• 2교시 수학 영역 •

[가 형]

1	②	2	②	3	③	4	③	5	⑤
6	⑤	7	①	8	④	9	⑤	10	①
11	④	12	②	13	③	14	④	15	①
16	②	17	④	18	③	19	①	20	⑤
21	①	22	10	23	301	24	117	25	7
26	66	27	210	28	3	29	21	30	8

1. [출제의도] 로그함수의 미분 계산하기

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 1 over x]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 3 RIGHT ) = 1 over 3]

2. [출제의도] 삼각함수의 값 계산하기

[eqn: tan {3} over {4} pi = tan LEFT ( pi - pi over 4 RIGHT ) = it- tan pi over 4 =it-1]

3. [출제의도] 지수함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x `->` 0} {LEFT ( 1+2x RIGHT ) ^{{3} over {2x}} }=lim _{x` ->` 0} {left{{LEFT ( 1+2x RIGHT ) ^{{{1} over {2x}}} right}^{ 3}}} = e^3]

4. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =it-1]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]

5. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +C`](단, [eqn: C`]는 적분상수)
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C`=7]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +7]
따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5]

6. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: y'=3x^2 -5]이므로 점 [eqn: LEFT ( `2,`-2 RIGHT )]에서의
접선의 기울기는 [eqn: 7]이고 접선의 방정식은

[eqn: y= 7x-16]이다.

[eqn: therefore] [eqn: m=7], [eqn: n=it-16]

따라서 [eqn: m+n = it-9]

7. [출제의도] 로그를 포함한 부등식 이해하기

진수 조건에 의해 [eqn: x>0] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 1+log _{`2}` x LEQ log _{`2}` LEFT ( x+5 RIGHT )]
[eqn: log _{`2}` 2x LEQ log _{`2}` LEFT ( x+5 RIGHT )]

[eqn: 2x le x+5]

[eqn: x le 5] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 0<x le 5]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이고 합은 [eqn: 15]

8. [출제의도] 다항함수의 미분 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면
[eqn: x=1]에서 미분가능해야 한다.

(ⅰ) [eqn: x=1]에서 연속

[eqn: lim _{ x`->`1- } { left(ax^2 + 1}right) = lim _{ x`->`1+ } { left( x^3 + bx +1 right)=f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: a=b+1] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

(ⅱ) [eqn: x=1]에서 미분가능

[eqn: lim _{x`` -> `1-} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} }][eqn: = lim _{x` -> `1-} {{ax ^{2} +1- LEFT ( a+1 RIGHT )} over {x-1}][eqn: = lim _{x` -> `1-} {a LEFT ( x+1 RIGHT )} =2a]

[eqn: lim _{x`` -> `1+} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x` -> `1+} { { x^3 +bx+1- LEFT ( b+2 RIGHT ) } over {x-1 }}]
[eqn: = lim _{x` -> `1+} {LEFT ( x ^{2} +x+b+1 RIGHT )} =b+3]

[eqn: 2a=b+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: a=2], [eqn: b=1]

[eqn: therefore] [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =4]

9. [출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( pi -2h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {h}} =it-2f` prime LEFT ( pi RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x`cosx]이므로 [eqn: -2f` prime LEFT ( pi RIGHT ) =2 pi]

10. [출제의도] 정적분의 뜻 이해하기

[eqn: lim _{n `-> `INF } {sum _{k=1} ^{n}` f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}} = 1 over 2 int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{2} {LEFT ( 6x ^{2} +x RIGHT ) dx}][eqn: = {1} over {2} LEFT [ 2x^3 + { 1} over { 2}x^2 RIGHT ]_0^2 =9]

11. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

[eqn: `cos LEFT ( {pi } over {2} -x RIGHT ) =sinx]이므로 [eqn: sin ^2 x = 1 over 3]
[eqn: sin x = { sqrt3} over {3 }] 또는 [eqn: sin x =it - { sqrt { 3} } over {3 }]

[eqn: sin theta = sin LEFT ( pi - theta RIGHT )]이므로

[eqn: x]

[eqn: alpha]

[eqn: pi - alpha]

[eqn: pi + alpha]

[eqn: 2 pi - alpha]

[eqn: y={sqrt3} over {3}]

[eqn: y=it- {sqrt3} over {3}]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=sinx]

구하는 해는 [eqn: x = alpha], [eqn: pi - alpha], [eqn: pi + alpha], [eqn: 2 pi - alpha]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 4pi]

12. [출제의도] 로그함수 이해하기

[eqn: log _{`2} ` LEFT ( x ^{2} -2x+a RIGHT )]의 밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: x^2 -2x+a]가 최소일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최솟값을 갖는다.
따라서 [eqn: x ^{2} -2x+a]의 최솟값은 [eqn: 2^3 = 8]이다.

[eqn: x ^{2} -2x+a= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +a-1]

[eqn: LEFT [ -1,``2 RIGHT ]]에서 [eqn: x=1]일 때 [eqn: x^2 - 2x +a]는
최솟값 [eqn: a-1]을 가지므로 [eqn: a-1 = 8]
[eqn: THEREFORE] [eqn: a=9]

13. [출제의도] 함수의 연속의 성질 이해하기

함수 [eqn: f left( x right) = x ^{3} + {1} over {2} x+k-3]은
[eqn: f` prime left( x right) >0]이므로 실수 전체의 집합에서 증가한다.

함수 [eqn: f left( x right)]는 닫힌 구간 [eqn: left[` 0,``2 right]]에서 연속이고

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = k-3], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = k+6]
이때 [eqn: f left(0 right) f left( 2 right) < 0]이면 사이값 정리에 의해 방정식

[eqn: f left( x right) =0]은 열린 구간 [eqn: left( `0,``2 right)]에서 실근을 갖는다.

[eqn: left(k-3 right) left( k+ 6right)<0]

[eqn: therefore] [eqn: - 6 < k < 3]

따라서 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 8]

14. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +x = x-4]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )^2 =0]이므로

곡선 [eqn: y= x^3 -3x^2 + x]와 직선 [eqn: y=x-4]가
만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -1]과 [eqn: 2]

[eqn: int _{-1} ^{2} {LEFT | LEFT ( x ^{3} -3x ^{2} +x RIGHT ) - LEFT ( x-4 RIGHT ) RIGHT |} dx]

[eqn: =int _{ -1} ^{ 2} left({ x^3 -3x^2 +4}right) `dx][eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} +4x RIGHT ] _{-1}^{2}][eqn: = 27over4]

[eqn: x]

[eqn: y= x^3 - 3x^2 +x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=x-4]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

15. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f left( x right) = x ^{4} -4x-a ^{2} +a+9]라 하면

[eqn: f` prime left( x right) = 4x^3 - 4 = 4 left( x-1 right) left( x^2 + x +1 right)]
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극소이면서 최소이므로

최솟값은 [eqn: f left( 1 right) =it -a^2 + a +6]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ge 0]이 성립하려면
[eqn: -a^2 + a + 6 geq 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2 leq a leq 3]

따라서 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 6]

16. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R _{1}]에서

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm F]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: rm E]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rmG]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: pi over 3]

원 [eqn: O _{1}]의 중심 [eqn: rmO _{1}]과 세 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG]가 있다.

두 삼각형 [eqn: rm O _{1} EF], [eqn: rm O _{1} FG]는 정삼각형이다.

[eqn: S _{1}]은 점 [eqn: rmO _{1}]을 포함하는 부채꼴 [eqn: rm FGE]의 넓이에서

삼각형 [eqn: rm FGE]의 넓이를 뺀 값의 두 배이므로

[eqn: S _{1}][eqn: =2 LEFT { LEFT ( {1} over {2} TIMES 2 ^{2} TIMES {2} over {3} pi RIGHT ) - LEFT ( {1} over {2} TIMES 1 TIMES 2 sqrt {3} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {8} over {3} pi -2 sqrt {3}]

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부에 선분 [eqn: rmD _{itn+1} rmO _{itn}]을 그린
그림이다.

[eqn: rm D _{itn}]

[eqn: O _{itn}]

[eqn: O _{itn+1}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm C _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{itn+1}]

[eqn: rm O _{itn}]

[eqn: rm A _{itn+1}]

[eqn: rm B _{itn+1}]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: {bar{rm A _{it n } rm D _{it n } it}} = it a]([eqn: a != 0])이라 하면 [eqn: {bar{rm D _{it n+1 rm} rm O _{it n rm} it}} = {a} over {2}]이고,
삼각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} rm O _{it n rm} rm D _{it n rm +1}]이 직각삼각형이므로

[eqn: {bar{rm A _{it n+1} rm D _{it n+1}}} = {a} over {sqrt {5}}]

정사각형 [eqn: rm A _{it n} rm B _{it n} rm C _{it n} rm D _{it n}]과

정사각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} rm B _{it n+1 rm} rm C _{it n+1 rm} rm D _{it n+1 rm}]은 서로 닮음이고

[eqn: {bar{rm A _{it n rm} rm D _{it n rm} it}} : {bar{rm A _{it n+1 rm} rm D _{it n+1 rm} it}} =a: {a} over {sqrt {5}} =1: {1} over {sqrt {5}}]

따라서 그림 [eqn: R _{n}]과 [eqn: R _{n+1}]에서 새로 얻어진
모양의 도형도 서로 닮음이고
닮음비가 [eqn: 1: {1} over {sqrt {5}}]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1: {1} over {5}]이다.

[eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: {8} over {3} pi -2 sqrt {3}]이고 공비가 [eqn: {1} over {5}]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: lim _{n`->`inf} {S _{n}}][eqn: = {{8} over {3} pi -2 sqrt {3}} over {1- {1} over {5}}][eqn: = {5} over {4} LEFT ( {8} over {3} pi -2 sqrt {3} RIGHT )]
[eqn: = {5} over {2} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

17. [출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 추론하기

[eqn: a>1]일 때, [eqn: rm A it LEFT (` {a} ,``log_{`2}` a RIGHT )], [eqn: rmB it left(` a,`` a right)],
[eqn: rm C it LEFT (` 1overa ,``log`_2`a RIGHT )], [eqn: rm D it LEFT (` LEFT({1OVER2} RIGHT) ^{a} ,``a RIGHT )], [eqn: rmE it left(` 2^a ,`` a right)]이고
[eqn: RM bar DE = 15OVER4]이므로 [eqn: 2^a - LEFT( 1OVER2 right) ^a = 15over4]

[eqn: 2^a =4], [eqn: a=2]
[eqn: THEREFORE] [eqn: {RM bar CA }= a- 1overa = 3over2]

18. [출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 각각
[eqn: x _{rm 1 it} LEFT ( it t RIGHT )], [eqn: x _{rm 2 it} LEFT ( it t RIGHT )]라 하면

[eqn: x _{rm 1 it} LEFT ( it t RIGHT ) = int _{0} ^{t} {v _{rm 1 it} LEFT ( it t RIGHT ) dt`} = {1} over {6} t ^{3} - {3} over {2} t ^{2}][eqn: x _{rm 2 it} LEFT ( it t RIGHT ) = int _{0} ^{t} {v _{rm 2 it} LEFT ( it t RIGHT ) dt`} = LEFT . {BOX{````````- {1} over {6} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} `` _{{}_{}} ` ^{{}^{}} ```````}} RIGHT .]

출발 후 처음으로 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 만나는 시각은
[eqn: t= 6]이다.

[eqn: 0<t LEQ 6]에서 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리를
[eqn: l LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: l LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | {1} over {6} t ^{3} - {3} over {2} t ^{2} - LEFT ( - {1} over {6} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} RIGHT ) RIGHT | = LEFT | {1} over {3} t ^{3} -2t ^{2} RIGHT |]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {3} t ^{3} -2t ^{2}]이라 하면

[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) =0]에서 [eqn: t=0], [eqn: 4]

따라서 [eqn: l LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t= LEFT . {BOX{`````````4 _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}} `````````}} RIGHT .]일 때 극대이면서 최대이므로
[eqn: l LEFT ( t RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: LEFT . {BOX{`````````` {32 ^{{}^{}}} over {3 _{}} ``````````}} RIGHT .]이다.

(가)에 알맞은 식은 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =it- {1} over {6} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2}]

(나), (다)에 알맞은 수는 각각 [eqn: a=4], [eqn: b= 32over3]

[eqn: therefore] [eqn: {a times b} over {f left( 2 right) } = 64]

19. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 추론하기

각 점의 좌표는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: {rmA} _{n}]

[eqn: {rm B} _{n}]

[eqn: {rm C} _{n}]

[eqn: {rm E} _{n}]

[eqn: {rm D} _{n}]

[eqn: x=it-n+1]

[eqn: x=n]

[eqn: CDOTS]

[eqn: VDOTS]

[eqn: VDOTS]

[eqn: {rm G} _{n}]

[eqn: {rm F} _{n}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( it` 2n,``0 RIGHT )], [eqn: rm B _{it n} LEFT ( it `n,``n` RIGHT )], [eqn: rm C _{it n} LEFT ( it `n,`-n RIGHT )],
[eqn: rm D _{it n} LEFT ( it -n+1,``n-1 RIGHT )], [eqn: rm E _{it n} LEFT ( it -n+1,`-n+1 RIGHT )],

[eqn: rm F _{it n} LEFT ( it` n-1,`-n+1 RIGHT )], [eqn: rm G _{it n} LEFT ( it` n-1,``n-1` RIGHT )]

오각형 [eqn: rm `A _{it n rm} B _{it n rm} D _{it n rm} E _{it n rm} C _{it n rm}]에서

삼각형 [eqn: RM A_{itn} B_{itn} C_{itn}]의 둘레 및 내부에 있는 점 중에서
[eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점들의 개수는
[eqn: 1+3+`cdots`+ LEFT ( 2n+1 RIGHT ) = LEFT ( n+1 RIGHT )^2]

변 [eqn: rmD_{itn} E_{itn}] 위의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인
점들의 개수는 [eqn: 2n-1]이므로

정사각형 [eqn: RM E_{itn} F_{itn} G_{itn} D_{itn}]의 둘레 및 내부에 있는 점
중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점들의 개수는
[eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) ^{2} =5n ^{2} -2n+2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {5} n- sqrt {a _{n}}` RIGHT )}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {5} n- sqrt {5n ^{2} -2n+2} ` RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` ->` INF } {{2n-2} over {sqrt {5} n+ sqrt {5n ^{2} -2n+2}}} = {sqrt {5}} over {5}]

20. [출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의
[eqn: x]좌표는 [eqn: 2-t]

(ⅰ) [eqn: 0<t<1]일 때

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: x=t]는
그림과 같다.

[eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x=t]

[eqn: 2-t]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{t} {LEFT ( -x+2-t RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} x ^{2} +2x-tx RIGHT ] _{0}^{t}][eqn: =it- {3} over {2} t ^{2} +2t]

(ⅱ) [eqn: 1 le t <2]일 때

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: x=t]는
그림과 같다.

[eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: x=t]

[eqn: 2-t]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{2-t} {LEFT ( -x+2-t RIGHT ) dx} + int _{2-t} ^{t} {LEFT ( x-2+t RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ - {1} over {2} x ^{2} +2x-tx RIGHT ] _{0}^{2-t}][eqn: + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -2x+tx RIGHT ] _{2-t}^{t}][eqn: = { 5} over {2 }t^2 -6t +4]

(ⅲ) [eqn: t ge 2]일 때

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: x=t]는
그림과 같다.

[eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x=t]

[eqn: 2-t]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{t} {LEFT ( x-2+t RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -2x+tx RIGHT ] _{0}^{t}][eqn: = 3 over 2 t^2 -2t]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해

함수 [eqn: g` LEFT ( t RIGHT ) `=` {cases{`- {3} over {2} t ^{2} +2t&`````` LEFT ( 0<t<1 RIGHT )#` {5} over {2} t ^{2} -6t+4&`````` LEFT ( 1 LEQ t<2 RIGHT )#` {3} over {2} t ^{2} -2t&``````` LEFT ( t GEQ 2 RIGHT )}}]

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1}{ LEFT | -x+1RIGHT | dx}= { 1} over {2 }] (참)

ㄴ. (ⅰ) [eqn: t=2]에서 연속

[eqn: lim _{t` -> `2-} {LEFT . LEFT ( {5} over {2} t ^{2} -6t+4 RIGHT . RIGHT ) = lim _{t` -> `2+} {LEFT ( {3} over {2} t ^{2} -2t RIGHT )}} =2] [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )=2]

(ⅱ) [eqn: t=2]에서 미분가능
[eqn: lim _{t` -> `2-} {{g LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {t-2}} = lim _{t` -> `2-} {LEFT ( {5} over {2} t-1 RIGHT ) =4}]
[eqn: lim _{t`` -> `2+} {{g LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {t-2}} =][eqn: lim _{t`` -> `2+} { LEFT ( { 3} over {2 }t+1 RIGHT ) } =4]

[eqn: THEREFORE] 함수 [eqn: g left( t right)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능 (참)
ㄷ. 함수 [eqn: g left( t right)]의 증가와 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT (0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: { 2} over { 3}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 6 over 5]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g`' LEFT ( t RIGHT )]		+	[eqn: 0]	-	-	-	[eqn: 0]	+	+	+
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]		↗	[eqn: 2over3]	↘		↘	극소	↗		↗

[eqn: {2} over {3}]

[eqn: t]

[eqn: {6} over {5}]

[eqn: y= {2} over {3}]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=g LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

함수 [eqn: g left( t right)]는 [eqn: t= 2over3]에서 극댓값 [eqn: 2over3]를 가지므로
방정식 [eqn: g left( t right) = 2over3]는 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여
문제해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: rm P]

[eqn: rm C]

[eqn: rm H]

[eqn: rm theta]

[eqn: 2 rm theta]

삼각형 [eqn: rm ORA]에서 [eqn: rmANGLE OAR= theta]이므로
[eqn: {bar{rm OR it}} `=sin theta], [eqn: {bar{rmQR}} `=1-sin theta]이고 [eqn: {bar{rm PR it}} `= {bar{rm AR it}} `=cos theta]

삼각형 [eqn: rmOPQ]에서 [eqn: rmANGLE POQ = {pi } over {2} - theta]
[eqn: {bar{rmOP}} `= {bar{rmOQ}} `=1]이므로 [eqn: rmANGLE OQP = ANGLEOPQ]이고

[eqn: ANGLE rm OQP= {1} over {2} LEFT { pi - LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) RIGHT } = {pi } over {4} + {theta } over {2}]

삼각형 [eqn: rm QRP]의 내접원의 중심을 [eqn: rmC]라 하고
점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rm QR]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면
삼각형 [eqn: rmQHC]에서 [eqn: tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT ) = {f( theta )} over {{bar{rm QH it}}}]이므로

[eqn: {bar{rm QR it}} `= {bar{rm QH it}} + {bar{rm HR it}} `= {f( theta )} over {tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )} +f( theta )=1-sin theta]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f( theta )= {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) times tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )}]

[eqn: {pi } over {2} -theta =t]라 하면 [eqn: theta ` -> ` {pi } over {2} -]일 때, [eqn: t` -> `0+]이므로

[eqn: lim _{theta` -> ` {pi } over {2} -} {{f( theta )} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) ^{2}}}][eqn: = lim _{theta `->` {pi } over {2} -} { {1} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) ^{2}} TIMES {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) TIMES tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t` ->` 0+} {{1} over {t ^{2}} TIMES {LEFT ( 1-cos`t RIGHT ) TIMES tan LEFT ( {pi } over {4} - {t} over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {4} -{t} over {4} RIGHT )}] [eqn: = lim _{t` -> `0+} {{ {sin ^{2} t} over {t ^{2}} TIMES {tan LEFT ( {pi } over {4} - {t} over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {4} - {t} over {4} RIGHT )} TIMES {1} over {1+cos`t} }]

[eqn: = {1} over {4}]

22. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n `-> ` INF } {{5 times 2^n+1 -1}over {2^n +1} }][eqn: = lim _{n `-> ` INF } {{5 times 2 - 1 over2^n}over {1+ 1over2^n } }][eqn: =10]

23. [출제의도] 정적분의 뜻 이해하기

주어진 식의 양변을 미분하면

[eqn: {d} over {dx} int _{2} ^{x} { f LEFT ( t RIGHT ) dt}`= {d} over {dx} LEFT ( x ^{3} +x-10 RIGHT )]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =3x^2 +1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` LEFT ( 10 RIGHT ) =301]

24. [출제의도] 도함수의 활용 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -12x+9=3 left(x-1 right) left(x-3 right)]

[eqn: f`' LEFT (x RIGHT )=0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=3]
함수 [eqn: f left( x right)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과
같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	↗	[eqn: 13]	↘	[eqn: 9]	↗

함수 [eqn: f left( x right)]는 극솟값 [eqn: 9], 극댓값 [eqn: 13]을 가지므로
[eqn: a=9], [eqn: b=13]
[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=117]

25. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {na _{n} -7n+1} over {2n-1}]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } { {na _{n} -7n+1} over {2n-1}} =0], [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n} -7+ {1} over {n}} over {2- {1} over {n}} } =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n -> INF } { a _{n} }=7]

26. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{ x`->`inf } {{f left( x right) - x^3 }over5x^2}} = 2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 +10x^2 + ax +b]

[eqn: lim _{x` -> `-1} { {f LEFT ( x RIGHT )} over {x+1}}]의 값이 존재하고 [eqn: lim _{x` -> `-1} {LEFT ( x+1 RIGHT )} =0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `-1} {f LEFT ( x RIGHT )} =][eqn: lim _{x` -> `-1} {LEFT ( x ^{3} +10x ^{2} +ax+b RIGHT ) =0}]

[eqn: therefore] [eqn: b= a-9]

[eqn: lim _{x` -> `-1} {{x ^{3} +10x ^{2} +ax+a-9} over {x+1}}][eqn: = lim _{x` -> `-1} {LEFT ( x ^{2} +9x+a-9 RIGHT ) = it -8}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: a=9], [eqn: b=0]

따라서 [eqn: f left (x right) = x^3 +10x^2 +9x]이고 [eqn: f left(2 right) = 66]

27. [출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n `->` INF } {{ax ^{n+2} +7x} over {3x ^{n} +2} }]

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]일 때

[eqn: lim _{n `-> ` INF } {x ^{n} =0}]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = 7 over2 x]

(ⅱ) [eqn: x=1]일 때
[eqn: lim _{n `-> ` INF } {x ^{n} }` =1]이므로 [eqn: f left( 1 right) = a+7 over5]

(ⅲ) [eqn: x>1]일 때
[eqn: lim _{n` ->` INF } {x ^{n} =inf]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{ax ^{n+2} +7x} over {3x ^{n} +2} } = lim _{n` -> ` INF } {{ax ^{2} + {7} over {x ^{n-1}}} over {3+ {2} over {x ^{n}} }}]

[eqn: = a over 3 x^2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```````` {7} over {2} x _{{}_{}}&``````` LEFT ( 0<x<1 RIGHT ) _{{}_{}}#`` {a+7} over {5 _{{}_{}}^{{}^{}}}&``````` LEFT ( x=1 RIGHT ) _{{}_{}}^{{}_{` _{`}}^{}}#``````` {a} over {3} x ^{2 ^{{}^{}}}&``````` LEFT ( x>1 RIGHT ) ^{{}^{}}}}]
함수 [eqn: f left( x right)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x` -> `1-} {{7} over {2} x} = lim _{x` -> `1+} {{a} over {3} x ^{2} =f LEFT ( 1 RIGHT )}]
[eqn: 7over2 = a over 3 = a+7over5], [eqn: a= 21over2]
[eqn: THEREFORE] [eqn: 20a = 210]

28. [출제의도] 지수함수의 극한을 활용하여
문제해결하기

[eqn: r LEFT ( t RIGHT )=t]이고, 원점 [eqn: rmO]를 지나는 원 [eqn: C`]의
접선의 방정식은 [eqn: y= m(t) x]
점 [eqn: rm P]에서 접선까지의 거리는 원 [eqn: C`]의 반지름의
길이와 같으므로

[eqn: t = { LEFT | t timesm LEFT ( t RIGHT ) - te^t RIGHT | }over{root{left{m LEFT ( t RIGHT ) right}^2 + 1 }]
[eqn: { LEFT | m LEFT ( t RIGHT ) - e^t RIGHT | }={root{left{m LEFT ( t RIGHT ) right}^2 + 1 }]

[eqn: { LEFT { m LEFT ( t RIGHT ) - e^t RIGHT }^2 =left{m LEFT ( t RIGHT ) right}^2 + 1]
[eqn: e^t times m LEFT ( t RIGHT ) = {e^2t -1}over2]

[eqn: lim _{ t`->`0 +} {{4 r LEFT(t RIGHT)- { e^t }timesm LEFT ( t RIGHT ) } over {t} }]

[eqn: = lim _{ t`->`0 +}{ {{4t-{e^2t -1}over2}} over {t} }][eqn: = lim _{t` ->` 0+} { LEFT ( 4- {e ^{2t} -1} over {2t} RIGHT ) }][eqn: =3]

29. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: O]

[eqn: rm H]

[eqn: sqrt {21}]

[eqn: 3 sqrt {2}]

[eqn: sqrt {15}]

[eqn: alpha]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: l]

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm CBD= alpha], [eqn: ANGLE rm DBA= beta]라 하고

점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm`H]라 하면

점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: l`]까지의 거리는
[eqn: {bar{rm AH it}} = sqrt {21} `sin LEFT ( 2 alpha + beta RIGHT )]

[eqn: {bar{rm CD it}} = it x`]라 하면 [eqn: 15-x ^{2} =21- LEFT ( 3 sqrt {2} -x RIGHT ) ^{2}]
[eqn: x= sqrt {2}]

[eqn: sin2 alpha = sin LEFT ( alpha + alpha RIGHT )]

[eqn: =2`sin alpha `cos alpha =2 TIMES {sqrt {2}} over {sqrt {15}} TIMES {sqrt {13}} over {sqrt {15}} = {2 sqrt {26}} over {15}]

[eqn: cos2 alpha = cos LEFT ( alpha + alpha RIGHT )]

[eqn: =1-2sin ^{2} alpha =1-2 TIMES {2} over {15} = {11} over {15}]

[eqn: sin beta = {2 sqrt {2}} over {sqrt {21}}], [eqn: cos` beta = {sqrt {13}} over {sqrt {21}}]

[eqn: sqrt {21} `sin` LEFT ( 2 alpha + beta RIGHT )]

[eqn: = sqrt {21} TIMES LEFT ( {2 sqrt {26}} over {15} TIMES {sqrt {13}} over {sqrt {21}} + {11} over {15} TIMES {2 sqrt {2}} over {sqrt {21}} RIGHT )]

[eqn: = {16} over {5} sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p=5], [eqn: q=16]

따라서 [eqn: p+q=21]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

[eqn: f left( x right)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: t][eqn: left( t>1 right)]까지 변할 때의
평균변화율 [eqn: g left(t right)]는 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {t-1}]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=2]에서 극댓값 [eqn: 0]을 가지므로
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT )]이고, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 극댓값을
갖는다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x- alpha RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT )]
(단, [eqn: k>0], [eqn: alpha>2])이고,

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =k LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( t- alpha RIGHT )]이다.

또한, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 최솟값이 존재하기 위해서는
[eqn: lim _{t` -> `1+} {g LEFT ( t RIGHT )} GEQ g LEFT ( p RIGHT )]를 만족시키는 [eqn: p]([eqn: p>2])가
존재해야 한다.

따라서 [eqn: lim _{t` -> `1+} {g LEFT ( t RIGHT )} =g LEFT ( p RIGHT )]를 만족시키는 [eqn: p]를 [eqn: a]라 하면
[eqn: p=a]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]의 실근의 합은
최소가 된다. [eqn: cdots cdots ㉠]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g left( t right)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: alpha]

[eqn: 2]

[eqn: y=f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: a]

[eqn: t]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: alpha]

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y=g LEFT ( t RIGHT )]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =k LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( t- alpha RIGHT )]에 대하여
[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT )][eqn: =2k LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t- alpha RIGHT ) +k LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = k LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT { 3t- LEFT ( 2alpha+2 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: g`' LEFT ( t RIGHT )=0]에서 [eqn: t=2], [eqn: { 2alpha+2} over {3 }]

따라서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t = { 2 alpha +2} over {3 }]에서 극소이며

[eqn: a= {2 alpha +2} over {3}]

㉠에 의하여

[eqn: lim _{t` ->` 1+} {g LEFT ( t RIGHT )} =g LEFT ( {2 alpha +2} over {3} RIGHT )]
[eqn: k LEFT ( 1- alpha RIGHT ) = k LEFT ( {2 alpha +2} over {3} -2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2 alpha +2} over {3} - alpha RIGHT )]
[eqn: 27 LEFT ( 1- alpha RIGHT ) = it -4 LEFT ( alpha-2 RIGHT ) ^{3}]
[eqn: 4 alpha ^{3} -24 alpha ^{2} +21 alpha -5=0]
[eqn: LEFT ( alpha -5 RIGHT ) LEFT ( 4 alpha ^{2} -4 alpha +1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha =5] ([eqn: because] [eqn: alpha >2])
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = f LEFT ( 1 RIGHT )]의 서로 다른 실근의 합이 최소일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-5 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT )]
따라서 서로 다른 실근의 합의 최솟값은

[eqn: 1+2+5=8]