• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	④	2	①	3	④	4	②	5	②
6	②	7	⑤	8	③	9	⑤	10	④
11	④	12	③	13	③	14	①	15	④
16	②	17	①	18	⑤	19	⑤	20	⑤
21	①	22	[eqn: 5`]	23	[eqn: 15`]	24	[eqn: 27`]	25	[eqn: 67`]
26	[eqn: 14`]	27	[eqn: 22`]	28	[eqn: 25`]	29	[eqn: 16`]	30	[eqn: 214`]

해 설

1. [출제의도] 로그를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log`` _{3} `` sqrt {6} `-`log`` _{3} `` sqrt {2} ``]

[eqn: =log`` _{3} `` {sqrt {6}} over {sqrt {2}}]

[eqn: =log`` _{3} `` sqrt {3} ``= {1} over {2}]

2. [출제의도] 지수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( 8 ^{{1} over {2}} -2 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {2} - sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =2]

3. [출제의도] 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= pmatrix{`2`&`1`#`6``&3`}][eqn: ,] [eqn: B= pmatrix{```````3&`-2`#-6&`````````4`}]에서

[eqn: AB-BA]

[eqn: = pmatrix{``2``&1`#6&``3`} pmatrix{```````3&``-2`#-6&`````````4`} ``-` pmatrix{`````````3``&-2`#-6&````````4`} pmatrix{`2&``1`#6&``3`}]

[eqn: = pmatrix{`0``&``0`#0&``0`} `- pmatrix{-6`&-3`#````12&```````6`}]

[eqn: = {pmatrix{`````````6&```````3#`-12&-6}} `]

4. [출제의도] 등차수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

첫째항이 [eqn: - 2 over 3`]이고 공차가 [eqn: 2 over 9`]인 등차수열을 [eqn: left{a _{n} right}`]이라 하면

[eqn: a _{n} =`- {2} over {3} +(n-1)` {2} over {9}]

[eqn: `=` {2} over {9} (n-4)]

이때, [eqn: a _{n} `]이 자연수가 되려면 [eqn: n`-4`]는 [eqn: 9`]의 배수이어야 한다.

따라서 [eqn: left{a _{n} right}`]에서 처음으로 자연수가 되는 항은 제 [eqn: 13]항이다.

∴ [eqn: m`=`13]

5. [출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B= {pmatrix{``-3``&``4``#`~~2``&``3``}}`]    …… ㉠

[eqn: A-2B= {pmatrix{``-2``&``3``#`~~1``&``4``}}`]   …… ㉡

㉠ - ㉡ 에서

[eqn: 3`B`= {pmatrix{``-1``&````````1``#`~~1``&``-1``}}`]이므로

[eqn: B= 1over 3 {pmatrix{``-1``&````````1``#`~~1``&``-1``}}`]

㉠ 에서

[eqn: A= {pmatrix{``-3``&``4``#`~~2``&``3``}}` - B`]이므로

[eqn: A= pmatrix{``-3``&``4``#`~~2``&``3``} `- {1} over {3} pmatrix{``-1``&````````1``#`~~1``&``-1``} `]

[eqn: `= 1 over 3 {pmatrix{``-8``&``11``#`~~5``&``10``}}`]

따라서 [eqn: A- B = 1 over 3 {pmatrix{``-7``&``10``#`~~4``&``11``}}`]에서 모든 성분의 합은 [eqn: 6]이다.

[다른 풀이]

㉠ + ㉡ [eqn: TIMES 2`]에서

[eqn: 3A-3B= {pmatrix{``-7&``10``#`~~4``&``11``}}`]

이므로 [eqn: A- B = 1 over 3 {pmatrix{``-7``&``10``#`~~4``&``11``}}`]에서 모든 성분의 합은 [eqn: 6]이다.

6. [출제의도] 합의 기호의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{9} left{ {k(k+1)} over {10} + {10} over {k(k+1)} right}]

[eqn: =` {1} over {10} sum _{k=1} ^{9} (k `^{2} +k)+10 sum _{k=1} ^{9} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} right) RIGHT .]

[eqn: LEFT . =` {1} over {10} sum _{k=1} ^{9} k ` ^{2} + {1} over {10} sum _{k=1} ^{9} k]

[eqn: LEFT . +10`` LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {9} - {1} over {10} RIGHT ) RIGHT } RIGHT .]

[eqn: LEFT . =` {1} over {10} ` TIMES {9 cdot 10 cdot 19} over {6} + {1} over {10} TIMES {9 cdot 10`} over {2} +10left(1- {1} over {10} right)]

[eqn: =`57 over2 + 9 over 2 + 9]

[eqn: =`42]

7. [출제의도] 행렬의 성질을 이해하여 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B=E``]에서 양변의 왼쪽에 [eqn: A`]를 곱하면

[eqn: A ^{2} +AB=A`]이고 [eqn: AB=O``]을 대입하면

[eqn: A^2 -A=O]

[eqn: (A+E)(A-2E ) = -2E] 에서

[eqn: (A+E)^-1 =` - 1 over 2 (A-2E)]

[eqn: `= `- 1 over 2 (E-B -2E)]

[eqn: `= {1} over {2} (B+E)]

[다른 풀이]

[eqn: A+B=E``], [eqn: AB=O``]에서 두 식을 더하면

[eqn: A+B+AB``=E]

[eqn: (A+E`)(B+E`)=2E]

[eqn: {1} over {2} (A+E`)(B+E`)=E]

따라서 [eqn: A+E``]의 역행렬은 [eqn: {1} over {2} (B+E`)`]이다.

8. [출제의도] 등차중항의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a _{1} `,````a _{2} `,````a _{3} `,````a _{4} `,````a _{5}]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
[eqn: a_1 +a_5 = a_2 +a_4 = 2a_3]
이때, [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 = 10`]이므로
[eqn: 5a_3 =10`]

∴ [eqn: a_3 = 2] (참)

ㄴ. [eqn: a_1 +a_5 = 2a_3 = 4] (참)

ㄷ. [eqn: a_3 +a_5 = 2a_4]이고,

[eqn: a_2 +a_4 = 2a_3]이므로
[eqn: 2a _{2} +a _{3} +a _{5} =2a _{2} +2a _{4}]

[eqn: =2(a _{2} +a _{4} )]

[eqn: =2 TIMES 2a _{3}]

[eqn: =4a _{3} =8] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른 풀이]

[eqn: a _{1} `,````a _{2} `,````a _{3} `,````a _{4} `,````a _{5}]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{1} `=`a _{3} -2d]

[eqn: a _{2} `=`a _{3} -d]

[eqn: a _{4} `=`a _{3} +d]

[eqn: a _{5} `=`a _{3} +2d]

ㄱ. [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5}]

[eqn: =(a _{3} -2d)+(a _{3} -d)+a _{3} +(a _{3} +d)+(a _{3} +2d)]

[eqn: =5a _{3} =10]
∴ [eqn: a _{3} =2] (참)

ㄴ. [eqn: a _{1} +a _{5} =(a _{3} -2d)+(a _{3} +2d)]

[eqn: =2a _{3} =4] (참)

ㄷ. [eqn: 2a _{2} +a _{3} +a _{5} =2(a _{3} -d)+a _{3} +(a _{3} +2d)]

[eqn: `=4a _{3} =8] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

9. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 대소 관계를 알 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A=5 ^{`log _{``5} ``3} =`3``]

[eqn: =`log`` _{`5} ``125]

[eqn: B=log`` _{2} `4``+log`` _{5} `3`]

[eqn: =2+log`` _{5} `3=log `` _{`5} ``75`]

[eqn: C= {log`` _{3} ``30} over {log`` _{3} ``5} ``=log` ` _{5} ``30`]

[eqn: log`` _{5} ``30<`log`` _{5} ``75``<``log`` _{5} ``125`]이므로

[eqn: C``<B``<A]

[다른 풀이]

[eqn: A=5 ^{`log _{``5} ``3} =`3`]

[eqn: B= {log``_2`4}``+ log``_5`3`]

[eqn: `=2 + log``_5`3`]

에서 [eqn: log`` _{5} `` sqrt {5} <log`` _{5} `3``<`log`` _{5} `5`]이므로

[eqn: {1} over {2}` <log`` _{5} `3`<`1`]

∴ [eqn: {5} over {2} `<`B``<3]

[eqn: C= {log``_3``30} over {log``_3``5}`` = log`_5` 30 `]에서

[eqn: log`` _{5} 25<`log` _{5} `30``<``log`` _{5} 25 sqrt {5} `]이므로

[eqn: 2<log`` _{5} `30`<` {5} over {2} `]

∴ [eqn: 2<`C``< {5} over {2}]

∴ [eqn: C``<B``<A]

10. [출제의도] 수열을 이용하여 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

홀수인 자연수 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: CDOTS] 으로 이루어진 수열을 [eqn: left{a _{n} right}]이라 하면

[eqn: a _{n} =2n-1]

[eqn: a _{n} =2n-1=101]에서 [eqn: n=51]이므로 [eqn: 101]은 [eqn: 51]번째 항이다.

또, 각 행의 항의 수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS] 이므로 제[eqn: n]행까지의 모든 항의 개수는 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k= {n(n+1)} over {2}]이다.

[eqn: {n(n+1)} over {2} LEQ 51]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 9]이고 제[eqn: 9]행까지의 항의 개수는 [eqn: 45]개이다.

따라서 [eqn: 101]은 제[eqn: 10]행과 제[eqn: 6]열이 만나는 위치에 있다.

∴ [eqn: p+q=10+6=16]

[다른 풀이]

각 행의 제[eqn: 1]열의 수 [eqn: 1,````3,````7,````13,``cdots] 으로 이루어진 수열을 [eqn: left{a _{n} right}]이라 하면 [eqn: left{a _{n} right}]의 계차수열은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 2k=1+2 TIMES {n(n-1)} over {2}]

[eqn: =n ^{2} -n+1]

[eqn: n=10]일 때, [eqn: n ^{2} -n+1=91]이므로 제[eqn: 10]행의 첫 번째 항 [eqn: a _{10}]은 [eqn: 91]이다.

이때, [eqn: 101=91+2times5]이므로 [eqn: 101]은 제[eqn: 10]행과 제[eqn: 6]열이 만나는 위치에 있다.

∴ [eqn: p+q=10+6=16]

11. [출제의도] 거듭제곱근을 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: x^5 =` -7`]의 실근은 [eqn: root {5} of {- 7}]이므로
[eqn: f(5)=1`]

(ⅱ) [eqn: x^10 = `-2]의 실근은 존재하지 않으므로
[eqn: f(10)=0]

(ⅲ) [eqn: x^15 = 3`]의 실근은 [eqn: root {15} of {3}]이므로
[eqn: f(15)=1`]

(ⅳ) [eqn: x^20 =8`]의 실근은 [eqn: ± root {20} of {8}`]이므로
[eqn: f(20)=2`]

∴ [eqn: f(5)+f(10)+f(15)+f(20)=4`]

12. [출제의도] 등비수열을 이용하여 도형의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: l _{1} =3]이다.

두 점 [eqn: rm B _{2}], [eqn: rm C _{2}]에서 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}]에 내린 수선의 발을  각각 [eqn: rmX _{1}], [eqn: rm Y _{1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm B_1 Q_1 P_1]과 삼각형 [eqn: rmC_1 R_1 Q_1]은 합동인 정삼각형이고 점 [eqn: rm B _{2}]는 삼각형 [eqn: rm B_1 Q_1 P_1]의 무게중심, 점 [eqn: rm C _{2}]는 삼각형 [eqn: rmC_1 R_1 Q_1]의 무게중심, 점 [eqn: rmQ _{1}]은 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}]의 중점이므로

[eqn: rm bar{B _{1} X _{1}} = bar{X _{1} Q _{1}} = rm bar{Q _{1} Y _{1}} = bar{Y _{1} C _{1}}]

[eqn: rm bar{B _{2} X _{1}} = bar{C _{2} Y _{1}}]

∴ [eqn: rm bar{B _{2} C _{2}} = bar{X _{1} Y _{1}} = {1} over {2} bar{B _{1} C _{1} }= {1} over {2}]

같은 방법으로 두 선분 [eqn: rmA _{`2} B _{`2}], [eqn: rmC _{`2} A _{`2}]의 길이를 각각 구하면

[eqn: ` bar{rm A _{2}B _{2} it} `=` bar{rm C _{2} A _{2} it} `=` {1} over {2}]

따라서 삼각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2]는 한 변의 길이가 [eqn: 1over2]인 정삼각형이다.

∴ [eqn: l _{2} = {3} over {2}]

이와 같은 과정을 계속하면 삼각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}]의 둘레의 길이는 삼각형 [eqn: rm A _{itn} B _{itn} C _{itn}]의 둘레의 길이의 [eqn: { 1} over { 2}]이므로 수열 [eqn: left{l _{n} right}]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{8} l _{n} = {3 `LEFT ( 1- {1} over {2 ^{8}} RIGHT )} over {1- {1} over {2}} = {765} over {128}]

13. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: P=6400], [eqn: G=5120]이므로

[eqn: S LEQ 0.215` LEFT ( {6400} over {100} RIGHT ) ^{{1} over {3}} LEFT ( {5120} over {10} RIGHT ) ^{{2} over {3}}]

[eqn: =0.215` LEFT ( 2 ^{6} RIGHT ) ^{{1} over {3}} LEFT ( 2 ^{9} RIGHT ) ^{{2} over {3}}]

[eqn: =0.215 TIMES 2 ^{2} TIMES 2 ^{6}]

[eqn: =55.04]

따라서 메달 가치의 최댓값은 [eqn: 55`]이다.

14. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가) : 등식 [eqn: X^n = A]에서 좌변을 [eqn: E``]로 만들려면 양변에 [eqn: (X^-1 )^n``]을 곱해야 한다.

(나) : 행렬 [eqn: X`]가 역행렬을 갖는다고 가정하면 모순이 되므로 행렬 [eqn: X`]는 역행렬을 갖지 않는다.
∴ [eqn: xw-yz=0]

(다) : [eqn: X-(x+w)E][eqn: ``=pmatrix { x& y#z &w } - (x+w)pmatrix {1& 0#0 &1 }]

[eqn: =pmatrix { ``-w``& ``y``#``z`` &``-x`` }``]

15. [출제의도] 로그함수의 그래프를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

함수 [eqn: y=log`_a` (x+b)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=log``_a`x`]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: -b``]만큼 평행이동 시킨 것이다.

함수 [eqn: y=log``_a`x`]의 그래프에서 [eqn: x`]의 값이 증가할 때, [eqn: y``]의 값이 감소하므로 [eqn: 0<a<1`]이다.

점 [eqn: (1,````0)``]을 지나는 함수 [eqn: y=log``_a`x`]의 그래프가 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: -b`]만큼 평행이동 시켰을 때 [eqn: x<0]인 부분에서 [eqn: x``]축과 만나므로 [eqn: -b <`-1``]이다.

∴ [eqn: b>1]

함수 [eqn: y=log`` _{b} `(x+a)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=log`` _{b} ``x`]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: -a``][eqn: (-1<-a<0)]만큼 평행이동 시킨 것이므로 함수 [eqn: y=log`` _{b} `(x+a)`]의 그래프는 ④이다.

16. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하여 점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{AB} `=`log` it ` _{4} ``a-log`` _{{1} over {2}} `a``]

[eqn: ``= {1} over {2} rm log`` _{2} ` it a+log _{`2} `a`]

[eqn: ``= {3} over {2`} `log _{`2} `a`=3]

이므로 [eqn: log`` _{2} `a`=2``]에서

[eqn: a=4`]

이때, 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: (4,````-2`)`]이므로 점 [eqn: rm C`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: -2``]이다.

점 [eqn: rm C`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: p]라 하면

[eqn: -2=log`` _{4} `p`]

이므로

[eqn: p=4 ^{-2} = {1} over {16} ``]

17. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: n]이 증가할수록 [eqn: log`n]의 값은 증가하므로

[eqn: log`n=f(n)+g(n)]은 [eqn: n=1]일 때 최솟값을 갖는다.
따라서 [eqn: f(n)+g(n)]의 최솟값은
[eqn: log`1=0] (참)

ㄴ. [eqn: f(m)=f(n)=2]이면 [eqn: m], [eqn: n]은 세 자리의 자연수이므로 [eqn: |m-n|]의 최댓값은
[eqn: |999-100|=][eqn: 899] (거짓)

ㄷ. [eqn: g(n)=log7]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은
[eqn: 7], [eqn: 70], [eqn: 700], [eqn: 7000], [eqn: cdots]
따라서 [eqn: m!=n]이고 [eqn: g(m)=g(n)=log7]일 때,

[eqn: |m-n|]의 최솟값은
[eqn: |70-7|=63] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

18. [출제의도] 행렬과 연립방정식의 해를 이용하여 최대, 최소를 구하는 문제이다.

[eqn: pmatrix { `~~a``&``b`` #``-b`` &``a`` }``pmatrix { ``x``#``y`` } = pmatrix { `~~3``&``5`` #``-3`` &``3`` }`` pmatrix { ``x``#``y`` }``]

[eqn: pmatrix { `~~a-3``&``b-5`` #``-b+3`` &``a-3`` }``pmatrix { ``x``#``y`` } = pmatrix { ``0``#``0`` }``]

연립방정식이 [eqn: x=0``], [eqn: y=0``]이외의 해를 가지려면

[eqn: pmatrix { `~~a-3``&``b-5`` #``-b+3`` &``a-3`` }``]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

즉 [eqn: (a-3)^2 +(b-5)(b-3)=0``]이므로

[eqn: (a-3)^2 +(b-4)^2 =1``]

점 [eqn: rmP ({ita`, ````b})]를 중심의 좌표가 [eqn: (3`,````4)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점이라 하자.

이때, [eqn: a^2 +b^2 ={bar { rm OP}}^2]이고 원점과 점 [eqn: (3,````4)``]사이의 거리는 [eqn: root {3^2 +4^2} =5``]이므로

[eqn: 5-1 LEQ bar{rm OP it} LEQ 5+1]

[eqn: 4^2 LEQ bar{rm OP it}`^2 LEQ 6^2`]

∴ [eqn: M+m=36+16=52`]

19. [출제의도] 행렬의 곱셈과 역행렬에 대한 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A= E``]이면 (가)에서 [eqn: B=BC]
행렬 [eqn: B]의 역행렬이 존재하므로
[eqn: B^ -1 B = B^-1 BC]
∴ [eqn: C=B^-1 B= E] (참)

ㄴ. 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하면
[eqn: AB=BC``]에서 [eqn: C= B^-1 AB]
이때, [eqn: C ^{`-1} `=(B ^{-1} AB) ^{-1} =B ^{-1} A ^{-1} B] 이므로
행렬 [eqn: C``]의 역행렬이 존재한다. (참)

ㄷ. (가), (나)에서 [eqn: A= B C B^-1]이므로
[eqn: A^7 =( BCB^-1 )^7]

[eqn: = (BCB^-1 )(BCB^-1 )cdots (BCB^-1 )]

[eqn: =BC `` ^{7} B ^{-1}]
∴ [eqn: A^7 B = BC``^7`](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: A^7 B = AA cdots`AAB]

[eqn: `=AA CDOTS ABC]
[eqn: `=AA CDOTS `BCC]
⋮
[eqn: `=BC CDOTS CCC`]
[eqn: `=BC^7]

20. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 물체 [eqn: rmA], [eqn: rm B]를 통과하여 나오는 [eqn: X]선의 세기를 각각 [eqn: I _{rm A` it} ,`````I `_{rm B` it}]라 하면

[eqn: 3 = 2.3 over 2.3 left( {log`I `_{0}- logI`_{rm A}}`` right)]

[eqn: 4.6= 2.3 over 2.5 left( {log`I` _{0}- logI`_{rm B}}`` right)]

∴ [eqn: log` I`_{rm A} = log` I`_0 -3], [eqn: log `I`_{rm B} = log `I`_0 - 5]

따라서

[eqn: log` I`_{rm A} - log` I`_{rm B} = (log` I`_0 - 3) -( log` I`_{0} - 5 )]

[eqn: =2]

이므로

[eqn: log` {I_{rm `A} over I_{rm` B}} =2]

[eqn: {I_{rm `A} over I_{rm `B}} =10`^2 = 100]

∴ [eqn: {I_{rm` A} =100` I_{rm `B}}]

따라서 물체 [eqn: rmA]를 통과하여 나오는 [eqn: X`]선의 세기는 물체 [eqn: rm B`]를 통과하여 나오는 [eqn: X`]선의 세기의 [eqn: 100]배이다.

∴ [eqn: k=100]

21. [출제의도] 지수함수와 이차함수를 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(g(x))][eqn: =`f(a ` ^{x} )`]

[eqn: =`-a` ^{2x} +2a ` ^{x} +1`]

[eqn: =`-(a` ^{x} -1) ^{2} +2`] [eqn: (-1` LEQ `x` LEQ `2)`]

[eqn: g(f(x))][eqn: =`a`^f(x)]

[eqn: =a ^{-x ^{2} +2x+1} `]

[eqn: =a ^{-(x-1) ^{2} `+2} `] [eqn: (-1` LEQ `x` LEQ `2)`]

(ⅰ) [eqn: a`>`1`]일 때,
[eqn: `a` ^{x} `=`t`] ([eqn: t>0`])라 하면
[eqn: f(g(x))][eqn: =`-(t-1) ^{2} +2`] [eqn: left( {1} over {a} ` LEQ `t` LEQ `a ^{2} `right)`]
이때, [eqn: 0`<` {1} over {a} `<1`]이고 [eqn: a ^{2} `>`1`]이므로 [eqn: f`(`g`(`x`)`)`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.
함수 [eqn: g(f(x))][eqn: =a` ^f(x)]은 [eqn: f`(x)]가 최대일 때 최댓값을 갖는다.
따라서 [eqn: x`=`1`]일 때 최댓값 [eqn: a ^{2} `]을 가지므로
[eqn: a ^{2} `=`2`]
∴ [eqn: a`= sqrt {2} `] [eqn: ( BECAUSE ~a`>`1)`]

(ⅱ) [eqn: 0`<`a`<`1`]일 때,
[eqn: `a` ^{x} `=`t`] ([eqn: t>0`])라 하면
[eqn: f`(`g(x))][eqn: =`-(t-1) ^{2} +2`] [eqn: LEFT ( a ^{2} ` LEQ `t` LEQ ` {1} over {a} ` RIGHT ) `]
이때, [eqn: 0`<`a ^{2} `<1`]이고 [eqn: {1} over {a} `>`1`]이므로 [eqn: f`(`g`(`x`)`)`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.
함수 [eqn: g(f(x))][eqn: =a` ^f(x)]은 [eqn: f(x)]가 최소일 때 최댓값을 갖는다.
따라서 [eqn: x`=`-1`]일 때 최댓값 [eqn: a ^{-2} `]을 가지므로
[eqn: a ^{-2} `=`2`]
∴ [eqn: a`=` {1} over {sqrt {2}} `=` {sqrt2} over {2} `] [eqn: ( BECAUSE ````0`<`a`<`1`)]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 [eqn: a`]값의 합은

[eqn: sqrt { 2} + sqrt 2 over 2 =] [eqn: {3 sqrt {2}} over {2} `]

22. [출제의도] 지수부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4` ^{x``} - 3 cdot 2`^x+2 +32 le 0]

⇔ [eqn: (2`^x )^2 - 12 cdot 2`^x +32 le 0]

⇔ [eqn: (2`^x -4 )(2`^x -8 ) le 0]

⇔ [eqn: 4 le 2`^x le8]

∴ [eqn: 2 le x le3]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 5`]이다.

23. [출제의도] 역행렬을 이용하여 행렬의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A`]의 역행렬 [eqn: A^-1`]가 존재하므로

[eqn: XA=B``]에서 [eqn: X= BA^-1 ``]이다.

[eqn: X= 5 pmatrix { ``-1``&`~~1`` #`~~2`` &``-3`` }`cdot 1 over 2`pmatrix { `~~3``& ``-1``# ``-4``& `~~2``}``]

[eqn: = 5 over 2 pmatrix { ``-7``&`~~3`` #`~~18`` &``-8`` }``]

따라서 모든 성분의 합은

[eqn: 5 over 2 times 6 =15]

24. [출제의도] 로그방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: left(log`` _{3} ` {9} over {x} right)left(log _{`3} {x} over {3} right)+6=0`]

[eqn: LEFT ( 2-log`` _{3} `x RIGHT ) LEFT ( log _{`3} `x-1 RIGHT ) +6=0`]

[eqn: log``_3 ``x`= `t``]로 치환하면

[eqn: (2-t)(t-1)+6=0``]

[eqn: t^2 -3t -4=0``]

∴ [eqn: t=4``] 또는 [eqn: t=`-1`]

따라서 [eqn: log`` _{3} ``x`=`4``]또는 [eqn: log`` _{3} ``x`=`-1``]이므로

[eqn: x= 3`^4``] 또는 [eqn: x= 1over3]

∴ [eqn: alpha `beta = 3^4 times 1over 3 = 27]

25. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a`_n = a`_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}``(-1)`^k+1``]

[eqn: = 1+ {1-(-1)`^n-1} over {1-(-1)}`]

[eqn: = 3 over 2 + 1 over 2 (-1)`^n} `]

따라서 [eqn: a` _{2k-1} `=`1], [eqn: a` _{2k} `=`2] ([eqn: k`=`1], [eqn: 2,] [eqn: 3], [eqn: cdots])이므로

[eqn: a` _{2k-1} +a` _{2k} =3]

이때,

[eqn: 100=3 TIMES 33+1]

[eqn: =(a` _{1} +a` _{2} )+(a` _{3} +a` _{4} )+ CDOTS +(a` _{65} +a ` _{66} )+a ` _{67}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{67} a` _{k}]

이므로 구하는 자연수 [eqn: m]의 값은 [eqn: 67]이다.

26. [출제의도] 그래프의 경로를 이해하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) 변의 개수가 [eqn: 1`]인 경로 : [eqn: rm AF]
∴ [eqn: 1`] (개)

(ⅱ) 변의 개수가 [eqn: 2`]인 경로 : [eqn: rmAGF]
∴ [eqn: 1`] (개)

(ⅲ) 변의 개수가 [eqn: 5`]인 경로 :
[eqn: rmAG][eqn: rm B`C][eqn: rm G][eqn: rmF]

[eqn: rmAG][eqn: rm C`B][eqn: rm G][eqn: rmF]

[eqn: rmAG][eqn: rm D`E][eqn: rm G][eqn: rmF]
[eqn: rmAG][eqn: rm E`D][eqn: rm G][eqn: rmF]

∴ [eqn: 4`] (개)

(ⅳ) 변의 개수가 [eqn: 8`]인 경로 :

[eqn: rmAG][eqn: rm B`C][eqn: rm G][eqn: rm DE][eqn: rm G][eqn: rmF]

[eqn: rmAG][eqn: rm C`B][eqn: rm G][eqn: rm DE][eqn: rm G][eqn: rmF]
[eqn: rmAG][eqn: rm B`C][eqn: rm G][eqn: rm E`D][eqn: rm G][eqn: rmF]

[eqn: rmAG][eqn: rm C`B][eqn: rm G][eqn: rm E`D][eqn: rm G][eqn: rmF]
[eqn: rmAG][eqn: rm DE][eqn: rm G][eqn: rm B`C][eqn: rm G][eqn: rmF]

[eqn: rmAG][eqn: rm DE][eqn: rm G][eqn: rm C`B][eqn: rm G][eqn: rmF]
[eqn: rmAG][eqn: rm E`D][eqn: rm G][eqn: rm B`C][eqn: rm G][eqn: rmF]

[eqn: rmAG][eqn: rm E`D][eqn: rm G][eqn: rm C`B][eqn: rm G][eqn: rmF]

∴ [eqn: 8`] (개)

따라서 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 꼭짓점 [eqn: rmF]로 가는 모든 경로의 수는

[eqn: 1+1+4+8 = 14] (개)

[참고]

(1) 변의 개수가 [eqn: 5`]인 경로 :
경로 [eqn: rmAG][eqn: rm P_1 P_2][eqn: rm G][eqn: rmF]에서 두 꼭짓점 [eqn: rm P_1 ,~ P_2 `]를 택하는 경우의 수는

[eqn: 4 times 1 = 4] (개)

(2) 변의 개수가 [eqn: 8`]인 경로 :
경로 [eqn: rmAG][eqn: rm P_1 P_2][eqn: rm G][eqn: rm P_3 P_4][eqn: rm G][eqn: rmF]에서 네 꼭짓점
[eqn: rm P_1 ,`` P_2 ,`` P_3 , ``P_4]를 택하는 경우의 수는
[eqn: 4 times 1 times 2 times 1 = 8] (개)

27. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a` _{n} =2 CDOT 3 ` ^{n-1}] ([eqn: n=1], [eqn: 2,] [eqn: 3], [eqn: cdots])이다.

[eqn: S` _{n} = sum _{k=1} ^{n} a` _{k} b` _{k} =4`n cdot3` ^{n}]이라 하면

[eqn: a` _{n} b` _{n} =S ` _{n} -S` _{n-1}] [eqn: (`n`geq`2`)]

[eqn: =4`n cdot3` ^{n} `-4(n-1)3` ^{n-1}]

[eqn: =4 cdot 3 ` ^{n-1} (2`n+1)]

[eqn: b` _{n} =2(2n+1)][eqn: (`n`geq`2`)]

[eqn: `=4`n+2``]

∴ [eqn: `b` _{5} =22]

28. [출제의도] 이차함수를 이용하여 지수부등식의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 5`^x =t] ([eqn: t>0])라 하면

[eqn: t^2 -k`t +2`k +5 ≥0]

[eqn: t ^{2``} +5 geq`k(t-2)]

[eqn: f(t)=t^2 +5], [eqn: g(t)=k(t-2)]라 하면

[eqn: t>0]인 모든 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t) ge g(t)]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: y = g(t)]의 그래프가 점 [eqn: (0, ````5)]를 지날 때,
[eqn: 5=k(0-2)]에서
[eqn: k = `- 5 over 2]

(ⅱ) 두 함수 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]의 그래프가 접할 때,
방정식 [eqn: t^2 -k`t +2`k +5 =0]이 중근을 가지므로

판별식 [eqn: D = k^2 -8k` -20 =0]에서
[eqn: (k-10)(k+2)=0]
∴ [eqn: k= 10`] 또는 [eqn: k=`-2]
이때, [eqn: k>0]이므로
[eqn: k=10]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: - 5over2 le k le10]

∴ [eqn: | `alpha ` beta `|= LEFT |` - {5} over {2} times10 `RIGHT | =25`]

[다른 풀이]

지수부등식 [eqn: 5^2x -k cdot 5`^ x +2k +5 ≥ 0`]에서

[eqn: 5`^x =t] ([eqn: t>0])로 놓으면

[eqn: t^2 -k`t +2k +5 ≥0]

[eqn: f(t)=t^2 -k`t +2k +5]

[eqn: =LEFT ( t - k over 2 RIGHT ) ^2 - 1 over 4 k`^2 +2k +5] ([eqn: t>0])

라 하면 꼭짓점의 [eqn: t]좌표는 [eqn: k over 2]이다.

(ⅰ) [eqn: k over 2 >0]일 때,
[eqn: - 1 over 4 k^2 +2k+5 ≥0]이어야 하므로
[eqn: k^2 -8k -20 le 0]
∴ [eqn: -2 le k le 10]
그런데, [eqn: k>0]이므로
[eqn: 0<k le 10]

(ⅱ) [eqn: k over 2 le 0]일 때,
[eqn: f(0)≥0]이어야 하므로
[eqn: 2k+5 ≥ 0]

[eqn: k≥ - 5 over 2]
그런데, [eqn: k≤ 0]이므로
[eqn: - 5 over 2 le k le 0]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: - 5 over 2 le k le 10]

∴ [eqn: |` alpha` beta`| = LEFT | ` - 5 over 2 times 10 `RIGHT | = 25]

29. [출제의도] 역행렬을 갖기 위한 조건을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

서로 다른 두 점 [eqn: (` x _{`1} ,```y` _{1} `)], [eqn: ( `x` _{2}` ,```y ` _{2} `)]를 택하여 만든 행렬 [eqn: pmatrix { ``x_1``& ``x_2``#``y_1`` & ``y_2``}]의 역행렬이 존재하지 않으려면

[eqn: x_1 y_2 - x_2 y_1 =0]이어야 한다.

이때, [eqn: x_1 ,``x _2 , ``y_1 , ``y_2`]는 모두 [eqn: 0]이 아니므로

[eqn: y_1 over x_1 = y_2 over x_2]

따라서 세 점 [eqn: rm O], [eqn: (` x _{`1} ,```y` _{1} `)], [eqn: ( `x` _{2}` ,```y ` _{2} `)]가 한 직선 위에 있을 때 역행렬이 존재하지 않는다.

두 점을 택하는 순서에 따라 서로 다른 행렬이 만들어지므로

(ⅰ) 직선 [eqn: l] 위의 두 점을 택한 경우

[eqn: `_4 `{rmP}_2 = 12] (개)

(ⅱ) 직선 [eqn: m] 위의 두 점을 택한 경우

[eqn: `_2 `{rmP}_2 = 2`] (개)

(ⅲ) 직선 [eqn: n] 위의 두 점을 택한 경우

[eqn: `_2`` {\P}_2 = 2] (개)

그러므로 역행렬을 갖지 않는 행렬의 개수는

[eqn: 12+2+2= 16] 이다.

30. [출제의도] 수열을 이용하여 점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{rmA_1 A_2 }= 2 root2`], [eqn: bar{rmA_2 A_3 }= 3 root2`], [eqn: bar{rmA_3 A_4 }= 4 root2`], … 이므로 점 [eqn: rm A_{it n }] ([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{n}]이라 하면 수열 [eqn: left{`x _{n} right}]은 다음과 같다.

[eqn: 1,``-1,``2,``-2,``3,``-3,``cdots]

∴ [eqn: x _{2k-1} =`k], [eqn: x _{2k} =`-k] ([eqn: k=1], [eqn: 2,] [eqn: 3], [eqn: cdots])

한편, 점 [eqn: rm A_{it n }] ([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])의 [eqn: y]좌표를 [eqn: y _{n}]이라 하면  [eqn: y` _{n} `=1+2+3+ CDOTS +n= {n(n+1)} over {2}]

따라서 세 점 [eqn: rm A_19 ,``` A_20 ,``` A_21]의 좌표는

[eqn: rm A _{19} (10,``190),````A _{20} (-10,``210),````A _{21} (11,``231)]

이므로 삼각형 [eqn: rm A`_19 `A`_20 `A`_21]의 무게중심의 좌표는

[eqn: left( 10-10+11 over 3 ,``{190+210 +231 } over 3 right)]

즉, [eqn: LEFT ( {11} over {3} ,`` {631} over {3} RIGHT )]이다.

∴ [eqn: a+b = 11 over 3 + 631 over 3 = 642 over 3 = 214]

수리‘나’형 정답

1	⑤	2	①	3	④	4	①	5	②
6	②	7	⑤	8	③	9	②	10	③
11	④	12	②	13	③	14	①	15	③
16	②	17	④	18	⑤	19	⑤	20	④
21	①	22	[eqn: 5`]	23	[eqn: 15`]	24	[eqn: 24`]	25	[eqn: 576`]
26	[eqn: 14`]	27	[eqn: 21`]	28	[eqn: 25`]	29	[eqn: 16`]	30	[eqn: 32`]

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 8` ^{3} TIMES 4 ^{-2``} =2` ^{9`} ` TIMES 2`^-4 = 2`^5 =32]

2 ~ 3. ‘가’형과 같음.

4. [출제의도] 지수방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( 1 OVER 3 RIGHT )^{`x^2 -3} = LEFT ( 1 over 9 RIGHT )^{`x}]

[eqn: LEFT ( 1 OVER 3 RIGHT )^{`x^2 -3} = LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^{`2x}]

양변의 지수를 비교하면

[eqn: x^2 -3 =2`x]

[eqn: x^2 -2`x - 3 = 0]

[eqn: (x-3)(x+1 )=0]

∴ [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=-1]

따라서 모든 근의 합은 [eqn: 2]이다.

[다른 풀이]

이차방정식 [eqn: x^2 -2`x - 3 = 0]에서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 [eqn: 2]이다.

5. ‘가’형과 같음.

6. [출제의도] 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ABA^-1 = B``]에서 [eqn: AB=B`A]이므로

[eqn: {pmatrix{``1``&``2``#``2``&``3``}}`` {pmatrix{``1``&``1``#``x``&``y``}}`` = {pmatrix{``1``&``1``#``x``&``y``}}``{pmatrix{``1``&``2``#``2``&``3``}}``]

[eqn: {pmatrix{``1+2x``&``1+2y``#``2`+3x`&``2+3y``}}`` = {pmatrix{``3``&``5``#``x+2y``&``2x+3y``}}`]

두 행렬이 서로 같을 조건에 의해

[eqn: 1+2x=3], [eqn: 1+2y=5],

[eqn: 2+3x=x+2y], [eqn: 2+3y=2x+3y`]

∴ [eqn: x=1`], [eqn: y=2``]

∴ [eqn: xy=2]

7. ‘가’형과 같음.

8. [출제의도] 주어진 행렬이 나타내는 그래프를 찾을 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 행렬이 나타내는 그래프를 그리면 다음과 같다.

9. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해를 판별할 수 있는가를 묻는 문제이다.

연립방정식의 해가 존재하지 않으려면 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: 2 times 4 - (k-1)(k-3)=0]

[eqn: k^2 - 4k-5=0]

[eqn: (k-5)(k+1)=0]

[eqn: k=5] 또는 [eqn: k=`-1]

(ⅰ) [eqn: k=5]일 때,

[eqn: 2 over 4 = 2 over 4 = 1 over 2]이므로 해가 무수히 많다.

(ⅱ) [eqn: k=`-1]일 때,

[eqn: 2 over -2 = -4 over 4 != 1 over 2]이므로 해가 없다.

따라서 해가 존재하지 않도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은 [eqn: -1 `]이다.

10. [출제의도] 행렬을 이용하여 거리에 관한 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.  [eqn: L(A) =sqrt { (x_2 -x_1 )^2 +(y_2 -y_1 )^2 }]
[eqn: L(B) =sqrt { (x_2 -x_1 )^2 +(y_2 -y_1 )^2 }]
∴ [eqn: L(A)=L(B)] (참)

ㄴ. [eqn: L(2A)=sqrt { (2x_2 -2x_1 )^2 +(2y_2 -2y_1 )^2 }]
[eqn: =2 sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2}}]
[eqn: =2L(A)]  (참)

ㄷ. [eqn: A+B``=`2 `pmatrix {` x_1 &``x_2 # 0&`` 0}] 이므로
[eqn: L(A+B) =2``|`x_2 -x_1 `|`]
∴ [eqn: 1 over 2 L(A+B ) = |x_2 - x_1 | `]

[eqn: LEQ sqrt {(x _{2} -x _{1} ) ^{2} +(y _{2} -y _{1} ) ^{2}}`]
[eqn: = L(A)=L(B)]

∴ [eqn: L(A+B) le L(A) +L(B)]  (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른 풀이]

[eqn: {\A}_1 (x_1 ,`` y_1 )], [eqn: {\A}_2 (x_2 ,``y_2 )], [eqn: {\B}_1 (x_1 , ``-y_1 )], [eqn: {\B}_2 (x_2 , ``-y_2 )] 라 하자.

ㄱ.  [eqn: L(A) =bar{rm A_1 A_2 it}], [eqn: L(B) =bar{rm B_1 B_2 it}]
그런데 두 선분 [eqn: {rm A_1 A_2 it}], [eqn: {rm B_1 B_2 it}]는 [eqn: x`]축에 대하여 서로 대칭이므로 그 길이가 같다.
∴ [eqn: L(A)=L(B)] (참)

ㄴ. [eqn: L(2A)]는 선분 [eqn: {rm A_1 A_2 it}]를 원점을 닮음의 중심으로 하여 [eqn: 2]배만큼 확대한 선분의 길이와 같으므로
[eqn: L(2A)=2L(A)] (참)

ㄷ. [eqn: A+B``=`2` pmatrix { x_1 &``x_2 # 0& ``0}]이므로
[eqn: L(A+B) =2`|`x_2 -x_1` |`]
이때, [eqn: 1 over 2 L (A+B) = |`x_2 -x_1` |`]은 선분 [eqn: {rm A_1 A_2 it}]의 양 끝점에서 [eqn: x]축에 각각 내린 두 수선의 발 [eqn: rm A _{1} prime ,``A _{2} prime `]을 양 끝점으로 하는 선분 [eqn: {rm A_1 ' A_2 ' it}]의 길이와 같다.
[eqn: bar{rm A_1 ' A_2 ' it} le bar{rm A_1 A_2 it}] 이므로
[eqn: 1 over 2 L (A+B) le L(A)`]
∴ [eqn: L(A+B) le L(A) +L(B)] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

11. ‘가’형과 같음.

12. [출제의도] 행렬의 곱셈과 역행렬의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: AB=AA ^{2} =A ^{3}`], [eqn: BA=A^2 A=A^3`]에서

[eqn: AB=BA]

[eqn: A^2 B^2 =AABB=ABAB=(AB)^2`]

같은 방법으로

[eqn: A^3 B^{`3} =(AB)^3`], [eqn: A^4 B^{`4} =(AB)^4`], [eqn: A^5 B^{`5} =(AB)^5`]

한편, [eqn: A^2 B^{`2} =B``(-A )]에서

[eqn: (AB)^2 =`-AB]

이때, [eqn: A,``B`]의 역행렬이 모두 존재하므로 [eqn: (AB)^-1 `]을 양변에 곱하면

[eqn: AB=`-E]

∴ [eqn: AB + A^2 B^{`2} + A^3 B^{`3} + A^4 B^{`4} + A^5 B^{`5}]

[eqn: = AB + (A B)^2 + (A B)^3 + (A B)^4 + (A B)^5]
[eqn: = ` -E+E-E+E-E]
[eqn: =`-E]

[다른 풀이]

(나)에서 [eqn: A^4 = B^{`2} =` -A]이므로

[eqn: A^4 +A=O]

∴ [eqn: A(A^3 +E) =O]

(가)에서 [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로 양변에 [eqn: A^-1]을 곱하면 [eqn: A^3 + E = O] 즉, [eqn: A^3 =` -E``]이다.

∴ [eqn: A^-1 = `- A^2 =` -B]

∴ [eqn: AB``=`` -E]

13 ~ 14. ‘가’형과 같음.

15. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: \A`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면

[eqn: bar{rm OD it} ``:`` bar{rm BA it}][eqn: =`1``:``3`]에서

[eqn: bar{rm OD it} ``:`` bar{rm OH it}][eqn: =`1``:``4`]

이때, [eqn: bar{rm OH it} = 2]이므로

[eqn: bar{rm OD it} `= 1 over 2]

따라서 점 [eqn: rmD`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1 over 2]이므로 [eqn: {rmB}`left( 1 over 2 , ``2 right)`]이다.

점 [eqn: \B`]는 지수함수 [eqn: y=a`^x]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: a^ {1over 2} =2]

∴ [eqn: a=4]

∴ [eqn: bar{rm CE it} = bar{rm AC it} = 4^2 -2 = 14]

16. [출제의도] 행렬을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B=E], [eqn: AB=E] 에서

[eqn: A(E-A)=E]

[eqn: A ^{2} -A+E=O`]   ……㉠

양변에 [eqn: A+E]를 곱하면

[eqn: (A+E)(A^2 -A+E)=O]

[eqn: A ^{3} +E=O`], [eqn: A ^{3} =-E`], [eqn: A^6 =E`]이므로

[eqn: A^2012 = A^ {6 times335 +2}]

[eqn: = (A^6 )^335 A^2][eqn: = A^2]

한편, ㉠에서

[eqn: A^2 =A-E]

같은 방법으로

[eqn: B^2012 = B^{`2}][eqn: =B-E]

∴ [eqn: A^2012 +B^{`2012} = A^2 +B^{`2}][eqn: = A-E +B-E]

[eqn: =A+B-2E``][eqn: =E`-2E=`-E]

[다른 풀이]

위에서 [eqn: A^2012 = A^2], [eqn: B^{`2012} =B^{`2}]

[eqn: AB=E``]에서 [eqn: B`A=E] 이므로 [eqn: AB=B`A]

[eqn: A^2012 +B``^2012 =A^2 +B``^2]

[eqn: =(A+B)^2 -2AB]

[eqn: =E-2E`=`-E]

17. [출제의도] 그래프를 나타내는 행렬을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그래프 [eqn: G``]를 나타내는 행렬의 성질에서

[eqn: a=b], [eqn: c=d]   …… ㉠

행렬의 모든 성분의 합은 변의 개수의 [eqn: 2]배와 같으므로 조건 (가)에서

[eqn: a+b+c+d +12= 14]   …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 2(a+c)=2]이므로

[eqn: a+c=1]

그런데 [eqn: a,``c`]는 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]의 값을 가지므로 [eqn: a=1], [eqn: c=0`] 또는 [eqn: a=0], [eqn: c=1`]이다.

(ⅰ) [eqn: a=1], [eqn: c=0]일 때,
다음과 같이 꼭짓점과 변을 정하면 모든 변을 빠짐없이 지나는 경로 [eqn: rmBCABDCED`]가 존재한다.

(ⅱ) [eqn: a=0], [eqn: c=1]일 때,
주어진 행렬이 나타내는 그래프는 조건 (나)를 만족하지 않는다.

따라서 [eqn: a=b=1], [eqn: c=d=0]이므로

[eqn: 8a+4b+2c+d=12]

[참고]

그래프에서 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 홀수인 꼭짓점의 개수가 [eqn: 0] 또는 [eqn: 2]이면 모든 변을 빠짐없이 지나는 경로가 존재한다.

(ⅰ) [eqn: a=1], [eqn: c=0]일 때,
각 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 [eqn: 2, ``3,`` 4,`` 3,`` 2]이므로 (나)를 만족한다.

(ⅱ) [eqn: a=0], [eqn: c=1]일 때,
각 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 [eqn: 1,``3,``4,``3,``3]이므로 (나)를 만족하지 않는다.

18 ~ 19. ‘가’형과 같음.

20. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2`^x cdot 4`^y = 2^{` x+2y}] 이므로 [eqn: x+2y]가 최소일 때 [eqn: 2`^x cdot 4`^y]은 최솟값을 갖는다.

[eqn: sqrt { x}+sqrt { 2y} = 4]에서 [eqn: sqrt { 2y} = 4- sqrt { x}] ……㉠

양변을 제곱하면 [eqn: 2y = 16 - 8 sqrt { x} +x]이므로

[eqn: x + 2y = x+ 16 -8 sqrt { x } +x]

[eqn: = 2( sqrt { x} )^2 -8 sqrt { x} +16]

[eqn: = 2 ( sqrt { x} -2)^2 +8]

㉠에서 [eqn: 4-sqrt { x} >0] 이므로 [eqn: 0< sqrt { x} <4]

따라서 [eqn: x+2y]는 [eqn: sqrt x = 2]일 때 최솟값 [eqn: 8]을 가지므로 [eqn: 2`^x cdot 4`^y]의 최솟값은 [eqn: 2^8 =256]이다.

[다른 풀이]

코시-슈바르츠 부등식에서

[eqn: (x+2y)(1^2 +1^2 ) ≥ ( sqrt { x} + sqrt { 2y} )^2]

[eqn: 2(x+2y )≥4^2], [eqn: x+2y ≥ 8]

따라서 [eqn: 2`^x cdot 4`^y]의 최솟값은 [eqn: 2^8 =256]이다.

[다른 풀이]

[eqn: x>0`], [eqn: y>0`]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서

[eqn: x+2y ge 2 root{x cdot 2y}`] …… ㉠

(단, 등호는 [eqn: x=2y`]일 때 성립)

한편 [eqn: rootx + root 2y =4`]에서 [eqn: x=2y`]이면

[eqn: rootx = root 2y =2`]

∴ ㉠에서 [eqn: x+2y ge 2 root{x cdot 2y}`][eqn: = 2rootx cdot root 2y =8`]

따라서 [eqn: 2`^x cdot 4`^y]의 최솟값은 [eqn: 2^8 =256]이다.

21 ~ 23. ‘가’형과 같음.

24. [출제의도] 행렬을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A^2 = pmatrix { ``1& `-1``# ``1& ~~1``}pmatrix { ``1& `-1``# ``1& ~~1``} = pmatrix { ``0 & `-2``# ``2& ~~0``}`]

[eqn: A^4 = (A^2 ) ^2]

[eqn: = pmatrix { ``0& `-2``#`` 2& ~~0``}pmatrix { ``0&` -2``#`` 2& ~~0``}]

[eqn: = pmatrix {`` -4 & ~~0``# ``~~0&` -4``} =-4E``]

이므로

[eqn: A^6 = A^4 A^2 =-4A^2],

[eqn: A^8 =(A^4 ) ^2 =16 E],

[eqn: A^10 = A^8 A^2 =16A^2]

∴ [eqn: A^2 +A^4 +A^6 +A^8 +A^10]

[eqn: =A^2 -4E-4A^2 +16E+16A^2 `]

[eqn: =13A ^{2} +12E`]

그런데 [eqn: A^2]의 모든 성분의 합은 [eqn: 0`]이고 [eqn: 12 E`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 24]이므로 주어진 행렬의 성분의 합은 [eqn: 0+24 = 24]이다.

25. [출제의도] 행렬의 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: i=1,`` j=1`]일 때, [eqn: f(x) = sin pix]
[eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 1]이므로

[eqn: a`_11 =1]

(ⅱ) [eqn: i=1, ``j=2`]일 때, [eqn: f(x) = sin pi over 2 x]
[eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi }over { pi over 2 } = 4]이므로

[eqn: a`_12 =4]

(ⅲ) [eqn: i=1,`` j=3`]일 때, [eqn: f(x) = sin pi over 3 x]
[eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi }over { pi over 3 } = 6`]이므로

[eqn: a`_13 =6]

(ⅳ) [eqn: i=2, ``j=1`]일 때, [eqn: f(x) = 2sin pix]
[eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 2]이므로

[eqn: a`_21 =2]

(ⅴ) [eqn: i=2,`` j=2`]일 때, [eqn: f(x) =2 sin pi over 2 x]
[eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 2]이므로

[eqn: a`_22 =2]

(ⅵ) [eqn: i=2,`` j=3`]일 때, [eqn: f(x) = 2sin pi over 3 x]
[eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi }over { pi over 3 } = 6`]이므로

[eqn: a`_23 =6]

따라서 모든 성분의 곱은 [eqn: 576`]이다.

26. ‘가’형과 같음.

27. [출제의도] 지수 법칙을 이용하여 지수방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2`^x+y +2`^x + 2`^y =1160]

⇔ [eqn: 2`^y (2`^x +2`^x-y + 1)=2`^3 cdot 5 cdot 29]

⇔ [eqn: 2`^y-3 (2`^x +2`^x-y + 1)=145]

따라서 [eqn: 2`^y-3 =1], [eqn: 2`^x + 2`^x-y +1 = 145]이어야 한다.

[eqn: 2`^y-3 =1]에서 [eqn: y-3 = 0]이므로

[eqn: y=3]

이때, [eqn: 2`^x + 2`^x-3 +1 = 145]에서

[eqn: 2`^x = 2^7]이므로

[eqn: x=7]

∴ [eqn: alpha `beta = 3 times 7 =21]

[다른 풀이]

[eqn: 2`^x+y +2`^x + 2`^y =1160]에서

[eqn: 2`^x 2`^y +2`^x + 2`^y +1=1161]이므로

[eqn: (2`^x +1 )(2`^y +1)=1161]

이때, [eqn: 1161= 3`^3 cdot 43]이고 [eqn: 2`^x +1], [eqn: 2`^y +1]은 모두 [eqn: 3] 이상인 홀수이다.

(ⅰ) [eqn: 2`^x +1 = 3^2 cdot 43], [eqn: 2`^y +1= 3]일 때,
[eqn: 2`^x =386]인 자연수 [eqn: x]가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 2`^x +1 =3 cdot 43], [eqn: 2`^y +1 =3^2]일 때,
[eqn: 2`^x =128]에서 [eqn: x=7]
[eqn: 2` ^{y} =8]에서 [eqn: y=3]

(ⅲ) [eqn: 2`^x +1 =43], [eqn: 2`^y +1 =3^3]일 때,
자연수 [eqn: x, ``y`]가 존재하지 않는다.

∴ [eqn: alpha `beta = 3 times 7 =21]

28 ~ 29. ‘가’형과 같음.

30. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

가로의 길이가 [eqn: 25 pi], 두께가 [eqn: 0.5]이므로

[eqn: 25 pi ≥ ` {0.5 pi `} over {6} (2` ^{n} +4)(2 ` ^{n} -1)`]

[eqn: (2 ` ^{n} +4)(2` ^{n} -1)` LEQ `300`]

[eqn: 2 `^{2n} +3 CDOT 2 ` ^{n} -304` LEQ `0`]

[eqn: 2` ^{n} `=`t`] ([eqn: t`>`0])라 하면

[eqn: t ^{2} +3t-304`leq`0`]

[eqn: (t-16)(t+19)`leq`0]

∴ [eqn: 0`<`t`leq`16]

이때, [eqn: 2 ` ^{n} ` LEQ `16]에서 [eqn: n` LEQ `4`]이므로 [eqn: a`=`4`]이다.

종이의 두께는 한 번 접을 때마다 [eqn: 2`]배씩 늘어나므로 [eqn: 4`]번 접었을 때 접은 종이의 총 두께는

[eqn: b= 0.5` TIMES `2 ^{4} `=`8`]

∴ [eqn: ab`=`32`]