수학 영역

나형 정답

1	④	2	④	3	⑤	4	②	5	⑤
6	③	7	②	8	⑤	9	⑤	10	①
11	④	12	①	13	①	14	③	15	①
16	②	17	②	18	③	19	②	20	③
21	⑤	22	49	23	24	24	15	25	80
26	40	27	256	28	5	29	12	30	22

나형 해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 3` TIMES 8 ^{{2} over {3} `} =3 TIMES (2 ^{3} ) ^{{2} over {3}} =3 TIMES 4=12]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`2} `3+log` _{2} `6-log` _{2} `9`=log _{2} {3 TIMES 6} over {9}][eqn: =log _{2} 2=1]

3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{10n+1} over {2n+5}} = lim _{n -> INF } {{10+ {1} over {n}} over {2+ {5} over {n}}} = {10} over {2} =5]

4. [출제의도] 등차수열 계산하기

공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: a _{7} =a _{3} +4d=20], [eqn: 4d=12]

따라서 [eqn: a _{11} =a _{7} +4d=20+12=32]

5. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

주어진 집합들을 벤다이어그램으로 나타내면

다음과 같다.

[eqn: U]

[eqn: 1]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 9]

[eqn: 8]

따라서 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 16]

6. [출제의도] 등비수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{a TIMES 4 ^{n+1} +3 ^{n+1}} over {4 ^{n} +3 ^{n}}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{````4a+3 TIMES LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}}}]                        [eqn: =4a=6`]

따라서 [eqn: a= {3} over {2}]

7. [출제의도] 함수의 극한의 성질 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}} `= lim _{x-> 2} {LEFT { ` {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x ^{2} -4} TIMES (x+2)` RIGHT }}]

[eqn: =3 TIMES 4=12]

8. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x -> -1} {f(x)+ lim _{x -> 1+} {f(x)}} `][eqn: =1+2=`3]

9. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log` _{} ` {12} over {5} `=``log` _{} `12-log` _{} `5]

[eqn: =` LEFT ( 2log` _{} `2+log _{} `3 RIGHT ) -log` _{} ` {10} over {2}]

[eqn: = LEFT ( 2a+b RIGHT ) - LEFT ( 1-a RIGHT )][eqn: =3`a+b-1]

10. [출제의도] 평균변화율 이해하기

[eqn: {f(2)-f(-1)} over {2-(-1)} = {15} over {3} =5]이고 [eqn: f`'(k)=6k ^{2} -1]

[eqn: 5=6k ^{2} -1], [eqn: k ^{2} =1]

[eqn: k]가 양수이므로 [eqn: k]=1

11. [출제의도] 진리집합의 포함관계 이해하기

명제 [eqn: SIM p`->`q]가 참이기 위해서는 [eqn: P ^{C} SUBSET Q]

[eqn: 5]

[eqn: -4]

[eqn: a]

[eqn: -a]

[eqn: Q]

[eqn: P ^{C}]

[eqn: P ^{C}]

[eqn: Q]

[eqn: x]

[eqn: -4 LEQ -a]이고 [eqn: a LEQ 5]

따라서 [eqn: a LEQ 4]이므로 자연수 [eqn: a]의 개수는 4

12. [출제의도] 지수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: D _{A} =k` LEFT ( {{2} over {3} Q _{B}} over {{8} over {27} V _{B}} ` RIGHT ) ^{{1} over {2}}][eqn: =k TIMES {3} over {2} LEFT ( {Q _{B}} over {V _{B}} ` RIGHT ) ^{{1} over {2}} = {3} over {2} D _{B}]

[eqn: D _{A} -D _{B} = {1} over {2} D _{B} =60]

따라서 [eqn: D _{B} =120]

13. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: x=4]에 대칭이므로

[eqn: f(x)=a(x-4) ^{2} +b] [eqn: (`a!=0)]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {{f(x)} over {x-2}} =1]이므로 [eqn: f(2)=4a+b=0], [eqn: b=-4a]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {{f(x)} over {x-2} = lim _{x`` -> ``2} {{a(x-4) ^{2} -4a} over {x-2}}}]

[eqn: = lim _{x`` -> ``2} {{a(x-2)(x-6)} over {x-2}}][eqn: =-4a=1]

[eqn: a=- {1} over {4} ,``b=1]

따라서 [eqn: f(0)=-3]

14. [출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {n"{"2a _{1} +3(n-1)"}"} over {2} =a(n-4) ^{2} +b] [eqn: f(n)= {3} over {2} n(n-8)]

함수 [eqn: y=left|`f(x)right|]의 그래프는

[eqn: x`]

[eqn: y]

[eqn: y=left|`f(x)right|]

[eqn: rm O]

[eqn: 8]

(ⅰ) [eqn: k` LEQ 3] 또는 [eqn: k` GEQ 8]일 때,
[eqn: ` LEFT | f(k) RIGHT | < LEFT | f(k+1) RIGHT |]

(ⅱ) [eqn: 4` LEQ k` LEQ 7]일 때,
[eqn: ` LEFT | f(k) RIGHT | > LEFT | f(k+1) RIGHT |]

따라서 자연수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 7]

15. [출제의도] 유리함수의 그래프 추론하기

삼각형 [eqn: rm AFD]와 삼각형 [eqn: rmEFC]는 닮음이므로

[eqn: {bar{rm AD` it}} :` {bar{rm EC it}} `=` {bar{rm DF it}} `:` {bar{rm CF it}}]

[eqn: 3`:`x`= LEFT { `f(`x`)+2` RIGHT } ``:`f(`x`)]

[eqn: f(`x`)`=` {-6} over {x-3} `-`2~(0 LEQ x LEQ 2)]

따라서 함수 [eqn: y=f(`x)`]의 그래프의 모양은

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

16. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기

[eqn: xy>0]이므로 절대부등식의 성질을 이용하면

[eqn: LEFT ( 4x+ {1} over {y} RIGHT ) LEFT ( {1} over {x} +16y RIGHT ) =4+16+64xy+ {1} over {xy}][eqn: GEQ 20+2 sqrt {64xy TIMES {1} over {xy}}][eqn: =20+16=36]

(단, 등호는 [eqn: xy= {1} over {8} `]일 때 성립)

17. [출제의도] 급수의 성질 이해하기

[eqn: a _{1} =4], [eqn: {a _{n}} over {n} = sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} - sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k} =2n+2`(`n` GEQ `2)`]

그러므로 [eqn: a _{n} =2n ^{2} +2n``][eqn: (`n` GEQ 1`)]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {``` sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {a _{k}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` LEFT { {1} over {2} sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {k(k+1)} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` LEFT { ` {1} over {2} LEFT ( ` {1} over {1} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }} = {1} over {2}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {a _{n}} `= {1} over {2}]

18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 증명하기

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때,
(좌변)[eqn: =2+a _{1} =3`],
(우변)[eqn: =2a _{`2} =2 LEFT ( `1+ {BOX{````` {1} over {2} ````}} ` RIGHT ) =3`]
이므로 (★)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`][eqn: (m GEQ 2)]일 때
(★)이 성립한다고 가정하면
[eqn: m+a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{m-1} =ma _{m}]이므로
[eqn: LEFT ( `m+1` RIGHT ) +a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} `+a _{m} `]
[eqn: =m`a _{m} +`][eqn: {BOX{`````a _{m} +1`````}} `]
[eqn: =(`m+1) LEFT ( `a _{`m+1} -` {BOX{````` {1} over {m+1} `````}} ` RIGHT ) +1]
[eqn: =(`m+1)`a _{`m+1} `]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (★)이 성립한다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
[eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: n+a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n-1} =na _{`n} `]이 성립한다.

[eqn: p= {1} over {2}], [eqn: f(m)=a _{m} +1], [eqn: g(m)= {1} over {m+1}]

따라서 [eqn: {p` TIMES f(`3)} over {g(`11)} `=17]

19. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

함수 [eqn: f(x)= {1} over {5} x ^{2} + {1} over {5} k~(x GEQ 0)]의 역함수는

[eqn: g(x)= sqrt {5x-k}]이고 두 함수 [eqn: y=f(x)],
[eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점은 직선 [eqn: y=x] 위에 있다.

[eqn: {1} over {5} x ^{2} + {1} over {5} k=x]

[eqn: x ^{2} -5x+k=0]은 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로

[eqn: k GEQ 0], [eqn: D= LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2} -4`k>0]

[eqn: 0 LEQ k< {25} over {4}]이므로 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 7]

20. [출제의도] 부분집합의 개수 추론하기

[eqn: f LEFT ( `n RIGHT ) `]은 원소 [eqn: n`]을 최소의 원소로 갖는 집합 [eqn: X`]의 부분집합의 개수이므로 [eqn: f LEFT ( `n RIGHT ) `=2 ^{10-n}]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =`4] (참)

ㄴ. [eqn: f(9)=2], [eqn: f(10)=1]이므로 [eqn: f(9)>f(10)] (거짓)

ㄷ. [eqn: f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)=682] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

21. [출제의도] 등비급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: S _{1}]은 삼각형 [eqn: rm P _{1} B _{1} R _{1} `]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm B _{1} C _{1} Q _{1} `]의 넓이의 합이므로 [eqn: S _{1} = {3} over {4} + {3} over {2} = {9} over {4}]

선분 [eqn: rm B _{it n rm} C _{it n rm}]의 중점을 [eqn: rmM _{itn}]이라 하고

정사각형 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} C _{it n rm} D _{it n rm}]의 한 변의 길이를 [eqn: a _{n`}]이라 하자.

[eqn: a _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{it n rm}]

[eqn: a _{it n+1 it}]

[eqn: rm M _{it n+1 rm}]

[eqn: rm B _{it n+1 rm}]

[eqn: rm C _{it n+1 rm}]

[eqn: rm R _{it n rm}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm C _{it n rm}]

[eqn: {1} over {2} a _{it n+1 rm }]

[eqn: {1} over {6} a _{it n+1 rm }]

[eqn: {1} over {6} a _{it n it}]

[eqn: a _{it n rm}]

[eqn: rm M _{it n rm}]

삼각형 [eqn: rm R _{it n rm} rm B _{it n rm} rm M _{it n rm}]과 삼각형 [eqn: rm R _{it n rm} C rm _{it n+1 rm} M _{it n+1 rm}]은

닮음이므로

[eqn: {bar{rm B _{it n rm} rm M _{it n rm} ` it}} `:` {bar{rm R _{it n rm} rm M _{it n rm} it}} = {bar{rm C _{it n+1 rm} rm M _{it n+1 rm} it}} `:` {bar{rm R _{it n rm} M _{it n+1 rm} rm }} `]

[eqn: =3``:`1]

[eqn: {bar{rm B _{it n rm} rm M _{itn}}} `=` {1} over {2} a _{n}], [eqn: {bar{rm R _{it n rm} M _{it n rm} it}} `=` {1} over {6} a _{n}]

[eqn: {bar{rm C _{it n+1 rm} rm M _{it n+1 rm} it}} `=` {1} over {2} a _{n+1}], [eqn: {bar{rm R _{it n rm} M _{it n+1 rm} it}} `=` {1} over {6} a _{n+1}]

[eqn: {bar{rm A _{it n rm} B rm _{it n rm} ` it}} `=` {bar{rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} it}} + {bar{rm R _{it n rm} M _{it n+1 rm} rm }} `+` {bar{rm R _{it n rm} rm M _{it n rm} it}}]

[eqn: a _{n} =a _{n+1} + {1} over {6} a _{n+1} + {1} over {6} a _{n}]

그러므로 [eqn: a _{n+1} = {5} over {7} a _{n} `]

따라서 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {S _{n}} = {{9} over {4}} over {1- LEFT ( {5} over {7} RIGHT ) ^{2}} = {147} over {32} `]

22. [출제의도] 합성함수 계산하기

[eqn: (g CIRC f)(4)=g(7)=49]

23. [출제의도] 도함수 계산하기

[eqn: f`'(x)=6x ^{2} +a]이므로 [eqn: f` prime (1)=6+a=30]

따라서 [eqn: a=24]

24. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( a _{n} - {3n+1} over {n+1} RIGHT )} `=`0]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} `} `=3]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( a _{n} ^{2} +2a _{n} RIGHT )} =`9+6=15]

25. [출제의도] 연속함수의 성질 이해하기

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)=f(1)}]

[eqn: lim _{x -> 1} {{6x ^{2} `+ax+2} over {x-1} `=`b}]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {`(6x ^{2} +ax+2)} =6+a+2=0], [eqn: a=-8]

[eqn: lim _{x -> 1} {` {LEFT ( 6x-2 RIGHT ) (x-1)} over {x-1}} =4]

[eqn: a=-8], [eqn: b=4]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =80]

26. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

(가)에서 함수 [eqn: f(x) -2x^2]은 이차항의 계수가 [eqn: 2]인

이차함수이고

(나)에서 [eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f(x)-2x ^{2} RIGHT }} =0]이므로

[eqn: f(x) -2x^2 =2(x-1)(x-alpha)]

[eqn: lim _{x -> 1} {{2(x-1)(x- alpha )} over {x ^{2} -1}} = lim _{x -> 1} {{2(x- alpha )} over {x+1}} =1- alpha =2]

[eqn: f(x)=2x ^{2} +2(x-1)(x+1)=4x ^{2} -2]

따라서 [eqn: f`'(x)=8x]이므로 [eqn: f`'(5)=40]

27. [출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기

집합 [eqn: A`]의 원소 중에서 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가
[eqn: 1]인 항을 작은 수부터 차례로 나열하면

[eqn: 4,``16,``64,`256,` CDOTS]

따라서 [eqn: a _{4} `=`256]

(별해)

[eqn: 2 ^{n} =3m-2], [eqn: 2(2 ^{n-1} +1)=3m]

[eqn: LEFT ( 2 ^{n-1} +1 RIGHT )]이 [eqn: 3]의 배수가 되어야 하므로

[eqn: n-1=2k-1] [eqn: (`k=1,`2,`3,` CDOTS `)], [eqn: n=2k]

[eqn: "{"a _{n} "}"`:] [eqn: 2 ^{2} ,``2 ^{4} ,``2 ^{6} ,``2 ^{8} ,`` CDOTS]

따라서 [eqn: a _{4} `=`256]

28. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm `A _{it `n rm}][eqn: LEFT ( n,`` sqrt {3n} RIGHT )], [eqn: rm B _{it n rm}][eqn: LEFT ( n,`` sqrt {n} RIGHT ) ``]이므로

[eqn: rm {bar{A _{it `n rm} B _{it n rm}}} _{it rm} = it sqrt {3n} - sqrt {n} = sqrt {n} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )]

[eqn: S _{it n rm } = {sqrt {n} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( S _{n+1} -S _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {n+1} - sqrt {n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ){{sqrt {n}} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}} `][eqn: = {sqrt {3} -1} over {4}]

이므로 [eqn: a=- {1} over {4}], [eqn: `b= {1} over {4}]

따라서 [eqn: 40 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =5]

29. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

역함수가 존재하려면 함수 [eqn: f(x)]가 일대일 대응

이어야 하므로

(ⅰ) [eqn: x GEQ1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하여야 하므로
[eqn: y=`x ^{2} -ax+3= LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +3]
[eqn: {a} over {2} ` LEQ 1], [eqn: a LEQ 2]

(ⅱ) [eqn: x<1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하여야 하므로
[eqn: y=-x ^{2} +2bx-3=- LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +b ^{2} -3]
[eqn: b`geq1]

(ⅲ) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로
[eqn: lim _{x` -> `1+`} {f(x)} = lim _{x` -> `1-`} {f(x)}][eqn: 1-a+3=-1+2b-3]
[eqn: a+2b=8]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: a LEQ 2], [eqn: b GEQ 1], [eqn: a+2b=8]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a`,```b)]를 좌표평면 위에 나타내면 [eqn: 3a+2b=k]의 그래프가 [eqn: (2`,```3)]을 지날 때 [eqn: k]의 값이 최대가 된다.

[eqn: b=- {1} over {2} a+4]

[eqn: b=- {3} over {2} a+ {k} over {2}]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: rm`O]

[eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT )]

[eqn: {k} over {2}]

따라서 [eqn: 3a+2b]의 최댓값은 [eqn: a=2], [eqn: b=3]일 때 [eqn: 12]

30. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} `= it a _{n}], [eqn: rm {bar{B _{it n rm} C _{it n rm}}} `= it b _{n}], [eqn: rm {bar{C _{it n rm} D _{it n rm}}} `= it c _{n}],

[eqn: rm {bar{D _{it n rm} E _{it n rm}}} `= it d _{n}], [eqn: rm {bar{E _{it n rm} F _{it n rm}}} `= it e _{n} `]이라 하면,

[eqn: b _{n} = {5} over {6} a _{n}], [eqn: c _{n} = {5} over {6} b _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{n}],

[eqn: d _{n} = {5} over {6} c _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3} a _{n}], [eqn: e _{n} = {5} over {6} d _{n} = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{n}]

한편, [eqn: a _{n+1} = {5} over {6} a _{n}], [eqn: a _{1} =bar{rmA _{1} B _{1} }=66times {1} over {6} times LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} + {bar{rm B _{2} C _{2} it}} + {bar{rm C _{3} D _{3} it}} + {bar{rm D _{4} E _{4} it}} + {bar{rm E _{5} F _{5} it}}]

[eqn: =a _{1} +b _{2} +c _{3} +d _{4} +e _{5}]

[eqn: =a _{1} + {5} over {6} a _{2} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{3} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{3} a _{4} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{5}]

[eqn: =a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{4} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{6} a _{1} + LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{8} a _{1}]

[eqn: = {a _{1} LEFT { 1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{10} RIGHT }} over {1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}} `=`25 LEFT { 1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{10} RIGHT } =25- {5 ^{12}} over {6 ^{10}}]

[eqn: a=10], [eqn: b=12]

따라서 [eqn: a+b=22]