• 2교시 수학 영역 •

1	④	2	⑤	3	③	4	①	5	②
6	①	7	③	8	①	9	②	10	④
11	④	12	②	13	②	14	⑤	15	③
16	③	17	④	18	②	19	①	20	⑤
21	⑤	22	18	23	10	24	8	25	150
26	24	27	16	28	4	29	750	30	36

1. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: U]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} ``=A CUP B ^{`C} = LEFT { 1,`2,`3,`5 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} `]의 모든 원소의 합은 [eqn: 11]

2. [출제의도] 복소수의 곱셈 계산하기

[eqn: 2ab=2 LEFT ( 1-i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES 2=4]

3. [출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈 계산하기

[eqn: LEFT ( A+2B RIGHT ) - LEFT ( B+C` RIGHT ) =A+B-C]

[eqn: =x ^{2} +4y ^{2}]

4. [출제의도] 이차방정식의 판별식의 뜻 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} `+2kx+3k-2=0]에서

[eqn: {D} over {4} =k ^{2} -3k+2`]

[eqn: = LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: k=1] 또는 [eqn: k=2]

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 3]

5. [출제의도] 연립이차부등식의 해 구하기

[eqn: LEFT | ``2x-1` RIGHT | ``<5]에서

[eqn: -5<2x-1<5]
[eqn: -4<2x<6]

[eqn: therefore] [eqn: -2<x<3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: x ^{2} -5x+4 LEQ 0]에서

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: therefore] [eqn: 1 LEQ x LEQ `4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 연립부등식의 해는 [eqn: 1 LEQ x<3]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 2]

6. [출제의도] 대칭이동의 의미 이해하기

[eqn: rmO]

[eqn: y=x]

[eqn: rmP]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A LEFT ( 3,`2 RIGHT )]

[eqn: rmB LEFT ( 5,`3 RIGHT )]

[eqn: rmB`' LEFT ( 3,`5 RIGHT )]

점 [eqn: rm B]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 점을
[eqn: rm B prime ` it LEFT ( 3,`5 RIGHT )]라 하자.

[eqn: bar{rm AP it} + bar{rm BP it} `= bar{rm AP it} + bar{rm B prime P it} GEQ bar{rmAB` prime }]이므로
[eqn: bar{rm AP it} + bar{rm BP it} `]의 값이 최소인 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rm B prime]과 점 [eqn: rm A]를 이은 직선과 직선 [eqn: y=x`]의 교점 [eqn: LEFT ( 3,`3 RIGHT )]이다.

삼각형 [eqn: rm ABP]는 직각삼각형이므로

따라서 [eqn: (]삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이[eqn: )][eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1`=1]

7. [출제의도] 유리식을 활용하여 문제해결하기

광고 전 세 제품의 비례상수를 [eqn: k _{1}][eqn: LEFT ( k _{1} != 0 RIGHT )]이라 하면

[eqn: r _{1} = {2k _{1}} over {13k _{1} +9k _{1} +2k _{1}} = {2k _{1}} over {24k _{1}} = {1} over {12} `]

광고 후 세 제품의 비례상수를 [eqn: k _{2} LEFT ( k _{2} != 0 RIGHT )]라 하면

[eqn: r _{2} = {4k _{2}} over {9k _{2} +7k _{2} +4k _{2}} = {4k _{2}} over {20k _{2}} = {1} over {5} `]

따라서 [eqn: r _{2} -r _{1} `= {1} over {5} - {1} over {12} = {7} over {60}]

8. [출제의도] 역함수의 성질 이해하기

(가)에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c][eqn: LEFT ( x>-1 RIGHT )]라 하면

(나)에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: c=0]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이므로
[eqn: a+b=3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: g LEFT ( 8 RIGHT ) =2]에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =8]이므로

[eqn: 4a+2b=8] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a=1], [eqn: b=2]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x]

[eqn: g LEFT ( 15 RIGHT ) =m]이라 하면

[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =m ^{2} +2m=15]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT ( m+5 RIGHT ) LEFT ( m-3 RIGHT ) =0]
따라서 [eqn: m=3] [eqn: LEFT ( BECAUSE ``m>-1 RIGHT )]

9. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x-1= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q(x)+R] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: x=1], [eqn: x=`-1]을 대입하면 나머지
[eqn: R=a-1]이다.

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x-1= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +a-1]에서

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x-a= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `Q LEFT ( x RIGHT ) =x+a]

[eqn: Q LEFT ( a RIGHT ) =R]이므로 [eqn: 2a=a-1]

따라서 [eqn: a=`-1]

10. [출제의도] 함수의 뜻을 알고 추론하기

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =a+b], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =b], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =a+b]

두 함수 [eqn: f]와 [eqn: g]가 서로 같으므로
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT )]
[eqn: therefore] [eqn: a+b=3], [eqn: b=1]이므로
[eqn: a=2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: 2a-b=3]

11. [출제의도] 선분의 내분점과 외분점 이해하기

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

[eqn: -4]

[eqn: -2]

[eqn: rm E]

[eqn: x]

직사각형 [eqn: rmOABC]를 점 [eqn: rm O]가 원점과 일치하도록 하는
좌표평면에 놓으면 [eqn: rm A(6,`0)], [eqn: rm B(6,`3)], [eqn: rm C(0,`3)]이다.

선분 [eqn: rmOB]를 [eqn: 1`:2]로 내분하는 점은
[eqn: rm D LEFT ( {6+0} over {1+2} ,` {3+0} over {1+2} RIGHT ) =D LEFT ( 2,`1 RIGHT )]

선분 [eqn: rm OD]를 [eqn: 2`:3]으로 외분하는 점을 [eqn: rmE]라 하면

[eqn: rm E LEFT ( {4-0} over {2-3} ,` {2-0} over {2-3} RIGHT ) =E LEFT ( -4,`-2 RIGHT )]

직선 [eqn: rmCD]의 방정식은 [eqn: x+y-3=0]

따라서 점 [eqn: rmE]와 직선 [eqn: rmCD]사이의 거리는

[eqn: {LEFT | -4-2-3 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {9} over {sqrt {2}} = {9} over {2} sqrt {2}]

12. [출제의도] 무리식을 활용하여 문제해결하기

연결 줄 [eqn: A]의 비틀림 상수는 연결 줄 [eqn: B]의 비틀림 상수의 [eqn: 4]배이므로 연결 줄 [eqn: B]의 비틀림 상수를 [eqn: a]라 하면, 연결 줄 [eqn: A]의 비틀림 상수는 [eqn: 4a]이다.
원판 [eqn: A` prime]의 관성 모멘트가 원판 [eqn: B` prime]의 관성 모멘트의 [eqn: 4+ sqrt {12}]배이므로 원판 [eqn: B` prime]의 관성 모멘트를 [eqn: b]라 하면, 원판 [eqn: A` prime]의 관성 모멘트는 [eqn: LEFT ( 4+ sqrt {12} RIGHT ) b]이다.

[eqn: T _{A} =2 pi sqrt {{LEFT ( 4+2 sqrt {3} RIGHT ) b} over {4a}} =2 pi {LEFT ( 1+ sqrt {3} RIGHT ) sqrt {b}} over {2 sqrt {a}}]  [eqn: T _{B} =2 pi sqrt {{b} over {a}} =2 pi ` {sqrt {b}} over {sqrt {a}}]

따라서 [eqn: {T _{A}} over {T _{B}}][eqn: = {1+ sqrt {3}} over {2}]

13. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( 2x-1 RIGHT ) = LEFT ( 2x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x-5 RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2x-1 RIGHT ) =0]의 두 근 [eqn: - {1} over {2}], [eqn: {5} over {2}]의 합은 [eqn: 2]

14. [출제의도] 두 점 사이의 거리를 활용하여 문제해결하기

[eqn: rmO]

[eqn: rmD]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmC]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -9]
이므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 꼭짓점은 [eqn: rm A` it LEFT ( 1,`-9 RIGHT )]

[eqn: -f LEFT ( x RIGHT ) +2=- LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) +2]

[eqn: =- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +11]

이므로 [eqn: y=`-f LEFT ( x RIGHT ) +2]의 꼭짓점은 [eqn: rm B` it LEFT ( 1,`11 RIGHT )]
두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=-f LEFT ( x RIGHT ) +2]의 그래프의
교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -9=- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +11]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x=1± sqrt {10}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm C(1- sqrt {10} ,`1)]，[eqn: rm D(1+ sqrt {10} ,`1)]

사각형 [eqn: rmADBC]가 마름모이므로

사각형 [eqn: rmADBC]의 넓이는
[eqn: {1} over {2} TIMES 20 TIMES 2 sqrt {10} =20 sqrt {10}]

15. [출제의도] 실수의 연산에 관한 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: 3◎4=3=4◎3] (참)

ㄴ. 연산 [eqn: ◎]에 대한 항등원을 [eqn: e]라 하면
임의의 정수 [eqn: a]에 대하여
[eqn: a◎e=e◎a=a]

[eqn: ae-3a-3e+12=a`]

[eqn: ae-4a-3e+12=0]
[eqn: (a-3) LEFT ( e-4 RIGHT ) =0] [eqn: therefore]　[eqn: `e=4`] (거짓)

ㄷ. 연산 [eqn: ◎]에 대한 [eqn: a]의 역원을 [eqn: x]라 하면
[eqn: a◎x=x◎a=4`]

[eqn: ax-3a-3x+12=4`]

[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =1]

[eqn: x=3+ {1} over {a-3} `]이고, [eqn: x]가 정수이므로

[eqn: a-3=-1] 또는 [eqn: a-3=1]
[eqn: THEREFORE]　[eqn: a=2] 또는 [eqn: 4`]

[eqn: THEREFORE] 역원이 존재하는 정수의 개수는 [eqn: 2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

16. [출제의도] 절대부등식의 의미를 이해하여 문제해결하기

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]라 하자.
[eqn: b= {2} over {a-1} +2]이므로

직사각형 [eqn: rm `PRSQ]의 둘레의 길이 [eqn: rm 2 LEFT ( bar{PR} `+ bar{PQ} RIGHT )]는

[eqn: 2(a-1)+2(b-2) GEQ 2 sqrt {2(a-1) TIMES 2 LEFT ( b-2 RIGHT )}]

[eqn: =2 sqrt {2(a-1) TIMES {4} over {a-1}}]

[eqn: =4 sqrt {2}]
[eqn: (]단, 등호는 [eqn: a-1=b-2]일 때 성립하므로
[eqn: a=1+ sqrt {2}], [eqn: b=2+ sqrt {2}]이다.[eqn: )]

따라서 직사각형 [eqn: rm `PRSQ]의 둘레의 길이의 최솟값은

[eqn: 4 sqrt {2}]

17. [출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기

마늘과 은행잎을 각각 [eqn: x LEFT ( rmkg RIGHT )], [eqn: y LEFT ( rmkg RIGHT )]이라 하면,
[eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0]

[eqn: 3x+y GEQ 45], [eqn: 2x+3y GEQ 65]

가 나타내는 영역은 그림의 어두운 부분이다.

[eqn: rmO]

[eqn: 2x+y=k]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: LEFT ( 10,`15 RIGHT )]

[eqn: 3x+y=45]

[eqn: 2x+3y=65]

추출하는데 드는 비용을 [eqn: k][eqn: (]만원[eqn: )]라 하면
[eqn: 2x+y=k`]이고
[eqn: k]의 값이 최소인 경우는 두 직선 [eqn: 3x+y=45],
[eqn: 2x+3y=65]의 교점 [eqn: LEFT ( 10,`15 RIGHT )]를 지날 때이다.

따라서 최소 비용은 [eqn: 35](만원)

18. [출제의도] 원과 직선의 위치관계 추론하기

원점 [eqn: rm O]에서 [eqn: C _{2}]에 그은 접선은

[eqn: y=mx`][eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

점 [eqn: LEFT ( d,`0 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=mx`]사이의 거리는 [eqn: r]이므로

[eqn: {LEFT | dm RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} =`r]

[eqn: r sqrt {m ^{2} +1} `= LEFT | dm RIGHT |]

[eqn: r ^{2} LEFT ( m ^{2} +1 RIGHT ) =d ^{2} TIMES BOX{`````````` _{{} ^{}} m ^{2 ^{}} ````````} `][eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: therefore] [eqn: f(m)=m ^{2}]

또한, [eqn: ㉠]과 원 [eqn: C _{1} `]의 방정식에서,

[eqn: `x ^{2} +y ^{2} =a ^{2}]의 양변에 [eqn: m ^{2}]을 곱하면

[eqn: m ^{2} x ^{2} +m ^{2} y ^{2} =m ^{2} a ^{2}]이고

[eqn: y ^{2} =m ^{2} x ^{2}]이므로

[eqn: y ^{2} +m ^{2} y ^{2} =m ^{2} a ^{2}]

[eqn: y ^{2} TIMES ` BOX{````````` _{{} ^{}} (m ^{2 ^{}} +1)`````````} =m ^{2} a ^{2}][eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: therefore] [eqn: g LEFT ( m RIGHT ) =m ^{2} +1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 3 RIGHT ) `=`4 TIMES 10=40]

19. [출제의도] 사차방정식의 해 구하기

[eqn: LEFT ( x ^{2} -4x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -6x+8 RIGHT ) =120]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) =120]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -5x+4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -5x+6 RIGHT ) =120]

[eqn: x ^{2} -5x=t]라 하면

[eqn: LEFT ( t+4 RIGHT ) LEFT ( t+6 RIGHT ) -120=0]
[eqn: t ^{2} +10t-96=0]

[eqn: LEFT ( t-6 RIGHT ) LEFT ( t+16 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -5x-6 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -5x+16 RIGHT ) =0]

[eqn: x ^{2} -5x-6=0] 또는 [eqn: x ^{2} -5x+16=0]
[eqn: x ^{2} -5x-6= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) =0]은
서로 다른 두 실근 [eqn: -1], [eqn: 6]을 갖는다.

[eqn: x ^{2} -5x+16=0]이 허근을 가지므로

[eqn: omega ^{2} -5 omega =-16]

20. [출제의도] 두 직선의 평행조건을 이해하여 문제
해결하기

[eqn: rmO]

[eqn: rmD]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

점 [eqn: rm B]를 지나고 직선 [eqn: rmAC]와 평행한 직선이 선분 [eqn: rmOC]와 만나는 점을 [eqn: rm D LEFT ( it a,`0 RIGHT )]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이가 같으므로 직선 [eqn: rmBD]의 기울기는 직선 [eqn: rmAC]의 기울기와 같다.
[eqn: {1-0} over {2-a}={3-0} over {5-3}] [eqn: therefore]　[eqn: a=` {4} over {3}]

따라서 직선 [eqn: rmAD]의 기울기는 [eqn: {3-0} over {5- {4} over {3}} `= {9} over {11}]

21. [출제의도] 합성함수의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: f LEFT ( g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =2] [eqn: (]참[eqn: )]

ㄴ. 함수 [eqn: LEFT ( g` CIRC `f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]는

ⅰ) [eqn: x>2`]일 때, [eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) =2]

ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | LEQ 2`]일 때, [eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2]

ⅲ) [eqn: x<`-2`]일 때, [eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( -2 RIGHT ) =2]

함수 [eqn: LEFT ( g`circ`f RIGHT ) LEFT ( -x RIGHT )]는

ⅰ) [eqn: x>2`]일 때, [eqn: g LEFT ( f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( -2 RIGHT ) =2]

ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | LEQ 2`]일 때, [eqn: g LEFT ( f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( -x RIGHT ) =x ^{2} -2]

ⅲ) [eqn: x<`-2`]일 때, [eqn: g LEFT ( f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) =2]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT ( g`circ`f RIGHT ) LEFT ( -x RIGHT ) = LEFT ( g`circ`f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )] (참)

ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( f`circ`g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]는

ⅰ) [eqn: x>2`]일 때, [eqn: x ^{2} -2>2]이므로

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( x ^{2} -2 RIGHT ) =2]

ⅱ) [eqn: LEFT | `x` RIGHT | LEQ 2`]일 때, [eqn: -2 LEQ x ^{2} -2 LEQ 2]이므로

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( x ^{2} -2 RIGHT ) =x ^{2} -2]

ⅲ) [eqn: x<`-2`]일 때, [eqn: x ^{2} -2>2]이므로

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( x ^{2} -2 RIGHT ) =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( f`circ`g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( g`circ`f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[참고] 함수 [eqn: y= LEFT ( f` CIRC `g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

22. [출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식의 해 구하기

연립방정식

[eqn: {cases{`x+y=5 _{}&``` CDOTS CDOTS ㉠ _{}#`y+z=6 _{} ^{}&``` CDOTS CDOTS ㉡ _{} ^{}#`2x+z=7 ^{}&``` CDOTS CDOTS ㉢ ^{}}}]
[eqn: ㉡], [eqn: ㉢]에서

[eqn: 2x-y=1`][eqn: CDOTS CDOTS ㉣]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉣]에서

[eqn: x=2]이므로 [eqn: y=3], [eqn: z=3]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: alpha =2], [eqn: beta=3]，[eqn: gamma =3]

따라서 [eqn: alpha ` beta ` gamma =18]

23. [출제의도] 다항식의 인수분해 이해하기

[eqn: 2x ^{2} -4x+k=0`]에서

[eqn: alpha + beta =- {-4} over {2} =2], [eqn: alpha beta = {k} over {2} `]

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} = LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =4-k`]

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} = LEFT ( alpha+beta RIGHT ) LEFT ( alpha ^{2} -alphabeta+beta ^{2} RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES LEFT ( 4-k- {k} over {2} RIGHT ) =7`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k= {1} over {3}]

따라서 [eqn: 30k`=10]

24. [출제의도] 필요조건과 충분조건 이해하기

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라
하면

[eqn: P``= LEFT { x``□`0<x LEQ 7 RIGHT }]
[eqn: Q= LEFT { x``□`-1` LEQ x LEQ a RIGHT }]
[eqn: R``= LEFT { `x`□`x GEQ b RIGHT }]

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P` SUBSET Q]

[eqn: r]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q SUBSET R]

[eqn: P` SUBSET Q` SUBSET R]이므로 [eqn: a` GEQ 7], [eqn: b LEQ -1]

따라서 [eqn: a-b]의 최솟값은 [eqn: 7- LEFT ( -1 RIGHT ) `=8]

25. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

점 [eqn: LEFT ( 1,`4 RIGHT )]를 점 [eqn: LEFT ( -2,`a RIGHT )]로 옮기는 평행이동에 의하여 좌표평면 위의 점은 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a-4]만큼 옮겨진다.
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +8x-6y+21=0]에서
[eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +bx-18y+c=0]에서

[eqn: LEFT ( x+ {b} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-9 RIGHT ) ^{2} =81-c+ {b ^{2}} over {4}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]의 원의 중심 [eqn: LEFT ( -4,`3 RIGHT )]이 평행이동에 의하여
[eqn: ㉡]의 원의 중심 [eqn: LEFT ( - {b} over {2} ,`9 RIGHT )]로 옮겨지므로
[eqn: therefore] [eqn: a=10], [eqn: b=14]

평행이동을 하여도 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로 [eqn: 4=81-c+ {196} over {4}]

[eqn: therefore] [eqn: c=126`]

따라서 [eqn: a+b+c=150]

26. [출제의도] 복소수의 값 추론하기

[eqn: z _{1} = {sqrt {2}} over {1+i} `= {1-i} over {sqrt {2}}], [eqn: z _{1} ^{```2} =-i], [eqn: z _{1} ^{````3} = {-i-1} over {sqrt {2}}], [eqn: z _{1} ^{````4} =-1`], [eqn: cdots], [eqn: z _{1} ^{```8} =1], [eqn: CDOTS]

[eqn: z _{2} = {-1+ sqrt {3} i} over {2} `], [eqn: z _{2} ^{````2} = {-1- sqrt {3} i} over {2}],

[eqn: z _{2} ^{````3} =1`], [eqn: CDOTS `]

[eqn: z _{1} ^{```n} =z _{2} ^{```n}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 8]과 [eqn: 3]의
공배수이다.

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 24]

27. [출제의도] 유리함수와 무리함수의 그래프의 성질 이해하기

[eqn: 3 LEQ x LEQ 5`]에서 정의된 함수
[eqn: y= {-2x+4} over {x-1} = {2} over {x-1} -2`]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 3]

[eqn: y= sqrt {3x} +k]

[eqn: y= {-2x+4} over {x-1}]

[eqn: k]

[eqn: 5]

[eqn: y= sqrt {3x} +k`]가 점 [eqn: LEFT ( 3,`-1 RIGHT )]을 지날 때,
실수 [eqn: k`]가 최댓값을 가지므로 [eqn: M`=-4]

따라서 [eqn: M ^{2} =16`]

28. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이해하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT )]에서 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
대칭축은 [eqn: x=2]이고,
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: -9`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} -9]

[eqn: =`x ^{2} -4x-5]

[eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | RIGHT ) =0]에서

[eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | =t(t GEQ 0)]라 하면 [eqn: f(t)=0]이고  [eqn: t=5]
[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =5], [eqn: -5]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 두 직선 [eqn: y=5], [eqn: y=-5]는
각각 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]

29. [출제의도] 이차함수의 최대, 최소 문제해결하기

[eqn: x]

[eqn: 135 DEG]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: x]

[eqn: 150-2x-y]

[eqn: y]

[eqn: X]

[eqn: Y]

그림과 같이 직사각형의 세로와 가로의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y]라 하자.
[eqn: X]의 넓이는 [eqn: xy]이고,
철망의 길이가 [eqn: 150]이므로 사다리꼴의 아랫변의
길이는 [eqn: 150-2x-y]이다.

점 [eqn: rm A`]에서 사다리꼴의 아랫변에 내린 수선의 발을
[eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: x]이고
[eqn: ANGLE rmCAB=45 DEG]이므로 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: x`]이다.

사다리꼴의 윗변의 길이는

[eqn: LEFT ( 150-2x-y RIGHT ) -x=150-3x-y]
[eqn: Y]의 넓이는
[eqn: {1} over {2} x LEFT { LEFT ( 150-3x-y RIGHT ) + LEFT ( 150-2x-y RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} x LEFT ( 300-5x-2y RIGHT )]
[eqn: X]의 넓이는 [eqn: Y]의 넓이의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: xy=x LEFT ( 300-5x-2y RIGHT )]

[eqn: y=100- {5} over {3} x]

[eqn: (][eqn: Y]의 넓이[eqn: )][eqn: = it {1} over {2} xy]

[eqn: = {1} over {2} x LEFT ( 100- {5} over {3} x RIGHT )]

[eqn: =- {5} over {6} x ^{2} +50x]

[eqn: =- {5} over {6} LEFT ( x-30 RIGHT ) ^{2} +750]

따라서 [eqn: x=30]일 때, [eqn: Y]의 넓이의 최댓값 [eqn: S]는 [eqn: 750]

30. [출제의도] 다항식의 최대공약수를 활용하여 추론하기

(가), (나)에서 두 다항식 [eqn: A LEFT ( x RIGHT )], [eqn: B` LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: A LEFT ( x RIGHT ) =p LEFT ( x RIGHT ) +q LEFT ( x RIGHT ) =2x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: B` LEFT ( x RIGHT ) =p LEFT ( x RIGHT ) -q LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( bx+4 RIGHT )]

(다)에서 [eqn: A LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: B` LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: p LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: q LEFT ( x RIGHT )]의 최대공약수를 인수로 갖는다.

[eqn: therefore][eqn: A LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: B` LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x+1]과 [eqn: x-1]을 인수로 갖는다.

인수정리에 의해

[eqn: A LEFT ( x RIGHT ) =p LEFT ( x RIGHT ) +q LEFT ( x RIGHT ) =2x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: A LEFT ( -1 RIGHT ) = LEFT ( -2 RIGHT ) times LEFT ( -2 RIGHT ) times LEFT ( -1+a RIGHT ) =0]
[eqn: therefore] [eqn: `a=1`]

[eqn: therefore] [eqn: A LEFT ( x RIGHT ) =p LEFT ( x RIGHT ) +q LEFT ( x RIGHT ) =2x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: B` LEFT ( x RIGHT ) =p LEFT ( x RIGHT ) -q LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( bx+4 RIGHT )]

[eqn: B` LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT ( 1+1 RIGHT ) LEFT ( b+4 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=-4]

[eqn: therefore] [eqn: B` LEFT ( x RIGHT ) =p LEFT ( x RIGHT ) -q LEFT ( x RIGHT ) =-4 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]
따라서 [eqn: A LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES B` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =36]