점 [eqn: rm Q`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 1`]이고 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: y`]좌표는 점 [eqn: rm Q`]의 [eqn: y`]좌표와 같으므로 [eqn: 1`]이다.

[다른풀이]

일차함수 [eqn: y=`- {3} over {4} x+3`]의 그래프의 [eqn: y`]절편이 [eqn: 3`]이므로 점 [eqn: rm A` LEFT ( 0`,```3 RIGHT ) `]이다.

점 [eqn: rmP`]의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: k`]라 하고 [eqn: x`]좌표를 구하면

[eqn: k=`- {3} over {4} x+3`]

에서

[eqn: x= {4} over {3} (3-k)`]

따라서 삼각형 [eqn: rmAQP`]의 넓이는

[eqn: TRIANGLE rmAQP][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AQ it}} TIMES {bar{rm QP it}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 3-k RIGHT ) TIMES {4} over {3} LEFT ( 3-k RIGHT ) `]
[eqn: = {2} over {3} LEFT ( 3-k RIGHT ) ^{2} `]

주어진 조건에서

[eqn: {2} over {3} LEFT ( 3-k RIGHT ) ^{2} `][eqn: = {8} over {3} `]

[eqn: LEFT ( 3-k RIGHT ) ^{2} =4`]

[eqn: k ^{2} -6k+5=0`]

따라서 [eqn: k=1`] 또는 [eqn: k=5`]

[eqn: 0<k<3`]이므로 [eqn: k=1`]

따라서 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 1`]이다.

18. [출제의도] 삼각비의 값을 활용하여 높이를 구하는 실생활 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rm EF`]의 연장선이 선분 [eqn: rm AG`]와 만나는 점을 [eqn: rm H`]라 하자.

직각삼각형 [eqn: rmAEH`]에서

[eqn: tan45°= {{bar{rm HE it}}} over {{bar{rm AH it}}} `]

따라서

[eqn: rm {bar{HE}}][eqn: = rm bar{ AH} tan 45°]
[eqn: =45`tan45°]
[eqn: =45]

직각삼각형 [eqn: rm AGB`]에서

[eqn: tan30°= {{bar{rm BG it}}} over {{bar{rm AG it}}} `]

따라서

[eqn: rm bar{BG}][eqn: = rm {bar{AG}} tan30°]
[eqn: =90`tan30°]
[eqn: = 90 times sqrt3 over3]
[eqn: =30 sqrt {3}]

그러므로 구하는 값은

[eqn: rm {bar{BD}}][eqn: rm = {bar{BG}} + rm {bar{GD}} `]
[eqn: rm = {bar{BG}} + rm {bar{HE}} `+` {bar{EF}} `]
[eqn: = `30 root3 + 45 + 30]
[eqn: = `75 + 30 root3 `]

19. [출제의도] 닮은 삼각형의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

선분 [eqn: rmBD]의 중점을 [eqn: rm G]라 하고 두 점 [eqn: rmG`], [eqn: rmE`]를 선분으로 연결하면

[eqn: rm TRIANGLE BCD□ TRIANGLE BEG`]이므로

[eqn: rm {bar{EG}} = {1} over {2} {bar{CD}} `]

선분 [eqn: rmBD`]의 중점이 [eqn: rm G`]이므로

[eqn: rm bar { G E} `//` bar DC`]

또, [eqn: rm TRIANGLE A G E`]에서

[eqn: rm bar DF`//`bar {G E}`], [eqn: rm bar AD `=` bar DG`]이므로

[eqn: rm bar AF`=`bar FE`]

두 점 [eqn: rmD`], [eqn: rmF`]는 각각 선분 [eqn: rmAG`]와 선분 [eqn: rm AE`]의 중점이므로

[eqn: rm {bar{FD}}][eqn: rm = {1} over {2} {bar{EG}}]
[eqn: rm = {1} over {2} LEFT ( {1} over {2} {bar{CD}} RIGHT )]
[eqn: rm = {1} over {4} {bar{CD}} `]

에서

[eqn: rm {bar{FC}}][eqn: rm = {bar{CD}} - {bar{FD}}]
[eqn: rm = {bar{CD}} - {1} over {4} {bar{CD}}]
[eqn: rm = {3} over {4} {bar{CD}} ``]

따라서 [eqn: rm {bar{DF}} `: rm ` {bar{CF}} =1`:`3`]

[eqn: rm {bar{CF}} =3 {bar{DF`}}]

따라서 두 삼각형 [eqn: rm ADF`], [eqn: rmFEC`]의 넓이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: rm TRIANGLE ADF= {1} over {2} TIMES {bar{DF}} TIMES {bar{AF}} TIMES sin( ANGLE rm AFD)]

[eqn: rm TRIANGLE FEC][eqn: rm = {1} over {2} TIMES {bar{CF}} TIMES {bar{FE}} TIMES sin( ANGLE rm CFE)]
[eqn: rm = {1} over {2} TIMES LEFT ( 3 {bar{DF}} RIGHT) TIMES {bar{AF}} TIMES sin( ANGLE rm AFD)]
[eqn: =3times rm TRIANGLE ADF`]

따라서 [eqn: rm {TRIANGLE ADF} over {TRIANGLE FEC} ` =` 1 over 3`]

[다른풀이]

선분 [eqn: rmBD`]의 중점을 [eqn: rmG`]라 하면

[eqn: rm bar { G E} `//` bar DC`]

또, [eqn: rm TRIANGLE A G E`]에서

[eqn: rm bar DF`//`bar {G E}`], [eqn: rm bar AD `=` bar DG`]이므로

[eqn: rm bar AF`=`bar FE`]

[eqn: rm triangle ABF` =` triangle FBE ` =` triangle FEC ` =` triangle FCA`]

[eqn: rm {bar{AD}} `:` {bar{DB}} `=`1`:`2`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ADF][eqn: rm =` {1} over {3} TRIANGLE ABF]
[eqn: rm ={1} over {3} TRIANGLE FEC`]

따라서 [eqn: rm {TRIANGLE ADF} over {TRIANGLE FEC} `=` {1} over {3} `]

20. [출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이용하여 성립하는 내용을 추측한다.

ㄱ. [eqn: x=1`], [eqn: y=1`]을 [eqn: y=x ^{2} -a`x+a`]에 대입하면
[eqn: 1=1 ^{2} -a+a`]
이므로 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -a`x+a`]의 그래프는
점 [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT ) `]을 지난다. (참)

ㄴ. [eqn: y][eqn: =x ^{2} -ax+a`][eqn: = LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +a`]
에서 이차함수 [eqn: y`=`x ^{2} -ax+a`]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {a} over {2} `]이다.
이차함수 [eqn: y`=`x ^{2} -ax+a`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: - {a} over {2} `]만큼 평행이동하면 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는
[eqn: {a} over {2} + LEFT ( - {a} over {2} RIGHT ) =0`]
이 되므로
[eqn: y=`x ^{2} - {a ^{2}} over {4} +a`]
이다. 따라서 이차함수 [eqn: y=`x ^{2} - {a ^{2}} over {4} +a`]의 그래프는 [eqn: y`]축에 대칭이다. (참)

ㄷ. ㄴ에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -a`x+a`]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
[eqn: LEFT ( {a} over {2} `,```- {a ^{2}} over {4} +a RIGHT ) `]
이므로 꼭짓점이 [eqn: x]축 위에 있으려면
[eqn: - {a ^{2}} over {4} +a=0`]
이어야 한다.
[eqn: - {a ^{2}} over {4} +a=0`]
[eqn: a ^{2} -4a=0`]
인수분해하면
[eqn: a(a-4)=0`]
[eqn: a=0`] 또는 [eqn: a=4`]
따라서 구하는 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 2`]이다. (거짓)

21. [출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구한다.

두 점을 연결하여 만든 도형의 길이가 [eqn: root5`]인 경우는 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형에서 한 꼭짓점과 그 점을 포함하지 않는 변의 중점을 연결한 경우뿐이다.

이때 하나의 점을 더 연결하여 만든 도형의 길이가 [eqn: sqrt {2} + sqrt {5} `]가 되기 위해서는 그림과 같이 선분의 길이가 [eqn: root5`]인 선분의 양 끝점 중 하나와 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형의 대각선을 이룰 수 있는 점을 찾아야 한다.

ⅰ) 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형의 각 꼭짓점이 두 선분의 교점인 경우
교점에서 길이가 [eqn: root2`]인 선분을 만들 수 있는 점은 하나뿐이므로 길이가 [eqn: root5`]인 선분을 그릴 수 있는 경우는 그림과 같이 [eqn: 2`]가지다.

한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형의 꼭짓점은 [eqn: 4]개이므로 가능한 경우의 수는 [eqn: 2times4=8`]이다.

ⅱ) 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형의 각 변의 중점이 두 선분의 교점인 경우
교점에서 길이가 [eqn: root2`], [eqn: root5`]인 선분을 만들 수 있는 경우는 각각 두 가지씩이므로 그림과 같이 [eqn: 4`]가지 경우가 있다.

한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형의 변의 중점은 [eqn: 4`]개이므로 가능한 경우의 수는 [eqn: 4 TIMES 4=16`]이다.

ⅰ), ⅱ)에서

구하는 모든 도형의 개수는

[eqn: 8+16=24`]이다.

[다른풀이]

[eqn: sqrt {2} + sqrt {5} = sqrt {5} + sqrt {2} `]이므로 먼저 두 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 도형을 만든 경우를 생각하자.

두 점을 연결한 도형의 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 도형은 그림과 같이 정중앙에 있는 점이 다른 한 점과 연결되어 있는 경우와 정중앙에 있지 않는 [eqn: 8`]개의 점들 중에서 [eqn: 2`]개의 점이 연결된 경우로 나눌 수 있다.

ⅰ) 정중앙에 있는 점과 다른 한 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 도형을 만든 경우는 [eqn: 4`]가지다.
정중앙에 있는 점과 나머지 다른 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {5} `]인 도형을 만들 수 없고, 나머지 [eqn: 8`]개의 점들 중 [eqn: 2`]개의 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {5} `]인 도형을 만들 수 있다. 따라서 이 경우 그림과 같이 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 도형에 다른 한 점을 더 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} + sqrt {5} `]인 도형을 만드는 방법은 각각 [eqn: 2`]가지다.

따라서 구하는 도형의 개수는
[eqn: 4times2=8`]이다.

ⅱ) 정중앙에 있지 않는 [eqn: 8`]개의 점 중 [eqn: 2`]개의 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 도형을 만든 경우는 [eqn: 4`]가지다.
이 두 점과 나머지 다른 점을 연결하여 [eqn: sqrt {5} `]인 선분을 각각 [eqn: 2`]개씩 만들 수 있다. 따라서 이 경우 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 도형에 다른 한 점을 더 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} + sqrt {5} `]인 도형을 만드는 방법은 [eqn: 4`]가지다.

따라서 구하는 도형의 개수는 [eqn: 4 TIMES 4=16`]이다.

ⅰ), ⅱ)에서

구하는 모든 도형의 개수는
[eqn: 8+16=24`]이다.

[다른풀이]

세 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} + sqrt {5} `]인 도형을 만드는 경우는 그림과 같이 이웃하는 변의 길이가 각각 [eqn: 1`], [eqn: 2`]인 직사각형에서 길이가 [eqn: 2`]인 변의 중점과 직사각형의 꼭짓점을 연결하는 경우와 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형의 한 꼭짓점과 두 변의 중점을 연결하는 경우에서 살펴볼 수 있다.

ⅰ) 이웃하는 변의 길이가 각각 [eqn: 1`], [eqn: 2`]인 직사각형을 이루는 점으로 도형을 만든 경우
한 직사각형을 이루는 [eqn: 6`]개의 점들 중 세 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} + sqrt {5} `]인 도형을 만들 수 있는 경우는 다음과 같이 [eqn: 4`]가지다.

이때 주어진 [eqn: 9`]개의 점으로 이웃하는 변의 길이가 각각 [eqn: 1`], [eqn: 2`]인 직사각형 모양을 만들 수 있는 경우는 [eqn: 4`]가지다.
따라서 만들 수 있는 도형의 개수는
[eqn: 4TIMES4=16`]이다.

ⅱ) 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형을 이루는 점으로 도형을 만드는 경우
정사각형을 이루는 [eqn: 8`]개의 점들 중 세 점을 연결하여 길이가 [eqn: sqrt {2} + sqrt {5} `]인 도형 중 선분의 교점이 정사각형의 한 변 위에 놓이는 경우는 그림과 같이 [eqn: 2`]가지다.

이때 도형을 이루는 두 선분의 교점이 될 수 있는 경우는 [eqn: 4`]가지다. 따라서 만들 수 있는 도형의 개수는 [eqn: 2TIMES4=8`]이다.

ⅰ), ⅱ)에서

구하는 모든 도형의 개수는
[eqn: 16+8=24`]이다.

[보충설명]

세 점을 연결하여 만든 도형의 길이가 [eqn: sqrt {2} + sqrt {5} `]인 도형을 모두 그리면 그림과 같다.

22. [출제의도] 원뿔의 부피를 계산한다.

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: r`], 높이가 [eqn: h`]인 원뿔의 부피를 [eqn: V`]라 하면

[eqn: V= {1} over {3} pi r ^{2} h`]

이므로 주어진 원뿔의 부피는

[eqn: V= {1} over {3} pi TIMES 6 ^{2} TIMES 3`][eqn: =36 pi `]

따라서 [eqn: a=36`]

23. [출제의도] 연립일차방정식을 이해하여 해를 구한다.

[eqn: {cases{`2x-5y=3&`` CDOTS `㉠#`x+2y=6&`` CDOTS `㉡}}]

[eqn: ㉠`-2 TIMES ㉡`]을 하면

[eqn: -9y=`-9`]

[eqn: y=1`]

위에서 구한 [eqn: y=1`]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 2x-5=3`]

[eqn: x=4`]

따라서 [eqn: a=4`], [eqn: b=1`]이므로

[eqn: a+b=4+1=5`]

[다른풀이]

[eqn: x+2y=6`]에서

[eqn: x=6-2y`]

이를 [eqn: 2x-5y=3`]에 대입하면

[eqn: 2 LEFT ( 6-2y RIGHT ) -5y=3`]

[eqn: 12-4y-5y=3`]

[eqn: 12-9y=3`]

따라서 [eqn: y=1`], [eqn: x=4`]에서

[eqn: a=4`], [eqn: b=1`]이므로

[eqn: a+b=4+1=5`]

24. [출제의도] 주어진 사건을 이해하고 경우의 수를 구한다.

ⅰ) [eqn: a=2`]일 때
주어진 조건을 만족시키는 [eqn: b`]의 값은
[eqn: b=3`] 또는 [eqn: b=5`] 또는 [eqn: b=8`]
따라서 [eqn: 3`]가지 경우가 있다.

ⅱ) [eqn: a=4`]일 때
주어진 조건을 만족시키는 [eqn: b`]의 값은
[eqn: b=5`] 또는 [eqn: b=8`]
따라서 [eqn: 2`]가지 경우가 있다.

ⅲ) [eqn: a=7`]일 때
주어진 조건을 만족시키는 [eqn: b`]의 값은
[eqn: b=8`]뿐이므로 [eqn: 1`]가지 경우가 있다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서

구하는 경우의 수는 [eqn: 6`]이다.

[다른풀이]

ⅰ) [eqn: b=2`]일 때
주어진 조건을 만족시키는 [eqn: a`]의 값은 없다.

ⅱ) [eqn: b=3`]일 때
[eqn: a=2`]뿐이므로 [eqn: 1`]가지 경우가 있다.

ⅲ) [eqn: b=5`]일 때
[eqn: a=2`] 또는 [eqn: a=4`]
따라서 [eqn: 2`]가지 경우가 있다.

ⅳ) [eqn: b=8`]일 때
[eqn: a=2`] 또는 [eqn: a=4`] 또는 [eqn: a=7`]
따라서 [eqn: 3`]가지 경우가 있다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에서

구하는 경우의 수는 [eqn: 6`]이다.

25. [출제의도] 함수의 그래프의 성질을 이해하여 함수의 식을 구한다.

정사각형 [eqn: rmACDB`]에서

[eqn: rm bar CA = bar DB = 4`]

이므로 점 [eqn: rmA `]와 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 4`]이다.

점 [eqn: rm A`]는 함수 [eqn: y= b over x `]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: x=4`]를 대입하면

[eqn: y= {b} over {4} `]이다. 따라서 점 [eqn: rmA`]의 좌표는

[eqn: rm A LEFT ( 4`,``` it {b} over {4} RIGHT ) `]

점 [eqn: rmB`]는 함수 [eqn: y=`- {b} over {x} `]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: x=4`]를 대입하면

[eqn: y=`- {b} over {4} `]이다. 따라서 점 [eqn: rmB`]의 좌표는

[eqn: rm B LEFT ( 4`,`` it `- {b} over {4} RIGHT ) `]

주어진 조건에서 [eqn: rm bar AB =4`]이므로

[eqn: {b} over {4} - LEFT ( - {b} over {4} RIGHT ) = {b} over {2} =4`]

따라서 [eqn: b=8`]이고 [eqn: rm A(4`,```2)`]

또, 점 [eqn: rm A(4`,```2)`]는 함수 [eqn: y=ax`]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: y=ax`]에 대입하면

[eqn: 2=4a`]

[eqn: a= {1} over {2} `]

따라서 [eqn: ab][eqn: = {1} over {2} TIMES 8]
[eqn: =4`]

26. [출제의도] 피타고라스 정리와 이차방정식을 이해하여 변의 길이를 구한다.

[eqn: rm {bar{AB}} = it x`]라 하자.

[eqn: rm {bar{AB}} `>` {bar{AC}}]에서 [eqn: x>8`]

직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} `]

이므로

[eqn: rm {bar{BC}}][eqn: rm = sqrt {{bar{AB}} ^{2} ``+` {bar{AC}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {x ^{2} +8 ^{2}}`]
[eqn: = sqrt {x ^{2} +64}]

직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이를 구하면

[eqn: rm TRIANGLE ABC][eqn: rm= {1} over {2} TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} `]
[eqn: = {1} over {2} TIMES x TIMES 8]
[eqn: =4x`]

사각형 [eqn: rmBDEC`]의 넓이를 구하면

[eqn: rm □BDEC][eqn: rm = {bar{BC}} ^{2}]
[eqn: =x ^{2} +64`]

주어진 조건에서

[eqn: rm□BDEC`=`5][eqn: rm TRIANGLE ABC`]이므로

[eqn: x ^{2} +64=5 TIMES 4x=20x`]

[eqn: x ^{2} -20x+64=0]

인수분해하면

[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-16 RIGHT ) =0`]

[eqn: x=4`] 또는 [eqn: x=16`]

조건에 의해 [eqn: x>8`]이므로 [eqn: x=16`]

따라서 [eqn: rm {bar{AB}}=16`]

27. [출제의도] 무리수의 뜻을 이해하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다.

ⅰ) [eqn: root 2x `]가 유리수인 경우
[eqn: root 2x `]가 유리수가 되기 위해서는 근호 안의 수 [eqn: 2x`]가 어떤 수의 제곱이 되어야 하므로
[eqn: x=2n ^{2} `]([eqn: n`]은 자연수)의 꼴이어야 한다.
[eqn: 2n ^{2} `]이 [eqn: 100] 이하의 자연수가 되어야 하므로
[eqn: n ^{2} `]은 [eqn: 50] 이하의 자연수가 되어야 한다.
따라서 가능한 자연수 [eqn: n`]은
[eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 7`]로 [eqn: 7`]개다.
그러므로 구하는 자연수 [eqn: x`]는
[eqn: 2 TIMES 1 ^{2} `], [eqn: 2 TIMES 2 ^{2} `], [eqn: CDOTS `], [eqn: 2 TIMES 7 ^{2} `]으로 [eqn: 7`]개다.

ⅱ) [eqn: sqrt {3x} `]가 유리수인 경우
[eqn: sqrt {3x} `]가 유리수가 되기 위해서는 근호 안의 수 [eqn: 3x`]가 어떤 수의 제곱이 되어야 하므로
[eqn: x=3n ^{2} `]([eqn: n`]은 자연수)의 꼴이어야 한다.
[eqn: 3n ^{2} `]이 [eqn: 100] 이하의 자연수가 되어야 하므로
[eqn: n ^{2} `]은 [eqn: {100} over {3}] 이하의 자연수가 되어야 한다.
[eqn: {100} over {3} =33+ {1} over {3} `]이므로 가능한 자연수 [eqn: n`]은
[eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 5`]로 [eqn: 5`]개다.
그러므로 구하는 자연수 [eqn: x`]는
[eqn: 3 TIMES 1 ^{2} `], [eqn: 3 TIMES 2 ^{2} `], [eqn: CDOTS], [eqn: 3 TIMES 5 ^{2} `]으로 [eqn: 5`]개다.

ⅲ) [eqn: sqrt {4x} `]가 유리수인 경우
[eqn: sqrt {4x} =2 sqrt {x}`]이므로 [eqn: sqrt {4x} `]가 유리수가 되기 위해서는 [eqn: sqrt {x} `]가 유리수가 되어야 한다. [eqn: sqrt {x} `]가 유리수가 되기 위해서는 근호 안의 수 [eqn: x`]가 어떤 수의 제곱이 되어야 하므로
[eqn: x=n ^{2} `]([eqn: n`]은 자연수)의 꼴이어야 한다.
[eqn: n ^{2} `]이 [eqn: 100] 이하의 자연수가 되도록 하는 [eqn: n`]은
[eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 10`]으로 [eqn: 10`]개다.
그러므로 구하는 자연수 [eqn: x`]는
[eqn: 1 ^{2} `], [eqn: 2 ^{2} `], [eqn: CDOTS `], [eqn: 10 ^{2} `]으로 [eqn: 10`]개다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서
구하는 자연수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 7+5+10=22`]이다.

따라서 [eqn: sqrt {2x} `], [eqn: sqrt {3x} `], [eqn: sqrt {4x} `]가 모두 무리수가 되도록 하는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: x`]의 개수는

[eqn: 100-22=78`]이다.

28. [출제의도] 도형의 성질과 이차방정식을 이용하여 정사각형의 넓이를 구한다.

정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x`]([eqn: x>0`])라 하면

[eqn: rm {bar{DF}} = it x-5`]

[eqn: □ LEFT . rm AECF RIGHT .][eqn: =□ rm ABCD- LEFT ( TRIANGLE ABE+ TRIANGLE FDA RIGHT ) ` RIGHT .]
[eqn: =x ^{2} - LEFT { {1} over {2} TIMES 4x+ {1} over {2} TIMES x(x-5) RIGHT } `]
[eqn: =x ^{2} -LEFT ( {1} over {2} x ^{2} - {1} over {2} x RIGHT )`]
[eqn: = {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2} x`]

사각형 [eqn: rm AECF`]의 넓이가 [eqn: 78`]이므로

[eqn: {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2} x=78`]

[eqn: x ^{2} +x-156=0`]

인수분해하면

[eqn: LEFT ( x+13 RIGHT ) LEFT ( x-12 RIGHT ) =0`]

[eqn: x=`-13`] 또는 [eqn: x=12`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=12`]

따라서 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이는

[eqn: 12 ^{2} =144`]

29. [출제의도] 대푯값의 뜻을 이해하여 조건을 만족시키는 자료를 추측하고 그 분산을 구한다.

[eqn: 9`]개의 자료를 작은 수부터 순서대로

[eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`], [eqn: e`], [eqn: f`], [eqn: g`], [eqn: h`], [eqn: i`]

라 하자.

조건 (가)에서 주사위의 모든 눈이 적어도 한 번씩 나왔고, 자료를 크기순으로 배열하였으므로 첫 번째 수 [eqn: a`]는 [eqn: 1`]이고 마지막 수 [eqn: i`]는 [eqn: 6`]이다.

따라서 [eqn: a=1`], [eqn: i=6]

조건 (나)에서 중앙값이 [eqn: 4`]이므로 다섯 번째 수 [eqn: e`]는 [eqn: 4`]이다.

이때 [eqn: a=1`], [eqn: e=4`]이므로 [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]는 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`] 중 어느 하나이고 조건에 의해 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`] 중 하나의 수는 두 번 나와야 한다.

이 수를 [eqn: k`][eqn: (1 LEQ k LEQ 4)`]라 하자.

[eqn: k`]가 두 번 나오고 조건 (나)에서 최빈값은 [eqn: 6`]뿐이므로 [eqn: 6`]은 세 번 이상 나와야 한다.

따라서

[eqn: g=6`], [eqn: h=6`], [eqn: i=6`]

이고, [eqn: e=4`]이므로 조건 (가)에 의하여

[eqn: f=5`]

그러므로 [eqn: 9`]개의 자료는 다음과 같다.

[eqn: k`] ([eqn: 1 LEQ k LEQ 4`]), [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 6`], [eqn: 6`]

(나)에서 평균이 [eqn: 4`]이므로

[eqn: {k+1+2+3+4+5+6+6+6} over {9} =4`]

[eqn: k+33=36`]

[eqn: k=3`]

따라서 [eqn: 9`]개의 자료는

[eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 6`], [eqn: 6`]

이고 이 자료의 평균이 [eqn: 4`]이므로 편차는 차례로

[eqn: -3`], [eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 2`], [eqn: 2`]

이다. 그러므로 분산 [eqn: V`]는

[eqn: V][eqn: = {(-3) ^{2} +(-2) ^{2} +(-1) ^{2} +(-1) ^{2} +0 ^{`2} +1 ^{2} +2 ^{2} +2 ^{2} +2 ^{2}} over {9}]
[eqn: = {28} over {9}]

따라서 [eqn: 81V=81times {28} over {9} =252`]

[다른풀이]

조건 (가)에서 주사위의 모든 눈이 적어도 한 번씩 나왔으므로 [eqn: 9`]개의 자료를

[eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`] ([eqn: a LEQ b LEQ c`])

라 하자.

조건 (나)에서 중앙값이 [eqn: 4`]이므로 다섯 번째 수가 [eqn: 4`]이다.

따라서 [eqn: a LEQ 4`]이므로 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`] 중에서 하나의 수는 두 번 나온다. 그런데 최빈값이 [eqn: 6`]뿐이므로 [eqn: 6`]은 [eqn: 3`]번 이상 나와야 한다.

따라서 [eqn: b=c=6`]

주어진 자료의 평균이 [eqn: 4`]이므로 자료의 편차를 나열하면

[eqn: -3`], [eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: a-4`], [eqn: 2`], [eqn: 2`]

이다. 편차의 합이 [eqn: 0`]이므로

[eqn: LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -1 RIGHT ) +0+1+2+(a-4)+2+2=0`]

[eqn: a=3`]

편차를 다시 쓰면

[eqn: -3`], [eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: -1`], [eqn: 2`], [eqn: 2`]

분산 [eqn: V`]는

[eqn: V][eqn: = {(-3) ^{2} +(-2) ^{2} +(-1) ^{2} +0 ^{2} +1 ^{`2} +2 ^{2} +(-1) ^{2} +2 ^{2} +2 ^{2}} over {9}]
[eqn: = {28} over {9}]

따라서 [eqn: 81V=81times {28} over {9} =252`]

30. [출제의도] 도형의 닮음과 원주각의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

선분 [eqn: RM AC]가 지름이므로

[eqn: ANGLE rm ABC=90`°`]

직각삼각형 [eqn: RM RM ABC]에서 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: {bar{rm BC it}} ^{`2}][eqn: = {bar{rm AC it}} ^{`2} - {bar{rm AB it rm }} ^{`2}]
[eqn: =10 ^{2} -8 ^{2} `]
[eqn: =36`]

따라서 [eqn: bar{rmBC}=6`]

두 직각삼각형 [eqn: rm ABC`], [eqn: RM BEC`]에서 [eqn: rm ANGLE ACB`]가 공통이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC□ TRIANGLE BEC`]([eqn: rm AA`]닮음)

[eqn: {bar{rm BC it}} `:` {bar{rm AC it}} `= {bar{rm CE it}} `:` {bar{rm ``BC it}} `]에서

[eqn: {bar{rm BC it}} ^{`2} = it {bar{rm CE it}} TIMES {bar{rm AC it}} `]

[eqn: {bar{rm CE it}}][eqn: = {{bar{rm BC it}} ^{2}} over {{bar{rm AC it}}}]
[eqn: = {6 ^{2}} over {10}]
[eqn: = {18} over {5} `]

직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에서

[eqn: rm TRIANGLE ABC`][eqn: =` {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it rm}} TIMES {bar{rm BC it rm}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AC it rm}} TIMES {bar{rm BE it rm}} `]

조건에서

[eqn: 1OVER2 TIMES 8 TIMES 6 = 1OVER2 TIMES 10 TIMES RM BARBE]

[eqn: {bar{rm BE it}} = {48} over {10} = {24} over {5} `]

직각삼각형 [eqn: RM`BEC`]에서

[eqn: {bar{rm EF it}} BOT {bar{rm BC it}} `]이므로

[eqn: rm TRIANGLE BEC][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm CE it}} TIMES {bar{rm BE it}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm EF it}} TIMES {bar{rm BC it}} `]

[eqn: 1 OVER2 TIMES][eqn: 18OVER5 TIMES][eqn: 24OVER5][eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: RMBAREF TIMES 6]

[eqn: rm {bar{EF}}][eqn: = {18} over {5} TIMES][eqn: {4} over {5}][eqn: = {72} over {25} `]

지름 [eqn: RM AC`]는 현 [eqn: rm BD`]를 수직이등분하므로

[eqn: RM BARBE = BAR ED]

두 삼각형 [eqn: rm DGE`], [eqn: rm DAB`]에서 두 선분 [eqn: rm GF`], [eqn: rm AB`]는 각각 선분 [eqn: rm BC`]에 수직이므로

[eqn: rm {bar{GF}}][eqn: / /][eqn: Rm barAB `], [eqn: rm ANGLE DGE= ANGLE DAB`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE DGE □ TRIANGLE DAB`] ([eqn: rm AA`]닮음)

두 삼각형 [eqn: rm DGE`], [eqn: rm DAB`]의 닮음비가 [eqn: 1:2`]이므로

[eqn: rm BAR \GE][eqn: =][eqn: rm {1} over {2} {bar{AB}} = {1} over {2} TIMES 8=4`]

그러므로

[eqn: l][eqn: = {bar{rm FG it}}]
[eqn: = {bar{rm FE it}} it + {bar{rm EG it}} `]
[eqn: = {72} over {25} +4]
[eqn: = {172} over {25} `]

따라서 [eqn: 25l=172`]

[다른풀이]

선분 [eqn: rm AC`]가 원의 지름이므로 [eqn: ANGLE rm ABC=90°`], [eqn: rm {bar{GF}} `//` {bar{AB}} `]

선분 [eqn: rm AC`]가 원의 지름이고 [eqn: rm bar{AC} BOT bar{BD}`]이므로 [eqn: rm {bar{BE}} = {bar{ED}} `]

따라서 점 [eqn: rmG`]는 삼각형 [eqn: rm ABD`]에서 변 [eqn: rmBD`]의 중점을 지나고 변 [eqn: rmAB`]에 평행한 직선이 변 [eqn: rmAD`]와 만나는 점이므로 변 [eqn: rmAD`]의 중점이 된다.

삼각형 [eqn: rmABD`]에서

[eqn: rm BAR \GE][eqn: rm = {1} over {2} {bar{AB}} `]
[eqn: rm =4`]

직각삼각형 [eqn: RM RM ABC]에서 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: rm {bar{BC}} = sqrt {{bar{rm AC}} ^{2} - {bar{rm AB}} ^{2}}][eqn: = sqrt {10 ^{2} -8 ^{2}} =6`]

[eqn: rm ANGLE BAC=itx`]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에서

[eqn: sinx= {{bar{rm BC it}}} over {{bar{rm AC it}}} = {6} over {10} = {3} over {5} `]

두 직각삼각형 [eqn: rm ABC`], [eqn: rm ABE`]에서 [eqn: rm ANGLE BAC`]가 공통이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC□ TRIANGLE AEB`]

두 직각삼각형 [eqn: rm ABC`], [eqn: rm BCE`]에서 [eqn: rm ANGLE BCA`]가 공통이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC□ TRIANGLE BEC`]

따라서 [eqn: rm ANGLE BAE= ANGLE EBC= ANGLE BAC= it x`]

직각삼각형 [eqn: rm ABE`]에서

[eqn: sinx= {{bar{rm BE it}}} over {{bar{rm AB it}}} `]

따라서 [eqn: {bar{rm BE it}} = {bar{rm AB it}} `sinx`][eqn: =8 TIMES {3} over {5}][eqn: = {24} over {5} `]

직각삼각형 [eqn: rmBEF`]에서

[eqn: sinx= {{bar{rm EF it}}} over {{bar{rm BE it}}} `]

따라서 [eqn: {bar{rm EF it}} = {bar{rm BE it}} `sinx][eqn: = {24} over {5} TIMES {3} over {5}][eqn: = {72} over {25} `]

그러므로

[eqn: l][eqn: = {bar{rm FG it}}]
[eqn: = {bar{rm FE it}} it + {bar{rm EG it}} `]
[eqn: = {72} over {25} +4]
[eqn: = {172} over {25} `]

따라서 [eqn: 25l`=172`]