수학 영역(B형)

수학 영역(B형)

1. ②	2. ①	3. ③	4. ①	5. ③

6. ②	7. ⑤	8. ④	9. ②	10. ④

11. ②	12. ⑤	13. ④	14. ②	15. ③

16. ③	17. ④	18. ③	19. ④	20. ⑤

21. ①	22. 150	23. 58	24. 24       25. 192

26. 182	27. 36	28. 27	29. 259	30. 13

1. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: log_2` (4 sqrt { 2} - sqrt { 10})- log_2` (4- sqrt { 5})]

[eqn: =log_2 { 4 sqrt { 2} - sqrt { 10} } over { 4- sqrt { 5} }]

[eqn: = log_2 { sqrt { 2}(4- sqrt { 5} )} over { 4- sqrt { 5} }]

[eqn: = log_2 sqrt { 2} = { 1} over { 2}]

2. 함수의 극한과 연속

정답 ①

[eqn: lim _{ x->1} { { ln x} over { x^3 -1} }][eqn: = lim _{ x->1} { { ln x} over {(x-1)(x^2 +x+1) } }]
[eqn: = lim _{ x->1} { { ln x} over { x-1} } times lim _{ x->1} { { 1} over { x^2 +x+1} }]
[eqn: = 1 times { 1} over { 3} = { 1} over { 3}]

3. 벡터

정답 ③

[eqn: |`3 veca - 2 vec b`| =6]의 양변을 제곱하면

[eqn: 9`|` vec{a} `| ^{2} -12 LEFT ( vec{a} CDOT vec{b} RIGHT ) `+4`|` vec{b} `| ^{2} =36]

[eqn: 9 TIMES 2 ^{2} -12 LEFT ( vec{a} CDOT vec{b} RIGHT ) `+4 TIMES 3 ^{2} =36]

[eqn: 12 LEFT ( vec{a} CDOT vec{b} RIGHT ) `=36]

[eqn: therefore```][eqn: vec a cdot vec b =3]

4. 순열과 조합

정답 ①

(ⅰ) 천의 자리가 [eqn: 9]인 경우

백의 자리, 십의 자리, 일의 자리가 모두 [eqn: 0]이므로 [eqn: 1]가지이다.

(ⅱ) 천의 자리가 [eqn: 8]인 경우

십의 자리와 일의 자리를 순서쌍으로 나타내면 백의 자리가 [eqn: 1]인 경우는 [eqn: (0,~0)]

백의 자리가 [eqn: 0]인 경우는 [eqn: (1,~0)], [eqn: (0,~1)]이므로

[eqn: 1+2=3]인 [eqn: 3]가지이다.

(ⅲ) 천의 자리가 [eqn: 7]인 경우

백의 자리가 [eqn: 2]인 경우 [eqn: (0,~0)]

백의 자리가 [eqn: 1]인 경우 [eqn: (1,~0)], [eqn: (0`,~1)]

백의 자리가 [eqn: 0]인 경우 [eqn: (2,~0)], [eqn: (1,~1)], [eqn: (0,~2)]

이므로 [eqn: 1+2+3=6]인 [eqn: 6]가지이다.

이와 같은 방법으로 천의 자리가 [eqn: 1]인 경우까지 모든 경우의 수를 구하면

[eqn: 1+(1+2)+(1+2+3)+cdots+(1+2+cdots+9)]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{ 9} LEFT ( sum _{ k=1} ^{ n} k RIGHT )]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{ 9} n(n+1) over2]

[eqn: = {1} over {2} sum _{n=1} ^{9} LEFT ( n ^{2} +n RIGHT )]

[eqn: = { 1} over { 2} LEFT ( { 9times 10 times 19} over { 6} + 9times10 over2 RIGHT ) =165]

5. 통계

정답 ③

주머니에서 꺼낸 [eqn: 3]개의 공에 적힌 수들 중 두 수의 합이 나머지 한 수와 같은 경우는

[eqn: (1,~2,~3)], [eqn: (1,~3,~4)], [eqn: (1,~4,~5)], [eqn: (2,~3,~5)]인 [eqn: 4]가지이므로

확률은 [eqn: { 4} over { `_5 rmC_3} = 2over5]

따라서 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: \B LEFT ( 25,~ 2over5 RIGHT )]를 따른다.

[eqn: \E (it X`) = 25 times 2over5 =10], [eqn: \V (it X`) = 25 times 2over5 times 3over5 =6]

이때, [eqn: \V (it X`) = \E (itX^2 ) - left{\E (itX` ) right}^2]이므로

[eqn: \E (itX ^2 )][eqn: = \ V(it X`)+ left{ \E (it X `) right}^2]
[eqn: =6 +10^2 = 106]

6. 삼각함수

정답 ②

[eqn: sin alpha `sin beta = { sqrt { 3} +1 } over { 4}], [eqn: cos alpha` cos beta = { sqrt { 3}-1 } over { 4}]이므로

[eqn: cos( alpha - beta )][eqn: =cos alpha cos beta +sin alpha sin beta]

[eqn: = {sqrt {3} -1} over {4} + {sqrt {3} +1} over {4} = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: therefore```][eqn: alpha -beta = - pi over 6][eqn: LEFT ( because``` 0 < alpha < beta < pi over2 RIGHT )]	…… ㉠

[eqn: cos( alpha + beta )][eqn: =cos alpha cos beta -sin alpha sin beta]

[eqn: = {sqrt {3} -1} over {4} - {sqrt {3} +1} over {4} =- {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~ alpha + beta = {2} over {3} pi]                                …… ㉡

㉠과 ㉡을 연립하면, [eqn: alpha = pi over4], [eqn: beta = 5 over12 pi]

[eqn: therefore```][eqn: cos (3 alpha +beta )][eqn: = cos LEFT ( 3 over4 pi + 5 over12 pi RIGHT )]
[eqn: =cos {7} over {6} pi][eqn: = - cos pi over 6 = - sqrt { 3} over2]

7. 적분법

정답 ⑤

[eqn: a_n][eqn: = int _{ 0} ^{n } { f(x)dx}][eqn: =int _{ 0} ^{n } { sqrt { x} dx}][eqn: = 2over3 left[x^{3over2} right]_0^n = 2over3 n^{3over2}]

[eqn: therefore```][eqn: a_3 = 2 sqrt { 3}]

[eqn: b _{n} = int _{n-1} ^{n} {g(x)`dx}][eqn: = int _{ n-1} ^{n } { left{ f(x) +1 right}dx}]       [eqn: = int _{ n-1} ^{n } { ( sqrt { x} +1 )dx}][eqn: = LEFT [ {2} over {3} x ^{{3} over {2}} +x RIGHT ] _{n-1} ^{n}]

[eqn: = {2} over {3} n ^{{3} over {2}} - {2} over {3} (n-1) ^{{3} over {2}} +1]

[eqn: therefore```][eqn: b_4 = 19 over3 - 2 sqrt { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: a_3 +b_4 = 2 sqrt { 3} + LEFT ( 19 over3 -2 sqrt { 3} RIGHT ) = 19 over3]

8. 적분법

정답 ④

[eqn: G``'(x) =g(x)]라 하면,

[eqn: b_n = G`(n) - G`(n-1) = 2n+3]이다.

이때, [eqn: G`(n+1)-G`(n) =2n+5]이므로

[eqn: G`(n)][eqn: =G`(1) + sum _{ k=1} ^{ n-1}(2k+5)]
[eqn: =G`(1)+2 TIMES {n(n-1)} over {2} +5(n-1)]
[eqn: =G`(1) +n^2 +4n-5] [eqn: (n ge 2 )]

[eqn: THEREFORE~a _{10}][eqn: = int _{ 0} ^{10 } { f(x)dx}][eqn: = int _{ 0} ^{ 10} {g(x) dx }]
[eqn: = G`(10)- G`(0)]
[eqn: = LEFT { G`(1)+10 ^{2} +4 TIMES 10-5 RIGHT } -G(0)]

[eqn: =G(1)-G(0)+135]
[eqn: =5+135=140]

9. 미분법

정답 ②

[eqn: lim _{ x->1} { { f(x) -2} over {x-1 } } = 1over2]에서 [eqn: f(1)=2], [eqn: f`'(1) = 1over2]

[eqn: lim _{ x->2} { { f(x) -3} over {x-2 } } =4]에서 [eqn: f(2)=3], [eqn: f`'(2) =4]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수는 [eqn: g(x)]이므로

[eqn: g(2)=1], [eqn: g prime (2)= {1} over {f` prime (1)} =2],

[eqn: g(3)=2], [eqn: g prime (3)= {1} over {f` prime (2)} = {1} over {4}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x->3} { { g(g(x))-1} over {x-3 } }][eqn: = lim _{ x->3} { left{ { g(g(x)) - g(g(3))} over {g(x)- g(3) } times { g(x) - g(3)} over { x-3} } right}]

[eqn: `=g` prime LEFT ( g LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) TIMES g` prime LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: = g'(2) times g '(3)][eqn: = 2 times 1over4 = 1over2]

10. 적분법

정답 ④

넓이 [eqn: S_2]는 사인함수의 대칭성에 의해 [eqn: x=1]을 기준으로 반으로 나뉘므로 색칠한 부분의 넓이는 각각 아래 그림과 같다.

따라서 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { left(k- sin pi over2 x right) dx =0 }]이다.

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { left(k- sin pi over2 x right) dx }]

[eqn: = left[ kx + 2 over pi `cos pi over2 x right]_0^1][eqn: = k - 2over pi =0],     [eqn: therefore```][eqn: k = 2 over pi]

11. 통계

정답 ②

주사위 [eqn: 1]개를 던질 때 [eqn: 3]의 배수가 나올 확률이 [eqn: {1} over {3}]이므로 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수[eqn: Y]라 하면 [eqn: rm ` it Y]는 이항분포 [eqn: rm `B LEFT ( 72,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm E LEFT ( it Y RIGHT ) =72 TIMES {1} over {3} =24], [eqn: rm V LEFT ( it Y RIGHT ) =72 TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} =16]

이때, [eqn: n=72]는 충분히 큰 수이므로 확률변수 [eqn: Y]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 24,~4 ^{2} RIGHT )]를 따른다.

이때, [eqn: X][eqn: =3Y+(-2) TIMES (72-Y)][eqn: = 5Y -144]이므로

[eqn: rm P(itX ge 11 )][eqn: = rm P(5itY -144 ge 11)]
[eqn: = rm P (itY ge 31)][eqn: = rm P left (itZ ge 31-24 over4 right)]
[eqn: = rm P (itZ ge 1.75 )][eqn: = 0.5 - rm P(0 le itZ le 1.75)]
[eqn: =0.5 - 0.4599][eqn: =0.0401]

12. 행렬과 그래프

정답 ⑤

ㄱ. (참) [eqn: B =A-E]이므로

[eqn: A ^{2} -A=][eqn: A(A-E`)=AB=O]

ㄴ. (참) 명제 ‘[eqn: A!=E]이면 [eqn: A]의 역행렬을 존재하지 않는다.’의 대우 명제인 ‘[eqn: A]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A =E]이다’는 [eqn: A^-1]을 [eqn: A^2 -A =O]의 양변에 곱하면

[eqn: A-E=O], [eqn: A=E]이므로 참이다. 대우 명제가 참이므로 주어진 명제는 참이다.

ㄷ. (참) [eqn: B=A-E]이므로 [eqn: A+B =2A-E`]

[eqn: A^2 -A][eqn: = (2A-E`) LEFT ( 1 over2 A - 1over4 E` RIGHT ) - 1over4 E =O]

[eqn: (2A-E`) LEFT ( 1over2 A - 1over4 E` RIGHT ) = 1over4 E]

[eqn: (2A -E`)(2A-E`)=E]

[eqn: therefore```][eqn: (2A -E `)^-1 = 2A-E]

이때, [eqn: A+B =2A-E`]이므로 행렬[eqn: A+B]의 역행렬이 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

13. 적분법

정답 ④

[eqn: x^2 +(y-1)^2 =1]에서 [eqn: (y-1)^2 =1-x^2]

[eqn: y ge 1]이므로 [eqn: y-1 = sqrt { 1-x^2}]

[eqn: therefore```][eqn: y = 1+ sqrt { 1-x^2}]

구하는 회전체의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V][eqn: = pi int _{ -1} ^{1 } {y^2 dx }][eqn: = pi int _{ -1} ^{ 1} {(1+ sqrt { 1-x^2} )^2 dx}]
[eqn: = pi int _{ -1} ^{ 1} {(2-x^2 +2 sqrt { 1-x^2} )dx}]
[eqn: = pi int _{-1} ^{1} {(2-x ^{2} )dx} ``+2 pi int _{-1} ^{1} {sqrt {1-x ^{2}}} dx]
[eqn: = 2pi left[2x - 1over3 x^3 right]_0^1 + 2pi int _{ -1} ^{ 1} { 2 sqrt { 1-x^2} dx}]
[eqn: = 10 over3 pi + 2 pi int _{ -1} ^{1 } { 2 sqrt { 1-x^2} }dx]	…… ㉠

이때, 에서 [eqn: 2pi int _{ -1} ^{1 } { 2 sqrt { 1-x^2} dx}]에서 [eqn: x = sin t]로 놓으면 [eqn: dx = cos t `dt]

[eqn: 2 pi int _{-1} ^{1} {2 sqrt {1-x ^{2}} dx}][eqn: =2 pi int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {sqrt {1-sin ^{2} t}} cost`dt]
[eqn: = 2pi int _{ - pi over2 } ^{ pi over2 } { cos^2 t``dt}][eqn: = 2pi int _{ - pi over2 } ^{ pi over2 } { 1+ cos2`t} over { 2}dt]
[eqn: = pi int _{ - pi over2 } ^{ pi over2 } (1+ cos 2t )dt]
[eqn: = pi left[ t + 1over2` sin 2t right]_{- pi over2 }^{pi over2 }][eqn: = pi^2]

따라서 ㉠에서

[eqn: V][eqn: = 10 over3 pi + 2pi int _{ -1} ^{ 1} {2 sqrt { 1-x^2 }dx }][eqn: = 10 over3 pi + pi^2]

14. 미분법

정답 ②

[eqn: f(x) = e^x (x^2 +ax+b)]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: =e^x (x^2 +ax+b)+e^x (2x+a)]
[eqn: = e^x left{x^2 +(a+2)x+a+b right}]

[eqn: g(x) =e^-x (x^2 +ax+b)]에서

[eqn: g'(x)][eqn: = -e^-x (x^2 +ax+b)+e^-x (2x+a)]
[eqn: = e^-x left{ -x^2 +(2-a)x+a-b right}]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 각각 [eqn: x=-3], [eqn: x=2]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: f`'(-3)=0], [eqn: g'(2)=0]이다.

[eqn: f`'(-3)][eqn: =e^-3 left{ (-3)^2 +(-3) (a+2) +a+b right}]
[eqn: = e^-3 (3-2a+b)=0]

[eqn: therefore```][eqn: 3-2a+b=0]	…… ㉠

[eqn: g'(2)][eqn: = e^-2 left{ -2^2 +2(2-a) +a-b right}]
[eqn: =e^-2 (-a-b)=0]

[eqn: therefore```][eqn: -a-b=0]	…… ㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: a=1], [eqn: b=-1]

따라서 [eqn: f(x)=e^x (x^2 +x-1)]

[eqn: f` prime (x)=e ^{x} x(x+3)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=-3]

[eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -3]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	[eqn: 5e^-3]	↘	[eqn: -1]	↗

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: f(0)=-1=m_1]을 가진다.

[eqn: g(x) = e^-x (x^2 +x-1 )]

[eqn: g prime (x)=-e ^{-x} (x-2)(x+1)=0]에서

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-1] [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 타나내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(x)]	↘	[eqn: -e]	↗	[eqn: 0]	↘

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: g(-1) =-e=m_2]을 가진다.

[eqn: therefore```][eqn: m_1 +m_2 =-1-e]

15. 벡터

정답 ③

부채꼴 [eqn: \OAB]를 점 [eqn: \O]를 원점, 선분 [eqn: \OA]를 [eqn: x]축의 양의 방향으로 하여 좌표평면 위에 놓으면 아래 그림과 같다.

[eqn: sqrt {3}]

점 [eqn: \P]가 선분 [eqn: rm OM] 위를 점 [eqn: \O]에서 [eqn: x]축의 양의 방향으로 움직이면 점 [eqn: \R]은 부채꼴 [eqn: \OAB]의 호 [eqn: \AB]를 [eqn: x]축의 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하여 만들어지는 영역 위를 움직이므로 위 그림에서 점 [eqn: \R]가 나타내는 영역은 [eqn: rm bar AC], [eqn: rm bar BE], [eqn: rm arch AB], [eqn: rm archCE]로 둘러싸인 영역이다.

또한, 점 [eqn: \P]가 선분 [eqn: \BM] 위를 점 [eqn: \M]에서 [eqn: y]축의 양의 방향으로 움직일 때, 점 [eqn: \R]는 부채꼴 [eqn: \MCE]의 호 [eqn: \CE]를 [eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: sqrt { 3}]만큼 평행이동하여 만들어지는 영역 위를 움직이므로 위 그림에서 점 [eqn: \R]가 나타내는 영역은 [eqn: rm bar CD], [eqn: rm bar EF], [eqn: rm arch CE], [eqn: rm arch DF]로 둘러싸인 영역이다. 이때,

[eqn: bar{rm MA it} ,~ bar{RMMB},~ arch { RMAB}]로 둘러싸인 영역의 넓이와

[eqn: bar{rm ED it} ,~ bar{rm EF it} ,~ arch{rm DF it}]로 둘러싸인 영역의 넓이가 같으므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면 [eqn: S]는 사각형 [eqn: \MCDB]의 넓이와 같다.

[eqn: THEREFORE ~S=2 TIMES sqrt {3} =2 sqrt {3}]과 같다.

16. 수열

정답 ③

첫째항이 [eqn: -8]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여

[eqn: a_n+1 - 2 sum _{ k=1} ^{ n} { a_k} over { k} = 2^n+1 (n^2 +n+2)``(n ge 1 )]	…… ㉠

주어진 식에 의하여

[eqn: a_n - 2 sum _{ k=1} ^{ n-1} { a_k} over { k} = 2^n (n^2 -n+2)``(n ge 2 )]	…… ㉡

이다. ㉠[eqn: -]㉡을 하면, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 - a_n - 2 over n a_n =]

[eqn: 2^n (n+1) (n+2)]

이므로

[eqn: a_n+1 - { n+2} over { n}a_n = 2^n (n+1)(n+2)]

이다. 양변을 [eqn: (n+1)(n+2)]로 나누면

[eqn: { a_n+1} over { (n+1)(n+2)} - { a_n} over { n(n+1)} =2^n]

이다. [eqn: b_n = { a_n} over { n(n+1)}]이라 하면

[eqn: b_n+1 - b_n =] [eqn: (n ge2 )]

[eqn: 2^n]

이고, [eqn: b_2 =0]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_2 + sum _{ k=2} ^{ n-2}2^k]
[eqn: = { 2^2 (2^n-2 -1)} over { 2-1} =2^n -4]

[eqn: therefore```][eqn: b_n =] [eqn: (n ge2 )]

[eqn: 2^n -4]

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = 2^n (n+1) (n+2)], [eqn: g(n) =2^n],

[eqn: h( n) = 2^n -4]

[eqn: therefore```][eqn: { f(4)} over { g(5)}+h(6) = { 480} over { 32} +60 = 75]

17. 수열의 극한

정답 ④

[eqn: RM TRIANGLE AA_1 O]에서 [eqn: rm bar OA = bar AA_1 =1], [eqn: rm angle OAA_1 =30°]이므로 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar OA_1 }^2][eqn: = 1^2 +1^2 -2 times 1 times 1 times cos30°]
[eqn: =2 - sqrt { 3}]

따라서 [eqn: S_1][eqn: = { 1} over { 2} times ( sqrt { 2 - sqrt { 3} })^2 times sin 60° times 6]
[eqn: = { 3 sqrt { 3} (2- sqrt { 3} )} over { 2}]

두 정육각형 [eqn: rm A_{ it n } `B_{ it n }`C_{ it n }`D_{ it n }`E_{ it n }`F_{ it n }], [eqn: rm A_{ it n+1 }`B_{ it n+1 }`C_{ it n+1 }`D_{ it n+1 }`E_{ it n+1 }`F_{ it n+1 }`]의 넓이를 각각 [eqn: S_n], [eqn: S_n+1]이라 하면

[eqn: r_n`:r_n+1 = 1: sqrt { 2- sqrt { 3} }], [eqn: S_n `: ` S_n+1 = 1:2- sqrt { 3}]

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: { 3 sqrt { 3} (2- sqrt { 3} )} over { 2}]이고, 공비가 [eqn: 2- sqrt { 3}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}S_n][eqn: = { { 3 sqrt { 3}(2- sqrt { 3} )} over {2 } } over { 1-(2- sqrt { 3} )}][eqn: = { 9-3 sqrt { 3} } over { 4}]

18. 적분법

정답 ③

[eqn: 0 le x le pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = { cos x} over { sin x +2}]는 [eqn: sin x +2>0]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

[eqn: sinx+2=t]로 놓으면 [eqn: cosx`dx=dt]이고, [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=2], [eqn: x= {pi } over {2}]일 때 [eqn: t=3], [eqn: x= pi]일 때 [eqn: t=2]이므로

[eqn: S _{1} = int _{0} ^{{pi } over {2}} {{cosx} over {sinx+2} dx} `= int _{2} ^{3} {{1} over {t} dt} `=[lnt] _{2} ^{3}]

[eqn: =ln3-ln2=ln {3} over {2}]

[eqn: S_2][eqn: =- int _{{pi } over {2}} ^{pi } {{cosx} over {sinx+2}} dx][eqn: = - int _{ 3} ^{2 } { 1 over t d t }][eqn: = int _{ 2} ^{3 } { 1 over t dt }]
[eqn: =[lnt] _{2} ^{3} =ln3-ln2=ln {3} over {2}]

[eqn: therefore```][eqn: S _{1} +S _{2} =ln {3} over {2} +ln {3} over {2} =2ln {3} over {2}]

19. 공간도형과 공간좌표

정답 ④

위의 그림과 같이 정삼각형 [eqn: \ABC]의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면, 피타고라스의 정리에 의해

[eqn: rm bar BB' = sqrt {it x^2 -5}], [eqn: rm bar CC' = sqrt { itx ^2 -3}]

이때 점 [eqn: \B]에서 선분 [eqn: \CC']에 내린 수선의 발을 [eqn: \D]라 하면 [eqn: rm bar{B' C'} = bar BD =2]이므로 [eqn: rm bar CD = sqrt { itx^2 -4}]이다.

[eqn: rm bar CC' = bar CD +bar DC'][eqn: = rm bar{CD} + bar{BB prime }]이므로 [eqn: sqrt { x^ 2 -3} = sqrt { x^2 -4}+ sqrt { x^2 -5}]

위 식의 양변을 제곱하면

[eqn: x^2 - 3 =x^2 -4 +2 sqrt { x^2 -4} sqrt { x^2 -5} +x^2 -5]

[eqn: 6-x^2 = 2 sqrt { x^2 -4} sqrt { x^2 -5}]

[eqn: LEFT ( 6-x ^{2} RIGHT ) ^{2} =(2 sqrt {x ^{2} -4} sqrt {x ^{2} -5} ) ^{2}]

[eqn: 3x^4 - 24x^2 +44=0]

[eqn: therefore```][eqn: x ^{2} = {12+2 sqrt {3}} over {3} =4+ {2 sqrt {3}} over {3} `( BECAUSE ```x ^{2} >4)]

[eqn: therefore```]([eqn: rm triangle ABC]의 넓이)[eqn: = { sqrt { 3} } over { 4} x^2]
[eqn: = { sqrt { 3} } over { 4} LEFT ( 4 + { 2 sqrt { 3} } over {3 } RIGHT )]
[eqn: = sqrt { 3} + 1over2][eqn: = { 1+2 sqrt { 3} } over { 2}]

20. 미분법

정답 ⑤

ㄱ. (참) [eqn: f(x)=x sin x]에서 [eqn: f`'(x) = sin x + x cos x]

[eqn: f` prime (0)=0]이므로 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

ㄴ. (참) [eqn: y = f(x)]의 접선의 기울기는 [eqn: f`'(x)]이다.

[eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =sin {pi } over {2} + {pi } over {2} `cos {pi } over {2} =1]이고,

[eqn: f LEFT ( pi over2 RIGHT ) = pi over2]이므로 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의

점 [eqn: left( pi over2 ,~ pi over2 right)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=x]이다.

따라서 [eqn: y=x]는 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다.

ㄷ. (참) [eqn: f`'(x)]는 [eqn: left[ pi over2 ,~ 3 over4 pi right]]에서 연속이고,

[eqn: f`' LEFT ( pi over2 RIGHT ) = sin { pi} over { 2} + pi over2 `cos pi over2 = 1>0],

[eqn: f`' LEFT ( 3over4 pi RIGHT )][eqn: = sin 3 over4 pi + 3over4 pi `cos 3over4 pi]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( 1- {3} over {4} pi RIGHT ) <0]이므로

중간값의 정리에 의해 [eqn: f`'(c)=0]인 [eqn: c]가

구간 [eqn: LEFT ( pi over2 ,~ 3over4 pi RIGHT )] 안에 적어도 하나 존재한다.

따라서 [eqn: x=c]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. 적분법

정답 ①

(나)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x+1) = -f(x)+e-1]이므로 [eqn: 1 le x <2]일 때,

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: 0 le x <1]에서의  함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: x]축

대칭이동 시킨 후 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: e-1]만큼 평행이동

시키고, 다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 것과

같으므로 [eqn: f(x)=-(e ^{x-1} -1)+e-1]

따라서 [eqn: 1 le x <2]일 때, [eqn: f(x)=-e ^{x-1} +e]이다.

같은 방법으로 [eqn: 2 le x <3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: 1 le x <2]에서의 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: x]축 대칭이동 시킨 후,

[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: e-1]만큼 평행이동시키고 [eqn: x]축의

방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동 시키면 되므로 [eqn: 2 le x <3]일 때,

[eqn: f(x)=e ^{x-2} -1]이다.

[eqn: therefore```][eqn: int _{ 0} ^{3 } { f(x)dx}]
[eqn: = int _{ 0} ^{1 } { (e^x -1)dx}][eqn: ``+ int _{ 1} ^{2 } { (-e^x-1 +e)dx}]

[eqn: + int _{ 2} ^{3 } { (e^x-2 -1)dx}]

[eqn: = LEFT [ e ^{x} -x RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ -e ^{x-1} -ex RIGHT ] _{1} ^{2} + LEFT [ e ^{x-2} -x RIGHT ] _{2} ^{3}]

[eqn: = LEFT { LEFT ( e-1 RIGHT ) -1 RIGHT } + LEFT { LEFT ( -e+2e RIGHT ) - LEFT ( -1+e RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: + LEFT { LEFT ( e-3 RIGHT ) - LEFT ( 1-2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =2e-3]

22. 일차변환과 행렬

정답 150

[eqn: x]축에 대한 대칭변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A = pmatrix{`1&&```````0`#`0&&-1`}],

원점을 중심으로 [eqn: 60°]만큼 회전하는 회전변환 [eqn: g]를 나타내는 행렬을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: B = pmatrix{1over2 && - sqrt { 3 }over2# sqrt { 3} over2 && 1over2 }]이므로 [eqn: (g circ f )^-1 = f`^-1 circ g^-1]을 나타내는 행렬은 [eqn: A^-1 B^-1]이다.

[eqn: A^-1 = pmatrix{`1&&```````0`#`0&&-1`}], [eqn: B^-1 = pmatrix{1over2 && sqrt { 3 }over2# - sqrt { 3} over2 && 1over2 }]

[eqn: therefore```][eqn: A^-1 B^-1][eqn: = pmatrix{`1&&```````0`#`0&&-1`}][eqn: pmatrix{1over2 && sqrt { 3 }over2# - sqrt { 3} over2 && 1over2 }]
[eqn: = pmatrix{1over2 && sqrt { 3 }over2# sqrt { 3} over2 && - 1over2 }]

[eqn: therefore```][eqn: a = sqrt3 over2], [eqn: b = sqrt3 over2]

[eqn: therefore```][eqn: 100 (a^2 +b^2 )=100 LEFT ( 3over4 + 3over4 RIGHT ) = 150]

23. 방정식과 부등식

정답 58

(가)에서 [eqn: { 8+x} over { 24+x} times100 =y]

(나)에서 [eqn: 12 over24-x times 100 = y+25]

[eqn: therefore```][eqn: y = 1200 over 24-x -25]                            …… ㉠

따라서 [eqn: { 8+x} over { 24+x} times100 = { 1200} over { 24-x} -25]

[eqn: { 8+x} over { 24+x} = { 12} over { 24-x} - 1over4]

양변에 [eqn: 4 LEFT ( 24+x RIGHT ) LEFT ( 24-x RIGHT )]를 곱하면

[eqn: 4(8+x)(24-x)=48(24+x)-(24+x)(24-x)]

[eqn: 5x^2 -16x -192 =0]

[eqn: (5x+24)(x-8)=0]      [eqn: therefore```][eqn: x=8```(because```x>0)]

㉠에서 [eqn: y= {1200} over {24-8} -25=50]

[eqn: therefore```][eqn: x+y =8+50 =58]

24. 벡터

정답 24

[eqn: rm vec PB + vec PC + vec PD = 2 vec PA]의 양변을 [eqn: 3]으로 나누면

[eqn: rm { vec PB + vec PC + vec PD} over { 3} = 2 over3 vec PA]

이때, [eqn: TRIANGLE rmBCD]의 무게중심이 [eqn: RMG]이므로

[eqn: rm { vec PB + vec PC + vec PD} over { 3} = vec PG][eqn: rm = {2} over {3} vec{PA}]

따라서 세 점 [eqn: \A], [eqn: \G], [eqn: \P]는 동일한 직선 위에 있고 점 [eqn: \P]는 선분 [eqn: \AG]를 [eqn: 3``:``2]로 외분하는 점이다.

정사면체 [eqn: \ABCD]의 높이 [eqn: rm |`vec AG`|]는

[eqn: rm |`vec AG`|][eqn: = sqrt { (9 sqrt { 2})^2 - (3 sqrt { 2} )^2}=12]이므로

[eqn: rm |`vec PG`| =itx]라 하면

[eqn: x``:``(x+12) =2``:``3], [eqn: 2x+24=3x,~x=24]

[eqn: THEREFORE ~ rm |` vec{PG} `|=24]

따라서 선분 [eqn: RMPG]의 길이는 [eqn: 24]이다.

25. 이차곡선

정답 192

타원 [eqn: x^2 over25 + y^2 over16 =1]에서 두 초점 [eqn: \F], [eqn: \F']의 좌표는 [eqn: \F(3,~0)], [eqn: \F' (-3,~0)]이고,

타원의 정의에 의해 [eqn: rm bar PF + bar PF' = 10]이므로 [eqn: rm bar PF ``:`` bar PF ' = 2``:``3]에서 [eqn: rm bar PF = 4], [eqn: rm bar PF' = 6]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: \P(ita,~b)]라 하면

[eqn: rm bar PF = sqrt { it(a-3)^2 +b^2} =4]

[eqn: (a-3)^2 +b^2 =16]	…… ㉠

[eqn: rm bar PF' = sqrt { it(a+3)^2 +b^2} =6]

[eqn: (a+3) ^{2} +b ^{2} =36]	…… ㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: a = 5over3], [eqn: b = { 8 sqrt { 2} } over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: \P LEFT ( 5over3 ,~ { 8 sqrt { 2} } over { 3} RIGHT )]

이때, [eqn: rm bar QF]의 길이를 [eqn: t]로 놓으면 [eqn: bar{RMOF prime }=t+6]이므로

[eqn: rm bar QF ``:`` bar QF' = 2``:``3]에서

[eqn: t``:``(t+6) =2``:``3]

[eqn: 2(t+6)=3t,~t=12]

[eqn: rm THEREFORE ~Q(15,~0)]

[eqn: therefore```][eqn: rm {bar PQ}^2][eqn: = LEFT ( 15 - 5over3 RIGHT )^2 + LEFT ( 0 - { 8 sqrt { 2} } over {3 } RIGHT )^2]
[eqn: = { 1728} over { 9} = 192]

26. 확률

정답 182

지호가 받은 사탕의 개수가 [eqn: 5]인 경우는

(ⅰ) 세 번 중에서 [eqn: 2]번 이기고, [eqn: 1]번 지는 경우

[eqn: rm`_3 C_2 LEFT ( 1over3 RIGHT )^2 LEFT ( 2over3 RIGHT )^1 = 2over9]

(ⅱ) 네 번 중에서 [eqn: 1]번 이기고, [eqn: 3]번 지는 경우

[eqn: rm`_4 C_1 LEFT ( 1over3 RIGHT )^1 LEFT ( 2over3 RIGHT )^3 = 32 over81]

(ⅲ) 다섯 번 중에서 한 번도 못 이긴 경우

[eqn: rm`_5 C_0 LEFT ( 1over3 RIGHT )^0 LEFT ( 2over3 RIGHT )^5 = 32 over243]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: { 2} over { 9} + { 32} over { 81} + { 32} over { 243} = 182 over 243]

[eqn: therefore```][eqn: k = 182]

27. 함수의 극한과 연속

정답 36

선분 [eqn: \AB]를 지름으로 하는 반원의 중심을 [eqn: \O]라 하자. 아래 그림과 같이 [eqn: rm angle COB = 2 theta], [eqn: rm angle MOB = theta]이므로 삼각비에 의해 [eqn: rm bar CD = sin 2 theta], [eqn: rm bar OD = cos 2 theta], [eqn: rm bar MN = sin theta], [eqn: rm bar ON = cos theta]이다.

따라서 사각형 [eqn: rm CDNM]의 넓이 [eqn: S( theta )]는

[eqn: S`(theta)][eqn: = 1over2 rm (bar CD +Bar MN ) times bar DN]
[eqn: = 1over2 (sin 2theta + sin theta ) ( cos theta - cos 2 theta )]
[eqn: = 1over2 (2 sin theta cos theta + sin theta ) left{ cos theta - (2 cos^2 theta -1 ) right}]
[eqn: = - 1over2 `sin theta ( 2 cos theta +1 )^2 (cos theta -1 )]

[eqn: therefore```][eqn: a][eqn: = lim _{ theta ->+0} { { S`(theta )} over { theta ^3} }]
[eqn: = lim _{ theta ->+0} { { - 1over2 `sin theta (2 cos theta +1)^2 (cos theta -1) } over { theta ^3} }]
[eqn: = {1} over {2} lim _{theta -> +0} {{sin theta (2cos theta +1) ^{2} (1-cos theta )(1+cos theta )} over {theta ^{3} (1+cos theta )}}]
[eqn: = {1} over {2} lim _{theta -> +0} {{sin theta (2cos theta +1) ^{2} (1-cos ^{2} theta )} over {theta ^{3} (1+cos theta )}}]
[eqn: = {1} over {2} lim _{theta -> +0} {{sin ^{3} theta (2cos theta +1) ^{2}} over {theta ^{3} (1+cos theta )}}]
[eqn: = {1} over {2} lim _{theta -> +0} {{sin ^{3} theta } over {theta ^{3}}} TIMES lim _{theta -> +0} {{(2cos theta +1) ^{2}} over {1+cos theta }}]
[eqn: = 1over2 times 1 times 9over2 = 9over 4]

[eqn: therefore```][eqn: 16a = 16 times 9 over4 = 36]

28. 공간도형과 공간좌표

정답 27

정팔면체 [eqn: \ABCDEF]와 평면 [eqn: x+y+z=0]이 만나서 생기는 도형은 아래의 그림과 같다.

이때 생기는 각 점 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R], [eqn: \S], [eqn: \T], [eqn: \U]는 각각의 모서리들의 중점이므로

[eqn: \P(0,~-1,~1)], [eqn: \Q(1,~-1,~0)], [eqn: \R(1,~0,~-1)], [eqn: \S(0,~1,~-1)], [eqn: \T(-1,~1,~0)], [eqn: \U(-1,~0,~1)]이다.

그러므로 만들어진 도형 [eqn: \PQRSTU]는 한 변의 길이가 [eqn: sqrt { 2}]인 정육각형이다.

따라서 넓이 [eqn: S`]는 [eqn: S = 6 times { sqrt { 3} } over { 4} times ( sqrt { 2})^2 = 3 sqrt { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: S``^2 = 27]

29. 적분법

정답 259

세 점 [eqn: (4,~0)], [eqn: (-4,~0)], [eqn: (0,~2)]를 지나는 포물선을 [eqn: y = a(x-4)(x+4)]라 하면 [eqn: (0,~2)]를 지나므로

[eqn: a = - 1over8]이다.

따라서 포물선의 식은 [eqn: y = - 1over8 (x^2 -16 )]        …… ㉠

점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: (a,~b)]라 하면 점 [eqn: \P]를 중심으로 하고 [eqn: x]축에 접하는 원의 반지름의 길이는 [eqn: b]이므로 [eqn: rm bar{PQ} = it b]이다.

또, 점 [eqn: rmP]는 포물선 위의 점이므로 [eqn: b=- {1} over {8} LEFT ( a ^{2} -16 RIGHT )], [eqn: - {1} over {8} a ^{2} +2=b], [eqn: a ^{2} =16-8b]

따라서 [eqn: rm bar OQ][eqn: = rm bar OP +bar PQ][eqn: = sqrt { a^2 +b^2} +b]
[eqn: = ( sqrt { (16-8b)+b^2}+b]

[eqn: = sqrt {LEFT ( b-4 RIGHT ) ^{2}} +b]
[eqn: =|`b-4`| +b][eqn: = - (b-4) +b] ([eqn: because```][eqn: b <4])
[eqn: =4]

즉, [eqn: rm bar OQ]의 길이는 [eqn: \P]의 위치와 관계없이 [eqn: 4]로 일정하다.

그러므로 점 [eqn: \Q]는 중심이 원점 [eqn: \O]이고 반지름이 [eqn: 4]인 원의 위쪽의 반원 부분을 나타낸다.

[eqn: \Q]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 하면 [eqn: x^2 +y^2 =16]이므로

구하는 회전체의 부피 [eqn: V]는

[eqn: V][eqn: = pi int _{ -4} ^{ 4} {y^2 dx }][eqn: = pi int _{ -4} ^{ 4} (16-x^2 )dx]
[eqn: =2 pi int _{ 0} ^{ 4} (16-x^2 )dx][eqn: = 2pi left[ 16x - 1over3 x ^3 right]_0^4][eqn: =2 pi LEFT ( 64- {64} over {3} RIGHT )][eqn: = 256 over3 pi]

[eqn: therefore```][eqn: p=3], [eqn: q =256], [eqn: p+q =259]

30. 지수함수와 로그함수

정답 13

[eqn: log `n = x+y] ([eqn: x GEQ 0]인 정수, [eqn: 0 le y <1])

라 하면 [eqn: {\ P}_n (f(n),~g(n)) = (x,~y)]

연립부등식 [eqn: cases{y ge 1over3 x # 0 le y le 1 over2}]

에서 [eqn: x le 3y le 3over2]

[eqn: x]는 [eqn: 0] 이상인 정수이므로

(ⅰ) [eqn: x=0]일 때,

[eqn: 0 le 3y le 3over2], [eqn: 0 le y le 1over2]

따라서 [eqn: log`n = 0+y]이므로

[eqn: 0 le log`n le 1over2]

[eqn: log`1 le log`n < log`3.2]

[eqn: therefore```][eqn: 1 le n <3.2]

그러므로 [eqn: n]은 [eqn: 1,~2,~3]인 [eqn: 3]개이다.

(ⅱ) [eqn: x=1]일 때,

[eqn: 1 le 3y le 3over2],   [eqn: 1over3 le y le 1over2]

따라서 [eqn: log`n = 1+y]이므로

[eqn: 1over3 le log`n-1 le 1over2]

[eqn: log`2.1 < log `n-1 < log`3.2]

[eqn: 1+ log`2.1 < log`n < 1+ log`3.2]

[eqn: log`21 < log`n < log`32]

[eqn: therefore```][eqn: 21 <n < 32]

그러므로 [eqn: n]은 [eqn: 22,~ CDOTS ,~31]인 [eqn: 10]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 13]개이다.