수학 영역 (나 형)

고 2

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수학 영역 (나 형)

고 2

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2016학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수학 영역 (나 형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: root {3} of {27} TIMES 2 ^{3} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24`]

12

2. 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,```4,```5 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {} {3n ^{2} +5} over {2n ^{2} -n} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

4. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }`]에 대하여 집합 [eqn: X`]에서 집합 [eqn: X`]로의

함수 [eqn: f`]가 그림과 같이 정의될 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f` ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

[eqn: f]

[eqn: X]

[eqn: X]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

5. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} =24`], [eqn: a _{2} =12`]일 때, [eqn: a` _{4} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: `2n ^{3} +2n LEQ `a _{n} ` LEQ 2n ^{3} +5n+1`]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {5n ^{3}}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {5}]	④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

7. 함수 [eqn: y= {2} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동하였더니 함수 [eqn: y= {3x-1} over {x-1} `]의 그래프와 일치하였다. 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

8. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p```:```-3 LEQ x LEQ 8]

[eqn: q```:```a-3 LEQ x LEQ a]

[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의

개수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

9. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} `=`12], [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} ` ^{2} `=`40`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} (a _{k} `+`2) ^{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 88]	② [eqn: 98]	③ [eqn: 108]	④ [eqn: 118]	⑤ [eqn: 128]

10. 두 함수 [eqn: f(x)=2x+1`], [eqn: g(x)=x-3`]에 대하여

[eqn: LEFT ( `f CIRC g ^{-1} RIGHT ) (`x)=ax+b`]라 할 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

11. 그림과 같이 함수 [eqn: y= {4} over {x}]의 그래프 위의 점 중 제[eqn: 1`]사분면에 있는 한 점을 [eqn: rm A LEFT ( it a,``` {4} over {a} RIGHT ) `]라 하고, 점 [eqn: rmA`]를 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축, 원점에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 하자. 직사각형

[eqn: rm `ACDB]의 둘레의 길이의 최솟값은? [3점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y= {4} over {x}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: a]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

12. [eqn: {1} over {4} `log`2 ^{`2n} + {1} over {2} `log`5 ^{`n}] 이 정수가 되도록 하는 [eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 16]

[13 ~ 14] 함수 [eqn: {bold{f(x)= sqrt {x+2}}} `]와 직선 [eqn: {bold{x=t```(`t>0)`}}]에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, [eqn: bold{ rm O`]는 원점이다.)

[eqn: x]

[eqn: x=t]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: y=f(x)]

13. 양수 [eqn: a`]에 대하여 세 수 [eqn: f LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) `], [eqn: a`], [eqn: f(16)`]은 이 순서대로 등비수열을 이룬다. [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {7} over {3}]	④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

14. 직선 [eqn: x=t`]와 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프의 교점을 [eqn: rmP`], 직선 [eqn: x=t`]와 [eqn: x`]축과의 교점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm POQ`]의 넓이를 [eqn: S(t)`], 선분 [eqn: rm OQ`]를 지름으로 하는 원의 넓이를 [eqn: C`(t)`]라 할 때, [eqn: lim _{t -> `0+} {{C`(t)} over {t TIMES S(t)}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {sqrt {2}} over {2} pi]	② [eqn: {sqrt {2}} over {3} pi]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {4} pi]	④ [eqn: {sqrt {2}} over {5} pi]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {6} pi]

15. 두 함수 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: 1]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: 1]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x -> `0+} {f(x)} =0`] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1-} {} f(x)g(x)`=0] ㄷ. 함수 [eqn: f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} +a _{4} =18]

이다. [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} `a _{k} `]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {S _{n+1}} - sqrt {S _{n}} RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]	④ [eqn: 4 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

17. 음파가 서로 다른 매질의 경계를 투과하면서 잃어버리는 음파의 에너지의 정도를 나타내는 투과손실을 [eqn: TL``(rmdB)`], 입사되는 음파의 에너지를 [eqn: I`], 투과된 음파의 에너지를 [eqn: T ``]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: TL`=10`log` {I} over {T}]

어떤 음파를 매질 [eqn: A`]에서 매질 [eqn: B`]로 투과시킬 때, 입사되는 음파의 에너지가 투과된 음파의 에너지의 [eqn: a`]배일 때의 투과손실을 [eqn: TL_1`]이라 하고, 매질 [eqn: A`]에서 매질 [eqn: C``]로 투과시킬 때, 입사되는 음파의 에너지가 투과된 음파의 에너지의 [eqn: 4`]배일 때의 투과손실을 [eqn: TL_2`]라 하자. [eqn: {TL _{1}} over {TL _{2}} = {5} over {2} `]일 때, [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 40]

18. [eqn: a`], [eqn: b`]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이고

[eqn: log _{`a} `2+log _{`b} `2`=`2`], [eqn: log` _{2} `a+log` _{2} `b`=`-1]

일 때, [eqn: (log` _{a} `2) ^{2} +(log _{`b} `2) ^{2} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

19. 함수

[eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{ax ^{n}} over {1+x ^{n}}} ```(x>0 _{`} )`]

에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} `f` LEFT ( {k} over {5} RIGHT ) =33`]이다. 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

20. 다음은 [eqn: 2] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} {n} over {n-k} · {1} over {2 ^{k-1}} <4`] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 증명하는 과정의 일부이다.

<증명>

[eqn: 2] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} {n} over {n-k} · {1} over {2 ^{k-1}} = {n} over {n-1} + {n} over {n-2} · {1} over {2} +` CDOTS `+ {n} over {2 ^{n-2}} `]

라 하자.

[eqn: a _{n+1} & = sum _{k=1} ^{n} {n+1} over {n+1-k} · {1} over {2 ^{k-1}}# &# & = {BOX{````(가)`` ^{``}}} `+ {n+1} over {n-1} · {1} over {2} + {n+1} over {n-2} · {1} over {2 ^{2}} +` CDOTS `+ {n+1} over {2 ^{n-1}}# &# &= {BOX{````(가)`` ^{``}}} `+(n+1) LEFT ( {1} over {n-1} · {1} over {2} + {1} over {n-2} · {1} over {2 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT )]

이 식을 정리하면

[eqn: a _{n+1} =` {BOX{````(나)`` ^{``}}} ``a _{n} + {n+1} over {n} `] [eqn: (n GEQ 2)`] 를 얻는다.

[eqn: a _{2} =2<4], [eqn: a _{3} =3<4]이므로 (*)이 성립한다.

[eqn: n` GEQ `3`]일 때 [eqn: a _{n} `<`4]라 하자.

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: 2] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`]이라 할 때,

[eqn: {48`g(10)} over {f(5)} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

21. 중심이 [eqn: rm O`]이고 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1} `]을 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 반원 위에 [eqn: rm ANGLE C _{1} A _{1} B _{1} =30 DEG], [eqn: rm ANGLE D _{1} B _{1} A _{1} =30 DEG]가 되도록 두 점 [eqn: rm`C _{1}], [eqn: rm D _{1} `]을 각각 정하고,     두 선분 [eqn: rm `A _{1} C _{1} `], [eqn: rm `B _{1} D _{1} `]과 두 호 [eqn: rm `B _{1} C _{1}], [eqn: rm `A _{1} D _{1} `]로 둘러싸인     모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1} `]에서 중심이 [eqn: rm O`]이고 두 선분 [eqn: rm`A _{1} C _{1}], [eqn: rm `B _{1} D _{1} `]에 접하는 원이 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1} `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA _{2}], [eqn: rm B _{2} `]라 하자. 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2} `]를 지름으로 하는 반원에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} `= {a` pi +b sqrt {3}} over {9} `]이다.       [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: `b`]는 정수이다.) [4점]

[eqn: rmD _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm`O]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

[eqn: R _{3}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm`O]

[eqn: rmD _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm 30 DEG]

[eqn: rm 30 DEG]

[eqn: rm B _{1}]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: lim _{x` -> `4} {` {(x-4)(x+12)} over {x-4}} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: log _{`3} `18- rm {1} over {2} log _{`3} `4`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 급수[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } ` LEFT ( {9} over {2} -a _{n} RIGHT ) `]이 수렴할 때,

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` LEFT ( 8a _{n} +7 RIGHT )} `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 어느 학교 [eqn: 56`]명의 학생들을 대상으로 두 동아리 [eqn: A`], [eqn: B`]의 가입여부를 조사한 결과 다음과 같은 사실을 알게 되었다.

(가) 학생들은 두 동아리 [eqn: A`], [eqn: B`] 중 적어도 한 곳에

가입하였다.

(나) 두 동아리 [eqn: A,```B`]에 가입한 학생의 수는 각각 [eqn: 35`]명, [eqn: 27`]명

이었다.

동아리 [eqn: A`]에만 가입한 학생의 수를 구하시오. [3점]

26. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+na _{n} =2n ^{2} +3n`]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {2} over {a _{n} -`4}]의 값을 구하시오. [4점]

27. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: root {n} of {20} `]보다 작은 정수 중에서 최댓값을 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum _{n=2} ^{10} `f(n)`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 자연수 [eqn: n`]([eqn: n GEQ 4`])에 대하여 집합

[eqn: D _{n} `=` LEFT { `x``|``x RIGHT .]는 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원에 내접하는

정[eqn: n`]각형의 대각선의 길이}

라 하고, 집합 [eqn: D _{n} `]의 원소의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자.

예를 들어, 그림과 같이 [eqn: a _{5} =1`], [eqn: a _{6} =2`]이다. [eqn: a _{22} `+`a _{25} ``]의 값을

구하시오. [4점]

[eqn: a _{5} =1]	[eqn: a _{6} =2]

29. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x ^{2} +nx`][eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) `]의 역함수를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하고, 직선 [eqn: y`=`-x+n+2]와 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `],

[eqn: y=`g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPOQ`]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} ` {50} over {S _{n}} `]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=`-x+n+2]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

30. 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 [eqn: k`]라 하자. [eqn: 48k`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: ab<0`]

(나) 세 수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: ab`]를 적절히 배열하여 등비수열을 만들 수 있다.

(다) 세 수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: ab`]를 적절히 배열하여 등차수열을 만들 수 있다.

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.