수학 B형 정답

1	④	2	④	3	⑤	4	②	5	②
6	①	7	①	8	①	9	⑤	10	①
11	②	12	②	13	③	14	②	15	③
16	⑤	17	③	18	⑤	19	④	20	④
21	③	22	[eqn: 9]	23	[eqn: 72]	24	[eqn: 160]	25	[eqn: 55]
26	[eqn: 13]	27	[eqn: 23]	28	[eqn: 14]	29	[eqn: 3]	30	[eqn: 20]

해 설

1. [출제의도] 지수와 로그를 계산한다.

[eqn: 4 ^{{3} over {2}} TIMES log _{4} 2`][eqn: = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{{3} over {2}} TIMES {1} over {2} `log _{2} `2][eqn: = 2^3 times 1 over 2][eqn: =4]

2. [출제의도] 지수함수의 극한값을 구한다.

[eqn: lim_x->0 { e^2x - 1 } over x][eqn: `=`2` lim _{x -> 0} {} ` {e ^{2x} -1} over {2x}][eqn: =2 TIMES 1][eqn: =2]

3. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구한다.

[eqn: cos alpha = 3 over 5], [eqn: sin alpha = 4 over 5]일 때,

[eqn: f(x) = root{3^2 + 4^2 }`sin(x + alpha )][eqn: =`5`sin(x+ alpha )]

이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

4. [출제의도] 무한급수의 수렴과 수열의 극한값 사이의 관계를 이해한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {n} over {2n+1} RIGHT ) `=2]이므로 [eqn: lim_{n->inf}` left( a_n - n over 2n+1 right) =0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n} over {2n+1}][eqn: = 1 over 2]이므로

[eqn: lim_{n->inf}` a_n][eqn: = lim _{n -> INF } left{ LEFT ( a _{n} - {n} over {2n+1} right)+ {n} over {2n+1} RIGHT }][eqn: = 0 + 1over2][eqn: = 1 over 2]

5. [출제의도] 무리방정식의 실근을 구한다.

[eqn: t = root{x^2 + x}]([eqn: t ge 0])으로 놓으면

[eqn: t+2 = t^2], [eqn: (t-2)(t+1)=0]

[eqn: `t GEQ 0]에서 [eqn: t=2]

[eqn: root{x^2 +x} = 2]에서 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x^2 + x - 4 = 0]

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 두 실근의 곱은 [eqn: -4]이다.

6. [출제의도] 일차변환의 성질을 이해하고 합성변환에 의해 옮겨지는 점의 좌표를 구한다.

일차변환 [eqn: f]는 원점을 중심으로 [eqn: 45°`]만큼 회전하는 회전변환이므로 합성변환 [eqn: f circ f]는 원점을 중심으로 [eqn: 90°]만큼 회전하는 회전변환이다. 따라서 합성변환 [eqn: f circ f]에 의하여 점 [eqn: (1,``-1)]이 옮겨지는 점의 좌표는 [eqn: (1,``1)]이다.

[다른 풀이]

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬이 [eqn: {sqrt {2}} over {2} {pmatrix{1&``-1#1&``````````1}}]이므로

합성변환 [eqn: f circ f]를 나타내는 행렬은

[eqn: {1} over {2} {pmatrix{1&``-1#1&``````````1}} ^{2} =` {pmatrix{0&``-1#1&``````````0}}]

이다. [eqn: {pmatrix{0&``-1#1&``````````0}} {pmatrix{```````1#-1}`} = `{pmatrix{1#1}}]이므로

구하는 점의 좌표는 [eqn: (1,``1)]이다.

7. [출제의도] 부분적분법을 이용하여 적분값을 구한다.

[eqn: int_0^1 f(x) dx][eqn: = int_0^1 x e^x dx][eqn: = left[x e^x right]_0^1 - int_0^1 e^x dx]

[eqn: = e - left[ e^x right]_0^1][eqn: = e- (e-1)][eqn: =1]

8. [출제의도] 독립사건을 이해하여 확률을 구한다.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B``]가 서로 독립이므로 두 사건 [eqn: A ^{C}], [eqn: B``]도 서로 독립이다.

[eqn: rm P it LEFT ( A ^{C}` RIGHT ) =1- rm P it (A)=1- {1} over {4} = {3} over {4}]

[eqn: rm P it LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) `= rm P it LEFT ( A ^{C} `` RIGHT ) rm ``P it (B`)]

이므로 [eqn: {3} over {4} rm P it (B`)= {1} over {4}]에서 [eqn: rm P it (B`)= {1} over {3}]

따라서 [eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) = rm P it LEFT ( A` RIGHT ) rm `P it (B`)][eqn: = 1 over 4 times 1 over 3][eqn: = 1over12]

9. [출제의도] 삼수선의 정리를 이해하여 점과 직선 사이의 거리를 구한다.

점 [eqn: \P]에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하자.

직선 [eqn: \PH]가 [eqn: xy`]평면에 수직이고, [eqn: bar \PI bot {it l}`]이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: bar \HI bot {it l}`]이다.

[eqn: rm bar PH `= `4], [eqn: rm bar {P I} ` =` 4 root2]이므로

[eqn: rm bar HI `= root{( 4 root2 )^2 - 4^2}` = root16 `= 4]

따라서 구하는 거리는 [eqn: 4]이다.

10. [출제의도] 치환적분법을 이용하여 적분값을 구한다.

[eqn: t=a-x]로 놓으면 [eqn: {dx} over {dt}` =`-1]이고,

[eqn: x=a+1]일 때 [eqn: t=`-1], [eqn: x=a-1]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{a-1} ^{a+1} {} f(a-x)dx= int _{1} ^{-1} {} f(t)(-1)dt][eqn: = int _{-1} ^{1} {} f(t)dt]

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {} f(t)dt][eqn: =2 int _{0} ^{1} {} f(t)dt=24]

따라서[eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)dx=12]

11. [출제의도] ‘A’형 12번과 동일

12. [출제의도] 표본평균의 분포를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

표본의 크기가 [eqn: 16`]이므로

[eqn: bar {X```}]는 정규분포 [eqn: LEFT . rm N LEFT ( `70`,` LEFT ( {2.5} over {4} RIGHT ) ^{2} ` RIGHT ) RIGHT .]을 따른다.

[eqn: {\P} LEFT ( left| bar{X``} -70right|lea RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( LEFT | {{bar{X``}} -70}over{ { 2.5} over {4 } } RIGHT | LEQ a over{ { 2.5} over {4 } }RIGHT )][eqn: =][eqn: rm P it LEFT ( LEFT | Z`` RIGHT | LEQ {8} over {5} a RIGHT )]

[eqn: rm P` it LEFT ( LEFT | Z`` RIGHT | ` LEQ 2` RIGHT ) `=`0.9544`]이므로 [eqn: {8} over {5} a=2]에서 [eqn: a=1.25`]

13. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 식을 추론한다.

삼각형 [eqn: \ABC]에서

[eqn: {1} over {sin( pi -3 theta )} `= `{bar{\AB}} over {sin2 theta }` = `{ bar {\AC}} over {sin theta }]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} + {bar{rm AC it}}][eqn: =][eqn: {sin 2 theta} over {sin 3 theta} + {sin theta} over {sin 3 theta}][eqn: =][eqn: {2sin theta `cos theta +sintheta} over {sin3 theta }]

[eqn: =][eqn: {sin theta `(2 cos theta + 1 ) } over {sin 3 theta}]

이때 [eqn: sin 3theta][eqn: =][eqn: 3 sin theta - 4sin ^3 theta]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} + {bar{rm AC it}} `=`a]에서

[eqn: a][eqn: =][eqn: {sintheta(2cos theta +1)} over {sintheta(3-4sin ^{2} theta )}][eqn: =][eqn: { 2 cos theta +1 } over { 3 -4 sin ^2 theta }][eqn: =][eqn: {2 cos theta +1 } over {4 cos^2 theta -1 }][eqn: =][eqn: 1 over {2 cos theta -1 }]

따라서 [eqn: cos theta][eqn: `=`][eqn: {a +1 } over 2a]이다.

위의 과정에서

[eqn: f(theta)][eqn: =``][eqn: 2 cos theta +1], [eqn: g(theta)][eqn: `=`][eqn: 2 cos theta -1], [eqn: h(a)][eqn: `=`][eqn: a+1 over 2a]

이므로

[eqn: f`left( {pi } over {6} right)+g`left( {pi } over {6} right)+h(2)][eqn: =][eqn: (root 3 +1) + ( root 3 -1 ) + 3 over 4][eqn: =][eqn: 2 root 3 + 3 over 4]

14. [출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.

꺼낸 [eqn: 3`]개의 공에 적힌 수 중 네 수 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하자.

세 수의 곱은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 2 ^{`b} `3 ^{`c} `5 ^{`d}]이고

[eqn: a+b+c+d=3] ([eqn: a`ge0], [eqn: b` GEQ 0], [eqn: c` GEQ 0], [eqn: d` GEQ 0])

이다.

ⅰ) [eqn: a != 0]일 때

세 수의 곱은 항상 [eqn: 0]이므로 구하는 정수는 [eqn: 1]개이다.

ⅱ) [eqn: a=0]일 때

순서쌍 [eqn: LEFT ( `b`,```c`,```d` RIGHT )]가 다르면 [eqn: 2 ^{`b} `3 ^{`c} `5 ^{`d}]의 값도 다르므로 구하는 정수의 개수는 [eqn: b+c+d=3]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `b`,```c`,```d` RIGHT )]의 개수와 같다. 즉, [eqn: {} _{3} {\H} _{3} = _{5} {\C} _{3} =10]이다.

위의 ⅰ), ⅱ)에서 구하는 정수의 개수는 [eqn: 11]이다.

15. [출제의도] ‘A’형 17번과 동일

16. [출제의도] ‘A’형 18번과 동일

17. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 추론한다.

ㄱ. [eqn: x` -> `-1+0]일 때, [eqn: f(x)` -> `1] (참)

ㄴ. [eqn: x` -> `1+0]일 때, [eqn: f(x)` -> `-1]

[eqn: 2-x=t]로 놓으면 [eqn: x` -> `1+0]일 때,

[eqn: t` -> `1-0]이므로 [eqn: f(t)` -> `1]이다.

따라서 [eqn: lim _{ x->1+0} {left{f(x)+f(2-x) right }}=(-1)+1=0] (참)

ㄷ. [eqn: x` -> `1+0]일 때, [eqn: f(x) -> -1+0]이므로 [eqn: f(f(x)) -> 1]

[eqn: x` -> `1-0]일 때, [eqn: f(x)` -> `1-0]이므로 [eqn: f(f(x))` -> `1]

[eqn: (f CIRC f)(1)=f`(f`(1))=f(0)=0]

따라서 [eqn: lim _{x -> 1} {`(f CIRC f)(x)} != (f CIRC f)(1)]이므로

함수 [eqn: (f circ f)(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다. (거짓)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

18. [출제의도] 타원의 정의를 이용하여 선분의 길이를 구한다.

[eqn: x^2 + (y-3)^2 = 5^2]에서 [eqn: y=0]일 때, [eqn: x=4`] 또는 [eqn: x=-4`]

따라서 원이 [eqn: x]축과 만나는 두 점의 좌표는 각각 [eqn: {\A}(-4,`0)], [eqn: {\B}(4,`0)]으로 놓을 수 있다.

그런데 이 두 점은 타원의 초점이고 점 [eqn: \P]는 타원 위의 점이므로 [eqn: rm bar AP + bar BP = 10] … ㉠

삼각형 [eqn: \APB]에서 [eqn: rm angle APB = theta]라 하면

[eqn: rm {bar AP}^2 + {bar {BP}}^2 - 2 times bar AP times bar BP times cos theta = 8^2] … ㉡

각 [eqn: rm angle APB]는 호 [eqn: \AB]의 원주각이고, 원의 중심을 [eqn: rm C(0, ``3)]이라 하면 각 [eqn: rm angle ACB]는 호 [eqn: \AB]의 중심각이다. 따라서 [eqn: rm angle ACB = 2 theta]에서 [eqn: rm angle OCA=][eqn: rm angle APB][eqn: = theta]

이때 [eqn: rm barAC = 5], [eqn: rm {bar{OC}} =3]이므로 [eqn: cos theta = 3 over 5]　… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 [eqn: rm bar AP times bar BP = 45 over 4]

19. [출제의도] 정적분을 이용하여 삼각함수의 극한값 구하는 문제를 해결한다.

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y`=`(tan theta )`x]이므로

[eqn: -x ^{3} +x=(tantheta)x]에서 [eqn: x(x ^{2} +tan` theta -1)=0]

[eqn: x`ge0]에서 [eqn: x`=` 0] 또는 [eqn: x= root {1-tan theta }]이다.

따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: S( theta )`=` int _{0} ^{sqrt {1-tan theta }} left{(-x ^{3} +x)-(tan theta )x right}`dx}]

[eqn: =][eqn: left[ ` - 1 over 4 x^4 + 1 over 2 (1-tan theta ) x^2 right] _0 ^ {root { 1- tan theta } }]

[eqn: =][eqn: 1 over 4 ( 1 -tan theta ) ^2]

이므로[eqn: lim _ { theta -> pi over 4 - 0 } {S(theta ) } over {left (theta - pi over 4 right)^2 }][eqn: =][eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -0} {{1} over {4} LEFT ( {tantheta-1} over {theta- {pi} over {4}} RIGHT ) ^{2}}]이다.

[eqn: f(theta)=tantheta]라 하면 [eqn: f`'(theta)=sec ^{2} theta], [eqn: f LEFT ( {pi} over {4} RIGHT ) =1]이므로

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -0} {{tan theta -1} over {theta - {pi } over {4}}}][eqn: = lim _{theta -> {pi } over {4} -0} {{f( theta )-f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )} over {theta - {pi } over {4}}}][eqn: =f`' LEFT ( { pi} over {4 } RIGHT )][eqn: =2]

따라서[eqn: lim _ { theta -> pi over 4 - 0 } {S(theta ) } over {left (theta - pi over 4 right)^2 }][eqn: = {1} over {4} LEFT ( f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT ) ^{2}][eqn: = {1} over {4} TIMES 2 ^{2} =1]

20. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 확률을 구한다.

[eqn: A`]가 [eqn: 2]번 가위바위보를 하여 최종 승자가 되는 사건을 [eqn: X], [eqn: 2]번째 가위바위보를 한 학생이 [eqn: 2]명인 사건을 [eqn: Y`]라 하자.

ⅰ) 첫 번째에 이긴 학생이 없을 때

세 학생이 첫 번째에 모두 다른 것을 내거나 모두 같은 것을 내고, [eqn: 2]번째에 [eqn: A]가 이길 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( X` SMALLINTER `Y ^{C} `` RIGHT )=][eqn: {3`!+3} over {3 ^{3}} TIMES {3} over {3 ^{3}} = {1} over {27}]이다.

ⅱ) 첫 번째에 이긴 학생이 [eqn: 2]명일 때

첫 번째에 [eqn: A]를 포함한 [eqn: 2]명이 이기고, [eqn: 2]번째에 [eqn: A]가 이길 확률은 [eqn: rm P it LEFT ( X` SMALLINTER `Y`` RIGHT ) =][eqn: {3 TIMES 2} over {3 ^{3}} TIMES {3} over {3 ^{2}} = {2} over {27}]이다.

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: rm P it LEFT ( X`` RIGHT ) =][eqn: rm P it LEFT ( X` SMALLINTER `Y ^{C} `` RIGHT ) +][eqn: rm P it LEFT ( X` SMALLINTER Y`` RIGHT ) =][eqn: {3} over {27}][eqn: = {1} over {9}]

따라서 [eqn: rm P( it Y```□`X`)= {rm P it (X` SMALLINTER Y`)} over {rm P it (X`)}][eqn: = {2} over {3}]

21. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 이면각의 크기 구하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: \M]에서 모서리 [eqn: \AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 할 때, 주어진 도형을 평면 [eqn: rm OBH]로 자른 단면은 그림과 같다.

[eqn: rm {bar{MB}} =1], [eqn: rm barHB =root3`]

[eqn: rm {bar{HM}} = sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -1} = sqrt {2}], [eqn: rm {bar{HN}} = sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} +1} =2]

[eqn: `cos`` theta _{1} = {rm {bar{HM}} it} over {rm {bar{BH}} it} = {sqrt {2}} over {sqrt {3}} = {sqrt {6}} over {3}], [eqn: cos`` theta _{2} = {rm {bar{BH}} it} over {rm {bar{HN}} it} = {sqrt {3}} over {2}]이므로

[eqn: cos( theta _{1} + theta _{2} )]

[eqn: =cos theta _{1} cos theta _{2} -sin theta _{1} sin theta _{2}]

[eqn: = {sqrt {6}} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {2} - {sqrt {3}} over {3} TIMES {1} over {2}]

[eqn: = {3 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}]

22. [출제의도] 로그함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: f`` prime (x)= {1} over {x} -1]이므로 [eqn: f`` prime left( {1} over {10} right)=10-1=9]이다.

23. [출제의도] ‘A’형 23번과 동일

24. [출제의도] 구의 성질을 이용하여 평면과 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다.

점 [eqn: \P]와 평면 사이의 거리가 최대일 때는 구의 중심 [eqn: {\C}(0,``0,``1)]을 지나고 평면에 수직인 직선이 구와 만나는 두 점 중 평면과의 거리가 더 먼 점이 [eqn: \P]일 때이다.

점 [eqn: \C][eqn: (0, `0,` 1)]과 평면 [eqn: 2x-y+2z-7=0] 사이의 거리는

[eqn: {|2 TIMES 0-1times0+2 TIMES 1-7|} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2} +2 ^{2}}} = {5} over {3}]

이므로 거리의 최댓값은 [eqn: 5 over 3 +1 `= `8 over 3]이다.

따라서 [eqn: 60d`=`60`times` {8} over {3} =160]

25. [출제의도] 포물선의 접선을 이해하여 수열의 합 구하는 문제를 해결한다.

포물선 [eqn: y^ 2 ` = `4x]와 접하고 기울기가 [eqn: a _{n}]인 접선의 방정식은 [eqn: y`=`a _{n} x`+ {1} over {a _{n}}]이다.

이 접선이 점 [eqn: ( -n, ` 0)]을 지나므로

[eqn: 0=a _{n} times`(-n)+ {1} over {a _{n}}], [eqn: a _{n} ^{````2} = {1} over {n}]

접선이 제[eqn: 1]사분면에서 접하므로 [eqn: a _{n} =` {1} over {sqrt {n}}]이다.

따라서 [eqn: sum _ {n = 1 } ^ 10 { left( 1over a_n right) ^2 ` = `][eqn: sum _ n=1 ^ 10 { ` n}][eqn: =][eqn: 55]

26. [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 지수방정식을 해결한다.

첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_3 ` a_5 = a_1]에서 [eqn: (ar ^{2} )times(ar ^{4} )=a]이므로 [eqn: a= {1} over {r ^{6}}]이다.

[eqn: sum _ k=1 ^ n {1 over a_ k }][eqn: = {{1} over {a} left(1- {1} over {r ^{n}} right)} over {1- {1} over {r}}][eqn: = {r LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {ar ^{n} (r-1)}], [eqn: sum _ k=1 ^ n { a_k][eqn: = {a ( r^n - 1 ) }over { r-1 }]

이므로 [eqn: {r LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {ar ^{n} (r-1)}][eqn: = {a ( r^n - 1 ) }over { r-1 }]에서 [eqn: r ^{n-1} = {1} over {a ^{2}}]이다.

[eqn: r ^{n-1} =r ^{12}]이므로 [eqn: n = 13]

27. [출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 확률변수의 평균 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: 7]개의 점 중 서로 다른 [eqn: 2]개의 점을 선택하는 경우의 수는 [eqn: `_7{\C}_2 = 21]이다.

서로 다른 두 벡터 [eqn: rm vec OP_{it i } ``], [eqn: rmvec OP_{it j } ``]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ` _{k}]라 하면 [eqn: theta _{k} = {k} over {6} pi] ([eqn: k=1,``2,``3,``4,``5,``6])이다.

[eqn: rm |` {vec{OP _{it i rm}}} ` | = |` rm {vec{OP _{it j rm}}} `| =1`]이므로

[eqn: X=][eqn: rm {vec{OP _{it i rm}}} CDOT {vec{OP _{it j rm}}} `=|` rm {vec{OP _{it i rm}}} `|`|` rm {vec{OP _{it j rm}}} `|`cos` theta _{k} =cos` theta _{k}]

가 되는 두 점의 순서쌍은

[eqn: ( rm P it rm _{0} ,`` rm P it rm _{k} )], [eqn: ( rm P it rm _{1} ,`` rm P it rm _{k+1} )], …, [eqn: ( {rm P} _{6-k} ,``{\P} _{6} )]

으로 [eqn: 7-k]가지이고, [eqn: cos` theta _{k}]의 값은 차례로

[eqn: {sqrt {3}} over {2}], [eqn: {1} over {2}], [eqn: 0], [eqn: - {1} over {2}], [eqn: - {sqrt {3}} over {2}], [eqn: -1]

이다. 따라서 확률변수 [eqn: X``]의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: 0]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {sqrt {3}} over {2}]	계
[eqn: {\P}(X=x)]	[eqn: {1} over {21}]	[eqn: {2} over {21}]	[eqn: {3} over {21}]	[eqn: {4} over {21}]	[eqn: {5} over {21}]	[eqn: {6} over {21}]	[eqn: 1]

[eqn: {\E}(X)=][eqn: (-1) TIMES {1} over {`21} + LEFT ( - {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) TIMES {2} over {`21} + LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) TIMES {3} over {21} +0 TIMES {4} over {21}]

[eqn: + {1} over {2} TIMES {5} over {21} + {sqrt {3}} over {2} TIMES {6} over {21}]

[eqn: = {2 root 3} over 21]

따라서 [eqn: p+q`=`21+2`=`][eqn: 23]

28. [출제의도] 분수부등식을 이용하여 방정식의 실근의 최댓값을 구한다.

(다)에서 구하는 부등식의 해는

[eqn: g(x)>0], [eqn: f(x) le g(x)] 또는 [eqn: g(x)<0], [eqn: f(x) ge g(x)]

의 해와 같다.

ⅰ) [eqn: 4<alpha<5]일 때

구하는 해는 [eqn: x<0] 또는 [eqn: 0<x LEQ 4] 또는 [eqn: x>alpha]이다.

이때 조건 (다)를 만족시키는 [eqn: alpha]는 존재하지 않는다.

ⅱ) [eqn: alpha>5]일 때

구하는 해는 [eqn: 4 LEQ x< alpha]이다.

이때 조건 (다)를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 10]이므로 [eqn: 13<alpha LEQ 14]이어야 한다.

따라서 [eqn: alpha]의 최댓값은 [eqn: 14]이다.

29. [출제의도] 함수의 그래프의 성질을 이용하여 미분가능한 함수 구하는 문제를 해결한다.

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: g`'(1)=][eqn: lim _{x` -> `1-0} {} {g(x)-g(1)} over {x-1} = lim _{x` -> `1+0} {} {g(x)-g(1)} over {x-1}]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {} {g(x)-g(1)} over {x-1} = lim _{x` -> `1-0} {} {f(x)-f(1)} over {x-1} =f` prime (1)]

(가)에서 [eqn: 1<x<2]일 때, [eqn: g(x)=f(2-x)]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {} {g(x)-g(1)} over {x-1} = lim _{x` -> `1+0} {} {f(2-x)-f(1)} over {x-1}]

[eqn: =`- lim _{x` -> `1+0} {} {f(2-x)-f(1)} over {(2-x)-1}]

[eqn: =`-`f` prime (1)]

이다. 즉, [eqn: f` prime (1)=-f` prime (1)]에서 [eqn: f` prime (1)=0] … ㉠

또, 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로

[eqn: g` prime (0)=][eqn: lim _{x` -> `-0} {} {g(x)-g(0)} over {x} = lim _{x` -> `+0} {} {g(x)-g(0)} over {x}]

[eqn: lim _{x` -> `+0} {} {g(x)-g(0)} over {x} = lim _{x` -> `+0} {} {f(x)-f(0)} over {x} =f`'(0)]

[eqn: -1<x<0]일 때, [eqn: 1<x+2<2]이고

[eqn: g(x)=][eqn: g(x+2)][eqn: =f(2-(x+2))=f(-x)]이므로

[eqn: lim _{x` -> `-0} {} {g(x)-g(0)} over {x}][eqn: = lim _{x` -> `-0} {} {f(-x)-f(0)} over {x}]

[eqn: =`- lim _{x -> -0} {} {f(-x)-f(0)} over {(-x)-0}]

[eqn: =`-`f` prime (0)]

이다. 즉, [eqn: f` prime (0)=-f` prime (0)]에서 [eqn: f` prime (0)=0] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f` prime (x)=3x(x-1)=3x ^{2} -3x]이므로

[eqn: f(x)=x^3 - { 3} over {2 }x^2 +C] ([eqn: C```]는 적분상수)

함수 [eqn: g(x)]는 주기가 [eqn: 2]인 주기함수이므로

[eqn: g(6)-g(3)=g(0)-g(1)=f(0)-f(1)]

[eqn: =C- LEFT ( 1- {3} over {2} +C`` RIGHT ) `= {1} over {2}]

따라서 [eqn: p+q=2+1=3]

30. [출제의도] 평면의 법선벡터를 이용하여 정사영의 넓이 구하는 문제를 해결한다.

원점 [eqn: \O`]에서 평면 [eqn: \PQR`]에 내린 수선의 발은 삼각형 [eqn: \PQR]의 무게중심 [eqn: \G]와 같으므로 [eqn: vec{\OG}]는 평면 [eqn: \PQR`]의 법선벡터이다. 또, 면 [eqn: \PQR`]와 [eqn: z]축이 만나는 점을 [eqn: \A]라 하면 [eqn: vec\OA]는 [eqn: xy]평면의 법선벡터이다.

따라서 평면 [eqn: \PQR`]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기 [eqn: theta]는 두 벡터 [eqn: vec{\OG}], [eqn: vec\OA]가 이루는 각의 크기와 같다.

[eqn: {bar{rm OP it}} =1], [eqn: bar{\PG} = { sqrt { 3} } over {2 } times { 2} over {3 } = { sqrt { 3} } over { 3}]이므로

[eqn: {bar{rm OG it}} = sqrt {{bar{rm OP it}} ^{2} - {bar{rm PG it}} ^{2}} = sqrt {1- LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {6}} over {3}]

삼각형 [eqn: \OAG]는 직각삼각형이고 [eqn: {bar{rm OA it}} LEQ bar{\OP}= 1]이므로

[eqn: cos theta = {{bar{rm OG it}}} over {{bar{rm OA it}}}][eqn: ge { sqrt { 6} } over {3 }]

정삼각형 [eqn: \PQR]의 넓이는 [eqn: ROOT 3 OVER 4]이므로

[eqn: S ={ sqrt { 3} } over {4 } times costheta ge][eqn: root 3 OVER 4 times root 6 over 3 = root 2 OVER 4]

(단, 등호는 [eqn: bar{\OA}=1], 즉 점 [eqn: \A]가 세 꼭짓점 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R] 중 하나일 때 성립한다.)

[eqn: k= { sqrt { 2} } over {4 }]이므로 [eqn: 160`k ^{`2} =20]이다.