• 2교시 수리 영역 •

‘가’형 정답

1	②	2	①	3	②	4	⑤	5	③
6	④	7	③	8	②	9	③	10	⑤
11	⑤	12	①	13	④	14	①	15	②
16	①	17	④	18	130	19	10	20	16
21	15	22	45	23	14	24	84	25	19
미분과적분
26	③	27	④	28	⑤	29	①	30	16
확률과통계
26	④	27	③	28	①	29	②	30	10
이산수학
26	③	27	①	28	④	29	②	30	45

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root3 × 27^ {1 over2 }`=`3^{1over2}×3^{3 over 2}`=`9]

2.  [출제의도] 포물선의 초점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

포물선 [eqn: y^2 =4(x-a)]의 초점은 [eqn: (a+1 , ``0)]이고, 포물선 [eqn: y^2 =-8x]의 초점은 [eqn: (-2,``0)]이다. ∴[eqn: a=-3]

3. [출제의도] 역행렬의 연산에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{-1} =`` {1} over {-1} ` pmatrix{`-1~~-b``#`````````0~``~~1``} ``=` pmatrix{`1~~~b`#``0~-1`} `=`A`]  [eqn: (2A+A ^{-1} )(3A-A ^{-1} )`=`6A ^{2} -(A ^{-1} ) ^{2} +E`]이고 [eqn: A `=` A sup -1 `]이므로 [eqn: A sup 2 `=` E `]이다.

∴[eqn: (2A+ A sup -1 ) ( 3A - A sup -1 ) `=` 6E `]

4. [출제의도] 내적의 의미를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: B`]에서 선분 [eqn: AO`]에 내린 수선의 발을 [eqn: D`]이라 하면

[eqn: a= vec { AO``} BULLET vec { AB``}= | vec { AO``} | | vec { AB``} |``cos ANGLEBAD]

[eqn: =bar { AO``} TIMES bar { AD}]

[eqn: b= vec { BA``} BULLET vec { BO``}=0]

[eqn: c= vec{OA``} BULLET vec{OB``} =| vec{OA`} || vec{OB`} □``cos ANGLE BOA]

[eqn: = bar{OA``} TIMES bar{OD}]

[eqn: THEREFORE`` c>a>b( BECAUSE`` | bar { OD`} |`> | bar { AD`} |)]

5. [출제의도] 분수부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1 over x+2 - 2 over x-1 >1]의 양변에 [eqn: (x+2) ^2 {`(x-1) ^{2}]을 곱하여 정리하면

[eqn: (x+2)(x-1)( x^2 +2x +3 ) <0]

[eqn: x ^{2} +2x+3=(x+1) ^{2} +2>0]이므로

[eqn: (x+2)(x-1)<0]이 된다.

∴[eqn: -2 < x <1]

6. [출제의도] 함수의 성질을 이해하고 로그와 수열의 기본개념을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: x>1 `]일 때, [eqn: f(x) `>0 `]이다. 따라서 [eqn: 0< f(x) < 1 `]이면 [eqn: f(f(x) ) `< 0 `]이고  [eqn: f(x) >1 `]이면 [eqn: f(f(x) ) `>0 `]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) `=`log _{2} {x} over {2}][eqn: `=`log _{2} x-log _{2} 2] [eqn: `=`log _{2} x-1`=`f(x)`-`1`](참)

ㄷ. [eqn: f(8 sup n ) `=` log sub 2 8 sup n `=` log sub 2 (2 sup 3 ) sup n] [eqn: `=` log sub 2 ( 2) sup 3n `=` 3n `](참)

7. [출제의도] 그래프를 활용하여 무리방정식의 근의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

무리방정식 [eqn: root {a - x^2} = x+1]은 함수 [eqn: y`=`root{a- x^2 }]와 [eqn: y=x+1]의 교점의 [eqn: x]좌표이다. 함수 [eqn: y`=`root{a- x^2 }]의 그래프는 원점이 중심이고 반지름의 길이가 [eqn: roota]인 원의 상반부이다. 직선과 반원은 [eqn: a< 1over 2]일 때, 만나지 않고, [eqn: a = 1 over 2]일 때, 접하게 되고, [eqn: 1over2 < a <= 1`]일 때, 서로 다른 두 점에서 만나고, [eqn: a>1]일 때, 반드시 한 점에서 만나게 된다.

∴ 옳은 설명은 ㄱ,ㄷ이 된다.

8. [출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 O의 자취를 그려보면 다음과 같은 쌍곡선이 된다.

점[eqn: `Q]는 쌍곡선의 초점이며, [eqn: bar\OR], [eqn: bar\OQ]의 길이는 같다. 따라서 [eqn: bar\OP]-[eqn: bar\OR]은 항상 일정하다. 점 [eqn: P]에서 반대쪽 쌍곡면 점 [eqn: K]로 빛을 쏘면 접선을 기준으로 입사각과 반사각이 같게 밖으로 빛이 반사해 나간다. 따라서, 옳은 것은 ㉠, ㉡ 이다.

9. [출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: x]절편을 [eqn: a,b][eqn: (a<0 , ```b>0)]라 하자.  [eqn: f(x) = left{ {- 1overa x +1,````````x<=0}atop{- 1 over b x +1,````x>0}]로 정의된다.

[eqn: x<0]일 때, [eqn: f'(x)= - 1 over a]이다.

[eqn: a<0]이므로 [eqn: f'(x) = - 1 over a][eqn: >0]가 된다.

∴ [eqn: x<0]일 때, [eqn: f'(x)][eqn: >0]이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> -0} {} {f(x)-f(0)} over {x} =- {1} over {a} >0]이고

[eqn: lim _{ x-> +0} {f(x) - f(0) } over x = - 1 over b <0]이다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극한값이 존재하지 않는다.

∴함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f'(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이 아니다. (거짓)

ㄷ.

[eqn: f prime (0)= lim _{x -> 0} {} {{1} over {1+xf(x)} - {1} over {1}} over {x} ``=`` lim _{x -> 0} {{-xf(x)} over {x(1+xf(x))}}][eqn: ``=``lim _{ x->0 } {{ -f(x) over {1+xf(x)}} = - f(0)=-1]이 된다.

∴함수 [eqn: y = 1 over {1+xf(x)}]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

10. [출제의도] 평면에 의해 잘린 구의 단면을 이해하고, 정사영의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: P`]의 [eqn: xy]평면으로의 정사영을 [eqn: Q`]라 하자. [eqn: TRIANGLEAQP`]는 [eqn: ANGLEQ=90 DEG]인 직각이등변삼각형이다. 그리고 [eqn: bar { AQ`}= bar { PQ`}= sqrt { 3},``` bar { AP`}= sqrt { 6}`]이다.[eqn: bar { AC`}= bar { PC`}=2]이고 [eqn: TRIANGLE ACP`]는 이등변삼각형이다.[eqn: S_{ 1}= TRIANGLEACP= { 1} over {2 } TIMES sqrt { 6} TIMES { sqrt { 5} } over { sqrt { 2} }= { sqrt { 15} } over {2 }] [eqn: S_{ 2}= TRIANGLEAQC``= { 1} over {2 } TIMES sqrt { 3} TIMES1= { sqrt { 3} } over { 2}][eqn: S_{ 1}cos theta=S _{ 2},```cos theta= { 1} over { sqrt { 5} }][eqn: THEREFORE``cos ^ {2} theta= { 1} over {5 }]

11. [출제의도] 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 가질 조건과 원과 직선의 위치관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

연립일차방정식을 행렬로 나타내면     [eqn: pmatrix{``a~&``b``#``(b-2)`&`~~-a`} pmatrix{``x``#``y```} = pmatrix{``0``#``0``}]이 [eqn: x=0,~y=0] 이외의 해를 가지려면  [eqn: pmatrix{``a~&``b``#``b-2`&`~-a`}]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.    [eqn: THEREFORE `-a ^{ 2}-b(b-2) =0]    [eqn: THEREFORE `a ^{ 2}+b(b-2) =0]

[eqn: a ^{2} +(b-1) ^{2} =1]이므로 점 [eqn: (a,~b)]가 나타내는 도형은 중심이 [eqn: (0,``1)], 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이다.

점 [eqn: (0,``1)]에서 직선 [eqn: b-a=k`]까지의 거리는 [eqn: d <= 1]이어야 하므로   [eqn: d={|-1+k``|} over {sqrt {2}} ` <= 1]이다.

[eqn: THEREFORE 1- sqrt {2} <= k <= 1+ sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE 1- sqrt {2} <= b-a <= 1+ sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE b-a`]의 최대값은 [eqn: 1+ sqrt {2}]

12. [출제의도] 함수의 극한과 연속성을 조사할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: h(1)= {`f(1)`g(1)} =0 TIMES 1=0] [eqn: THEREFORE``]참

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1} {`h(x)} = lim _{x -> 1} {`f(x)`g(x)}]

[eqn: =( lim _{x -> 1} {} `f(x))( lim _{x -> 1} {} `g(x))=0 TIMES 0=0]

[eqn: THEREFORE``]거짓

ㄷ. 거짓[eqn: (BECAUSE x=1`]에서 연속이다.[eqn: )]

따라서 옳은 것은 ㄱ

13. [출제의도] 무한급수와 정적분 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=n+1} ^{2n} `` {sqrt {k}} over {n sqrt {n}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` LEFT ( sqrt {1+ {1} over {n}} + sqrt {1+ {2} over {n}} + sqrt {1+ {3} over {n}} + CDOTS sqrt {1+ {n} over {n}} `` RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} sqrt {1+ {k} over {n}}․ {1 } over {n }][eqn: =int _{ 0} ^{ 1} { sqrt { 1+x} }`dx]

[eqn: =int _{ 1} ^{ 2} { sqrt { x} }`dx]  [eqn: THEREFORE``a+b=3]

14. [출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 성질을 이해하고  있는가를 묻는 문제이다.

(가) : [eqn: x ^{2} -x-1=0]

(나) : [eqn: ( {1- sqrt {5}} over {2} ) ^{n}]

(다) : [eqn: ( {1+ sqrt {5}} over {2} ) ^{n}]

15. [출제의도] 상용로그와 직선의 그래프의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

함수 [eqn: y=| log_10 x |]와 [eqn: y`=`ax+b]의 그래프를 방정식 [eqn: | log_10 x |`=`ax+b]의 세 실근의 비가 [eqn: 1:2:3]가 되도록 그려보면 아래와 같다.

세 실근의 비가 [eqn: 1:2:3]이므로 세 실근을 [eqn: alpha , 2 alpha , 3 alpha```(alpha >0)]라 하자. [eqn: alpha]는 [eqn: y=- log_10 x]와 [eqn: y`=`ax+b]의 교점의 [eqn: x]좌표이고,[eqn: 2 alpha]와 [eqn: 3 alpha]는 [eqn: y= log_10 x]와 [eqn: y`=`ax+b]의 교점의 [eqn: x]좌표들이다.    따라서 [eqn: -log_10 alpha = a alpha + b]…①, [eqn: log_10 2 alpha = 2a alpha + b]…②, [eqn: log_10 3 alpha = 3a alpha+ b]…③을 얻을 수 있다. ②-① : [eqn: log_10 2 alpha^2 = a alpha]…④            ③-① : [eqn: log_ 10 3 alpha^2 = 2a alpha]…⑤            ④와 ⑤에서 [eqn: 2 log_ 10 2 alpha^2 = log _ 10 3 alpha^2]을 얻을 수 있다. 따라서 [eqn: 4 alpha^4 = 3 alpha^2]이 된다. [eqn: alpha>0]이므로 [eqn: alpha = root3 over 2]이 된다.     ∴세 실근은 [eqn: root3 over 2 , root3 , {3root3 }over 2]이므로, 그 합은 [eqn: 3sqrt { 3}] 이다.

16. [출제의도] 회전체의 부피를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원의 중심 [eqn: (0,a)]에서 직선 [eqn: y= sqrt {3} │x│]까지의 거리가 1이기 때문에 ∴ [eqn: a=2].   [eqn: x ^{2} `+`(y-2) ^{2} `=`1``]와 직선을 연립으로 풀면 ∴ [eqn: y= { 3} over {2 }].

[eqn: rm V _{직선} = pi][eqn: int _{0} ^{ {3 } over {2 } } { y ^{2}} over {3 } dy] = [eqn: { 3} over { 8}π]

중심을 원점으로 평행이동을 통해 부피를 구해보면 [eqn: rm V _{원} = pi][eqn: int _{1} ^{ {3} over {2}} {} (1-(y-2) ^{2} ``)dy] = [eqn: πLEFT [ -3y+ 2y^{2} - { 1} over {3 }y ^{ 3} RIGHT ] _{1 } ^{{3} over {2 }}]   =[eqn: { 5} over { 24}π]

∴ [eqn: rm V=][eqn: rm V_직선 -V _{원}]  = [eqn: {1} over {6} pi]

∴ [eqn: p+q=7]

17. [출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 활용하여 도형과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S _{1} =1- {1} over {2} TIMES 1 TIMES {1} over {sqrt {3}} TIMES 2- {1} over {2} LEFT ( {2} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} TIMES {pi } over {6}]

[eqn: =1- { sqrt { 3} } over {3 }- { pi } over {9 }]

[eqn: r= {(정사각형OA _{2} B _{2} C _{2} 대각선) ^{2}} over {(정사각형OA _{1} B _{1} C _{1} 대각선) ^{2}} = {LEFT ( {2} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}} over {( sqrt {2} ) ^{2}} = {2} over {3}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } s _{n} = {S _{ 1} } over {1-r}= {1- { sqrt { 3} } over {3 } - { pi } over {9 } } over {1- { 2} over {3 } }]

[eqn: =3- sqrt { 3}- { pi } over {3 }]

18. [출제의도] 수열의 합에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_k = k^2 +k]라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} +k)][eqn: = a_1 + a_2 +…+ a_10]이고 [eqn: sum _{k=2} ^{11} ``(k^2 + k)][eqn: = a_2 + a_3 +… +a_ 11]이므로  [eqn: c][eqn: =][eqn: sum _{k=2} ^{11} ``(k^2 + k)][eqn: -][eqn: sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} +k)][eqn: =][eqn: a_11 - a_1][eqn: = 11^2 + 11-1^2 - 1 = 130]

19. [출제의도] 계차수열과 무한등비급수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: `a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1}(a _{ 2}-a _{ 1})( { 1} over {2 }) ^{ k-1}]         [eqn: =-a _{1} +2a _{2} +(a _{1} -a _{2} )( {1} over {2} ) ^{n-2}][eqn: ` sum _{ n=1} ^{ INF }a _{ n}=20````` THEREFORE`` lim _{ n rarrow INF } {a _{ n} }=0]  [eqn: lim _{ n rarrow INF } {`left{-a _{ 1}+2a _{ 2}+(a _{ 1}-a _{ 2}) }( { 1} over {2 }) ^{ n-2}`right}=0]  [eqn: THEREFORE``a _{ 2}= { 1} over {2 }a _{ 1}][eqn: `a _{ n}=(a _{ 1}-a _{ 2})( { 1} over {2 }) ^{ n-2}=a _{ 1}( { 1} over {2 }) ^{ n-1}]  [eqn: THEREFORE`` sum _{ n=1} ^{ INF }a _{ n}=20= sum _{ n=1} ^{ INF }a _{ 1}( { 1} over {2 }) ^{ n-1}]            [eqn: 20= { a _{ 1} } over { 1- { 1} over {2 } }] [eqn: THEREFORE``a _{ 1}=10]

20. [출제의도] 일정한 규칙을 찾아 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

반원 1종류:1가지, 반원 2종류:2가지

반원 3종류:4가지, 반원 4종류:8가지

반원 5종류 : 16가지

[eqn: THEREFORE``16](가지)

21. [출제의도] 곡선과 직선을 꼭지점으로 하는 삼각형의 넓이의 최대값을 미분을 활용하여 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원점 [eqn: rm O `]를 통과하는 직선을 [eqn: y `=` mx `](단, [eqn: m `> ` 0 `])이라 놓으면

[eqn: x sup 2 ( 3-x ) `=` mx `]에서 [eqn: x( x sup 2 - 3x + m ) `=` 0 `]이다.

여기에서 [eqn: x `not = `0 `]이므로   [eqn: x sup 2 - 3x + m `=` 0`]이다.

[eqn: x sup 2 - 3x + m `=` 0`]의 서로 다른 두 양의  근을 [eqn: alpha `,~ beta `]([eqn: alpha < beta `])라 하면

[eqn: D `=` 9 - 4m > 0 `]이므로   [eqn: 0< m < 9 over 4 `]

[eqn: rm triangle APQ `]의 넓이를 [eqn: S `]라 하면

[eqn: S `=` rm triangle OAQ `-` triangle OAP `]

[eqn: `=` 1 over 2 `․` 3` ․` m beta `-` 1 over 2 `․` 3 `․` m alpha `=` 3m over 2 ( beta `-` alpha ) `]

[eqn: beta `-` alpha `=` root { ( alpha + beta ) sup 2 - 4 alpha beta } `=` root { 9 - 4m } `]

∴[eqn: S `=` 3 over 2 root { - 4m sup 3 + 9 m sup 2 } `]

여기에서 [eqn: f`(m) `=` -4 m sup 3 `+` 9 m sup 2 `]이라 하면, [eqn: 0< m < 9 over 4 `]에서 [eqn: f`(m) `=` -4 m sup 3 `+` 9 m sup 2 `]의 최대값을 구해보자. [eqn: f ` prime ( m ) `=` -6 m ( 2m -3 ) `] 이므로  넓이 [eqn: S `]는 [eqn: m `=` 3 over 2 `]일 때, 최대값 [eqn: {9 root 3 }over 4 `]을 갖는다

따라서 [eqn: 10m=10 TIMES {3} over {2} =15]

22. [출제의도] 선분의 내분점을 나타내는 위치벡터의 개념을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

아래 그림에서 [eqn: vec {\OB} = 2veca + vec b], [eqn: vec{\OC} = 2 veca + 2 vec b]이다.

점 [eqn: \P_k]는 선분 [eqn: \BC]를 [eqn: k:10-k]로 내분하는 점이므로

[eqn: vec {\OP_k}][eqn: = {(10-k) vec{rm OB it} +k vec{rm `OC it}} over {10-k+k} ``=`` {20 vec{a} +(10+k) vec{b}} over {10}]

[eqn: sum _{k=1 } ^{9 } vec{\OP_k} ``=``][eqn: sum _{ k=1} ^{9 } {20 vec a + (10+k) vec b} over 10][eqn: = sum _{ k=1} ^{9 } {2vec a} + sum _{ k=1} ^{9 }vec b + sum _{ k=1} ^{9 }k over 10 vec b}] [eqn: =18 vec a + 9 vec b + 9 over 2 vec b = 18 vec a + 27 over 2 vec b]

[eqn: m = 18 ,``n = 27 over 2]이므로 [eqn: m+2n][eqn: =45]이다.

23. [출제의도] 표본공간에서 표본의 크기와 표본평균과의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: s sub 1 over 4 `=` X sub 1 `,~ s sub 2 over 4``=` X sub 2 `,~ … `,~ s sub k over 4 `=` X sub k `]라 하면 [eqn: X sub 1 `,~ X sub 2 `,~ … ,~ X sub k `]는 주어진 문제에서 모집단이 [eqn: 1`,~2`,~…, 6]일 때, 크기가 [eqn: 4`]인 표본집단의 평균들이다. 여기에서 표본평균의 평균 [eqn: {X sub 1 + X sub 2 + `…`+X sub k } over k `]는 모집단의 평균과 같으므로 [eqn: {X sub 1 + X sub 2 + `…`+X sub k } over k ` `=` 7 over 2 `]이다.     ∴[eqn: sum from i=1 to k s sub i over k `][eqn: `=` {s sub 1 + s sub 2 + `…`+s sub k } over k `]             [eqn: `=` 4 left ( { X sub 1 + X sub 2 + … + X sub k } over k right ) `=` 4 `times `7 over 2 `=` 14]

24. [출제의도] 넓이에 대한 정사영을 성질을 활용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수면의 넓이를 [eqn: S`` \cm sup 2 `]라 하고 수면을 원기둥의 밑면에 정사영 시킨 도형은 아래 그림의 색칠한 부분과 같다. 이 도형의 넓이를 [eqn: S _1 \`cm sup 2 `]하라 하자. [eqn: S_1]의 넓이는 부채꼴 [eqn: rm OAB `]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: S _1`=` 1 over 2 `․ ` 12 sup 2 `․` 2 over 3 pi - `1 over 2 `․` 12 sup 2 ․` sin 2 over 3 pi `]

[eqn: `=` 48 pi `-` 36 root 3 `]

그런데 [eqn: S_1 `=` S cos pi over 4 `]에서

[eqn: S `=` 48 root 2 pi `-` 36 root 6 `]

∴ [eqn: a+b ` =` 84 `]

25. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: C] 가 가위를 내어 혼자 이길 확률은 [eqn: {1} over {4} TIMES LEFT [ A-보,B-보 RIGHT ]], [eqn: C] 가 바위를 내어 혼자 이길 확률은 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT [ A-가위,B-가위 RIGHT ]],

[eqn: C] 가 보를 내어 이길 확률은 [eqn: {1} over {4} TIMES LEFT [ A-바위,B-바위 RIGHT ]]이다. 따라서  [eqn: C] 가 승리할 확률 : [eqn: {1} over {4} × { 1} over {5 }× { 1} over {6 }]+[eqn: {1} over {2} × { 1} over {5 }× { 1} over {2}]+[eqn: {1} over {4} × { 3} over {5 }× { 1} over {3}] = [eqn: {13} over {120}] [eqn: C] 가 보를 내어 승리할 확률 : [eqn: {1} over {4} TIMES {3} over {5} TIMES {1} over {3}] = [eqn: {1} over {20}]

따라서 [eqn: {q} over {p}= { 6} over { 13}]이다.

∴ [eqn: p+q=19]

(미분과적분)

26. [출제의도] 로그함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x) = x ^ lnx]에서 [eqn: ln f(x) = (lnx)^2]

양변을 미분하면 [eqn: f'(x) over f(x) = 2 over x {\ln}x]이다.

따라서 [eqn: f'(x) = f(x) ( 2 over x {\ln}x)][eqn: = x^ lnx ( 2 over x {\ln}x)]

∴[eqn: f'(e) = 2]이다.

27. [출제의도] 길이를 각으로 표현한 후, 삼각함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm ANGLE B= theta ,~ bar{AB} =4``]이므로 [eqn: bar{rm AC} =4tan theta]이다. [eqn: rm ANGLE CAH= theta]이므로 [eqn: bar{rm `CH it}][eqn: = bar{\AC} \sin theta][eqn: = 4 ``tan theta ``sin theta]이다.[eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {rm bar{CH} it} over {theta `·`ln(1+2 theta )} ``][eqn: =][eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {4tan theta ``sin theta } over {theta `·`ln(1+2 theta )} ``] [eqn: =][eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {4``sin theta } over {theta } `·` {rm tan theta it} over {theta } `·` {2 theta } over {ln(1+2 theta )} ``·`` {1} over {2}][eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {``sin theta } over {theta } `=1], [eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {``tan theta } over {theta } `=1], [eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {``2 theta } over {ln(1+2 theta )} `=1]이므로[eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {4``sin theta } over {theta } `·` {rm tan theta it} over {theta } `·` {2 theta } over {ln(1+2 theta )} ``·`` {1} over {2}][eqn: = lim _{theta ` -> `0} {} {4``sin theta } over {theta } `·` lim _{theta ` -> `0} {} {rm tan theta it} over {theta } `· lim _{theta ` -> `0} {} ` {2 theta } over {ln(1+2 theta )} ``·`` {1} over {2}][eqn: =2]가 된다.

28. [출제의도] 미분법을 활용하여 증명문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: BAR{\PS}`=x], (기둥높이)[eqn: =sqrt { 16-x ^{ 2} }], 사각기둥의 부피 [eqn: V(x)=x^{ 2} sqrt { 16-x ^{ 2} }]이다. 미분하면 [eqn: V``'(x)][eqn: =] [eqn: 2x sqrt { 16-x ^{ 2} }+x ^{ 2} { -x} over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }]  [eqn: = { 2x(16-x ^{ 2}) -x ^{ 3} } over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }][eqn: ={32x-3x ^{ 3} } over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }][eqn: {\V}`'(x)=0]의 해는 부피를 최대로 만든다. ∴[eqn: x=][eqn: {4 sqrt { 6} } over { 3 }]

29. [출제의도] 반각공식을 활용하여 식을 변형할 수 있는 가를 묻는 문제이다.

(가)[eqn: {1+sin alpha _{n}} over {cos alpha _{n}}]을 정리하여보자. [eqn: sin alpha_n `=`2 sin alpha_n over 2 \cos alpha_n over 2][eqn: cos alpha_n `=` cos ^2 alpha_n over 2 - sin ^2 alpha_n over 2]            분자는 [eqn: left(sin alpha_n over 2 +cos alpha_n over 2 right)^2]이고         분모는 [eqn: left( cos alpha_n over 2 - sin alpha_n over 2 right)left( cos alpha_n over 2 + sin alpha_n over 2 right)] 이므로 [eqn: {1+sin alpha _{n}} over {cos alpha _{n}}]=[eqn: { cos alpha_n over 2 + sin alpha_n over 2}over {cos alpha_n over 2 - sin alpha_n over 2 }]이다.    분모, 분자를 [eqn: cos alpha_n over 2]로 나누면 [eqn: {1+tan {alpha _{n}} over {2}} over {1-tan {alpha _{n}} over {2}} `=` {tan45°+tan {alpha _{n}} over {2}} over {1-tan45°tan {alpha _{n}} over {2}} `][eqn: =`tan LEFT ( 45°+ {alpha _{n}} over {2} RIGHT )] (나)[eqn: {tan beta_n } over {1 + sec beta_n}`=`][eqn: {sin beta_n} over {1+ cos beta_n}`]에서[eqn: sin beta_n `=`2 sin beta_n over 2 \cos beta_n over 2],[eqn: cos beta_n `=` 2cos ^2 beta_n over 2 - 1]에 의하여 [eqn: tan {beta_n} over 2]이 된다.	(다) [eqn: gamma_n = 30° over 2^ n-1]에서 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: 0<gamma_n <=30°]을 얻을 수 있다. 따라서 [eqn: 0< tan gamma_n <= 1 over root3]이 된다.

30. [출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 부피의 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

채워지는 물의 양 [eqn: V `]는

[eqn: V `=` pi int from -1 to h { ( 1- x sup 2 ) dx } `=` pi left [ x - 1 over 3 x sup 3 right ] sub -1 sup h][eqn: `=` pi left ( h- 1 over 3 h sup 3 + 2 over 3 right )]

양변을 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: dV over dt `=` pi (1 - h sup2 ) dh over dt]

여기에 부피의 증가량 [eqn: 0.2 pi]와 높이가 [eqn: { 3} over {4 }]이므로

[eqn: h `=`- 1 over 4]를 대입하면

[eqn: 0.2 pi `=` pi left ( 1- 1 over 16 right ) dh over dt]

∴[eqn: dh over dt `=` 16 over 75]이므로 [eqn: 75 v `=` 75 times 16 over 75 `=` 16]

(확률통계)

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림과 중앙값, 최빈값의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a=68,``b=62], [eqn: a-b=68-62=6]

27. [출제의도] 표준정규분포표를 활용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X`]는 [eqn: N(3,``1 ^{ 2})]에 따른다.    [eqn: P(2<=X<=5)][eqn: =P(2-3<=Z<=5-3)][eqn: =P(-1<=Z<=2)][eqn: =0.3413+0.4772][eqn: =0.8185]

28. [출제의도] 모비율의 추정과 관련된 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

모비율 : [eqn: p], 표본비율 : [eqn: bar { p}], [eqn: bar { p}= { 30} over {50 }= { 3} over {5 }] [eqn: |p- bar { p} |=2 sqrt { { bar { p}(1- bar { p}) } over {n } }] ([eqn: n]:표본의 크기) [eqn: =2 sqrt { { { 3} over { 5}(1- { 3} over {5 } )} over {n } }= { 2 sqrt { 6} } over {5 sqrt { n} }]      [eqn: { 2 sqrt { 6} } over {5 sqrt { n} }<=0.04]    [eqn: THEREFORE``n>=600]

29. [출제의도] 게임의 규칙을 파악하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4]가지 종류의 모양 각각에 대하여 스트레이트 가능성은 [eqn: (1,2,3,4,5), (2,3,4,5,6), … (13,1,2,3,4)] 까지 총 [eqn: 13]가지이고 같은 모양은 [eqn: 4]종류로 총 [eqn: 52]가지이다.

30. [출제의도] 여러 가지 상황을 분석하여 확률을 계산할

수를 있는가를 묻는 문제이다.

앞에 0명 가능 앞에 1명 가능 앞에 2명 가능 앞에 3명 불가능 앞에 4명 불가능 앞에 5명 불가능 앞에 6명 불가능	앞에 7명 가능 앞에 8명 가능 앞에 9명 가능 앞에 10명 불가능 앞에 11명 불가능 앞에 12명 불가능 앞에 13명 불가능 ・
표본공간	겹치는 표본공간
확률은 불가능 4번에 가능 3번이 반복된다. 따라서 [eqn: { 3} over { 7}]이다.

(다른 풀이) [eqn: a_{ i}(1<=i<=5)] : 가족, [eqn: b_{ 6},``b _{ 7}] : 다른 사람들이다. [eqn: a_{ 1},``a _{ 2},``a _{ 3},``a _{ 4},``a _{ 5},``b _{ 1},``b _{ 7}]구성되어 있을 때 사이사이에 칸막이는 하는 경우와 같다. 가족이 함께 케이블카를 탈수 있는 경우는 [eqn: a_{ 1},``a _{ 2},``a _{ 3},``a _{ 4},``a _{ 5},`‖`b _{ 1},`‖`b _{ 7}‖]와 같은 3곳이다. 떨어져 타는 경우는 [eqn: a_{ 1},‖``a _{ 2},``‖a _{ 3},``‖a _{ 4},``‖a _{ 5},`b _{ 6},`b _{ 7}] 와 같이 4곳이다. [eqn: a_{ 1}]앞에는 [eqn: b_{ 7}]의 뒤에 있는 경우와 같다. 표본공간은 7가지 경우이고, 확률은 [eqn: { 3} over { 7}]이다.

(이산수학)

26. [출제의도] 완전그래프의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 20]개의 나라가 다른 모든 나라와 직항로를 개설하므로 각 나라를 꼭지점으로 하고 직항로를 개설한 두 나라에 해당하는 꼭지점을 변으로 연결한 그래프를 생각하면 꼭지점의 개수가 [eqn: 20]인 완전그래프가 된다. 어느 한 나라에 개설된 직항로의 개수는 완전그래프의 한 꼭지점의 차수와 같으므로 [eqn: 20-1=19] [eqn: THEREFORE a=19]. [eqn: 20]개의 나라 사이의 모든 직항로의 개수는 완전그래프의 변의 개수와 같으므로 [eqn: b={} _{20`}C_2 = {20 ․19} over2 =190] ∴[eqn: a+b=209]

27. [출제의도] 그래프 이론의 기초적인 개념을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A]에서의 가장 가까운 도시는 [eqn: B], [eqn: A]를 제외한 [eqn: B]에서 가장 가까운 도시는 [eqn: C], [eqn: A,```B]를 제외한 [eqn: C]에서 가장 가까운 도시는 [eqn: D], [eqn: A,```B,```C]를 제외한 [eqn: D]에서 가장 가까운 도시는 [eqn: E], [eqn: A,```B```,C```,D]를 제외한 [eqn: E]에서 가장 가까운 도시는 [eqn: F], 따라서 찾고 있는 답은 [eqn: A ``->`` B ``->`` C ``-> ``D ``-> ``E ``-> `` F ``]

28. [출제의도] 이진수에 대한 새로운 연산의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 00010 sub (2) ∧ 10101 sub (2) `=` 10111 sub (2) `]이므로 찾고 있는 알파벳에 해당하는 이진법 수는 [eqn: 10111 SUB (2)]이다. 여기에서 [eqn: 10111 SUB (2) `=` 23]이므로 [eqn: RM W]이다.

29. [출제의도] 의사결정에 대한 개념을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A, B,C,D]의 투표 권한이 각각 8표, 4표, 2표, 1표이고, 찬성이 6표 이상인 경우에 안건이 통과되므로 투표 결과로 나올 수 있는 모든 경우와 각 경우의 통과 또는 부결을 표로 나타내면 다음과 같다.

찬성	찬성표수	통과/ 부결	통과에서 부결로 바뀌는 경우
없음	0	부결
①[eqn: A]	8	통과	[eqn: A]
[eqn: B]	4	부결
[eqn: C]	2	부결
[eqn: D]	1	부결
②[eqn: A],[eqn: B]	12	통과	[eqn: A]
③[eqn: A],[eqn: C]	10	통과	[eqn: A]
④[eqn: A],[eqn: D]	9	통과	[eqn: A]
⑤[eqn: B],[eqn: C]	6	통과	[eqn: B],[eqn: C]
[eqn: B],[eqn: D]	5	부결
[eqn: C],[eqn: D]	3	부결
⑥[eqn: A],[eqn: B],[eqn: C]	14	통과
⑦[eqn: A],[eqn: B],[eqn: D]	13	통과	[eqn: A]
⑧[eqn: A],[eqn: C],[eqn: D]	11	통과	[eqn: A]
⑨[eqn: B],[eqn: C],[eqn: D]	7	통과	[eqn: B],[eqn: C]
⑩[eqn: A, B,C,D]	15	통과

위의 표에서 어느 한 나라가 찬성에서 반대로 바꾸어 안건이 통과에서 부결로 바뀌는 경우의 수와 각 나라의 영향력을 구하면 다음과 같다.

	통과에서 부결로 바뀌는 경우의 수	[eqn: (비율)= {(각경우의수)} over {(합계)}]
[eqn: A]	6(①,②,③,④,⑦,⑧)	[eqn: 6 over 10 = 3over 5]
[eqn: B]	2(⑤,⑨)	[eqn: 2 over 10 = 1 over 5]
[eqn: C]	2(⑤,⑨)	[eqn: 2 over 10 = 1 over 5]
[eqn: D]	0	[eqn: 0]
계	10	[eqn: 1]

따라서 [eqn: A, B,C,D]이 투표에 미치는 영향력은 각각 [eqn: 3 over 5 , 1 over 5 , 1over5 , 0]이고, 보기 중 옳은 것은  ㄱ,ㄴ이다.

30. [출제의도] 비둘기집의 원리를 이해하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형을 [eqn: 9]등분하면 한 변의 길이가 [eqn: a over 3]인 정사각형이 [eqn: 9]개 만들어진다. 이 때, 오른쪽 그림과 같이 [eqn: 9]개의 정사각형 중 어느 한 정사각형의 내부 또는 경계에는 적어도 [eqn: 2]개의 화살이 들어가므로 두 화살 사이의 거리가 [eqn: 3 root 2] 이하인 것이 반드시 존재하려면 작은 정사각형의 대각선의 길이가 [eqn: 3 ROOT2] 보다 작거나 같아야 한다.  즉, [eqn: root2 over 3 a <=3 root2] 이므로  [eqn: a<=9]

[eqn: k=9] 이므로  ∴ [eqn: 5k=45]

‘나’형 정답

1	②	2	①	3	⑤	4	②	5	②
6	⑤	7	④	8	③	9	③	10	④
11	④	12	⑤	13	①	14	③	15	①
16	②	17	①	18	130	19	10	20	16
21	20	22	30	23	14	24	175	25	110
26	⑤	27	③	28	④	29	④	30	19

해 설

1. 가형 1번과 동일

2.[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n+2} +2 ^{2n-1}} over {4 ^{n} -3 ^{n+1}}} = lim _{n -> INF } {{9 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} + {1} over {2}} over {1-3 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} = {1} over {2}}]

3. [출제의도] 이항정리에 대한 성질을 이용하여 로그값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ` sub n C sub 0 + sub n C sub 1 + …`+ sub n C sub n `=` 2 sup n `]이므로

[eqn: ` _{21} C _{0} +` _{21} C _{1} `+`…+ _{21} C _{10} `=` {2 ^{21}} over {2} `=`2 ^{20} `]

∴ [eqn: log _{2} ( _{21} C _{0} +` _{21} C _{1} `+`…+ _{21} C _{10} )`=`log _{2} 2 ^{20} `=`20`]

4.[출제의도] 로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log_3 10 = 2+alpha] [eqn: (0<= alpha<1)]이므로 [eqn: alpha = log_3 10 -2 = log_3 {10 over 9}]이 된다.

따라서  [eqn: 3^alpha = 3^{log_3 10over 9}`=`10 over 9]이다.

5. 가형 3번과 동일

6. [출제의도] 지수와 로그의 성질을 이용하여 방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2^ alpha = 5]이므로 [eqn: alpha `=` log sub 2 5]이다.     ∴[eqn: log sub 2 ( log sub 5 x ) + log sub 2 ( log sub 2 5 ) `=` 2]

[eqn: log sub 2 ( log sub 5 x `․` log sub 2 5 ) `=` 2 `]

[eqn: log sub 5 x `․` log sub 2 5 `=` 2 sup 2 `=` 4]

[eqn: log sub 5 x `=` 4log sub 5 2 `=` log sub 5 2 sup 4 `]

∴[eqn: x `=` 2 sup 4 `]이므로 [eqn: log sub 2 beta `=` log sub 2 2 sup 4 `=` 4] 이다.

7. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 수의 대소 관계를 구분할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a=3 ^{55}=(3 ^{ 5}) ^{ 11}=243 ^{ 11}] [eqn: b=4 ^{44}=(4 ^{ 4}) ^{ 11}=256 ^{ 11}], [eqn: c=5 ^{33}`=(5 ^{ 3}) ^{ 11}=125 ^{ 11}]      ∴ [eqn: b``>``a``>``c]

8. [출제의도] 조건을 만족하는 함수의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x=0] : [eqn: f(0) = -f(-0)] ∴[eqn: f(0)=0]

[eqn: 1)``f(0)=f(1)=f(-1)=0``` THEREFORE1]가지

[eqn: 2)``f(0)=0,``f(1)=1,``f(-1)=-1 THEREFORE 1]가지

[eqn: 3)``f(0)=0,``f(1)=-1,``f(-1)=1``` THEREFORE 1]가지

[eqn: THEREFORE``3](가지)

9.[출제의도] 확률의 덧셈과 곱셈정리를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P(it B_1 )`, ``rm P(it B_2 )`,``rm P(it B_3 )`]을 각각 갑, 을, 병이 당선될 확률이라 하면,

[eqn: rm P(it B_1 )=0.3`, ````rm P(it B_2 )=0.5`,````rm P(it B_3 )=0.2`]가 된다. [eqn: P(A)`]를 버스노선이 개편 될 확률이라고 하면,      [eqn: rm P( it A|B _{1} )=0.8`,```` rm P( it A|B _{2} )=0.1`][eqn: ,```` rm P( it A|B _{3} )=0.4`]가 된다. 따라서, [eqn: rm P( it A)= rm P( it A|B _{1} ) rm P( it B _{1} )+ rm P( it A|B _{2} ) rm P( it B _{2} )][eqn: + rm P( it A|B _{3} ) rm P( it B _{3} )`][eqn: `=`0.37`]

10. 가형 6번과 동일

11. [출제의도] 정규분표를 이해하고 표준정규분포로 바꾸어 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: P(X >= 4)][eqn: =P(Z >= -1)][eqn: =0.5+0.3413] [eqn: =0.8413]

12. 가형 11번과 동일

13. [출제의도] 무한등비급수에 관한 성질을 이해하고 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: left { a sub n right } `]의 공비를 [eqn: r `], [eqn: left { b sub n right } `]의 공비를 [eqn: s`]라 하면 (단, [eqn: r ≦s `])      [eqn: 1 over 1-r + 1 over 1-s `=` 8 over 3 `,~ 1 over 1-rs `=` 4 over 5 `]      ∴[eqn: 3 ( 2-r -s ) `=` 8 ( 1-r-s+rs)`]…㉠        [eqn: 4( 1- rs ) `=` `5 `]…㉡             ㉠, ㉡을 연립하면, [eqn: rs `=` - 1 over 4 `,~ r+s `=` 0`]    ∴[eqn: r `=` - 1 over 2 `,~ s `=` 1 over 2 `]      ∴[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ^{2} `=` {1} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `} =` {4} over {3} `]                [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ^{2} `=` {1} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} `=` {4} over {3} `]      ∴[eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) sup 2 `=` sum from n=1 to inf ( a sub n sup 2 + b sub n sup 2 + 2 a sub n b sub n ) `]     [eqn: `=` 4 over 3 + 4 over 3 + 2 times 4 over 5 `][eqn: `=` 64 over 15 `]

14. [출제의도] 정규분포와 연속확률분포의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: X]～[eqn: N(200, ``50 ^{ 2})] 을 따른다.         [eqn: E(Y)= { 3} over { 2}E(X) -50] ,                 [eqn: σ(Y)= LEFT ( { 3} over { 2} RIGHT )σ(X)][eqn: = { 3} over { 2}×50=75],        [eqn: Y]～[eqn: `N(250, ``75 ^{ 2})] 을 따른다.

올해의 평균임금은 [eqn: 250]만원이다.(참)

ㄴ. [eqn: Z= {Y-250 } over {75 }=2](올해 상위 [eqn: 2.3%])

∴[eqn: Y=400](거짓)

ㄷ. [eqn: Y= { 3} over {2 }X-50≦X] 인 [eqn: X]를 구하면 [eqn: X]가 [eqn: 100]만원 이하일 때는 올해의 임금 [eqn: Y]값은 작년과 같거나 적어짐을 알 수 있다.(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

15. [출제의도] 조건에 맞는 경우의 수를 구할 수 있는가를를 묻는 문제이다.

[eqn: 111○1`]형태 : [eqn: 4]가지,

[eqn: 1○111`]형태 : [eqn: 4]가지,

[eqn: 33333]형태 : [eqn: 1`]가지,

[eqn: 31113]형태 : [eqn: 3`]가지

[eqn: THEREFORE12](가지)

16. 가형 15번과 동일

17. 가형 14번과 동일

18. 가형 18번과 동일

19. 가형 19번과 동일

20. 가형 20번과 동일

21. [출제의도] 일정한 규칙에 따라 나열된 수열에 대한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 9`]로 나누면 [eqn: 7`]이 남는 수는 [eqn: 7`, ~16`,~ 25`,~ 34`,~ 43`,~ …``]이고 [eqn: 15 `]로 나누면 [eqn: 4 `]가 남는 수는 [eqn: 4`, ~19`,~ 34`,~ 49`,~ …`]이므로 구하는 수는 두 수열의 공통항으로 첫째항이 [eqn: 34`]이고, [eqn: 9`]와 [eqn: 15`]의 최소공배수 [eqn: 45`]를 공차로 하는 등차수열이므로 일반항은         [eqn: 34+(n-1)45`=`45n-11 `]이다. 이 때, 항수는 [eqn: 100 `≦`45n-11 `≦` 999`]  [eqn: ∴3`≦`n`≦`22`] 따라서 항수는 [eqn: 22-3+1`=`20`]이다.

22. [출제의도] 로그로 정의된 함수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 [eqn: log_ 4 y]와 [eqn: log_2 x]사이의 관계는 원점과 [eqn: (4,``1)]을 지나는 일차함수이다. 따라서 [eqn: log_ 4 y][eqn: `=``1over4 {\log} _{2} x][eqn: `=` 1 over 4 {\log}_4 x^2] [eqn: `=` {\log}_4 x^{1over2}]이다. [eqn: y`=` x^ {1over2}]이므로 [eqn: f(x) `=` x^ {1over2}]이 된다. 방정식 [eqn: 4 ^{[f(x)]} =16]은 [eqn: 4 ^{left[x^{1over2}right]} =4^2]이므로 [eqn: left[x^ {1over2}right]`=`2]가 된다. ∴[eqn: 4<=x <9]

23. 가형 23번과 동일

24. [출제의도] 원리합계의 성질을 이용하여 실생활문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A(1+r) ^{n} = {a[(1+r) ^{n} -1]} over {r}] [eqn: a= {Ar(1+r) ^{n}} over {(1+r) ^{n} -1}][eqn: a= {500000 TIMES0.01(1+0.01) ^{36}} over {(1+0.01) ^{36} -1}][eqn: a= {5000TIMES1.4 over 0.4]                     [eqn: a= 17500]       [eqn: THEREFORE {a} over {100} =175]

25. [출제의도] 확률변수에서 시행횟수를 충분히 크게 했을 때를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X`]는 [eqn: B(n,`` { 1} over {2 })]에 따른다. [eqn: n`]이 충분히 크기 때문에 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N``left( { n} over {2 },``left( { sqrt { n} } over {2 }right) ^{ 2} }``right )`]에 따른다. [eqn: |X- {n} over {2} | <= {21} over {2} `],[eqn: { n} over {2 }- { 21} over {2 }<=X<={ n} over {2 }+{ 21} over {2 }][eqn: - {21} over {sqrt {n}} <= {X- {n} over {2}} over {{sqrt {n}} over {2}} <= {21} over {sqrt {n}}][eqn: THEREFORE`` - {21} over {sqrt {n}} <= z<= {21} over {sqrt {n}}]

[eqn: (BECAUSEZ`]는 표준정규분포 [eqn: N`(0,``1 ^{ 2})]에 따른다.) [eqn: n<= { 441} over { 4} = 110.25]

26. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 의미를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x`>=`1`]이므로 [eqn: log_2`x ``>=``0] [eqn: f(x)=n ``(`n]은 음이 아닌 정수[eqn: )]라 하면 [eqn: n`<=`log_2`x`<`n+1`] [eqn: `⇔``2^n``<=`x`<`2^{n+1} ```]…①[eqn: f`(2x+12 )=f`(x) +3][eqn: =n+3][eqn: ∴~~n+3<=`log_2`(2x+12 )`<`n+4][eqn: 2^n+3 <= 2x+12 < 2^n+4][eqn: {2^n+2 - 6}<= x < {2^n+3 -6}]…②       ①,②에서                  ⅰ) [eqn: n=0] 일때, [eqn: 1`<=`x`<`2``,``-2`<=`x`<`2]    ∴ [eqn: 1`<=`x`<`2]                    ⅱ) [eqn: n=1] 일때, [eqn: 2`<=`x`<`4``,``2`<=`x`<`10]    ∴ [eqn: 2`<=`x`<`4]                         ⅲ) [eqn: n=2] 일때, [eqn: 4`<=`x`<`8``,][eqn: ``10`<=`x`<`26]   ∴ 해가 없다.                         ⅳ) [eqn: n`>=3] 일 때, 해가 없다.        따라서, ⅰ)～ⅳ)에서 [eqn: 1`<=`x`<`4]이 된다.

27. [출제의도] 역행렬의 정의를 이해하고 이를 수열에 적용시킬 수 있는가를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않으므로   [eqn: (2a+1 ) ( a+1 ) `-` (a-1 ) ( 2a -1 ) `=` 0 `]  ∴[eqn: a`=` 0 `] 따라서 행렬 [eqn: A `=` pmatrix { ```````1 ~~-1` # -1 ~~~``` 1 `}]이다. 여기에서       [eqn: A sup 2 `=` pmatrix { ```````1 ~~-1` # -1 ~~~``` 1 `} pmatrix { ```````1 ~~-1` # -1 ~~~``` 1 `}`=`pmatrix { ```````2 ~~-2` # -2 ~~~``` 2 `}][eqn: `=` 2 A]     [eqn: A sup 3 `=` A A sup 2 `=` A (2A ) `=` 2 A sup2 `=` 2 ( 2A ) `=` 2 sup 2 A] [eqn: A sup 4 `=` A A sup 3 `=` A( 2 sup 2 A ) `=` 2 sup 2 A sup 2 `=` 2 sup 3 A]   따라서 [eqn: A sup n `=` 2 sup n-1 A]이다.     [eqn: A +A sup 2 + A sup 3 + … + A sup 2008][eqn: `=` A + 2 A + 2 sup 2 A + …+ 2 sup 2007 A `]        [eqn: =`(1+2+2 sup 2 + …+ 2 sup 2007 ) A `=` ( 2 sup 2008 -1 ) A]  [eqn: E+A+A ^{2} +A ^{3} +…+A ^{2008} `=`E+(2 ^{2008} -1)A`]따라서 [eqn: p`=`1`,```q`=`2 ^{2008}-1]이므로 [eqn: p+q `=` 2 sup 2008]

28. [출제의도] 귀납적으로 정의된 수열을 이해하고 이를 실생활문제에 적용시킬 수 있는가를 묻는 문제이다.

한없이 반복하여 남은 물과 알콜의 양에 대한 합은 [eqn: a_{ n+1}= { 1} over { 2} a_{n}+400]이고 극한을 취하면 [eqn: lim _{ n->inf} { }a_{ n+1}=lim _{ n->inf} { } ({ 1} over { 2} a_{n}+400)]   ∴ [eqn: lim _{ n->inf} { }a_{ n}=800].

[eqn: b_{ n}]을 [eqn: n]번 시행으로 남은 알콜의 양으로 정할 때 [eqn: b _{n+1} = {1} over {2} b _{n} +100] 이다. 따라서 극한값을 취하면 [eqn: lim _{ n->inf} { }b_{ n+1}=lim _{ n->inf} { } ({ 1} over { 2} b_{n}+100)] ∴[eqn: lim _{ n->inf} { }b_{ n}=200],  농도= [eqn: { 200} over {800 }×100]= [eqn: 25%]이다.

29. 가형 17번과 동일

30. 가형 25번과 동일