□먼저 수험생이 선택한 계열의 문제인지 확인하시오.

수리영역

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수리영역

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□문제지에 수험번호와 성명을 정확하게 기입하시오.

□답안지에 수험번호, 응시계열, 답을 표기할 때에는 반드시 □수험생이 지켜야 할 일□에 따라 표기하시오.

□주관식 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR답안지에 반드시 표기해야 합니다.

□문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점 또는 3점입니다.

□계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

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1. [eqn: 4`log_2 `root 2 `+` 1 over 2 log_2 `3 `-` log_2 `root 6 `]을 간단히 하면? [2점]

①  [eqn: 1 over 2 `]	②  [eqn: 1 over 2 + log_2 `3 `]

③ [eqn: - 1 over 2 `]	④ [eqn: - 1 over 2 + log_2 `3 `]

⑤  [eqn: 3 over 2 `]

2. 공집합이 아닌 세 집합[eqn: rm A,~ B,~ C`]가 전체집합[eqn: rm U`]의 부분집합일 때, 다음 중 [eqn: rm (A `∪` B) `∩` (C `∩` B^c``)^c `] 와 항상 같은 집합은? [2점]

① [eqn: rm B`-`(A`-`C) `]	② [eqn: rm B `∩` (A`-` C )`]

③ [eqn: rm B `∪` (A `∩` C ) `]	④ [eqn: rm B `∪` (A `-` C ) `]

⑤ [eqn: rm (A `∪` B ) `∩` C^c `]

3. [eqn: x,~y`]가 실수이고 [eqn: x^2 +y^2 `=` 4 `]일 때, [eqn: x+3y`]의 최대값은? [2점]

① [eqn: 2 sqrt {10}`]	② [eqn: 3sqrt {10}`]

③ [eqn: 4sqrt {5}`]	④ [eqn: 5sqrt {2}`]

⑤ [eqn: 4 sqrt {10}`]

4. 집합[eqn: {rm A}_n `]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: {rm A}_n `=` LEFT {m`` LEFT | ``LEFT [ { m} over {n } RIGHT ] =0 , ~m,``n` 은~ 서로소인 ~자연수} RIGHT}`]

다음 중 옳지 않은 것은?

(단, [eqn: LEFT [ x`` RIGHT ] `]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수이다.) [3점]

①[eqn: {rm A }_{1 } `=` phi `]	②[eqn: rm {A }_{2 }` CAP ` {A }_{3 } `=` {A }_{2 }`]

③[eqn: rm {A }_{2 }` CUP ` {A }_{3 } `=` {A }_{3 }`]	④[eqn: rm {A }_{3 }``` CUP {A }_{4 } `=` {A }_{4 }`]

⑤[eqn: rm {A }_{3 }` CAP `{A }_{4 } `=` {A }_{2 }`]

5. 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 2,~5`]인 동심원이 있다. 어두운 부분의 둘레의 길이가 [eqn: 12`]일 때, 부채꼴 [eqn: rm OAB`]의 중심각 [eqn: theta`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2 over 7`]	② [eqn: 3 over 7`]	③ [eqn: 4 over 7`]	④ [eqn: 5 over 7`]	⑤ [eqn: 6 over 7`]

6. [eqn: 0`] 이 아닌 세 실수 [eqn: a,~b,~c `]는 아래 두 조건 (가)와 (나)를 모두 만족한다.

(가) [eqn: (a-2)(b-2)(c-2)`=` 0`]

(나) [eqn: 1 over a + 1 over b + 1 over c `=` 1 over 2 `]

이 때, [eqn: a`+`b`+`c `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 3 `]	② [eqn: 1 over 2`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 3`]

7. 다음은 양수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: sqrt {ab} `□` {a+b} over 2]가 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명>

그림과 같이 [eqn: rm O`]가 중심이고 선분 [eqn: rm AB `]가 지름인 반원에서

[eqn: {rm bar AC} `=` a`],[eqn: {rm bar BC} `=` b`]이고 선분 [eqn: rm CD`],[eqn: rm OE`]는 모두 선분 [eqn: rm AB`]에 수직이다.

[eqn: rm angle ADB`]는 지름[eqn: rm AB`]에 대한 원주각이므로

[eqn: rm △ADB`]는 직각삼각형이다.

또한, [eqn: rm triangle ACD ```∽``` triangleDCB `]이므로

[eqn: `^2 `] [eqn: ={rm bar AC cdot bar BC} `=` ab`]  ∴  [eqn: =sqrt ab `]

한편,   [eqn: ={rm bar AB `} over 2 `=` {a+b} over 2 `]

이 때,  [eqn: □`]  이므로 [eqn: sqrt {ab} `□` {a+b} over 2 `]이다.

위의 <증명>과정에서 다음 중 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)

① [eqn: RM BAR OE `]	[eqn: RM BAR BD `]

② [eqn: RM BAR CD `]	[eqn: RM BAR OE `]

③ [eqn: RM BAR OE `]	[eqn: RM BAR AD `]

④ [eqn: RM BAR AD `]	[eqn: RM BAR OE `]

⑤ [eqn: RM BAR AC `]	[eqn: RM BAR CD `]

8. [eqn: x`]의 이차방정식 [eqn: x^2 - x - k = 0 `]의 한 근 [eqn: alpha`]가

[eqn: 3 over 2`□``alpha``＠ 5 over 2 `]일 때, 정수 [eqn: k`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

9. 지난 해 세 학생이 [eqn: 3`]회의 수학 시험에서 얻은 성적은 표와 같다.

월 학생	[eqn: 5`]월	[eqn: 7`]월	[eqn: 9`]월
혜연	[eqn: a_1]	[eqn: b_1]	[eqn: c_1]
선영	[eqn: a_2]	[eqn: b_2]	[eqn: c_2]
인희	[eqn: a_3]	[eqn: b_3]	[eqn: c_3]

이 자료를 행렬 [eqn: A = PMATRIX { {a_1 }& {b_1 }& {c_1 }`` # {a_2 }& {b_2 }& {c_2 }`` # {a_3 }& {b_3 }& {c_3 }`` } `]로 나타내고,

행렬 [eqn: B= 1 over 3 PMATRIX { {1 }& {1 }& {1 }``} `], [eqn: C= PMATRIX { {0 }``# { 0}``# { 1}`` } `]라 할 때, 행렬 [eqn: BAC`]의 계산 결과로 얻을 수 있는 것은? [2점]

① [eqn: 5`]월 세 학생의 수학 평균 점수

② [eqn: 7`]월 세 학생의 수학 평균 점수

③ [eqn: 9`]월 세 학생의 수학 평균 점수

④ 혜연이의 [eqn: 3`]개월 수학 평균 점수

⑤ 인희의 [eqn: 3`]개월 수학 평균 점수

10. 이차방정식 [eqn: x^2 -x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta `]라 할 때, [eqn: 1 over {1+ alpha ^3 } + 1 over {1+ beta ^3 }`]의 값은? [3점]

① [eqn: 0 `]	② [eqn: 1 over 4 `]	③ [eqn: 1 over 2 `]	④ [eqn: 1 `]	⑤ [eqn: 3 over 2 `]

11. 분수함수 [eqn: y`=` {c`x`+`d} over {a`x`+`b} `]의 그래프가 그림과 같을 때,   <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: a, ~b, ~c, ~d`]는 실수이다.) [3점]

	< 보 기 >
□. [eqn: b`=`c`] □. [eqn: a` b `＠` 0`] □. [eqn: d over b `＠` 0`]

① □	② □, □

③	□, □	④ □, □

⑤ □, □, □

12. 부등식 [eqn: x^2 + vert x vert -2 ~＠~0 `]의 해를 구하면? [3점]

① [eqn: -2~＠~x~＠~2 `]	② [eqn: -1~＠~x~＠~2 `]

③ [eqn: -2~＠~x~＠~1`]	④ [eqn: -1~＠~x~＠~1 `]

⑤  [eqn: 0~＠~x~＠~2`]

13. 수직선 위의 두 점 [eqn: rm A,~B `]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm A` ◎` B`]로 나타내기로 한다.

서로 다른 세 점 [eqn: rm A,~B,~C `]에 대하여 [eqn: rm (A `◎ `B) `◎ `C`]와[eqn: rm (B `◎` C) `◎` A`]가 일치할 때, 다음 중 세 점의 위치 관계로 옳은 것은? [3점]

① 점 [eqn: rm A`]는 선분 [eqn: rm BC`]의 중점이다.

② 점 [eqn: rm B`]는 선분 [eqn: rm AC`]의 중점이다.

③ 점 [eqn: rm C`]는 선분 [eqn: rm AB`]의 중점이다.

④ 점 [eqn: rm A`]는 선분 [eqn: rm BC`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점이다.

⑤ 점 [eqn: rm C`]는 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점이다.

14. 실수 [eqn: x`]에 대하여 정의된 두 함수 [eqn: f``(x)`=`x-[`x`]`]와 [eqn: g`(x)`=`[`x`]+1`]에 대하여 다음 중 [eqn: y `=` (g CIRC f``)(x)`]의 그래프의 개형은? (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대정수이다.) [3점]

①	②

③	④

⑤

15. 자연수 전체의 집합 [eqn: N`]에서 [eqn: N`]으로의 함수 [eqn: f`] 를

[eqn: f`(n) `=`(`n`의~ 모든~ 양의~ 약수의~ 곱)`]

으로 정의할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

	< 보 기 >
ㄱ. [eqn: p`]가 소수이면 [eqn: f`(p)`=`p`] ㄴ. [eqn: m`＠`n`]이면 [eqn: f`(m)`＠`f`(n)`] ㄷ. [eqn: m`,~n`]이 서로소이면 [eqn: f`(m`n) = f`(m)``f`(n)`]

① □	② □	③ □	④ □, □	⑤ □, □

16. 어떤 농장에서 현재 토끼를 [eqn: 200`]마리 사육하고 있다. 매달마다 전 달에 비하여 그 수가 [eqn: 20`%`]씩 증가할 때, 토끼 수가 처음으로 [eqn: 3000`]마리 이상 되는 것은 몇 개월 후인가? (단, [eqn: log_10 ` 1.2`=`0.08`], [eqn: log_10 ` 1`.`5`=`0`.`18`]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 13`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 17`]	④ [eqn: 19`]	⑤ [eqn: 21`]

17. 다음 함수 중 주기함수가 아닌 것은? [3점]

① [eqn: y=vert sin x vert `]	② [eqn: y=vert cos x vert `]

③ [eqn: y=vert tan x vert `]	④ [eqn: y=sin vert x vert `]

⑤ [eqn: y=cos vert x vert `]

18. 행렬 [eqn: A=pmatrix { {1} & {1}` # {0} & {2} `}`]에 대하여 행렬 [eqn: A^n `]의 [eqn: (1,~2)`]성분은?  (단, [eqn: A^n+1 = A `cdot` A^n `], [eqn: n`]은 자연수이다.) [2점]

① [eqn: 2^n+1 - 2 `]	② [eqn: 2^n+1 - 1 `]

③ [eqn: 2^n - 2 `]	④ [eqn: 2^n - 1 `]

⑤ [eqn: 2^n `]

19. 수열 [eqn: 1 over 1 `], [eqn: 1 over {1+2}`], [eqn: 1 over {1+2+3}`], [eqn: …`], [eqn: 1 over {1+2+ cdots +10}`]의 합을 구하는 순서도이다.

다음 중 (가), (나)에 알맞은 것은? [2점]

(가)	(나)

① [eqn: A`←`A`+`n`]	[eqn: S`←`S `+` 1 over A `]

② [eqn: S`←`S `+` 1 over A `]	[eqn: A`←`A`+`n`]

③ [eqn: S`←`S `+` A`]	[eqn: A`←`A `+` n`]

④ [eqn: A`←`A `+` 1 over n `]	[eqn: S`←`S `+` A`]

⑤ [eqn: A`←`A `+` 1 over n `]	[eqn: S`←`S `+` 1 over A `]

20. [eqn: 23p+1`]이 완전제곱수가 되는 소수 [eqn: p`]가 존재하지 않음을 증명한 과정이다.

<증명>

[eqn: 23p+1`]이 완전제곱수가 되는 소수[eqn: p`] 가 존재한다면

어떤 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 23 p+1=n^2 `]꼴로 나타낼 수 있다.

[eqn: 23p=(n-1)(n+1) `]	……………………… ①

[eqn: 23`]이 소수이므로 [eqn: n-1`]과 [eqn: n+1`]중 적어도 하나는 [eqn: 23]의 배수이다.

ⅰ) [eqn: n-1`]이 [eqn: 23`]의 배수일 때,

[eqn: n-1`=`23s`] ([eqn: s`]는 자연수)로 놓고 이 식을 ①에 대입하면

[eqn: p`=`s`(23s+2)`]	………………………	②

그런데 [eqn: p`]가 소수이므로 [eqn: s `=`]

이 값을 ②에 대입하면, [eqn: p `=`]

∴ [eqn: p`]는 소수가 아니다.

ⅱ) [eqn: n+1`]이 [eqn: 23]의 배수일 때,

[eqn: n+1`=`23t`] ([eqn: t`]는 자연수)로 놓고 이 식을 ①에 대입하면

[eqn: p`=`t`(23t-2)`]	……………………… ③

그런데 [eqn: p`]가 소수이므로 [eqn: t `=`]

이 값을  ③에 대입하면, [eqn: p `=`]

∴ [eqn: p`]는 소수가 아니다.

따라서, [eqn: 23p+1`]이 완전제곱수가 되는 소수 [eqn: p`]가 존재하지 않는다.

위의 <증명>과정에서 [eqn: rm A+B+C`]의 값은? [3점]

① [eqn: 43`]	② [eqn: 44`]	③ [eqn: 45`]	④ [eqn: 46 `]	⑤ [eqn: 47`]

21. 이차 정사각행렬 [eqn: A, ~B`]에 대하여 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: O`]는 영행렬이고 [eqn: E `]는 단위행렬이다.) [2점]

	< 보 기 >
□. [eqn: A^2 -B^2 `=` O`]이면 [eqn: A`=`B`] 또는 [eqn: A`=`-B`] □. [eqn: A^2 - A - 2E `=` O`]일 때, [eqn: A`]의 역행렬은 [eqn: A-E`]이다. □. [eqn: A`]의 역행렬이 존재할 때, [eqn: AB`=`O`]이면 [eqn: B`=`O`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

22. [eqn: 12`×`12`]의 모든 칸에 아래와 같은 규칙에 따라 수가 배열되어 있다.

1	2	3	4	5							12
2	2	3	4	5							12
3	3	3	4	5			…				12
4	4	4	4	5							12
5	5	5	5	5							12
											12
											12
		□					□				12
											12
											12
										11	12
12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12

이 수들의 총합은? [3점]

① [eqn: 1064`]	② [eqn: 1118`]

③ [eqn: 1222`]	④ [eqn: 1274`]

⑤ [eqn: 1326`]

23. 첫째항과 공비가 양수인 등비수열의 [eqn: l`]째항, [eqn: m`]째항, [eqn: n`]째항의 값을 각각 [eqn: X,~Y,~Z`]라 할 때,

[eqn: (m-n`)log X `+` (n-l`)log Y `+` (l-m`)log Z `]의 값은?

[3점]

① [eqn: -1 `]	② [eqn: 0`]

③ [eqn: 1`]	④ [eqn: l`+`m`+`n`]

⑤ [eqn: l`m`n`]

24. 그림과 같이 지점 [eqn: rm O`]에서 해안선 [eqn: rm A`]를 따라 동쪽으로 [eqn: 30` rm km`]떨어진 지점 [eqn: rm H`]에서 북쪽으로 [eqn: 10 `rm km`]떨어진 곳에 섬이 있다. 이 섬을 출발하여 해안선 [eqn: rm A`]에 있는 선착장을 거쳐 해안선 [eqn: rm B`]에 있는 선착장을 경유하여 되돌아오는 유람선을 운행하려고 한다. 유람선의 항해거리가 최소가 되도록 해안선 [eqn: rm A`]와 해안선 [eqn: rm B`]에 선착장을 만들려고 할 때, 해안선 [eqn: rm A`]에 있는 선착장은 [eqn: rm O`]에서 얼마나 떨어진 지점에 만들어야 하는가? (단, 해안선 [eqn: rm A`]와 해안선 [eqn: rm B`]가 이루는 각은 [eqn: 45 DEG]이다.) [3점]

① [eqn: 15` rm km`]	② [eqn: 17` rm km`]

③ [eqn: 20` rm km`]	④ [eqn: 23` rm km`]

⑤ [eqn: 25` rm km`]

25. [eqn: x`=`{ 1- root2 i } over 3 `]일 때, [eqn: 3x^2 -2x`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: i `=` sqrt -1 `]이다.) [2점]

26. 양수 [eqn: a,~b`]에 대하여  [eqn: f`(a,~b`)= SQRT { a+b+2 SQRT { ab`} } `]라 할 때,

27. 그림과 같이 두 변의 길이가 각각 [eqn: 10,~ 8`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 점 [eqn: rm B`]가 중심이고 선분 [eqn: rm AB`]를 반지름으로 하는 사분원을 그린 후, 점 [eqn: rm C`]에서 이 사분원에 접선을 그어 선분 [eqn: rm AD `]와 만난 점을 [eqn: rm E`]라 할 때, [eqn: rm bar AE `]의 길이를 구하시오. [2점]

28. 집합 [eqn: X`=`LEFT{ 1, ~2, ~3, ~4 RIGHT}`]에 대하여 함수 [eqn: f`` :`` X ~→~ X`]를 다음과 같이 정의하였다.

함수 [eqn: g`` :`` X ~→~ X`]에 대하여[eqn: g`(1) = 3`]이고, [eqn: f` circ` g `=` g `circ f`]

가 성립할 때, [eqn: g`(2)`+`g`(3)`]의 값을 구하시오. [3점]

29. [eqn: a, ~b, ~c `]가 정수인 이차 정사각행렬 [eqn: A= PMATRIX { {0 }& {a }`# {b }& {c }` } `]의 역행렬이 존재한다. [eqn: A`=`A^-1 `]를 만족시키는 행렬 [eqn: A `]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: A^-1 `]은 [eqn: A`]의 역행렬이다.) [3점]

30. 삼각형의 세 꼭지점에서 각각의 대변 또는 그 연장선에 내린 수선의 길이의 비가 [eqn: 2``:``3``:``4`]이다. 이 삼각형의 내각 중 최대각을 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: 1 over {cos theta `}`]의 값을 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. [3점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지

확인하시오.