◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2007학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지

수리 영역

제 2 교시

성명			수험번호						1

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수리 영역

수리 영역

[eqn: a=2+ sqrt {3}], [eqn: b=2- sqrt {3}]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은? [2점]

8

①   [eqn: 10]

② [eqn: 6 root 3]

③   [eqn: 12]

④ [eqn: 8 root 3]

⑤   [eqn: 14]

실수 [eqn: a,~b`]에 대하여  [eqn: |`a`|=a,~|`ab`|=`-ab`]를 만족시킬 때,

[eqn: |`a-b`|+ sqrt {a^{2}} + sqrt {(b-a)^{2}}`]을 간단히 하면? [2점]

① [eqn: a]

② [eqn: a+2b``]

③ [eqn: a-2b]

④ [eqn: 3a+2b]

⑤ [eqn: 3a-2b]

[eqn: 0]이 아닌 임의의 복소수를 변환시키는 세 종류의 변환장치가 있다. 는 덧셈에 대한 역원, 는 곱셈에 대한 역원, 는 켤레복소수로 각각 변환시킨다. 복소수 [eqn: z _{1}]이 그림과 같은 순서대로 변환될 때, [eqn: z_2 =1+i`]이면 [eqn: {z_1} over {z_4}]의 값은?

(단, [eqn: i= sqrt {-1}] ) [3점]

[eqn: z_1]		[eqn: z_2]		[eqn: z_3]		[eqn: z_4]

①   [eqn: -2]

②   [eqn: -1]

③      [eqn: 2]

④   [eqn: {1-i}over 2]

⑤ [eqn: {-1-i}over 2]

두 집합 [eqn: A= LEFT { a,````b,```c RIGHT }], [eqn: B= LEFT { a,```b,````c,```d RIGHT }`]에 대하여 [eqn: B` CUP X`=B`],  [eqn: n`(A SMALLINTER X`)=2`]를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는? (단, [eqn: n(A)`]는 집합 [eqn: A`]의 원소의 개수이다.) [3점]

①  [eqn: 4]

②  [eqn: 6]

③  [eqn: 8]

④ [eqn: 10]

⑤ [eqn: 12]

세 집합 [eqn: A,~B,~C``]에 대하여

[eqn: A= LEFT { x`|`x ^{2} -4x-12<0 RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { x`|`x ^{2} -8x+16 >0 RIGHT }]

[eqn: C= LEFT { x`|`x ^{2} -2x+10 <= 0 RIGHT }]

일 때, [eqn: (A SMALLINTER B`) CUP C`]의 원소 중 정수의 개수는? [3점]

①  [eqn: 3]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 6]

⑤  [eqn: 7]

다음은 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: {1} over {a} - {1} over {b} = {1} over {a+b}`]일 때, [eqn: {b} over {a} + {a} over {b}`]의 값을 구하는 과정이다. (단,  [eqn: ab != 0`], [eqn: a+b != 0`])

[eqn: {1} over {a} - {1} over {b} = {1} over {a+b}`]을 통분하여 정리하면

[eqn: (a+b)`(b-a)=`]

(가)

[eqn: a ^{2} `+ab`-b ^{2} `=0]

양변을 [eqn: b ^{2} `]으로 나누면 [eqn: {left (a over b right )}^{2} `+ a over b`-1 `=0]

∴ [eqn: {a} over {b} =]

(나)

따라서 [eqn: {b} over {a} + {a} over {b} =]

(다)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: ab`]	[eqn: {-1± sqrt {5}} over {2}]	[eqn: ± sqrt {5}]
②	[eqn: ab`]	[eqn: {1± sqrt {5}} over {2}]	[eqn: ± sqrt {5}]
③	[eqn: ab`]	[eqn: {-1± sqrt {5}} over {2}]	[eqn: -1]
④	[eqn: -ab`]	[eqn: {1± sqrt {5}} over {2}]	[eqn: 1]
⑤	[eqn: -ab`]	[eqn: {-1± sqrt {5}} over {2}]	[eqn: -1]

등식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -8x+7=(x-1) ^{3} +a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c`]가

[eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 다항식 [eqn: ax ^{2} -bx-c`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는? [3점]

① [eqn: 15]

② [eqn: 17]

③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21]

⑤ [eqn: 23]

그림의 삼각형 [eqn: rm A prime B prime C prime `]은 삼각형 [eqn: rm A`B`C`]를 평행이동한 도형이다. 두 점 [eqn: rm B prime,``C prime]을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: ax+by=24`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단,  [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

[eqn: rm A`(-5,~8)]

[eqn: rm B`(1,~1)]

[eqn: rm C`(3,~4)]

[eqn: rm A`'(4,~10)]

[eqn: rm C`']

[eqn: rm B`']

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 3]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 5]

네 부등식

[eqn: x >= 0,~y >= 0,~2x+3y <= 18,~2x+y <= 10`]

을 동시에 만족시키는 점 [eqn: (x,~y)`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 최대값은? [3점]

①   [eqn: 6]

②   [eqn: 7]

③   [eqn: 8]

④   [eqn: 9]

⑤ [eqn: 10]

원점에 대하여 대칭이동하였을 때, 자기 자신과 일치하는 도형의 방정식을 <보기>에서 모두 고르면? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: y=`-x] ㄴ. [eqn: LEFT | `x`+`y` RIGHT |`` =1] ㄷ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2` ( `x+y` )]

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 예각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 변 [eqn: rm BC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 할 때,

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2} `+ {bar{AC}}^{2} `=`2`( {bar{BM}}^{2} + {bar{AM}}^{2} `)]이 성립함을 증명한 것이다.

[증명]

점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm M]

[eqn: rm H]

[eqn: rm C]

직각삼각형 [eqn: rm ABH`]에서

[eqn: rm {bar{AB}}^{2}][eqn: rm = {bar{BH}}^{2} + {bar{AH}} ^{2}]

[eqn: = (]  [eqn: rm ) ^{2} `+ {bar{AH}}^{2}]

(가)

[eqn: rm = {bar{BM}}^{2} +2` {bar{BM}}`․`{bar{MH}}+(]  [eqn: )^2] [eqn: CDOTS CDOTS ~㉠]

(나)

직각삼각형 [eqn: rm AHC`]에서

[eqn: rm {bar{AC}}^{2}][eqn: rm = {bar{CH}}^{2} + {bar{AH}}^{2}]

[eqn: =(]  [eqn: rm ) ^{2} `+{ bar{AH}}^{2}]

(다)

[eqn: rm = {bar{CM}}^{2} -2` bar{CM} `․` bar{MH} `+(]  [eqn: )^2] [eqn: CDOTS CDOTS ~㉡]

(나)

[eqn: ㉠,~㉡]에서 [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} `+ {bar{AC}}^{2} `=`2`( {bar{BM}}^{2} + {bar{AM}}^{2} `)]이다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: rm bar{BC} + bar{CH}]	[eqn: rm {bar{AM}}]	[eqn: rm bar{BH} - bar{BM}]
②	[eqn: rm bar{BC} + bar{CH}]	[eqn: rm {bar{AH }}]	[eqn: rm bar{BH} - bar{BM}]
③	[eqn: rm bar{BM} + bar{MH}]	[eqn: rm {bar{AM}}]	[eqn: rm bar{BH} - bar{BM}]
④	[eqn: rm bar{BM} + bar{MH}]	[eqn: rm {bar{AH }}]	[eqn: rm bar{CM} - bar{MH}]
⑤	[eqn: rm bar{BM} + bar{MH}]	[eqn: rm {bar{AM}}]	[eqn: rm bar{CM} - bar{MH}]

음이 아닌 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 연산 [eqn: TRIANGLE]를 [eqn: a` TRIANGLE `b= sqrt {a} `+ sqrt {b} `]로 정의할 때, [eqn: (`x ^{2} `∆ `4` ) + ( `y^2 `∆`1)<=6] 을 만족시키는 점 [eqn: (x,~y)`]가 좌표평면 위에 나타내는 영역의 넓이는? [3점]

① [eqn: 18]

② [eqn: 20]

③ [eqn: 25]

④ [eqn: 36]

⑤ [eqn: 50]

<보기>의 명제 중에서 참인 것을 모두 고르면? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.) [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a<b<0`]이면 [eqn: a^2 > b^2 `]이다. ㄴ. [eqn: a >= 0`] 또는 [eqn: b >= 0`]이면 [eqn: sqrt {a} sqrt {b}`= sqrt {ab} `]이다. ㄷ. [eqn: LEFT | `a ` RIGHT | `+ LEFT | `b ` RIGHT | `>= LEFT | `a+b ` RIGHT | `]이면 [eqn: a >= 0`]이고 [eqn: b >= 0`]이다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 방정식 [eqn: x ^{3} +y ^{3} =91`]을 만족시키는 해 중에서 [eqn: xy<0`]인 두 정수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: x ^{3} +y ^{3} =91`]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x+y)(x ^{2} -xy+y ^{2} )=91~CDOTS CDOTS ~㉠]

이 때, [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2} = LEFT ( x- {y} over {2} RIGHT ) ^{2} +(]  [eqn: )y ^{2} > 0`]이므로

(가)

[eqn: ㉠`]에서 [eqn: x+y`]는 [eqn: 91]의 양의 약수이다. [eqn: CDOTS CDOTS ~㉡]

[eqn: x+y=k`]라 놓으면

[eqn: ㉠`]에서 [eqn: k(k ^{2} -3xy)=91]이므로  [eqn: xy= {1} over {3} LEFT ( k ^{2} - {91} over {k} RIGHT )]

따라서,  [eqn: x`], [eqn: y`]는 이차방정식

[eqn: t ^{2} -kt+ {1} over {3} LEFT ( k ^{2} - {91} over {k} RIGHT )=0`]의 두 실근이다.

판별식 [eqn: D=k ^{2} - {4} over {3} LEFT ( k ^{2} - {91} over {k} RIGHT ) >= 0`]에서

[eqn: k ^{3} <= `(]  [eqn: ) TIMES 91] [eqn: CDOTS CDOTS `㉢]

(나)

[eqn: xy<0`]이고 [eqn: ㉡`], [eqn: ㉢`]을 만족하는 [eqn: k`]의 값은 [eqn: (]  [eqn: )]이다.

(다)

…(생략)…

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: 3]	[eqn: 7]
②	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: 4]	[eqn: 7]
③	[eqn: {3} over {4}]	[eqn: 3]	[eqn: 1]
④	[eqn: {3} over {4}]	[eqn: 4]	[eqn: 1]
⑤	[eqn: {3} over {4}]	[eqn: 4]	[eqn: 7]

절대값이 1보다 작은 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?  [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: ab+1>a+b] ㄴ. [eqn: ac+b>abc +1] ㄷ. [eqn: {1} over {(a+1) ^{2}} + {1} over {(b+1) ^{2}} >= {2} over {(a+1)(b+1)}]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: (x ^{2} -x)(x ^{2} +3x+2)-3`]을 인수분해하면

[eqn: (x ^{2} +ax+b)(x ^{2} +cx+d)`]이다. 이 때, [eqn: a+b+c+d`]의 값은?

(단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: -2]

② [eqn: -1]

③  [eqn: 0``]

④  [eqn: 1]

⑤  [eqn: 2]

그림과 같이 두 산봉우리 [eqn: rm A,~B`]지점을 직선으로 잇는 케이블을 설치하려고 한다. [eqn: rm A,~B`]의 높이 차는 [eqn: rm 200m`]이고, [eqn: rm A`]에서 [eqn: rm B`]를 올려다 본 각은 [eqn: 30°]이다. 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: m:n`]으로 내분하는 점 [eqn: rm P`]와 [eqn: n:m`]으로 내분하는 점 [eqn: rm Q`]에 각각 지지대를 설치했더니, [eqn: rm P`]와 [eqn: rm Q`] 사이의 거리가 [eqn: rm 200m`]가 되었다. 이 때, [eqn: {n} over {m}`]의 값은? (단, 케이블의 늘어짐은 무시한다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm 200m]

[eqn: rm 200m]

[eqn: 30°]

① [eqn: {5} over {3}]

②  [eqn: 2]

③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {5} over {2}]

⑤  [eqn: 3]

원 [eqn: x ^{2} `+y ^{2} `-4x-2y=a-3`]이 [eqn: x`]축과 만나고, [eqn: y`]축과 만나지 않도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는? [4점]

① [eqn: a>-2]

② [eqn: a≧-1]

③ [eqn: -1 <= a< 2]

④ [eqn: -2<a <= 2]

⑤ [eqn: -2 <= a< 3]

다음과 같이 작동하는 화면보호기 프로그램이 있다.

Ⅰ. 모니터 중앙에 반지름 [eqn: rm 1 cm`]인 원이 생기고, 그 원의 반지름은 [eqn: rm `1`cm`/]초의 속도로 계속 커진다.

Ⅱ. 원이 생긴 후 [eqn: 2]초마다 Ⅰ의 과정을 반복한다.

Ⅲ. 첫 번째 생겨서 커진 원의 넓이가 두 번째와 세 번째 생겨서 커진 두 원의 넓이의 합과 같아지면 모든 원은 화면에서 없어진다.

Ⅳ. [eqn: 2]초 후에 다시 Ⅰ～Ⅲ의 과정을 반복한다.

이 과정의 Ⅲ에서 첫 번째 원이 생겨서 없어지기까지 걸리는 시간은? [4점]

①   [eqn: 8]초

②   [eqn: 9]초

③ [eqn: 10]초

④ [eqn: 11]초

⑤ [eqn: 12]초

좌표평면 위의 원점에서 직선 [eqn: 3x-y+2-k(x+y)=0`]까지의 거리의 최대값은? (단, [eqn: k`]는 실수이다.) [4점]

①   [eqn: 1 over 4]

② [eqn: root 2 over 4]

③   [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: root 2 over 2]

⑤  [eqn: root 2]

방정식 [eqn: [``x``]`^2 +[``y`^{2}``] =1`]을 만족시키는 점 [eqn: (x,~y)]가 좌표평면 위에 나타내는 영역의 넓이는? (단, [eqn: [``x``]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

① [eqn: 2(sqrt {2}-1 )]

② [eqn: 2(2`-` sqrt {2} )]

③ [eqn: 4(sqrt {2}-1 )]

④ [eqn: 2(1`+` sqrt {2} )]

⑤ [eqn: 2(2`+` sqrt {2} )]

단 답 형

명제 ‘[eqn: a <= x <= a+2] 이면 [eqn: -3 <= x <= 5]이다.’ 가 참이 되게 하는 정수 [eqn: a`]의 개수를 구하시오. [2점]

두 점 [eqn: (3,~5),~(5,~3)`]을 지나는 직선이 두 직선 [eqn: y =x,~y=3x`]와 만나는 교점을 각각 [eqn: rm A,~B`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [3점]

두 집합 [eqn: A= LEFT { 2,~3 RIGHT }`], [eqn: B= LEFT {` {a+b} over {2},~sqrt {ab}` RIGHT }`]에 대하여

[eqn: A=B``]일 때, [eqn: a+1,~b+1`]을 두 근으로 하는 이차방정식은 [eqn: x ^{2} +mx+n=0`]이다. 이 때, [eqn: n-m`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 양의 실수이다.) [3점]

지름 [eqn: rm AB]의 길이가 [eqn: 8]인 반원의 둘레 위에 한 점 [eqn: rm P]를 택할 때, [eqn: rm `3` bar{AP} `+`4` bar{BP}]의 최대값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: 8]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: LEFT < `x,~y `RIGHT > = cases{```````x~~(x>= y)_`#-y~~(x<y`)^`}]로 정의하자.

연립방정식 [eqn: cases{2x-4y^{2} = LEFT < `x,~y` RIGHT >_`#x-y+5= LEFT < `x,~y` RIGHT >^`}]의 해를 [eqn: x= alpha ,~y= beta `]라 할 때 [eqn: alpha + beta `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =7]을 만족시키는 실수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 세 수 [eqn: a+b], [eqn: b+c], [eqn: c+a]의 평균은 [eqn: {4} over {3}], 분산은 [eqn: {n} over {m}]이다. 이 때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 서로 소이다.) [4점]

원점 [eqn: rm O]와 세 점 [eqn: rm A(2,~-2),~``B(4,~1),~ C(1,~2)]를 꼭지점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC]의 둘레 위에 있는 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에 대하여 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+4]의 최대값을 [eqn: M], 최소값을 [eqn: m]이라 할 때,

[eqn: 39(M-m)`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A(2,~-2)]

[eqn: rm B(4,~1)]

[eqn: rm C(1,~2)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: a=1+ sqrt {2} - sqrt {3} ,~b=1- sqrt {2} + sqrt {3} `]일 때, [eqn: sqrt {a ^{3} +b ^{3} +1} `]을 간단히 하면 [eqn: p+2 sqrt {q} `]이다. 이 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 유리수이다.) [4점]

[eqn: 200]이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( {sqrt {3} +i} over {2}RIGHT ) ^{n} =`-1`]을 만족시키는

[eqn: n]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}] ) [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.